Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Мастер-класс по теме " Решение экономических задач на оптимизацию"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Мастер-класс по теме " Решение экономических задач на оптимизацию"

Выбранный для просмотра документ 1.мое.docx

библиотека
материалов

Мастер-класс по теме: Решение экономических задач на оптимизацию.

(Слайд 1)

Цель: рассмотрение решения задач типа 17 ЕГЭ-2016 с помощью исследования функции на наибольшее (наименьшее) значение или методами математического анализа

(Слайд 2) « В мире не происходит ничего,

в чем бы ни был виден смысл

какого-нибудь максимума или минимума!»

Леонард Эйлер

Добрый день, уважаемые коллеги! Я Бурякова Вера Николаевна, учитель математики Похвистневского района. Тема моего урока «Решение экономических задач на оптимизацию».

Мотивация. Задачи оптимизации очень часто встречаются в управленческой, финансовой и научной деятельности. Они позволяют отыскать наилучшее (оптимальное) решение, дающее максимальную прибыль или обеспечивающее минимальные затраты. При этом требуется учитывать ряд дополнительных ограничений на значения используемых параметров.

Впервые в 2015 году в заданиях ЕГЭ по математике профильного уровня появились экономические задачи на банковские вклады, кредиты, которые решались составлением уравнения. Такие задачи относятся к задачам повышенного уровня. Ненулевые баллы по этому заданию получили около 15% выпускников. Это неплохой показатель. Несмотря на это, в методических рекомендациях для учителей, подготовленных на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2015 года по математике авторами КИМов И.В.Ященко, А.В.Семеновым, И.Р.Высоцким и опубликованных на сайте ФИПИ, выявляются ключевые проблемы, среди которых: неумение проводить анализ условия, искать пути решения, применять известные алгоритмы в измененной ситуации.

Авторы предлагают включить в рабочие программы практико-ориентированные задания, выстроить систему изучения практической, жизненно важной математики во все школьные годы. Это элементы финансовой и статистической грамотности, умение принимать решения на основе расчетов, навыки самоконтроля с помощью оценки возможных значений величин на основе жизненного опыта.

(Слайд 3)

В 2016 году наряду с такими задачами можно встретить задачи на выбор оптимального распределения ресурсов: поле и фермер, предприниматель и отель, добыча алюминия и никеля и производство сплава и другие. Понятно, что никаких экономических знаний для решения таких задач не требуется. Необходимо лишь понять смысл задачи, перевести его на язык математики и решив математическую задачу вернуться к условию, правильно сопоставив полученное решение с условием задачи. При решении такого вида задач можно составить уравнение и найти его решение в натуральных или целых числах. Мы же с вами будем решать задачи такого типа методами математического анализа, т.е. составлением функции и исследованием ее на наибольшее (наименьшее) значение.

Итак, переходим к уроку.

(слайд 4)

1 этап урока. Актуализация опорных знаний

Начнем с повторение теоретического материала, используемого на уроке. Предлагаю работу в парах.

А) Таблица производных

Б) Правила нахождения производных. Производная сложной функции

В) Какова связь между монотонностью некоторой функции и ее производной

Какие точки экстремума существуют и как определить их вид.

Г) Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке

Д) Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на интервале (а; в)

(слайд 5) Вспомним алгоритм решения задач на оптимизацию с помощью математического моделирования:

1 этап. Составление математической модели задачи.

2 этап. Работа с составленной моделью.

3 этап. Анализ решения. Ответ на вопрос задачи.

2 этап урока. Применение знаний при решении задач.

Рассмотрим задачу из открытого банка заданий по математике ЕГЭ -2016.

(слайд 6)

В двух областях есть по 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у2 человеко-часов труда. Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 2 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металла так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Впервые встретившись с этой задачей, у меня возникло замешательство: как решать. Обратилась за помощью в Интернет, нашла авторское решение Комаровой Галины Петровны, учителя математики МКОУ СОШ №10 региона Кавказских Минеральных Вод. Привожу это решение. (слайд 7)

hello_html_27c50368.jpg

Мне показалось данное решение не очень убедительным.

Я же предлагаю другой способ решения этой задачи.

1 этап. Составление математической модели задачи (слайд 8)

(слайд 9)

Всего алюминия 2х+

Всего никеля (50-х)+

По условию, на производство сплава требуется никеля в 2 раза больше, значит 2(2х+) = (50-х)+

10 + 0,2 - 0,4.

Рассмотрим функцию, определяющую массу всего металла

f (х,у)= 2х+(50-х)+...= 60+1,2, получили f (у).

2 этап. Работа с составленной моделью. (слайд 10)

Исследуем функцию f(у)=60+1,2 на наибольшее значение. D(f) = [0;50]

f'(у)= - , f'(у)=0 при у=10. Определим, как ведет себя производная при переходе через точку у =10

f '(у)

0[_________+___________10________________________]50

f (у) точка max


3 этап. Анализ решения. Ответ на вопрос задачи. (слайд 11)

Значит, наибольшее значение функция принимает при у=10. Найдем f(10)= 60+1,2 = 60+1,2∙20+6=90. Ответ: 90 кг сплава

3 этап урока. Самостоятельная работа. А сейчас предлагаю решить аналогичную задачу таким же способом. (слайд 12)

Задача такая. В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х2 человеко-часов, а для добычи у кг никеля в день требуется у2 человеко-часов труда. Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металла так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

У вас на столах лежат бланки для решения данной задачи. Заполните, пожалуйста, их.

(100-х)∙0,1∙10

=100-х

2

100 чел.

у


100-у


Всего алюминия 3х+

Всего никеля (100-х)+

По условию, на производство сплава требуется алюминия в 2 раза больше, значит 3х+ = 2((100-х)+

40 + 0,4 - 0,2.

Рассмотрим функцию, определяющую массу всего металла

f (х,у)= 3х+(100-х)+...= 180+1,8, получили f (у).

2 этап. Работа с составленной моделью.

Исследуем функцию f(у)=180+1,8 на наибольшее значение. D(f) = [0;100]

f'(у)= - , f'(у)=0 при у=10.

f '(у)

0[_________+___________10________________________]100

f (у) точка max


3 этап. Анализ решения. Ответ на вопрос задачи.

Значит, наибольшее значение функция принимает при у=10. Найдем f(10)= 180+1,8 = 180+1,8∙30+6=240.

Ответ: 240 кг сплава

4 этап урока. Домашнее задание. (слайд 13)

В качестве домашнего задания вам предлагается разобрать решение задачи №2 и аналогичную задачу решить самостоятельно.

5 этап урока. Рефлексия. (слайд 14)

Обратите еще раз внимание на эпиграф к уроку: «В мире не происходит ничего, в чем бы ни был виден смысл какого-нибудь максимума или минимума!»

На уроке мы решали задачи, связанные с деятельностью человека. При решении

задач переходили от реальных ситуаций к их математическим моделям.

Мы убедились, что такое абстрактное понятие, как производная, помогает

решать различные жизненные задачи. Я желаю всем, чтобы ваши знания, умения

помогали вам преодолевать препятствия на жизненном пути.

Приложение

Целесообразность использования презентации на уроке

 определена следующими факторами:

1. интенсификацией учебно-воспитательного процесса:

  • улучшением  наглядности изучаемого материала,

  • увеличением количества предлагаемой информации,

  • уменьшением времени подачи материала;

2.повышением эффективности усвоения учебного материала за счет групповой и самостоятельной деятельности учащихся.

Возможные варианты применения иллюстрированных решений

  1. Используется учителем для объяснения решений данных заданий на уроках обобщающего повторения или на занятиях по подготовке к ЕГЭ.

  2. Применяется учащимися в качестве самопроверки полученного решения.

  3. Для дистанционного обучения учащихся.



