Мановская работа" Логарифмические неравенства в ЕГЭ"

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА В ЕГЭ

Сечин Михаил Александрович

Малая академия наук учащейся молодежи РК «Искатель»

МБОУ « Советская СШ №1», 11 класс, пгт. Советский Советского района

Гунько Людмила Дмитриевна, учитель МБОУ « Советская СШ №1»

Советского района

      Цель работы: исследование механизма решения логарифмических неравенств С3 при помощи нестандартных методов, выявление интересных фактов  логарифма.

      Предмет исследования:

1)Найти необходимые сведения о нестандартных методах решения логарифмических неравенств. 

2)Найти дополнительные сведения о логарифмах.

3)Научиться решать конкретные логарифмические неравенства С3 с помощью нестандартных методов. 

      Результаты:

Практическая значимость заключается в расширении аппарата для решения  задач С3. Данный материал можно будет использовать на некоторых уроках, для проведения кружков, факультативных занятий по математике.

Проектным продуктом станет сборник «Логарифмические неравенства С3 с решениями».

Содержание

Введение………………………………………………………………………….4

Глава 1. История вопроса……………………………………………………...5

Глава 2. Сборник логарифмических неравенств ………………………… 7

2.1. Равносильные переходы и обобщенный метод интервалов……………    7

2.2. Метод рационализации    ………………………………………………… 15

2.3. Нестандартная подстановка………………...............................................   22

2.4. Задания с ловушками……………………………………………………     27

Заключение……………………………………………………………………   30

Литература…………………………………………………………………….   31

Введение

          Я учусь в 11 классе и планирую поступить в ВУЗ, где профильным предметом является математика. А поэтому много работаю с задачами части С. В задании С3 нужно решить нестандартное неравенство или систему неравенств, как правило, связанное с логарифмами. При подготовке к экзамену я столкнулся с проблемой дефицита методов и приёмов решения экзаменационных логарифмических неравенств, предлагаемых в С3. Методы, которые изучаются в школьной программе по этой теме, не дают базу для решения заданий С3. Учитель по математике предложила мне поработать с заданиями С3 самостоятельно под её руководством. Кроме этого, меня заинтересовал вопрос: а в жизни нашей встречаются логарифмы?

        С учетом этого и была выбрана тема:

                   «Логарифмические неравенства в ЕГЭ»

      Цель работы: исследование механизма решения задач С3 при помощи нестандартных методов, выявление интересных фактов  логарифма.

      Предмет исследования:

1)Найти необходимые сведения о нестандартных методах решения логарифмических неравенств. 

2)Найти дополнительные сведения о логарифмах.

3)Научиться решать конкретные  задачи С3 с помощью нестандартных методов. 

      Результаты:

Практическая значимость заключается в расширении аппарата для решения  задач С3. Данный материал можно будет использовать на некоторых уроках, для проведения кружков, факультативных занятий по математике.

Проектным продуктом станет сборник «Логарифмические неравенства С3 с решениями».

                                  Глава 1. История вопроса

На протяжении 16 века быстро возрастало количество приближённых  вычислений, прежде всего, в астрономии. Совершенствование  инструментов, исследование планетных движений и другие работы  потребовали колоссальных, иногда многолетних, расчетов. Астрономии грозила реальная опасность утонуть в невыполненных расчётах. Трудности возникали и в других областях, например, в страховом деле нужны были таблицы сложных процентов для различных  значений процента. Главную трудность представляли умножение, деление многозначных чисел, особенно тригонометрических величин.

Открытие логарифмов опиралось на хорошо известные к концу 16 века свойства прогрессий. О связи между членами геометрической прогрессии q, q2, q3, ... и арифметической прогрессией их показателей 1, 2, 3,... говорил еще в "Псалмите" Архимед. Другой предпосылкой было распространение понятия степени на отрицательные и дробные показатели. Многие авторы указывали, что умножению, делению, возведению в степень и извлечению корня в геометрической прогрессии соответствуют в арифметической - в том же порядке - сложение, вычитание, умножение и деление.

Здесь скрывалась идея логарифма как показателя степени.

В истории развития учения о логарифмах прошло несколько этапов.

1 этап

 

Логарифмы были изобретены не позднее 1594 года независимо друг от друга шотландским бароном Непером (1550-1617) и через десять лет швейцарским механиком Бюрги (1552-1632). Оба хотели дать новое удобное средство арифметических вычислений, хотя подошли они к этой задаче по-разному. Непер кинематически выразил логарифмическую     функцию   и, тем самым, вступил в новую область теории   функции. Бюрги остался на почве рассмотрения дискретных прогрессий. Впрочем, определение логарифма у обоих не похоже на современное. Термин "логарифм" (logarithmus) принадлежит Неперу. Он возник из сочетания греческих слов: logos - "отношение" и ariqmo - "число", которое означало "число отношений". Первоначально Непер пользовался другим термином: numeri artificiales- "искусственные числа", в противоположность numeri naturalts -"числам естественным".

               В 1615 году в беседе с профессором математики Грешем Колледжа в Лондоне Генри Бригсом (1561-1631) Непер предложил принять за логарифм единицы нуль, а за логарифм десяти - 100, или, что сводится к тому же, просто 1. Так появились десятичные логарифмы и были напечатаны первые   логарифмические   таблицы. Позже таблицы Бригса дополнил голландский книготорговец и любитель математики Андриан Флакк (1600-1667). Непер и Бригс, хотя пришли к логарифмам раньше всех, опубликовали свои таблицы позже других - в 1620 году. Знаки log и Log были введены в 1624 году И. Кеплером. Термин "натуральный логарифм" ввели Менголи в 1659 г. и вслед за ним Н. Меркатор в 1668 г., а издал таблицы натуральных логарифмов чисел от 1 до 1000 под названием "Новые логарифмы" лондонский учитель Джон Спейдел.

              На русском языке первые   логарифмические   таблицы были изданы в 1703 году. Но во всех   логарифмических   таблицах были допущены ошибки при вычислении. Первые безошибочные таблицы вышли в 1857 году в Берлине в обработке немецкого математика К. Бремикера (1804-1877).

2 этап

Дальнейшее развитие теории логарифмов связано с более широким применением аналитической геометрии и исчисления бесконечно малых. К тому времени относится установление связи между квадратурой равносторонней гиперболы и натуральным логарифмом. Теория логарифмов этого периода связана с именами целого ряда математиков.

Немецкий математик, астроном и инженер Николаус Меркатор в сочинении

"Логарифмотехника" (1668) приводит ряд, дающий разложение ln(x+1) по

степеням х:

Это выражение в точности соответствует ходу его мысли, хотя он, конечно, пользовался не знаками d, , ... , а более громоздкой символикой. С открытием   логарифмического   ряда изменилась техника вычисления логарифмов: они стали определяться с помощью бесконечных рядов. В своих лекциях "Элементарная математика с высшей точки зрения", прочитанных в 1907-1908 годах, Ф. Клейн предложил использовать формулу в качестве исходного пункта построения теории логарифмов.

3 этап

Определение   логарифмической     функции   как   функции   обратной

показательной, логарифма как показателя степени данного основания

было сформулировано не сразу. Сочинение Леонарда Эйлера (1707-1783)

"Введение в анализ бесконечно малых" (1748 г.) послужило дальнейшему

развитию теории   логарифмической     функции. Таким образом,

прошло 134 года с тех пор, как логарифмы впервые были введены

(считая с 1614 г.), прежде чем математики пришли к определению

понятия логарифма, которое положено теперь в основу школьного курса.

                   Глава 2. Сборник логарифмических неравенств

              2.1. Равносильные переходы и обобщенный метод интервалов.

Равносильные переходы

 , если   а > 1

, если  0 < а < 1

Обобщённый метод интервалов

Данный способ наиболее универсален при решении неравенств практически любого типа. Схема решения выглядит следующим образом:

1. Привести неравенство к такому виду, где в левой части находится функция , а в правой 0.

2. Найти область определения функции .

3. Найти нули функции , то есть – решить уравнение  (а решать уравнение обычно проще, чем решать неравенство).

4. Изобразить на числовой прямой область определения и нули функции.

5. Определить знаки функции  на полученных интервалах.

6. Выбрать интервалы, где функция принимает необходимые значения, и записать ответ.

Пример 1.

Решение:

Применим метод интервалов

откуда

При этих значениях все выражения, стоящие под знаками логарифмов, положительны.

Ответ:

Пример 2.

Решение:

1-й способ. ОДЗ определяется неравенством x > 3. Логарифмируя при таких  x по основанию 10, получаем

Последнее неравенство можно было бы решать,  применяя правила разложения, т.е. сравнивая с нулём сомножители. Однако в данном случае легко определить интервалы знакопостоянства функции

поэтому можно применить метод интервалов.

Функция f(x) = 2x(x - 3,5)lgǀ x - 3ǀ непрерывна при x > 3 и обращается в ноль в точках x₁ = 0, x₂ = 3,5, x₃ = 2, x₄ = 4. Таким образом, определяем интервалы знакопостоянства функции  f(x):

 

Ответ:

2-й способ. Применим непосредственно к исходному неравенству идеи метода интервалов.

Для этого напомним, что выражения a^b - a^c и (a - 1)(b - 1) имеют один знак. Тогда наше неравенство при x > 3 равносильно неравенству

или

Поcледнее неравенство решается методом интервалов

Ответ:

Пример 3.

Решение:

Неравенство равносильно совокупности систем

Применим метод интервалов

Ответ:

Пример 4.

Решение:

Так как 2x² - 3x + 3 > 0 при всех действительных x, то неравенство равносильно системе

Для решения второго неравенства воспользуемся методом интервалов

В первом неравенстве сделаем замену

тогда приходим к неравенству 2y² - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, которые удовлетворяют неравенству -0,5 < y < 1.

Откуда, так как

получаем неравенство

которое выполняется при тех x, для которых 2x² - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Теперь с учетом решения второго неравенства системы окончательно получаем

Ответ:

Пример 5.

Решение:

Неравенство равносильно совокупности систем

или

Применим метод интервалов                   или

Ответ:

Пример 6.

Решение:

Неравенство равносильно системе

Пусть		тогда y > 0,				и первое неравенство
системы принимает вид						или, раскладывая
квадратный трехчлен на множители,

Применяя к последнему неравенству метод интервалов,

видим, что его решениями, удовлетворяющими условию y > 0 будут все y > 4.

Таким образом исходное неравенство эквивалентно системе:

Итак, решениями неравенства являются все

                                2.2. Метод рационализации.   

Раньше методом рационализации неравенства не решали, его не знали. Это "новый современный эффективный метод решения показательных и логарифмических неравенств" (цитата из книжки Колесниковой С.И.)
И даже, если педагог его знал, была опаска - а знает ли его эксперт ЕГЭ, а почему в школе его не дают? Были ситуации, когда учитель говорил ученику: "Где взял? Садись - 2."
         Сейчас метод повсеместно продвигается. И для экспертов есть методические указания, связанные с этим методом, и в "Самых полных изданиях типовых вариантов ..." в решении С3 используется этот метод.
МЕТОД ЧУДЕСНЫЙ!

                                     «Волшебная таблица»

В других источниках

если a>1 и b>1, то log_ab>0 и  (a-1)(b-1)>0;

если a>1 и  0<b<1, то log_ab<0 и  (a-1)(b-1)<0;

если 0<a<1 и b>1, то log_ab<0 и (a-1)(b-1)<0;

если 0<a<1 и 0<b<1, то  log_ab>0 и  (a-1)(b-1)>0.

Проведенные рассуждения несложные, но заметно упрощающие решение логарифмических неравенств.

           

                 

                          

                  

                    

Пример 4.

                                         log_x(x²-3)<0

Решение:

Пример 5.

                                 log_2x(2x²-4x+6)≤log_2x(x²+x)

Решение:

   Ответ. (0; 0,5)U[2; 3].

 Пример 6.

                                       

Для решения этого неравенства вместо знаменателя запишем (х-1-1)(х-1), а вместо числителя - произведение (х-1)(х-3-9+х).

  Ответ: (3;6)

     Пример 7.

Пример 8.

                            2.3. Нестандартная подстановка.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

Пример 6.

Пример 7.

                                  log₄(3^x-1)log_0,25

Сделаем замену у=3^х-1; тогда данное неравенство примет вид

Log₄log_0,25.

Так как log_0,25= -log₄= -(log₄y-log₄16)=2-log₄y, то перепишем последнее неравенство в виде 2log₄y-log₄²y≤.

Сделаем замену t=log₄y и получим неравенство t²-2t+≥0, решением которого являются промежутки -<t≤ и ≤t<+.

Таким образом, для нахождения значений у имеем совокупность двух простейших неравенств  Решение этой совокупности есть промежутки 0<у≤2 и 8≤у<+.

Следовательно, исходное неравенство равносильно совокупности двух показательных неравенств,    то есть совокупности

Решением первого неравенства этой совокупности является промежуток 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Таким образом, исходное неравенство выполняется для всех значений х из промежутков 0<х≤1 и 2≤х<+.

Пример 8.

                          

Решение:

Неравенство равносильно системе

Решением второго неравенства, определяющего ОДЗ, будет множество тех x,

для которых x > 0.

Для решения первого неравенства сделаем замену

Тогда получаем неравенство

или

Множество решений последнего неравенства находится методом

интервалов: -1 < t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, получаем

или

Множество тех x, которые удовлетворяют последнему неравенству

принадлежит ОДЗ (x > 0), следовательно, является решением системы,

а значит, и исходного неравенства.

Ответ:

                              2.4. Задания с ловушками.

Пример 1.

                                                     .

Решение. ОДЗ неравенства есть все х, удовлетворяющие условию 0<x≤1. Х=1 не является решением исходного неравенства. Для всех х из промежутка 0<x<1 имеем log₅x<0, а .   Следовательно, все х из промежутка 0<x<1 являются решениями исходного неравенства.

Пример 2.

                                 log₂(2^x+1-x²)>log₂(2^x-1+1-x)+1.

Решение. Отыскание ОДЗ в данном случае – непростая задача, поэтому поступим иначе. Исходное неравенство равносильно системе неравенств

Последнее неравенство системы равносильно неравенству х²-2х+1<0, не имеющему решений. Следовательно, рассмотренная система неравенств не имеет решений, значит, и исходное неравенство не имеет решений.

Пример 3.

 .

Ключевым моментом в решении данного неравенства является поиск его области определения.

Решением данной системы являются два числа,  и . Осталось подстановкой выяснить, какие из этих чисел удовлетворяют неравенству.

1. При  неравенство принимает вид:  – истинно.

2. При  неравенство принимает вид: . Для установления истинности или ложности этого неравенства сделаем ряд преобразований:  – ложно.

Ответ: .

Пример 4.

                                          

Решение систем по технике решения не отличается от решения неравенств. Однако иногда возникают трудности с ответом, основанные на сравнении чисел.

Опустив решение каждого из неравенств,  приведем только множества их решений. Первое , второе . Для нахождения пересечения этих множеств надо сравнить два числа  и .

При затруднениях в сравнении двух чисел обычно используют два приема. Во-первых, можно составить разность этих чисел и преобразовать ее до вида, из которого очевиден ее знак. Во-вторых, иногда можно найти граничное число такое, что одно из чисел больше граничного, а другое меньше.

Воспользуемся первым вариантом. Разность . Заметим, что число , следовательно,  и .

Ответ: .

Пример 5.

                              

Решением первого неравенства является множество . Второе неравенство сводится к виду . Решение неравенства с учетом ОДЗ . Чтобы найти пересечение множеств необходимо сравнить два числа  и . В данном случае можно заметить, что число  находится между этими числами. Почему именно ? Дело в том, что второе число с очевидностью больше чем , т.к. . Первое число находится между  и , но ближе к . Строго доказать, что , можно составив разность  и преобразовав ее к виду .    Ответ:

                                                Заключение

Было не просто найти из большого обилия разных учебных источников особые методы решения задач С3. В ходе проделанной работы мне удалось изучить нестандартные методы решения сложных логарифмических неравенств. Это: равносильные переходы и обобщённый метод интервалов, метод рационализации, нестандартная подстановка, задания с ловушками на ОДЗ. В школьной программе эти методы отсутствуют.

 Разными методами я решил 27 неравенств, предлагаемых на ЕГЭ в части С, а именно С3. Эти неравенства с решениями по методам легли в основу сборника «Логарифмические неравенства С3 с решениями», который стал проектным продуктом моей деятельности. Гипотеза, поставленная мною вначале проекта, подтвердилась: задачи С3 можно эффективно решать, зная эти методы.

Кроме этого,  я выявил интересные факты логарифмов. Мне это было интересно делать. Мои проектные продукты будут полезны как для учащихся, так и для учителей.

Выводы:

         Таким образом, поставленная цель проекта достигнута, проблема решена. А я получил наиболее полный и разносторонний опыт проектной деятельности на всех этапах работы. В ходе работы над проектом у меня основное развивающее воздействие  было оказано на мыслительную компетентность, деятельность, связанную с логическими мыслительными операциями, развитие творческой компетентности, личной инициативы, ответственности, настойчивости, активности.

Гарантией успеха при создании исследовательского проекта для  меня стали: значительный школьный опыт, умение добывать информацию из различных источников, проверять ее достоверность, ранжировать ее по значимости.

         Кроме непосредственно предметных знаний по математике, расширил свои практические  навыки  в области информатики, получил новые знания и опыт в области психологии, наладил контакты с одноклассниками, научился сотрудничать с взрослыми людьми. В ходе проектной деятельности развивались организационные, интеллектуальные и коммуникативные  общеучебные умения и навыки.

                                          Литература

1. Корянов А. Г. ,Прокофьев А. А. Системы неравенств с одной переменной (типовые задания С3).

2. Малкова А. Г. Подготовка к ЕГЭ по математике.

3. Самарова С. С. Решение логарифмических неравенств.

4. Математика. Сборник тренировочных работ под редакцией А.Л. Семёнова и И.В. Ященко. -М.: МЦНМО, 2009. - 72 с.- 

5. Математика . Тематические тесты. Часть 2.  Подготовка  к  ЕГЭ -2010.10-11 классы /

Ф. Ф. Лысенко. — Ростов-на-Дону: Легион, 2009. — 176 с. — (Готовимся  к   ЕГЭ )

6.Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ : 2010:  Математика /авт.-сост. И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И. Захаров и др.;

7.ЯщенкоИ.В.,ШестаковС.А.,ЗахаровП.И.Подготовка  к  ЕГЭ   по   математике  в 2010 году. Методические рекомендации.

8.Универсальные материалы для подготовки учащихся / ФИПИ — М: Интеллект-Центр, 2010. — 96 с. (Под редакцией А. Л. Семенова и И. В. Ященко).

9. Сайт Дмитрия Гущина «РЕШУ ЕГЭ».