Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Мановская работа" Логарифмические неравенства в ЕГЭ"

Мановская работа" Логарифмические неравенства в ЕГЭ"


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

33


ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА В ЕГЭ



Сечин Михаил Александрович

Малая академия наук учащейся молодежи РК «Искатель»

МБОУ « Советская СШ №1», 11 класс, пгт. Советский Советского района

Гунько Людмила Дмитриевна, учитель МБОУ « Советская СШ №1»

Советского района



Цель работы: исследование механизма решения логарифмических неравенств С3 при помощи нестандартных методов, выявление интересных фактов логарифма.



Предмет исследования:

1)Найти необходимые сведения о нестандартных методах решения логарифмических неравенств.

2)Найти дополнительные сведения о логарифмах.

3)Научиться решать конкретные логарифмические неравенства С3 с помощью нестандартных методов.



Результаты:

Практическая значимость заключается в расширении аппарата для решения задач С3. Данный материал можно будет использовать на некоторых уроках, для проведения кружков, факультативных занятий по математике.

Проектным продуктом станет сборник «Логарифмические неравенства С3 с решениями».



























Содержание

Введение………………………………………………………………………….4

Глава 1. История вопроса……………………………………………………...5



Глава 2. Сборник логарифмических неравенств ………………………… 7

2.1. Равносильные переходы и обобщенный метод интервалов…………… 7

2.2. Метод рационализации ………………………………………………… 15

2.3. Нестандартная подстановка………………............................................... 22

2.4. Задания с ловушками…………………………………………………… 27

Заключение…………………………………………………………………… 30

Литература……………………………………………………………………. 31

































Введение



Я учусь в 11 классе и планирую поступить в ВУЗ, где профильным предметом является математика. А поэтому много работаю с задачами части С. В задании С3 нужно решить нестандартное неравенство или систему неравенств, как правило, связанное с логарифмами. При подготовке к экзамену я столкнулся с проблемой дефицита методов и приёмов решения экзаменационных логарифмических неравенств, предлагаемых в С3. Методы, которые изучаются в школьной программе по этой теме, не дают базу для решения заданий С3. Учитель по математике предложила мне поработать с заданиями С3 самостоятельно под её руководством. Кроме этого, меня заинтересовал вопрос: а в жизни нашей встречаются логарифмы?

С учетом этого и была выбрана тема:

«Логарифмические неравенства в ЕГЭ»

Цель работы: исследование механизма решения задач С3 при помощи нестандартных методов, выявление интересных фактов логарифма.



Предмет исследования:

1)Найти необходимые сведения о нестандартных методах решения логарифмических неравенств.

2)Найти дополнительные сведения о логарифмах.

3)Научиться решать конкретные задачи С3 с помощью нестандартных методов.



Результаты:

Практическая значимость заключается в расширении аппарата для решения задач С3. Данный материал можно будет использовать на некоторых уроках, для проведения кружков, факультативных занятий по математике.

Проектным продуктом станет сборник «Логарифмические неравенства С3 с решениями».











Глава 1. История вопроса



На протяжении 16 века быстро возрастало количество приближённых вычислений, прежде всего, в астрономии. Совершенствование инструментов, исследование планетных движений и другие работы потребовали колоссальных, иногда многолетних, расчетов. Астрономии грозила реальная опасность утонуть в невыполненных расчётах. Трудности возникали и в других областях, например, в страховом деле нужны были таблицы сложных процентов для различных значений процента. Главную трудность представляли умножение, деление многозначных чисел, особенно тригонометрических величин.

Открытие логарифмов опиралось на хорошо известные к концу 16 века свойства прогрессий. О связи между членами геометрической прогрессии q, q2, q3, ... и арифметической прогрессией их показателей 1, 2, 3,... говорил еще в "Псалмите" Архимед. Другой предпосылкой было распространение понятия степени на отрицательные и дробные показатели. Многие авторы указывали, что умножению, делению, возведению в степень и извлечению корня в геометрической прогрессии соответствуют в арифметической - в том же порядке - сложение, вычитание, умножение и деление.

