Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Начальные классы / Другие методич. материалы / Мастер-класс (разработка) по математике "Построение магических квадратов"

Мастер-класс (разработка) по математике "Построение магических квадратов"


  • Начальные классы

Поделитесь материалом с коллегами:

8



Учитель начальных классов

2 класс

Таникеева В.Д.

Мастер – класс по математике по теме

«Построение магических квадратов»



Ход урока

Орг. Момент.

-Ребята, проверили свои рабочие места. Что вы заметили необычного? (много гостей, парты расставлены дугообразно…). Чтобы не отвлекаться, посмотрите на гостей и подарите им свои улыбки. А сейчас тихо занимаем свои места.


  1. Сообщение темы и целей занятия

Уважаемые коллеги, ребята, я приглашаю вас в удивительный мир магических квадратов, одним из основоположников которого является известный швейцарский ученый Леонард Эйлер. По его мнению, их составление есть превосходная умственная гимнастика.


hello_html_m6522fabc.jpg

«Составление магических квадратов

представляет собой превосходную

умственную гимнастику,

развивающую способность

понимать идеи

размещения,

сочетания

и симметрии».

 

  Леонард Эйлер





Цели занятия:

  • развитие процессов индукции и дедукции на основе выработки навыка построения латинского и магического квадрата методом террас, методом Эйлера и методом Делаира;

  • выражаю надежду, что вы увидите красоту геометрической фигуры на основе взаимодействия науки и искусства.


Оборудование:

  • работаем мы на основе раздаточного дидактического материала и презентаций учителя и школьников.


Методы работы:

  • основные методы работы – объяснение принципов построения магических квадратов, упражнение в их построении, а также иллюстрирование объяснения. Прошу проявлять активность в работе.












































2. Актуализация знаний, постановка проблемы и осознание познавательных задач.

2.1. Подготовительная работа.

- Ребята, а что вы видите на сладе?

-Где вы видели такие квадраты? (в книжке, у Наташи)

- Кто решал такие удивительные задачи?

На математических олимпиадах, в досуговых журналах и познавательных книгах очень часто встречаются задачи, когда необходимо в квадрат так вставить цифры от 1 до 9 , чтобы сумма этих цифр по строкам, столбцам и диагоналям была одной и той же, постоянной. Конечно для этого нужно иметь время и терпение. При решении таких задач используем метод подбора.

- Итак, посмотрите внимательно на доску.

4

9

2

3

5

7

8

1

6








-Мы должны подобрать цифры т.о., чтобы сумма в строках, столбцах, диагоналях была равна 15.

2.2. Введение нового понятия.

У нас получился квадрат, в котором сумма цифр в строках, столбцах и диагоналях равна 15 ( проверка). Такую фигуру называют магическим квадратом порядка 3.

В математике под  магическим квадратом обычно понимают квадратную таблицу, так заполненную различными натуральными числами, что их сумма в строках, столбцах и двух диагоналях таблицы одинакова. Значение этой суммы принято называть "магической постоянной".

- Давайте вспомним правило о натуральных числах!

- А в этом нам поможет наш справочник.

Итак, вписать числа от 1 до 9 в квадрат, чтобы он стал магическим, не составляет особого труда. Как же быть, если нужно вписать в квадрат числа от 1 до 25 или от 1 до 49, или от 2 до 50 так, чтобы квадрат получился магическим?

7 сл. – Ребята, сложно было решить магический квадрат?

Тема……

Предположение …. – Что должны составить для дальнейшей работы?

9 сл.

3.Изучение нового материала

Рассмотрим один способ построения магического квадрата нечетного порядка. Итак, первый способ – метод террас.

- Ребята, сможете объяснить слово терраса?

- Давайте обратимся к словарю.

( у нас в школе тоже есть терраса, только без крыши)

-А в магическом квадрате, как вы думаете, где терраса?

3.1. Объяснение. Построение магического квадрата методом террас.

Если магический квадрат третьего порядка не трудно построить простым перебором всевозможных комбинаций, то, уже начиная с квадрата четвёртого порядка, дело осложняется. Математики изобрели несколько методов построения магических квадратов. Начнём с метода террас, который применяется для построения магических квадратов нечётного порядка: пятого, седьмого и т. д.

Рассмотрим его на примере магического квадрата порядка 3.

С четырёх сторон к исходному квадрату 3х3 добавляются террасы. В полученной фигуре располагают числа от 1 до 9 в естественном порядке косыми рядами снизу вверх. Числа в террасах, не попавшие в квадрат, перемещаются как бы вместе с террасами внутрь него так, чтобы они примкнули к противоположным сторонам квадрата (числа, не попавшие в заштрихованный квадрат, сдвигаем на n=3 единицы: 1 – вниз, 3 – влево, 9 – вверх, 7 – вправо).

