Мастер-класс "Кейс-метод на уроках алгебры"

Использование метода кейсов на уроках математики для активизации мыслительной деятельности учащихся

Котова С. В.

учитель математики и информатики

МБОУ ООШ п. Красное Польцо

Мокшанского района

Цель:

Продемонстрировать использование кейс-метода на уроках, как средство активизации мыслительной деятельности учащихся.

- Добрый день, уважаемые коллеги! Меня зовут Котова Светлана Владимировна. Я учитель математики и информатики  основной школы п. Красное Польцо Мокшанского района.

Своё выступление мне хотелось бы начать со слов французского педагога Селестена Френе, который  во вступлении к книге «Преобразуем школу» писал: «И сотворили школу так, как велел дьявол... Ребёнку, который с детства без умолку любит говорить —  приказали молчать. Он стремится понять — ему велели учить наизусть. Он хотел сам искать знания — ему они даются в готовом виде... И вот что произошло. Как хотел дьявол, некоторые люди зачахли, стали вялыми и пассивными, утратили всякий интерес к жизни. Они лишились и счастья, и здоровья. Пропали любовь и доброта. Мысли стали сухими, души зачерствели, сердца озлобились» [1, с. 3].

Не допустить, так называемых, «дьявольских проделок» - задача современного учителя, реализующего ФГОС. Стандарты предполагают  использование в образовательном процессе приемов и методов, которые формируют умения самостоятельно добывать знания, собирать необходимую информацию, выдвигать гипотезы, делать выводы и умозаключения. А это значит, что у современного ученика должны быть сформированы универсальные учебные действия, обеспечивающие способность к организации самостоятельной учебной деятельности.

Какими качествами должен обладать успешный ученик? Ученик должен получать удовольствие от учебы. Когда мы удовлетворены – мы счастливы. Когда мы счастливы – мы достигаем желаемого.  Достигнув желаемого  - мы успешны. Успех ученика – это умение добиваться поставленных целей, получая от этого удовольствие.

Использование в процессе обучения современных образовательных технологий, в том числе кейс - технологий, позволяет вывести ученика на новый, компетентностный уровень работы, то есть, от участия в деятельности перейти на следующий уровень – управление своей деятельностью.

Л. Н. Толстой говорил: «Если ученик в школе не научился сам ничего творить, то и в жизни он всегда будет только подражать, копировать...».

Последние исследования результатов ВПР показали, что дети легко справляются со стандартными заданиями, но задания на практическое применение математических знаний  даются трудно.

Сегодня я хотела бы рассказать и показать свой опыт по активизации мыслительной деятельности учащихся на уроках.

Тема моего мастер - класса  «Использование метода кейсов на уроках математики для активизации мыслительной деятельности учащихся»

Цель мастер-класса: познакомить с кейс - методом и  поделиться опытом работы по созданию условий ДЛЯ РАЗВИТИЯ УУД учащихся и получения предметных, метапредметных результатов.

С каким словом ассоциируется кейс-метод? (Ответы)

Сейчас я расскажу, что такое кейс метод и как он работает.

Кейс-метод возник в начале XX в. в Школе бизнеса Гарвардского университета (США). Особый упор делался на самостоятельную работу студентов, в процессе которой просматривался и анализировался практический материал. В 1921 г. профессор Копленд издал первый сборник кейсов.

В России этот метод встречается с 1987 года. Но в основном он был использован для решения экономических задач. В российских изданиях чаще всего говорится о методе анализа конкретных ситуаций (АКС), деловых ситуаций, кейс-методе, ситуационных задачах.

Это метод активного проблемно – ситуационного анализа, основанный на обучении путем решения конкретных задач-ситуаций (решение кейсов).
Главное её предназначение – развивать способность разрабатывать проблемы и находить их решение, учиться работать с информацией. Метод кейсов относится к неигровым имитационным активным методам обучения.

 Акцент делается не на получение готовых знаний, а на их выработку, на сотворчество учителя и ученика.

Откуда брать ситуации? Самый лучший путь получения конкретных ситуаций— взять их из жизни, то что интересно учащимся, то с чем они сталкиваются ежедневно или могут столкнуться в ближайшем будущем.

Учебные конкретные ситуации специально разрабатываются на основе фактического материала с целью последующего разбора на учебных занятиях. В ходе разбора ситуаций, учащиеся учатся действовать в «команде», проводить анализ и принимать управленческие решения.

Цель кейс–метода заключается в том, чтобы научить учащихся, как индивидуально, так и в составе группы:
-анализировать информацию;
-сортировать ее для решения заданной задачи;
-выявлять ключевые проблемы;
-генерировать альтернативные пути решения и оценивать их;
-выбирать оптимальное решение и формировать программы действий и т.п.

Этапы создания  кейса
Этапы создания кейса:
Первый этап представляет собой сложную творческую работу по
созданию кейса и вопросов для его анализа. Она осуществляется за пределами класса и включает в себя научно-исследовательскую, методическую и конструирующую деятельность учителя.
Второй этап работы включает в себя деятельность учителя в аудитории, где он выступает со вступительным и заключительным словом,  организует малые группы и начинает дискуссию, поддерживает деловой настрой в аудитории, оценивает вклад учеников в анализ ситуации.
Этапы работы с кейсом:
Этап введения в кейс
Анализ ситуации
Этап презентации
Этап общей дискуссии
Этап подведения итогов.

Учитель составляет кейс, т.е. обдумывает его тему и собирает необходимую информацию.
       Источники информации: учебная литература и СМИ, Интернет-ресурсы.
            Кейсы могут быть представлены в самых различных видах: печатном, видео, аудио, мультимедиа.
       Основные требования к кейсу:
-исследовательская проблема должна быть актуальна и не иметь однозначного  или очевидного решения;
- соответствовать тематике курса;
-достаточное количество информации для проведения анализа и
нахождения решения; -представленная информация должна быть  противоречива, тогда она повлечет дискуссию между школьниками.

В результате использования кейс - метода у учащихся появляется опыт принятия решений, умение адаптироваться в новых условиях и работать с информацией, а также нести ответственность за результат собственных решений.

Роль учителя при использовании метода кейсов двояка: он может быть консультантом и искать пути решения вместе с учениками, а может играть роль эксперта.

Применение кейс-метода на уроке:

- при изучении нового материала: установка проблемной ситуации;

- при закреплении и обобщении изученного материала;

- творческое домашнее задание.

Приведу конкретные примеры из своего опыта работы с применением метода кейсов.

Пример объяснения кейс-метода на тему «Проценты».

Перед  пенсионеркой Верой Никитичной стоит задача:   в каком  из магазинов  города Пензы  выгодно приобрести следующий набор продуктов:1 батон пшеничного хлеба, 3 кг картофеля , 1 кг сыра, 2 литра молока, 1 литр подсолнечного масла,2 кг говядины,  на общую сумму, не превышающую 1500рублей.

Содержание кейса:

1.Информационный материал:

Памятка

Нахождение процента от числа

1%=0,01=

Чтобы найти процент от числа, нужно число умножить на процент, выраженный обыкновенной или десятичной дробью

Пример: Предприятие изготовило за квартал 500 насосов, из которых 60 % имели высшую категорию качества. Сколько насосов высшей категории качества изготовило предприятие? Решение: 500 :100 •60=500•0,6=300 Ответ: 300 насосов высшей категории качества.

Дисконтная карта- это средство, гарантирующее получение потребителем скидки в торговых точках при соблюдении правил использования дисконтных карт.

Цены на некоторые основные продукты питания в трех магазинах города Пенза  (в рублях)

Наименование продукта	Лента	Перекресток	Метро
Пшеничный хлеб (батон)	22	20	22
Молоко (1 литр)	45	50	48
Картофель (1 кг)	30	32	28
Сыр (1 кг)	250	260	260
Говядина (1кг)	360	395	354
Подсолнечное масло (1 литр)	72	80	75

Скидки по дисконтным картам у покупателя в магазинах города Пенза

	Лента	Перекресток	Метро
Процент скидок	5%	5,5%	5,2%

Вопросы для обсуждения по материалам кейсов.

1.            Обсудите в группах результаты исследования.  Данные оформите в виде таблицы.

2.            Опираясь на материалы кейса и результаты исследования,  сравните  стоимость покупки за наличный расчет и стоимость набора продуктов за наличный расчет с использованием дисконтной карты отдельно в группе по каждому магазину.

3.            В итоге  каждая группа выступает с  предложениями  по решению  задачи.

4.             Обсуждение  результатов исследования работы в группах.

5.            Выработка  рекомендаций  по результатам работы.

Практическая работа №2

Урок по теме “Статистические характеристики” (учебник  алгебры 7 класс авторы Ю.Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова).

Вы  получают ”кейсы”. В кейсах содержится необходимая информация: что представляет собою статистика, где, как и когда она оформилась как наука, какие виды средних величин существуют и используются в статистике – даются определения средних величин: среднего арифметического, моды, размаха, медианы. Это – содержание кейса. Вы в течение определённого времени знакомитесь с содержанием, а затем перед Вами  ставится  ряд проблем.

Задача. В компанию ООО «Мастер» требуется токарь.  На место токаря претендуют двое рабочих, для которых был установлен испытательный срок. В течение этого срока они должны были изготовить по одинаковому количеству деталей.

Результаты этой работы представлены в таблице (таблица представлена  на экране):

День недели	Дневная выработка
	1-й претендент	2-й претендент
Понедельник	58	71
Вторник	60	65
Среда	56	50
Четверг	64	60
Пятница	62	54

Помогите руководству фирмы выбрать лучшего претендента.

Вот тут и начинается процесс поиска решения: поначалу считают среднее арифметическое количества деталей, производимое каждым рабочим в день, средняя производительность труда у обоих рабочих оказывается одинаковой (60 деталей в день). Понятно, что возникает предположение проверить данные по другим характеристикам, оказывается, что и они не приводят к ответу. Так, например, мода отсутствует. При испытании медианы  получаем, что в обоих случаях медианы одинаковы. Размах дает ответ на поставленный вопрос.  И вот достигается результат: для первого рабочего это будет 8, а для второго 21, что означает, что второй рабочий имеет нестабильную производительность труда: в какие-то дни работает не в полную силу, а в какие-то дни навёрстывает упущенное, а это наверняка сказывается на качестве производимой продукции.

В завершении нужно проанализировать деятельность коллег, отметив тех, кто правильно определил какую статистическую характеристику нужно использовать, и, подводя итог, подчеркнуть, что теоретические знания о средних статистических величинах помогают решать насущные практические вопросы, например, вопрос отбора наиболее подходящих для данного вида деятельности работников.

Виды кейсов

1. Урок по теме «Проценты». «Определение стоимости жилья».

Вид кейса: обучающий кейс

Тип кейса: аналитический

Ученики получили содержание кейса – от чего зависит стоимость жилья – в виде таблицы:  «Стоимость жилья в городе N-ске», где указана стоимость  1кв. м в условных единицах:

Номер микрорайона		Вид квартиры
	однокомнатная	двухкомнатная	трехкомнатная
1	975	1006	1031
2	728	847	879
3	739	789	868
4	596	624	635
5	574	604	722
6	611	631	664
7	605	724	848
8	616	635	652
9	713	728	743
10	721	742	769
11	622	639	658
12	669	684	679

Поправочные коэффициенты, влияющие на стоимость квартиры

Параметры	Примечания	Проценты начисления
Этаж	Первый	-3
	Последний	-1
	Не крайний	0
Лифт	Нет	-1
	Есть	+1
Балкон или лоджия	Балкон или лоджия	+1
	Без балкона	-1
Мусоропровод	Нет	-1,5
	Есть	0
Окна	Двор	+2,5
	Двор, улица	0
	Улица	-2

Каждая группа получает условную сумму, исходя из размеров которой, должна подобрать оптимальный вариант жилья (например, двухкомнатной квартиры) – это сюжетная линия “кейса”. Здесь учитель может варьировать ”проблемы”, например, потенциальному покупателю необходимо, чтобы окна квартиры выходили во двор и т.д. На данном уроке учитель выступает в роли эксперта.

2. Урок по теме «Проценты»

Вид кейса – обучающий.

Тип кейса – аналитический (Case-incident method)

Задача: В какой из банков города Пезы  водителю Михаилу Петровичу  выгодно вложить депозит  в сумме 50 000 рублей сроком на 3 месяца.

Как вы думаете,  в какой из банков наиболее выгодно вложить средства. Как выгодно вложить средства: с капитализацией процентов (сложный процент)  или без капитализации процентов (простой процент).

 Для решения проблемы подготовлен кейс, в котором предложены информация о депозите; информация о начислении сложных и простых процентов;  информация о начислении процентов  в  Сбербанке, Альфа банке, Райффайзен банке, Ноум кредит банке города Пензы;  информация о потребительском кредите; картинки – процентов. Учащиеся должны ознакомиться с предложенной информацией и, опираясь на нее, выбрать наиболее  выгодное вложение депозита в банке и обосновать свой выбор.

3. Урок по теме «Теорема Пифагора»

Вид кейса – обучающий.

Тип кейса – аналитический.

ЗАДАНИЕ:

Перед учителем математики стоит задача рассмотреть теорему Пифагора (показать различные доказательства этой теоремы, использование теоремы в жизни).

Задание подгруппам: Сотруднику небольшой строительной компании поручено просчитать длину стропил при строительстве двускатной крыши (форма в сечении), если уже изготовлены балки длиной 9 метров. Свое решение обосновать.

4. Урок по теме «Симметрия»

Тип кейса: исследовательский кейс

Вид кейса: научно-исследовательский кейс

Задание:       Вам порою кажется, что геометрия совершенно не связана с нашей жизнью, что это очень трудная и совсем непонятная наука. А, может быть, мы с вами живем в мире, который неразрывно связан с геометрией? Вам предоставляется шанс по-новому взглянуть на этот предмет.

          Желаю успехов и увлекательной работы!

Проблема: мы не видим связи между темой «Симметрия» и жизнью и не понимаем, зачем мы её вообще изучаем. Но должна же быть эта связь?! Ведь не зря люди с древних времен изучают её. Даже говорят, что во всем в жизни есть симметрия.

 Класс делится на 2 группы, каждая группа получает задачу:

Группа 1:

Задача. Сделайте вывод: «Разве во всём в жизни есть симметрия? И в архитектуре, и в строительстве, и в искусстве?»

Группа 2

Задача.  Докажите или опровергните слова: «Идею симметрии подсказывает сама природа».

5. Урок по теме «Прогрессии»

Вид кейса – обучающий

Тип кейса – эвристический

Задания.

1.     Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме чтобы достичь их максимальной продолжительности 1ч 45 мин?

2.     В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две. Записать колонию, рожденную одной бактерией за 7 минут. 

3.     Одно звено собрало со своего участка 875 ц пшеницы, а другое звено с участка, меньшего на 2 га, - 920 ц пшеницы. Сколько центнеров пшеницы собрало каждое звено с 1 га, если известно, что с 1 га во втором звене собрали на 5 ц пшеницы больше, чем в первом?

  4. Представьте, что вы – учётчики на стройке. Привезли и выгрузили большое количество брёвен строевого леса. Нужно быстро определить, сколько брёвен привезли, чтобы закрыть наряд водителям. Как бы вы определили подсчет брёвен? Подсчитайте количество брёвен, если их складировать в 20 рядов?

Сборник заданий к уроку включает в себя задачи на прогрессии и задачи, где нет прогрессии.

Вопросы для обсуждения:

1.     Все ли задачи, предложенные в приложении, относятся к данной теме? Ответ обоснуйте.

2.     Какой способ решения более рациональный?

3.     Что необходимо сделать для построения математической модели, соответствующей каждой из предложенных задач?

6. Для развития вычислительных навыков.

Вид кейса – практический

Тип кейса – Аналитический кейс

ЗАДАНИЕ.Учитель математики предлагает учащимся обсчитать стоимость ремонта в 3-х комнатной  квартире. Для решения поставленной задачи необходимо рассмотреть прайс-листы трех фирм, ознакомившись с которыми необходимо выбрать самый оптимальный вариант по закупке строительного материала и найму рабочих.

Для решения поставленной задачи подготовлен кейс, в котором имеются характеристики квартиры, условия проведения ремонта, прайс-листы фирм. Обучающиеся должны произвести соответствующие практические расчеты и обоснованно объяснить выбор той или иной фирмы.

Каждый учитель может найти разнообразные сюжеты для “кейсов” и наполнить их необходимым содержанием – использование этого метода сразу принесёт ощутимые плоды: во-первых, на уроке, проводимом по такой технологии, не бывает равнодушных и практически невозможно “отсидеться” в стороне, во-вторых, каждый учащийся, ощутив недостаток знаний по теме ”кейса”, сделает для себя вывод, что эти знания не абстрактные, а необходимы для применения на практике, следовательно, нужно подойти к этому серьёзно, если не хочешь затем в жизни испытывать трудности, в-третьих, у учащихся перед глазами содержание “кейса”, следовательно, можно повторить теоретические основы, на которые затем опираться при решении практических вопросов.

Благодаря использованию на уроках данной технологии можно говорить о системе предметных, метапредметных умений и личностных качеств учащегося. В соответствие с ФГОС эта система трех компонентов и является образовательным результатом.

Рефлексия.

У вас на столе лежат листочки, на которых изображены 3 рисунка: чемодан, мясорубка и мусорная корзина. Если вы готовы забрать с собой предложенные идеи, использовать кейс-метод в своей работе, то вы обводите картинку с изображением чемодана

Если материал оказался интересным, но вы пока не готовы к употреблению в своей работе: «Что то нужно додумать, доработать, докрутить», то вы обводите картинку с изображением «мясорубка».

Если же предложенный материал оказался ненужным, бесполезным, то его можно отправить в «мусорную корзину».

Желаю всем здоровья, больших побед на творческом поприще.  Спасибо за внимание!

• 1 слайд

  «Если ученик в школе не научился сам ничего творить, то и в жизни он всегда будет только подражать, копировать...»
  
  Л. Н. Толстой
  

• 2 слайд

  Использование метода кейсов на уроках математики для активизации мыслительной деятельности учащихся
  
  Котова Светлана Владимировна, учитель математики МБОУ ООШ
  п. Красное Польцо Мокшанский район
  
  

• 3 слайд

• 4 слайд

• 5 слайд

  Цель кейс–метода заключается в том, чтобы научить учащихся, как индивидуально, так и в составе группы:
  -анализировать информацию;
  -сортировать ее для решения заданной задачи;
  -выявлять ключевые проблемы;
  -генерировать альтернативные пути решения и оценивать их;
  -выбирать оптимальное решение и формировать программы действий и т.п.
  
  

• 6 слайд

• 7 слайд

  Этапы создания кейса
  
  
  Первый этап представляет собой сложную творческую работу по
  созданию кейса и вопросов для его анализа. Она осуществляется за пределами класса и включает в себя научно-исследовательскую, методическую и конструирующую деятельность учителя.
  Второй этап работы включает в себя деятельность учителя в аудитории, где он выступает со вступительным и заключительным словом, организует малые группы и начинает дискуссию, поддерживает деловой настрой в аудитории, оценивает вклад учеников в анализ ситуации.
  
  
  Этапы работы с кейсом:
  Этап введения в кейс
  Анализ ситуации
  Этап презентации
  Этап общей дискуссии
  Этап подведения итогов.
  

• 8 слайд

  
  Учитель составляет кейс, т.е. обдумывает его тему и собирает необходимую информацию.
  Источники информации: учебная литература и СМИ, Интернет-ресурсы.
  Кейсы могут быть представлены в самых различных видах: печатном, видео, аудио, мультимедиа.
  
  
  
  

• 9 слайд

• 10 слайд

  ЭКСПЕРТ
  
  
  
  
  
  КОНСУЛЬТАНТ
  

• 11 слайд

  Применение кейс-метода на уроке:
  - при изучении нового материала;
  - при закреплении и обобщении изученного материала;
  - творческое домашнее задание.
  

• 12 слайд

  Перед пенсионеркой Верой Никитичной стоит задача: в каком из магазинов города Пензы выгодно приобрести следующий набор продуктов:1 батон пшеничного хлеба, 3 кг картофеля , 1 кг сыра, 2 литра молока, 1 литр подсолнечного масла,2 кг говядины, на общую сумму, не превышающую 1500рублей.
  
  

• 13 слайд

  Решение кейса
  

• 14 слайд

  Практическая работа по теме
  “Статистические характеристики”
  
  Задача. В компанию ООО «Мастер» требуется токарь. На место токаря претендуют двое рабочих, для которых был установлен испытательный срок. В течение этого срока они должны были изготовить по одинаковому количеству деталей.
  Результаты этой работы представлены в таблице (таблица представлена на экране):
  

• 15 слайд

  Первый токарь работает стабильнее второго
  Решение кейса
  

• 16 слайд

• 17 слайд

  Практический кейс
  ЗАДАНИЕ. Учитель математики предлагает учащимся обсчитать стоимость ремонта в 3-х комнатной квартире. Для решения поставленной задачи необходимо рассмотреть прайс-листы трех фирм, ознакомившись с которыми необходимо выбрать самый оптимальный вариант по закупке строительного материала и найму рабочих.
  
  

• 18 слайд

  Исследовательский кейс
  Проблема:мы не видим связи между темой «Симметрия» и жизнью и не понимаем, зачем мы её вообще изучаем. Но должна же быть эта связь?! Ведь не зря люди с древних времен изучают её. Даже говорят, что во всем в жизни есть симметрия.
  Группа 1:
  Задача. Сделайте вывод: «Разве во всём в жизни есть симметрия? И в архитектуре, и в строительстве, и в искусстве?»
  Группа 2
  Задача. Докажите или опровергните слова: «Идею симметрии подсказывает сама природа».
  
  

• 19 слайд

• 20 слайд

• 21 слайд

  Использование метода кейсов на уроках математики для активизации мыслительной деятельности учащихся
  
  Котова Светлана Владимировна, учитель математики МБОУ ООШ
  п. Красное Польцо Мокшанский район
  
  

Теоретический материал по теме «Статистические характеристики»

1. Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество. Среднее арифметическое является важной характеристикой ряда чисел, но иногда полёзно рассматривать и другие характеристики.

2. Модой называют число ряда, которое встречается в этом ряду наиболее часто. Можно сказать, что данное число самое «модное» в этом ряду.

Такой показатель, как мода, используется не только для числовых данных. Вы уже знакомы с социологическими опросами. Если, например, опросить большую группу учеников, какой школьный предмет им нравится больше всего, то модой этого ряда ответов окажется тот предмет, который будут называть чаще остальных.

Мода—показатель, который широко используется в статистике. Одним из наиболее частых использований моды является изучение спроса. Например, при решении вопросов, в пачки какого веса фасовать масло, какие открывать авиарейсы и т. п., предварительно изучается спрос и выявляется мода — наиболее часто встречающийся заказ.

Заметим, что в рядах, рассматриваемых в реальных статистических исследованиях, иногда выделяют больше одной моды. Когда в ряду много данных, то интересны бывают все те значения, которые встречаются гораздо чаще других. Их статистики тоже называют модой.

3. Еще одной важной статистической характеристикой ряда данных является его медиана. Обычно медиану ищут в случае, когда числа в ряду являются какими-либо показателями и надо найти, например, человека, показавшего средний результат, фирму со средней годовой прибылью, авиакомпанию, предлагающую средние цены на билеты, и т. д.

Медианой ряда, состоящего из нечетного количества чисел, называется число данного ряда, которое окажется посередине, если этот ряд упорядочить. Медианой ряда, состоящего из четного количества чисел, называется среднее арифметическое двух стоящих посередине чисел этого ряда.

4. Однако нахождение среднего арифметического или моды далеко не всегда позволяет делать надежные выводы на основе статистических данных.  Если у нас есть ряд данных, то для обоснованных выводов и надежных прогнозов на их основе, помимо средних значений, надо еще указать, насколько используемые данные различаются между собой.

Одним из статистических показателей различия или разброса данных является размах. Такие оценки часто используют при статистическом контроле качества, поскольку определение  размаха нескольких результатов измерений не требует сложных вычислений.

Размах — это разность между наибольшим и наименьшим значениями ряда данных.

Теоретический материал по теме «Статистические характеристики»

1. Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество. Среднее арифметическое является важной характеристикой ряда чисел, но иногда полёзно рассматривать и другие характеристики.

2. Модой называют число ряда, которое встречается в этом ряду наиболее часто. Можно сказать, что данное число самое «модное» в этом ряду.

Такой показатель, как мода, используется не только для числовых данных. Вы уже знакомы с социологическими опросами. Если, например, опросить большую группу учеников, какой школьный предмет им нравится больше всего, то модой этого ряда ответов окажется тот предмет, который будут называть чаще остальных.

Мода—показатель, который широко используется в статистике. Одним из наиболее частых использований моды является изучение спроса. Например, при решении вопросов, в пачки какого веса фасовать масло, какие открывать авиарейсы и т. п., предварительно изучается спрос и выявляется мода — наиболее часто встречающийся заказ.

Заметим, что в рядах, рассматриваемых в реальных статистических исследованиях, иногда выделяют больше одной моды. Когда в ряду много данных, то интересны бывают все те значения, которые встречаются гораздо чаще других. Их статистики тоже называют модой.

3. Еще одной важной статистической характеристикой ряда данных является его медиана. Обычно медиану ищут в случае, когда числа в ряду являются какими-либо показателями и надо найти, например, человека, показавшего средний результат, фирму со средней годовой прибылью, авиакомпанию, предлагающую средние цены на билеты, и т. д.

Медианой ряда, состоящего из нечетного количества чисел, называется число данного ряда, которое окажется посередине, если этот ряд упорядочить. Медианой ряда, состоящего из четного количества чисел, называется среднее арифметическое двух стоящих посередине чисел этого ряда.

4. Однако нахождение среднего арифметического или моды далеко не всегда позволяет делать надежные выводы на основе статистических данных.  Если у нас есть ряд данных, то для обоснованных выводов и надежных прогнозов на их основе, помимо средних значений, надо еще указать, насколько используемые данные различаются между собой.

Одним из статистических показателей различия или разброса данных является размах. Такие оценки часто используют при статистическом контроле качества, поскольку определение  размаха нескольких результатов измерений не требует сложных вычислений. Размах — это разность между наибольшим и наименьшим значениями ряда данных.