Выбранный для просмотра документ 2.Решение задач на оптимизацию методами математического анализа.pptx

библиотека
материалов
Решение экономических задач на оптимизацию Учитель математики ГБОУ ООШ с. Ма...
Эпиграф « В мире не происходит ничего, в чем бы ни был виден смысл какого-ниб...
Задачи на выбор оптимального распределения ресурсов фермер и поле предпринима...
1.Актуализация опорных знаний
1.Актуализация опорных знаний Алгоритм решения задач на оптимизацию с помощью...
2.Применение знаний при решении задач В двух областях есть по 50 рабочих, каж...
 Решение Комаровой Галины Петровны
2.Применение знаний при решении задач 1 этап. Составление математической моде...
Применение знаний при решении задач
2.Применение знаний при решении задач
2.Применение знаний при решении задач
3.Самостоятельная работа В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из котор...
4.Домашнее задание Разобрать решение задачи №2. Решить задачу №2 (для самосто...
5.Рефлексия « В мире не происходит ничего, в чем бы ни был виден смысл какого...
14 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Решение экономических задач на оптимизацию Учитель математики ГБОУ ООШ с. Ма
Описание слайда:

Решение экономических задач на оптимизацию Учитель математики ГБОУ ООШ с. Малое Ибряйкино м.р. Похвистневский Самарской области Бурякова Вера Николаевна

№ слайда 2 Эпиграф « В мире не происходит ничего, в чем бы ни был виден смысл какого-ниб
Описание слайда:

Эпиграф « В мире не происходит ничего, в чем бы ни был виден смысл какого-нибудь максимума или минимума!» Леонард Эйлер

№ слайда 3 Задачи на выбор оптимального распределения ресурсов фермер и поле предпринима
Описание слайда:

Задачи на выбор оптимального распределения ресурсов фермер и поле предприниматель и отель производство сплава

№ слайда 4 1.Актуализация опорных знаний
Описание слайда:

1.Актуализация опорных знаний

№ слайда 5 1.Актуализация опорных знаний Алгоритм решения задач на оптимизацию с помощью
Описание слайда:

1.Актуализация опорных знаний Алгоритм решения задач на оптимизацию с помощью математического моделирования: 1 этап. Составление математической модели задачи 2 этап. Работа с составленной моделью. 3 этап. Анализ решения. Ответ на вопрос задачи.

№ слайда 6 2.Применение знаний при решении задач В двух областях есть по 50 рабочих, каж
Описание слайда:

2.Применение знаний при решении задач В двух областях есть по 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у2 человеко-часов труда. Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 2 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металла так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

№ слайда 7  Решение Комаровой Галины Петровны
Описание слайда:

Решение Комаровой Галины Петровны

№ слайда 8 2.Применение знаний при решении задач 1 этап. Составление математической моде
Описание слайда:

2.Применение знаний при решении задач 1 этап. Составление математической модели задачи

№ слайда 9 Применение знаний при решении задач
Описание слайда:

Применение знаний при решении задач

№ слайда 10 2.Применение знаний при решении задач
Описание слайда:

2.Применение знаний при решении задач

№ слайда 11 2.Применение знаний при решении задач
Описание слайда:

2.Применение знаний при решении задач

№ слайда 12 3.Самостоятельная работа В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из котор
Описание слайда:

3.Самостоятельная работа В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х2 человеко-часов, а для добычи у кг никеля в день требуется у2 человеко-часов труда. Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металла так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

№ слайда 13 4.Домашнее задание Разобрать решение задачи №2. Решить задачу №2 (для самосто
Описание слайда:

4.Домашнее задание Разобрать решение задачи №2. Решить задачу №2 (для самостоятельного решения)

№ слайда 14 5.Рефлексия « В мире не происходит ничего, в чем бы ни был виден смысл какого
Описание слайда:

5.Рефлексия « В мире не происходит ничего, в чем бы ни был виден смысл какого-нибудь максимума или минимума!» Леонард Эйлер

Выбранный для просмотра документ 3.раздатка.docx

библиотека
материалов

Алгоритм решения задач на оптимизацию с помощью математического моделирования:

1 этап. Составление математической модели задачи

2 этап. Работа с составленной моделью.

3 этап. Анализ решения. Ответ на вопрос задачи.


Примеры решения задач.

Задача 1. В двух областях есть по 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у2 человеко-часов труда. Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 2 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металла так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?




Решение.


1 этап. Составление математической модели задачи


Область

Всего

Алюминий

Никель

Кол-во, чел

Масса, кг

Кол-во, чел

Масса, кг

1

50 чел

х

0,2∙х∙10=2х

50-х

(50-х)∙0,1∙10

=50-х

2

50 чел

у


50-у



Всего алюминия 2х+

Всего никеля (50-х)+

По условию, на производство сплава требуется никеля в 2 раза больше, значит 2(2х+) = (50-х)+

10 + 0,2 - 0,4.

Рассмотрим функцию, определяющую массу всего металла

f(х,у)=2х+(50-х)+...= 60+1,2, получили f (у).






2 этап. Работа с составленной моделью.


Исследуем функцию f(у)=60+1,2 на наибольшее значение. D(f) = [0; 50]

f'(у)= - , f'(у)=0 при у=10. Определим, как ведет себя производная при переходе через точку у =10

f '(у) 0[_______+_____10______________]50

f (у) точка max


Итак, у=10-точка максимума


3 этап. Анализ решения. Ответ на вопрос задачи.


Значит, наибольшее значение функция принимает при у=10. Найдем f(10)= 60+1,2 = 60+1,2∙20+6=90.

Ответ: 90 кг сплава





Задача 2. Предприниматель купил здание и собирается отрыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 м2 и номера «люкс» площадью 45 м2 . Общая площадь, которую можно отвести под площади, составляет 855 м2 . Предприниматель может поделить эту площадь под номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000рублей в сутки, а номер «люкс» - 3000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег может заработать в сутки на своем отеле предприниматель?

Решение.

1 этап. Составление математической модели задачи

Пусть n стандартных номеров, а m номеров «люкс», по условию 27n+45m=855

Рассмотрим функцию f(n,m)=2000n +3000m- прибыль от сдачи в аренду номеров отеля. Т.к. по условию 27n+45m=855, отсюда m= 19 - 0,6n. Учитывая замену, получим функцию от f(m,n)=f(n) = 2000n+3000m = 2000n + 3000(19 - 0,6n)= 2000n+57000-1800n =200n+57000,

2 этап. Работа с составленной моделью.

f(n)=200n+57000 возрастающая (k>0). По смыслу задачи f(n)будет принимать наибольшее значение при наибольшем n, удовлетворяющим условию: 3n+5m=95, значение n=30.

3 этап. Анализ решения. Ответ на вопрос задачи.

Наиб. f(n)=f(30)=200∙30+57000= 63000

Ответ:63000р.

Задачи для самостоятельного решения.

1) В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х2 человеко-часов, а для добычи у кг никеля в день требуется у2 человеко-часов труда. Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металла так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод? (Ответ: 240 кг)


2) Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера «люкс» площадью 45 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 981 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» 4000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель? (Ответ: 86 000 рублей)



Алгоритм и примеры решения задач на оптимизацию методами математического анализа

















Подготовила

Бурякова Вера Николаевна,

учитель математики

ГБОУ ООШ с. Малое Ибряйкино м.р. Похвистневский

Самарской области



март 2016 г

Выбранный для просмотра документ 4.бланк решения задачи №2.docx

библиотека
материалов

Бланк для решения задачи №2


1 этап. Составление математической модели задачи

Всего алюминия____________________

Всего никеля___________________________

По условию, на производство сплава требуется ____________ в__ раза больше, значит ________________________________________________________,

_______________________________________________________________

_______________________________________

Рассмотрим функцию, определяющую массу всего металла

f (х,у)= ______________________________________________________________

__________________________________________________________ получили f (у).

2 этап. Работа с составленной моделью.

Исследуем функцию f(у)=____________________________ на наибольшее значение. D(f) = [____;___]

f'(у)= , f'(у)=0 при у=_____. Определим, как ведет себя производная при переходе через точку у =_____

f '(у)

___[___________________ ? ________________________]____

f (у) ___________

3 этап. Анализ решения. Ответ на вопрос задачи.

Значит, наибольшее значение функция принимает при у=___.

Найдем f(__)= _______________________= _________________=_______.

Ответ: ________ кг сплава



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 12.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров741
Номер материала ДБ-344673
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх