Мастер-класс "Через парадокс к совершенству"

Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случаев  делать его немного занимательным.

Блез Паскаль

Сейчас я попробую доказать, что математика - очень увлекательная, интересная и полезная наука. Она может стать захватывающим занятием не только для детей, но и для взрослых . и проведу мастер –класс по теме:  « Через парадокс к совершенству»

Эта история произошла в семье обычного профессора университета.

На пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была не в хорошем расположении духа. Правильнее сказать, она была разгневана и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту. Она неправильно сшила концы, и вот что у неё получилось( показываю).

Посмотрите на картинку бесконечность

Основополагающий вопрос : Можно ли подержать бесконечность в своих руках?

К концу занятия мы должны получить ответ на этот вопрос.)

На столе перед вами лежат полоски бумаги.

Давайте сделаем модель листа Мёбиуса: Перекрутите на пол-оборота один конец прямоугольной бумажной полоски и приклейте его к другому концу той же полоски.

  ( Берем бумажную ленту АВСD. Прикладываем ее концы АD и СB друг к другу и склеиваем. Но не как попало, а так, чтобы точка А совпала с точкой C, а точка B с точкой D. )Получилось? Вот если бы вы захотели устроиться в цех парижских портных, вас бы не взяли, т.к. в качестве экзамена для новичка, претендовавшего на зачисление в цех, было пришивание к подолу юбки тесьмы в форме ленты Мебиуса.

      Зададимся вопросом: "Где начало того конца, которым оканчивается начало?".

 сколько сторон у этого куска бумаги? Две, как  у любого другого?

    Возьмите цветной карандаш и начните последовательно закрашивать лист, не отрывая карандаша от его поверхности и не пересекая края листа.

Что получилось? Мы попали в туже точку от которой начали рисовать. У данной  поверхности нет  – “внутренней” и “внешней” стороны .У листа Мёбиуса только одна сторона. Это свойство отражено на  гравюре  с изображением муравья, ползающего по Ленте Мебиуса. (Оценили по достоинству невольное изобретение Марты и учителя. Неугомонным нерадивым ученикам предлагалось покрасить стороны ленты Мебиуса в разные цвета. Пыхтя от усердия, школяры проводили за этим занятием немало времени.)

Теперь второй вопрос.

     Что будет, если разрезать обычный лист бумаги? Конечно же, два обычных листа бумаги. Точнее, две половинки листа.

    А что случится, если разрезать вдоль посередине это кольцо (это и есть лист Мёбиуса, или лента Мёбиуса) по всей длине? Два кольца половинной ширины? А ничего подобного. А что? Не скажем. Разрежьте сами

А вот что получилось у нас  Лента перекручена два раза

Теперь возьмите новый  лист Мёбиуса и скажите, что будет, если разрезать его вдоль, но не посередине, а ближе к одному краю?

    То же самое? А ничего подобного!

А вот что получилось у нас

    Получим  два  сцепленных  кольца.  Одно  из  них  вдвое   длиннее  исходного  и  перекручено  два  раза. Второе-  лист  Мёбиуса,  ширина  которого  втрое  меньше,  чем  у  исходного.

Важно самостоятельно «открыть» истину, экспериментируя, выдвигая гипотезы; “Самое прекрасное, что мы можем испытать – это ощущение тайны. Она есть источник всякого подлинного искусства и науки”.

Где можно встретить лист Мебиуса?  Рассмотрите картинки и скажите лист Мебиуса нашел применение в нашей жизни?

1.      Международный символ переработки
представляет собой Лист Мёбиуса.

2.      Лента Мёбиуса в скульптуре представлена в различных вариантах:
   от традиционных до самых невероятных…

3.      Монумент у здания Президиума Национальной  академии наук В Минске

4.      Памятник ленте Мёбиуса  в Москве

5.      Невероятный проект новой библиотеки в Астане, Казахстан.

6.      Мебель в виде ленты Мебиуса

7.      Среди ювелирных изделии  также встречается  лента Мёбиуса.

8.      аттракционы “Американские горки”.

Технические применения ленты Мёбиуса.

9.      Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно.

10.  Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи).

11.  Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса. 

Красота привлекает, исследование увлекает. Математика предоставляет искуснейшие изобретения, способные удовлетворить любознательность.

Чудесные  свойства листа Мёбиуса породили множество научных трудов, изобретений (весьма полезных и совершенно нереальных).Теперь вернемся к картинкам. Готовы ли вы ответить на вопрос , что общего между кружкой, гайкой и макарониной? С точки зрения математики эти предметы абсолютно одинаковы, т.к. они обладают свойствами , присущими листу Мебиуса.(Готовы ли вы ответить на вопрос, можно ли подержать бесконечность в своих руках? Мы ее держали, исследовали.)

Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле. (А.Н. Крылов)

Мёбиусова лента понравилась не только математикам, но и фокусникам.

Фокус №1 Вывертывание жилета на изнанку, не снимая с человека.

Я попрошу одного из вас выйти ко мне. Одеваю на него жилет. Владельцу жилета необходимо сцепить пальцы рук за спиной. Пара движений, и жилет на нем одеваю изнаночной стороной.Кто –то хочет попробовать?

(Владельцу жилета необходимо сцепить пальцы рук за спиной. Окружающие должны вывернуть жилет наизнанку, не разнимая рук владельца. Для демонстрации этого опыта необходимо расстегнуть жилет и стянуть его по рукам за спину владельца. Жилет будет болтаться в воздухе, но, конечно, не снимется, потому что руки сцеплены. Теперь нужно взять левую полу жилета и, стараясь не измять жилет, просунуть ее как можно дальше в правую пройму. Затем взять правую пройму и просунуть ее в ту же пройму и в том же направлении. Осталось расправить жилет и натянуть его на владельца. Жилет окажется вывернутым на изнанку.)

Фокус №2. Распутывание колец.

В телевизионной игре “Последний герой” было предложено испытание, при котором двое участников были связаны веревками за руки. Тем самым руки и веревки образовывали два сцепленных кольца. Необходимо было, не развязывая веревок, распутаться.

Попробуйте решить эту задачу.(Отгадка этого опыта кроется в том, что на руках у участников есть еще по две петли. Необходимо одну веревку протянуть через одну из петель на руках другой веревки и снять петлю через кисть руки. )

Рассмотрение данной темы  позволяет решать след задачи:

1.Учить анализировать, рассуждать, делать выводы.

2.Учит видеть связь математики с жизнью.

3.Учит видеть прекрасное..

4.Способствует повышению интереса учащихся к математике. Ведь интерес в обучении окрыляет, помогает преодолевать трудности, пробуждает любовь к предмету,а  достигается  это

• через занимательность и привлекательность задач,
• через видение внутренней красоты математики, ее изящности и неповторимости,
• через изучение страниц истории, связанных как с именами великих математиков и философов, так и с появлением новых терминов, положений, математических законов, теорем,
• через доступность и понятность изучаемого материала.

Учителю нужно смотреть «за страницы школьного учебника математики» и открывать туда путь своим ученикам.

С точки зрения математики Лист Мёбиуса – удивительный феномен. Его можно исследовать до бесконечности, мы рассмотрели лишь некоторые его свойства. Надеемся, что мы вас заинтересовали и вы продолжите исследования этого непредсказуемого листа.