Итак, рассмотрим метод террас, заполнения магического квадрата нечётного порядка на примере квадратов порядка 3 . Записываем числа следующим образом:

-Вот для чего нужен нам метод террас!

hello_html_393a2d9d.jpg

hello_html_28c4a8b2.jpgЧисла, не попавшие в заштрихованный квадрат, сдвигаем на n=3 единицы: 1 – вниз, 3 – влево, 9 – вверх, 7 – вправо. Получаем:

Магический квадрат 3*3. Сумма = 15.


3.2. Практическая работа.

У вас на столах лежит таб. №3. Сейчас построим с вами магический квадрат пятого порядка, используя метод террас.

Будем заполнять квадрат по шагам, по алгоритму.

1. С четырёх сторон к исходному квадрату 5х5 добавлены террасы. В полученной фигуре расположим числа от 1 до 25 в естественном порядке косыми рядами снизу вверх, как в примере с квадратом третьего порядка.















1

















6


2















11


7


3













16


12


8


4











21


17


13


9


5











22


18


14


10













23


19


15















24


20

















25





Числа, не попавшие в выделенный квадрат, сдвигаем на n=5 единиц: 1,2,6 – вниз, 4,5,10– влево, 24,25,20 – вверх, 16,21,20 – вправо. Получаем:

11

24

7

20

3

4

12

25

8

16

17

5

13

21

9

10

18

1

14

22

23

6

19

2

15







Важное наблюдение: заметим, что методом террас можно построить не только традиционный магический квадрат нечётного порядка, но и квадрат, заполненный любыми другими числами, лишь бы разность между каждым последующим и предыдущим числом была постоянной. Так, на рисунке вы видите нетрадиционный магический квадрат пятого порядка, заполненный чётными числами от 2 до 50, построенный методом террас.

6

32

18

44

30

40

16

42

28

4

14

50

26

2

38

48

24

10

36

12

22

8

34

20

46











4. Объяснение на основе иллюстраций.

Построение магического квадрата методом Делаира, или методом латинских квадратов.


Переходим ко второму способу составления магических квадратов и рассмотрим его на примере построения магического квадрата порядка 5.


  1. Из целых чисел от 0 до 4 строят два латинских квадрата размером 5 *5.

Первый строят следующим образом:


  • произвольно заполняют нижний горизонтальный ряд квадратной таблицы

5*5 целыми числами от 0 до 4, следя лишь за тем, чтобы последняя клетка горизонтального ряда была заполнена числом 2=[5-1/2]; (k=[n-1/2], n- количество различных цифр в квадрате);


  • остальные горизонтальные ряды таблицы заполняют снизу вверх так, чтобы каждый следующий ряд получался из предыдущего перестановкой – первое число переносится в конец строки.


На этой иллюстрации приведён такой первый латинский квадрат

 

2

1

4

0

3

3

2

1

4

0

0

3

2

1

4

4

0

3

2

1

1

4

0

3

2



Построение второго латинского квадрата.

  • произвольно заполняют верхний горизонтальный ряд квадратной таблицы 5*5 целыми числами от 0 до 4, следя лишь за тем, чтобы последняя клетка горизонтального ряда была заполнена числом 2=[5-1/2]; (k=[n-1/2], n- количество различных цифр в квадрате);


  • остальные горизонтальные ряды таблицы заполняют сверху вниз так, чтобы каждый следующий ряд получался из предыдущего перестановкой – первое число переносится в конец строки.


На этой иллюстрации приведён второй латинский квадрат

 

0

4

1

3

2

4

1

3

2

0

1

3

2

0

4

3

2

0

4

1

2

0

4

1

3



2. Преобразовываю полученные два латинских квадрата путём умножения каждого числа первого квадрата на 5 и увеличения на 1 каждого числа другого квадрата.


3. Произвожу поклеточное суммирование двух преобразованных на втором этапе квадратов.

 

Итак, построим магический квадрат, используя два выше построенных латинских квадрата:

11

10

2

24

18

20

12

9

3

21

22

19

13

6

5

4

23

16

15

7

8

1

25

17

14

 


 

5. Итог занятия

- Итак, мы научились строить магические квадраты тремя способами. Назовите их.

- Какой квадрат называется магическим?

- Какие операции мышления мы использовали?

Да, проведенная умственная гимнастика , надеюсь, помогла понять Вам идеи размещения, сочетания и симметрии. Эти идеи расположены рядом с нами, надо только их увидеть. Предлагаю увидеть их в искусстве, в быту, в науке на основе школьных презентаций.


Коллеги, наша совместная работа была не так проста, как умножение на десять, но и не так трудна, чтобы не познать основных принципов построения совершенной, по мнению В.Малевича, геометрической фигуры - квадрата. А сделать его магическим нам под силу.















Автор
Дата добавления 27.10.2015
Раздел Начальные классы
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров629
Номер материала ДВ-101745
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх