Мастер класс «Семь выигрышных схем при решении задач по геометрии 2 части»

• 1 слайд

  7 выигрышных схем
  при решении задач по
  геометрии 2 части
  

• 2 слайд

  
  
  
  
  «Никогда до настоящего времени мы не жили
  в такой геометрический период.
  Все вокруг – геометрия».
  ( Ле Корбюзье - французский архитектор).
  

• 3 слайд

  «Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать».
  (Галилео Галилей).
  

• 4 слайд

  внимательно прочитать условие задачи,
  построить чертеж, соответствующий условию (по возможности, наиболее наглядный),
  дать характеристику фигуре, вспомнить определение, свойства, признаки,
  определить зависимости между элементами,
  рассуждать от вопроса задачи, постепенно используя данные условия.
  
  Рекомендации при решении задач по геометрии:
  

• 5 слайд

  Критерии оценивания выполнения задания № 16
  5
  

• 6 слайд

  Свойства биссектрисы:
  В треугольнике
  биссектриса делит
  противоположную сторону
  на отрезки, пропорциональные
  прилежащим сторонам.
  

• 7 слайд

  
  
  C
  B
  A
  D
  Биссектриса внешнего угла
  Биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение его стороны в точке, расстояния от которой до концов этой стороны пропорциональны соответственно прилежащим сторонам треугольника
  

• 8 слайд

  Формулы длины биссектрисы:
  

• 9 слайд

  Формула нахождения длин отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону треугольника
  

• 10 слайд

  Формула нахождения длин отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону треугольника
  

• 11 слайд

  2х
  х
  b
  C
  Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центре тяжести) и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.
  

• 12 слайд

  Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает его на два равнобедренных треугольника, а длина её равна половине гипотенузы.
  Верно и обратное утверждение.
  

• 13 слайд

  A
  C
  B
  
  M
  
  N
  
  Следствие: CM: MA = CN: NB.
  Если прямая, параллельная стороне AB треугольника ABC, пересекает его сторону AC в точке M, а сторону BC в точке N, то треугольники ABC и MNC подобны.
  

• 14 слайд

  Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному треугольнику.
  Пусть и b – катеты, h – высота, проведенная к гипотенузе c прямоугольного треугольника, и - проекции катетов на гипотенузу. Тогда
  
  
  
  
  
  Следствие:
  b
  C
  
  
  
  
  
  

• 15 слайд

  «Каждая решённая мною задача становилась образцом, который служил впоследствии для решения других задач»
  

• 16 слайд

  Разные решения одной задачи
  Задача.
  Найти периметр прямоугольного треугольника, катеты которого относятся как 3:4, а длина биссектрисы прямого угла равна .
  Решение.
  
  C
  A
  B
  L
  Введем обозначения:
  ∠С =90⁰, CL =
  BC = 3k,AC = 4k,AB = 5k (k- коэффициент пропорциональности),
  AL:LB = 4:3 ( по свойству биссектрисы треугольника),
  
  3k
  4k
  Искомый периметр P=12k
  

• 17 слайд

  1 способ (Высота, проведенная к гипотенузе)
  C
  A
  B
  L
  3k
  4k
  H
  1. Проведем высоту CH
  2.
  ∆ CBH~∆ ABC с коэффициентом 3/5
  3. Поэтому BH = 9k/5, CH = 12k/5
  4. ∆ CLH: LH= BL – BH = 15k/7 – 9k/7 =12k/35
  По теореме Пифагора:
  k= 14
  P = 12k = 12∙14 = 168
  Ответ: 168.
  5k
  
  

• 18 слайд

  2 способ. Формула CL = CP+PL.
  C
  A
  L
  3k
  3k
  5k
  
  P
  B
  D
  k
  1. Проведем отрезок BD так, чтобы CD=CB = 3k
  2. Образуются равнобедренные прямоугольные треугольники CDP и CBP.
  3. По теореме Пифагора из ∆ BLP:
  CL = CP+PL, ,
  P = 12k = 168.
  45⁰
  45⁰
  

• 19 слайд

  3 способ. Формула CL = CO+OL.
  
  C
  A
  L
  2k
  k
  O
  T
  k
  k
  B
  1. Проведем OT⊥ AB, где O - центр вписанной окружности (инцентр)
  2. CL = CO+OL
  3. Вычислим радиус вписанной окружности
  2k
  4.
  5. Из ∆OLT ( ∠OTL = 90⁰) по теореме Пифагора:
  6. CL = CO+OL,
  k=14
  M
  N
  

• 20 слайд

  4 способ. Теорема косинусов
  C
  A
  B
  L
  4k
  3k
  45⁰
  1. Применим теорему косинусов в ∆CBL
  k=14
  

• 21 слайд

  5 способ. Теорема синусов
  C
  A
  B
  L
  4k
  3k
  45⁰
  1. Очевидно, что sin∠ABC = sin∠CBL = 4/5
  5k
  2. По теореме синусов из ∆CBL
  k=14
  

• 22 слайд

  6 способ. Формула биссектрисы, проведенной из вершины прямого угла
  A
  B
  L
  3k
  45⁰
  5k
  45⁰
  4k
  С
  k=14
  

• 23 слайд

  7 способ. Формула биссектрисы
  C
  A
  B
  L
  3k
  4k
  

• 24 слайд

  8 способ. Метод площадей.
  C
  A
  B
  L
  3k
  4k
  По свойству площадей:
  45⁰
  45⁰
  

• 25 слайд

  9 способ. Векторный метод
  C
  A
  B
  L
  3k
  4k
  AL:LB = 4:3 ( по свойству биссектрисы треугольника)
  

• 26 слайд

  Математика: авторский курс подготовки к ЕГЭ. - Издание 2-е Малкова А.Г.
  ЕГЭ-2018. Евгений Потоскуев: ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. Опорные задачи по геометрии. Планиметрия. Стереометрия
  

• 27 слайд

  Спасибо за сотрудничество!
  

• 28 слайд

  Задача №1
  В равнобедренном треугольнике ABC AC – основание. На продолжении стороны BC за точку B отмечена точка D так, что угол CAD равен углу ABD.
  Докажите, что AB - биссектриса угла CAD.
  Найдите длину отрезка AD, если боковая сторона треугольника ABC равна 5, а его основание равно 6.
  
  Решение.
  A
  B
  C
  D
  Если принять угол при основании равнобедренного треугольника ABC за α, то угол ABD, как внешний угол треугольника, будет равен 2α
  α
  α
  2α
  Так как по условию углы CAD и ABD равны,
  то угол DAB, как и угол BAC, равен α, то есть AB – биссектриса угла CAD.
  

• 29 слайд

  A
  B
  C
  D
  α
  α
  2α
  ∆ ABD ~ ∆CAD (по двум углам)
  ∠ABD = ∠CAD
  ∠ DAB = ∠DCA
  α
  α
  Значит,
  Так как по условию AB=5, AC=6,то
  Из
  имеем
  Возвращаемся в следующую пропорцию:
  Ответ:
  

• 30 слайд

  Задача №2
  В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка K так, что CK: BK = 1:2. Точка E – середина стороны AB. Отрезки CE и AK пересекаются в точке P.
  Докажите, что треугольники BPC и APC имеют равные площади.
  Найдите площадь треугольника ABP, если площадь треугольника ABC равна 120.
  
  
  Решение.
  A
  B
  C
  K
  T
  E
  P
  2x
  x
  Докажем, что треугольники APC и BPC имеют равные площади.
  1. Найдем, в каком отношении точка P делит отрезок AK
  2. Проведём через K прямую , параллельную CE
  KT║CE
  3. По теореме о пропорциональных отрезках BK:KC = BT:TE, то есть BT:TE = 2:1
  Но тогда
  и AE:ET = 3:1
  А значит, по теореме о пропорциональных отрезках и AP:PK = 3:1
  

• 31 слайд

  B
  C
  K
  T
  E
  P
  2x
  x
  ∆ APC и ∆PKC имеют общую высоту, проведённую из вершины С, поэтому
  Аналогичным образом,
  ∆BPC и ∆PKC имеют общую высоту, проведенную из вершины P, поэтому
  Итак, равенство
  очевидно.
  3y
  y
  A
  

• 32 слайд

  B
  K
  E
  P
  2x
  x
  3y
  y
  C
  A
  Заметим, что в силу того, что совпадают высоты, проведенные к равным сторонам AE и BE
  Пусть
  Тогда
  S
  x
  2S
  3S
  ∆APB и ∆BPK имеют общую высоту, проведенную из точки B, поэтому
  То есть
  6S
  По условию , поэтому 12S = 120, то есть S = 10.
  А значит,
  Ответ: 60
  b)Найдите площадь треугольника ABP, если площадь треугольника ABC равна 120.
  

• 33 слайд

  Задача №3
  В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) проведены высоты AK, BM,CP.
  Докажите, что треугольник KMP – равнобедренный.
  Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что площадь треугольника KMP равна 12, а косинус угла ABC равен 0,6.
  
  Решение.
  B
  A
  C
  K
  M
  P
  ∆CPA = ∆ AKC (по гипотенузе и острому углу)
  
  AC –общая, ∠A =∠C (углы при основании равнобедренного треугольника)
  Тогда CK=AP.
  ∆APM = ∆CKM по двум сторонам и углу между ними (AM=CM, AP=CK, ∠A =∠C)
  Отсюда следует, что PM=KM, то есть ∆ KMP - равнобедренный
  a)
  

• 34 слайд

  B
  A
  C
  K
  M
  P
  b)
  Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что площадь ∆KMP равна 12, а косинус угла ABC равен 0,6.
  1. Из ∆ PBC (∠P =90⁰): cos ABC = 0,6 = PB:BC
  2. Пусть тогда PB = 6x, BC = 10x. Очевидно, AP = CK=4x
  6x
  6x
  4x
  
  4x
  
  3. Из ∆ PBC (∠P =90⁰):
  4. Из ∆APC (∠P =90⁰):
  8x
  
  5. Заметим , sinB = 0,8 (из ∆ PBC) и sinA = (из ∆APC)
  6.
  Ответ: 50
  

• 35 слайд

  Задача №4
  
  Площадь треугольника ABC равна 72, а сумма длин сторон AC и BC равна 24.
  Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
  Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник ABC, если известно, что две вершины этого квадрата лежат на стороне AB.
  Решение.
  С
  A
  
  B
  S = 72
  a) Пусть AC = x, тогда BC = 24 - x
  По условию S = 72,
  то есть
  ?
  Так как sinC ≠ 0, то
  Для существования x необходимо, чтобы D ≥ 0.
  Так как , то ,
  Так как sinC > 0, то приходим к неравенству ,
  Таким образом, , то есть ∠ C = 90⁰.
  ∆ ABC - прямоугольный
  

• 36 слайд

  b)
  Мы доказали, что sinC = 1.
  AC = x = 12, BC = 24 - x = 12
  Таким образом, ∆ ABC – прямоугольный, равнобедренный (∠A = ∠B = 45⁰).
  C
  B
  A
  Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник ABC, если известно, что две вершины этого квадрата лежат на стороне AB.
  
  M
  N
  
  Q
  P
  45⁰
  45⁰
  
  45⁰
  
  45⁰
  45⁰
  45⁰
  Обозначим сторону квадрата MNPQ, вписанного в равнобедренный треугольник ABC за y, тогда гипотенуза AB = 3у
  y
  y
  y
  y
  y
  y
  12
  12
  Поэтому
  Ответ:
  

• 37 слайд

  Задача №5
  В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AM и CN.
  Докажите, что углы ACB и MNB равны.
  Вычислите длину стороны AC, если известно, что периметр треугольника ABC равен 25 см, периметр треугольника BMN равен 15 см, а радиус окружности, описанной около треугольника BMN равен 3 см.
  
  
  Решение.
  C
  A
  B
  M
  
  N
  1. Замечаем, что ∆ ACM и ∆ CAN имеют общую гипотенузу, значит, точки A, N, M, C лежат на одной окружности
  Пусть ∠ACB =α,
  α
  тогда ∠ CAM =90⁰-α
  90⁰-α
  ∠ CAM = ∠CNM (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу)
  Значит, ∠CNM = 90⁰-α.
  
  ∠BNM =90 ⁰ - ∠CNM = 90⁰-(90⁰-α)=α
  α
  Итак,
  ∠ ACB = ∠ BNM
  

• 38 слайд

  Решение.
  C
  A
  B
  M
  
  N
  α
  α
  b) Вычислите длину стороны AC, если известно, что периметр треугольника ABC равен 25 см, периметр треугольника BMN равен 15 см, а радиус окружности, описанной около треугольника BMN равен 3 см.
  
  ∆ BNM ~∆ BCA по двум углам ( ∠B - общий, ∠ ACB =∠MNB = α)
  Итак, , но с другой стороны из ∆BNC, ∠N=90⁰
  Рассмотрим ∆BMN.
  По теореме синусов: R = 3
  Ответ: 8.