Здесь скрывалась идея логарифма как показателя степени.

В истории развития учения о логарифмах прошло несколько этапов.

1 этап

hello_html_38d26f33.jpg




















Логарифмы были изобретены не позднее 1594 года независимо друг от друга шотландским бароном Непером (1550-1617) и через десять лет швейцарским механиком Бюрги (1552-1632). Оба хотели дать новое удобное средство арифметических вычислений, хотя подошли они к этой задаче по-разному. Непер кинематически выразил логарифмическую функцию и, тем самым, вступил в новую область теории функции. Бюрги остался на почве рассмотрения дискретных прогрессий. Впрочем, определение логарифма у обоих не похоже на современное. Термин "логарифм" (logarithmus) принадлежит Неперу. Он возник из сочетания греческих слов: logos - "отношение" и ariqmo - "число", которое означало "число отношений". Первоначально Непер пользовался другим термином: numeri artificiales- "искусственные числа", в противоположность numeri naturalts -"числам естественным".

В 1615 году в беседе с профессором математики Грешем Колледжа в Лондоне Генри Бригсом (1561-1631) Непер предложил принять за логарифм единицы нуль, а за логарифм десяти - 100, или, что сводится к тому же, просто 1. Так появились десятичные логарифмы и были напечатаны первые логарифмические таблицы. Позже таблицы Бригса дополнил голландский книготорговец и любитель математики Андриан Флакк (1600-1667). Непер и Бригс, хотя пришли к логарифмам раньше всех, опубликовали свои таблицы позже других - в 1620 году. Знаки log и Log были введены в 1624 году И. Кеплером. Термин "натуральный логарифм" ввели Менголи в 1659 г. и вслед за ним Н. Меркатор в 1668 г., а издал таблицы натуральных логарифмов чисел от 1 до 1000 под названием "Новые логарифмы" лондонский учитель Джон Спейдел.

На русском языке первые логарифмические таблицы были изданы в 1703 году. Но во всех логарифмических таблицах были допущены ошибки при вычислении. Первые безошибочные таблицы вышли в 1857 году в Берлине в обработке немецкого математика К. Бремикера (1804-1877).

2 этап

Дальнейшее развитие теории логарифмов связано с более широким применением аналитической геометрии и исчисления бесконечно малых. К тому времени относится установление связи между квадратурой равносторонней гиперболы и натуральным логарифмом. Теория логарифмов этого периода связана с именами целого ряда математиков.

Немецкий математик, астроном и инженер Николаус Меркатор в сочинении

"Логарифмотехника" (1668) приводит ряд, дающий разложение ln(x+1) по

степеням х:

Это выражение в точности соответствует ходу его мысли, хотя он, конечно, пользовался не знаками d, , ... , а более громоздкой символикой. С открытием логарифмического ряда изменилась техника вычисления логарифмов: они стали определяться с помощью бесконечных рядов. В своих лекциях "Элементарная математика с высшей точки зрения", прочитанных в 1907-1908 годах, Ф. Клейн предложил использовать формулу в качестве исходного пункта построения теории логарифмов.

3 этап

Определение логарифмической функции как функции обратной

показательной, логарифма как показателя степени данного основания

было сформулировано не сразу. Сочинение Леонарда Эйлера (1707-1783)

"Введение в анализ бесконечно малых" (1748 г.) послужило дальнейшему

развитию теории логарифмической функции. Таким образом,

прошло 134 года с тех пор, как логарифмы впервые были введены

(считая с 1614 г.), прежде чем математики пришли к определению

понятия логарифма, которое положено теперь в основу школьного курса.





Глава 2. Сборник логарифмических неравенств



2.1. Равносильные переходы и обобщенный метод интервалов.







Равносильные переходы

hello_html_71c02ff8.png, если а > 1



hello_html_m3246e2fe.png, если 0 < а < 1







hello_html_4f3f6618.jpg



Обобщённый метод интервалов



Данный способ наиболее универсален при решении неравенств практически любого типа. Схема решения выглядит следующим образом:



1. Привести неравенство к такому виду, где в левой части находится функция hello_html_m7ab13190.gif, а в правой 0.



2. Найти область определения функции hello_html_m7ab13190.gif.



3. Найти нули функции hello_html_m7ab13190.gif, то есть – решить уравнение hello_html_mbc071d9.gif (а решать уравнение обычно проще, чем решать неравенство).



4. Изобразить на числовой прямой область определения и нули функции.



5. Определить знаки функции hello_html_m7ab13190.gif на полученных интервалах.



6. Выбрать интервалы, где функция принимает необходимые значения, и записать ответ.



Пример 1.

hello_html_76eba893.png

Решение:

hello_html_m7464bf0d.png

hello_html_m9d64f51.png

Применим метод интервалов

hello_html_m1730c0e9.png

откуда

hello_html_65203c6e.png

При этих значениях hello_html_0.gifвсе выражения, стоящие под знаками логарифмов, положительны.

Ответ:

hello_html_65203c6e.png



Пример 2.

hello_html_58aec8f2.png

Решение:

1-й способ. ОДЗ определяется неравенством x > 3. Логарифмируя при таких  x по основанию 10, получаем

hello_html_52ea1ce1.png

Последнее неравенство можно было бы решать, применяя правила разложения, т.е. сравнивая с нулём сомножители. Однако в данном случае легко определить интервалы знакопостоянства функции

hello_html_79313423.png

поэтому можно применить метод интервалов.

Функция f(x) = 2x(- 3,5)lgǀ - 3ǀ непрерывна при x > 3 и обращается в ноль в точках x1 = 0, x2 = 3,5, x3 = 2, x4 = 4. Таким образом, определяем интервалы знакопостоянства функции  f(x):

hello_html_m28f829da.png

hello_html_m6ecb7f6c.png

 hello_html_18c16e7e.png



Ответ:

hello_html_1be0a34d.png

2-й способ. Применим непосредственно к исходному неравенству идеи метода интервалов.

Для этого напомним, что выражения ab - ac и (a - 1)(b - 1) имеют один знак. Тогда наше неравенство при x > 3 равносильно неравенству

hello_html_2199d6ac.png

или

hello_html_5fab7913.png

Поcледнее неравенство решается методом интервалов

hello_html_m17354ac4.png

Ответ:

hello_html_1be0a34d.png



Пример 3.

hello_html_m70d3e023.png

Решение:

Неравенство равносильно совокупности систем

hello_html_m497c090d.png

hello_html_m160ebc0.png

hello_html_m3ea49452.png

Применим метод интервалов

hello_html_m6b500f2c.png

Ответ:

hello_html_56258f0f.png



Пример 4.

hello_html_23bf6155.png

Решение:

Так как 2x2 - 3x + 3 > 0 при всех действительных x, то неравенство равносильно системе

hello_html_m7187642d.png

hello_html_866e497.png

Для решения второго неравенства воспользуемся методом интервалов

hello_html_373b2740.png

hello_html_m2340e82b.png

В первом неравенстве сделаем замену

hello_html_m16ad8a0a.png

тогда приходим к неравенству 2y2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, которые удовлетворяют неравенству -0,5 < y < 1.

hello_html_m53a2a906.png

hello_html_m4398849e.png

Откуда, так как

hello_html_m1ce176c4.png

получаем неравенство

hello_html_m36845ee1.png

которое выполняется при тех x, для которых 2x2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов



hello_html_m53a2a906.png

Теперь с учетом решения второго неравенства системы окончательно получаем

hello_html_4b9661c7.png

Ответ:

hello_html_484bc392.png



Пример 5.

hello_html_mc56f20.png

Решение:

Неравенство равносильно совокупности систем

hello_html_5c76c4fa.png

hello_html_m43f7dbdf.png

или

hello_html_m6ea34d2a.png

Применим метод интервалов  или

hello_html_aac8ec.png

 Ответ:

hello_html_m5fcd2f08.png





Пример 6.

hello_html_m5155d950.png

Решение:

Неравенство равносильно системе

hello_html_187228e9.png

Пусть

hello_html_451bbfe6.png

тогда y > 0,

hello_html_555fe443.png

и первое неравенство

системы принимает вид

hello_html_6f809fe1.png

или, раскладывая

квадратный трехчлен на множители,

hello_html_m5cc02735.png

Применяя к последнему неравенству метод интервалов,

hello_html_m1f33972f.png

видим, что его решениями, удовлетворяющими условию y > 0 будут все y > 4.

Таким образом исходное неравенство эквивалентно системе:

hello_html_m2d15f6c0.png

Итак, решениями неравенства являются все

hello_html_m358c6780.png










2.2. Метод рационализации.



Раньше методом рационализации неравенства не решали, его не знали. Это "новый современный эффективный метод решения показательных и логарифмических неравенств" (цитата из книжки Колесниковой С.И.)
И даже, если педагог его знал, была опаска - а знает ли его эксперт ЕГЭ, а почему в школе его не дают? Были ситуации, когда учитель говорил ученику: "Где взял? Садись - 2."
Сейчас метод повсеместно продвигается. И для экспертов есть методические указания, связанные с этим методом, и в "Самых полных изданиях типовых вариантов ..." в решении С3 используется этот метод.
МЕТОД ЧУДЕСНЫЙ!



«Волшебная таблица»



hello_html_31e5b7a2.png



В других источниках

если a>1 и b>1, то logab>0 и (a-1)(b-1)>0;

если a>1 и 0<b<1, то logab<0 и (a-1)(b-1)<0;

если 0<a<1 и b>1, то logab<0 и (a-1)(b-1)<0;

если 0<a<1 и 0<b<1, то logab>0 и (a-1)(b-1)>0.

Проведенные рассуждения несложные, но заметно упрощающие решение логарифмических неравенств.

hello_html_m2ac01776.png







hello_html_m27f004d1.png





hello_html_m1d6b0cf7.png









hello_html_m5a1e3e80.png

hello_html_m156d37b.png

Пример 4.

logx(x2-3)<0

Решение: hello_html_m6e5141dc.gif





Пример 5.

log2x(2x2-4x+6)≤log2x(x2+x)

Решение:hello_html_m7e5b5a81.gif

hello_html_611f9d01.gifОтвет. (0; 0,5)U[2; 3].



hello_html_0.gif

hello_html_0.gifПример 6.

hello_html_m5562104.gif

Для решения этого неравенства вместо знаменателя запишем (х-1-1)(х-1), а вместо числителя - произведение (х-1)(х-3-9+х).

hello_html_m4fb7086b.gifhello_html_39bcdcee.gif

hello_html_m4378a96c.gifОтвет: (3;6)

Пример 7.



hello_html_3145abf0.png













Пример 8.



hello_html_19b8a3.png























2.3. Нестандартная подстановка.



Пример 1.



hello_html_26c4cd6.png



Пример 2.



hello_html_4362eeab.png



Пример 3.



hello_html_m7456d435.png

























Пример 4.

hello_html_m3abd9311.png

Пример 5.

hello_html_fb3fb85.png

Пример 6.

hello_html_m258a9453.png





Пример 7.

log4(3x-1)log0,25hello_html_44647ac9.gif

Сделаем замену у=3х-1; тогда данное неравенство примет вид

Log4log0,25hello_html_m7cd1d245.gif.

Так как log0,25hello_html_23aebbbd.gif= -log4hello_html_23aebbbd.gif= -(log4y-log416)=2-log4y, то перепишем последнее неравенство в виде 2log4y-log42yhello_html_m7a6ff640.gif.

Сделаем замену t=log4y и получим неравенство t2-2t+hello_html_m7a6ff640.gif≥0, решением которого являются промежутки -hello_html_m74e6612e.gif<thello_html_m4bf21f14.gif и hello_html_297cd90b.gift<+hello_html_m74e6612e.gif.

Таким образом, для нахождения значений у имеем совокупность двух простейших неравенств hello_html_78d699d5.gif Решение этой совокупности есть промежутки 0<у≤2 и 8≤у<+hello_html_m74e6612e.gif.

Следовательно, исходное неравенство равносильно совокупности двух показательных неравенств, hello_html_m2814a048.gif то есть совокупности hello_html_m5d33fbe.gif

Решением первого неравенства этой совокупности является промежуток 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+hello_html_m74e6612e.gif. Таким образом, исходное неравенство выполняется для всех значений х из промежутков 0<х≤1 и 2≤х<+hello_html_m74e6612e.gif.

Пример 8.

hello_html_m18e44647.png

Решение:

Неравенство равносильно системе

hello_html_56110385.png

Решением второго неравенства, определяющего ОДЗ, будет множество тех x,

для которых x > 0.

Для решения первого неравенства сделаем замену

hello_html_7bc7dab5.png

Тогда получаем неравенство

hello_html_m4533d4e5.png

или

hello_html_348e0283.png

Множество решений последнего неравенства находится методом

интервалов: -1 < t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, получаем

hello_html_m606574bd.png

или

hello_html_m53186b53.png

Множество тех x, которые удовлетворяют последнему неравенству

принадлежит ОДЗ (x > 0), следовательно, является решением системы,

а значит, и исходного неравенства.

Ответ:

hello_html_m53186b53.png






2.4. Задания с ловушками.





Пример 1.

hello_html_m41da46a1.gif.

Решение. ОДЗ неравенства есть все х, удовлетворяющие условию 0<x≤1. Х=1 не является решением исходного неравенства. Для всех х из промежутка 0<x<1 имеем log5x<0, а hello_html_m2c933e0a.gif. Следовательно, все х из промежутка 0<x<1 являются решениями исходного неравенства.





Пример 2.



log2(2x+1-x2)>log2(2x-1+1-x)+1.

Решение. Отыскание ОДЗ в данном случае – непростая задача, поэтому поступим иначе. Исходное неравенство равносильно системе неравенств

hello_html_51ca8173.gif

Последнее неравенство системы равносильно неравенству х2-2х+1<0, не имеющему решений. Следовательно, рассмотренная система неравенств не имеет решений, значит, и исходное неравенство не имеет решений.



Пример 3.

hello_html_m303a882c.gif.



Ключевым моментом в решении данного неравенства является поиск его области определения.

hello_html_6aa39758.gif

Решением данной системы являются два числа, hello_html_5c0c4f04.gif и hello_html_1e9bd560.gif. Осталось подстановкой выяснить, какие из этих чисел удовлетворяют неравенству.

1. При hello_html_5c0c4f04.gif неравенство принимает вид: hello_html_101afc46.gif – истинно.

2. При hello_html_1e9bd560.gif неравенство принимает вид: hello_html_m5792500b.gif. Для установления истинности или ложности этого неравенства сделаем ряд преобразований: hello_html_m6307966.gifhello_html_3a0659c2.gif – ложно.

Ответ: hello_html_m14cf513b.gif.



Пример 4.

hello_html_441c9f15.gif

Решение систем по технике решения не отличается от решения неравенств. Однако иногда возникают трудности с ответом, основанные на сравнении чисел.

Опустив решение каждого из неравенств, приведем только множества их решений. Первое hello_html_m15771e8d.gif, второе hello_html_53657592.gif. Для нахождения пересечения этих множеств надо сравнить два числа hello_html_m225a3049.gif и hello_html_3aa8e52.gif.

При затруднениях в сравнении двух чисел обычно используют два приема. Во-первых, можно составить разность этих чисел и преобразовать ее до вида, из которого очевиден ее знак. Во-вторых, иногда можно найти граничное число такое, что одно из чисел больше граничного, а другое меньше.

Воспользуемся первым вариантом. Разность hello_html_m5b95f1f8.gif. Заметим, что число hello_html_m5d7af4f0.gif, следовательно, hello_html_7ec3f3f0.gif и hello_html_m7d590b7.gif.

Ответ: hello_html_631e8dd4.gif.



Пример 5.

hello_html_2c028f3b.gif

Решением первого неравенства является множество hello_html_51316f37.gif. Второе неравенство сводится к виду hello_html_m2aebc266.gif. Решение неравенства с учетом ОДЗ hello_html_3e030a41.gif. Чтобы найти пересечение множеств необходимо сравнить два числа hello_html_m1d12ce1.gif и hello_html_eb6ba53.gif. В данном случае можно заметить, что число hello_html_d4ba49f.gif находится между этими числами. Почему именно hello_html_d4ba49f.gif? Дело в том, что второе число с очевидностью больше чем hello_html_d4ba49f.gif, т.к. hello_html_m12f7a0d0.gif. Первое число находится между hello_html_3dd35b52.gif и hello_html_3a8d6980.gif, но ближе к hello_html_m107cde21.gif. Строго доказать, что hello_html_7ca8bc5b.gif, можно составив разность hello_html_24d4d794.gif и преобразовав ее к виду hello_html_58354fbe.gif. Ответ: hello_html_m7cf73d7c.gif

















Заключение



Было не просто найти из большого обилия разных учебных источников особые методы решения задач С3. В ходе проделанной работы мне удалось изучить нестандартные методы решения сложных логарифмических неравенств. Это: равносильные переходы и обобщённый метод интервалов, метод рационализации, нестандартная подстановка, задания с ловушками на ОДЗ. В школьной программе эти методы отсутствуют.

Разными методами я решил 27 неравенств, предлагаемых на ЕГЭ в части С, а именно С3. Эти неравенства с решениями по методам легли в основу сборника «Логарифмические неравенства С3 с решениями», который стал проектным продуктом моей деятельности. Гипотеза, поставленная мною вначале проекта, подтвердилась: задачи С3 можно эффективно решать, зная эти методы.

Кроме этого, я выявил интересные факты логарифмов. Мне это было интересно делать. Мои проектные продукты будут полезны как для учащихся, так и для учителей.

Выводы:

Таким образом, поставленная цель проекта достигнута, проблема решена. А я получил наиболее полный и разносторонний опыт проектной деятельности на всех этапах работы. В ходе работы над проектом у меня основное развивающее воздействие было оказано на мыслительную компетентность, деятельность, связанную с логическими мыслительными операциями, развитие творческой компетентности, личной инициативы, ответственности, настойчивости, активности.

Гарантией успеха при создании исследовательского проекта для меня стали: значительный школьный опыт, умение добывать информацию из различных источников, проверять ее достоверность, ранжировать ее по значимости.

Кроме непосредственно предметных знаний по математике, расширил свои практические навыки в области информатики, получил новые знания и опыт в области психологии, наладил контакты с одноклассниками, научился сотрудничать с взрослыми людьми. В ходе проектной деятельности развивались организационные, интеллектуальные и коммуникативные общеучебные умения и навыки.







Литература



1. Корянов А. Г. ,Прокофьев А. А. Системы неравенств с одной переменной (типовые задания С3).

2. Малкова А. Г. Подготовка к ЕГЭ по математике.

3. Самарова С. С. Решение логарифмических неравенств.

4. Математика. Сборник тренировочных работ под редакцией А.Л. Семёнова и И.В. Ященко. -М.: МЦНМО, 2009. - 72 с.- 

5. Математика . Тематические тесты. Часть 2. Подготовка  к  ЕГЭ -2010.10-11 классы /

Ф. Ф. Лысенко. — Ростов-на-Дону: Легион, 2009. — 176 с. — (Готовимся  к   ЕГЭ )

6.Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ : 2010:  Математика /авт.-сост. И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И. Захаров и др.;



7.ЯщенкоИ.В.,ШестаковС.А.,ЗахаровП.И.Подготовка  к  ЕГЭ   по   математике  в 2010 году. Методические рекомендации.

8.Универсальные материалы для подготовки учащихся / ФИПИ — М: Интеллект-Центр, 2010. — 96 с. (Под редакцией А. Л. Семенова и И. В. Ященко).

9. Сайт Дмитрия Гущина «РЕШУ ЕГЭ».
































































Автор
Дата добавления 08.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров3822
Номер материала ДВ-041811
Получить свидетельство о публикации

Комментарии:

4 месяца назад
Отличный материал

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх