Математическая композиция теорема Пифагора

                                                   МБОУ  СЛИЗНЕВСКАЯ  ООШ

                                                       для учащихся 8-9 классов

                                                                                                                             Выполнила :

                                                                                                                              учитель математики             

                                                                                                                                первой кв.категории  

                                                                                                                                    Саунина Л.А.

           Своеобразна судьба иных теорем и задач . Вот сегодня мы посвятим наш урок теореме «невесты», «бабочки», «нимфы», «100 быков» , «ослиный мост» и рассмотрим «бегство убогих». Не пугайтесь , все эти названия относятся к одной теореме – теореме Пифагора.

Теорема Пифагора издавна широко применялась в разных областях науки , техники и практической жизни. О ней писали в своих произведениях римский архитектор  и инженер Витрувий, греческий писатель Плутарх, греческий ученый Диоген и многие другие. В течении 25 веков математики и любители математики не довольствовались уже известными доказательствами этой теоремы, а находили свои, доведя количество доказательств знаменитой теоремы до нескольких сотен ( около 500) , она даже попала в книгу рекордов Гиннеса.

  Почему теорема Пифагора так популярна? Как объяснить такое исключительное внимание математиков и любителей математики именно к этой теореме? Какие тайны содержит эта теорема? И сегодня мы постараемся ответить на эти вопросы, а также узнаем о жизни Пифагора, об истории возникновения этой теоремы  и в наиболее простой и интересной форме рассмотрим различные  способы доказательства знаменитой теоремы.

(Звучит мелодия « Сиртаки» , на экране памятники древнегреческой культуры)

Звуки музыки переносят нас в древнюю Грецию. Перед нами памятники

древнегреческой архитектуры:

1.Акрополь- холм с крутыми обрывистыми склонами, где расположены храмы древних Афин.

2. Пропилеи- центральный вход в Акрополь

3.При входе на холм справа мы видим небольшой храм богини победы-Ники.

4. Театр Диониса

5. Самым прекрасным творением греческих строителей был- Парфенон, храм посвященный богине Афин.

Древние греки были удивительно талантливым народом. В те времена Греция состояла из мелких государств. Каждый раз , когда приходилось решать какой- нибудь  важный вопрос, горожане собирались на площади, обсуждали его, спорили, а потом голосовали. Греки считали, что спор помогает найти самое лучшее, самое правильное решение.

По преданию, в то время сложилось утверждение « В споре рождается истина». Греки отличались трудолюбием и смелостью. Они внесли большой вклад в развитие культуры науки, особенно математики. Наш рассказ пойдет о древнегреческом ученом Пифагоре.

Ученик:        Да, путь познания не гладок

                       Но знаем мы со школьных лет.

                        Загадок больше, чем разгадок,

                        И поискам предела нет !

                        На радужной узрел я оболочке

                        Бегущие квадратики, кружочки

                        Вселенной опрокинутый узор,

                        И вспыхнуло в мелькании  сквозь строчки

                       Пылающее имя- Пифагор

( Музыка заканчивается. На экране портрет Пифагора)

Вед: Пифагор Самосский- великий греческий ученый. Это самая загадочная личность, человек- символ, человек- фантом, философ и пророк. Он проявил себя с столь разных областях науки, что историк философии Диоген решительно утверждает « Пифагоров было четыре или даже пять- философ, скульптор, кулачный боец и т.д»

Он был властителем дум и проповедником созданной им религии . Его обожествляли и ненавидели…  Про жизнь Пифагора известно очень мало. Правда , надо сказать, что античные авторы наперебой рассказывали о Пифагоре и за 1000 лет античной истории имя Пифагора обросло таким количеством легенд, что в одно время Пифагор стал почитаться полубогом.

                                                               Юность Пифагора.

Ученик 1 :    Пифагор родился в 570 г. До н.э ( точная дата неизвестна) на острове Самос   

( на экране –  карта Древней Греции, остов Самос)     .Отцом его был Мнесарх- резчик по драгоценным камням. Среди мастеров он славился своим искусством, но большого богатства не нажил. Имя матери не сохранилось. Некоторые называли ее Пифаидой, дочерью рода Аникея- основателя Самоса. По многим античным свидетельствам, родившийся у них мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил свои незаурядные способности. Любимым занятием юного Пифагора были слушание стихов и музыки,  беседы со старцами – своим учителями. Среди учителей юного Пифагора называют старца Гермодаманта и Ферекида Сиросского.

Гермодамант- потомок рода эпических певцов на Самосее, которые странствовали по всей Элладе и под аккомпанементы кифары исполняли народные предания и поэмы Гомера. Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца , внимая мелодии кифары и поэзии Гомера. Страсть к музыке и поэзии Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженный толпой учеников , Пифагор начинал свой день с пения одной из песен Гомера. Именно в музыке он нашел прямое доказательство знаменитому тезису « Все есть число»

 Когда Пифагору исполнилось 20 лет, учитель сказал ему : « Ты вырос из Самоса, отправляйся путешествовать, только так ты утолишь жажду познания. Путешествие и память – суть два средства , возвышающее человека и открывающие ему врата мудрости» . Пифагор отправляется в Милеет, где много общается со знаменитым Фалесом, учится у него.

( Портрет Фалеса)

Но талант ученика проявляется не в том , что он копирует учителя, а идет дальше. Фалес советует ему отправиться в Египет. Пифагор много путешествует по странам Востока, посещает Египет и Вавилон. Там он знакомится с культурой, наукой и обычаями разных народов, подробно изучает восточную математику. Много было изведано, понято, прочуствовано талантливым учеником. После 20 лет странствий

Пифагор возвращается на родину. Он мечтает создать свою школу, в основе которой были бы ясность логики и твердость доказательств.

В то время на острове Правил Поликрат. Он отличался жестокостью и деспотизмом. Поликрат поспешил всячески обласкать знаменитого путешественника, слава о мудрости которого бежала впереди него. Но роль придворного полу раба не устраивала

Пифагора. Он видел несправедливость, страдания. Его угнетала атмосфера произвола и насилия. Тяжело далось расставание с родиной. Он поселился в греческом городе Кротон на юге Италии. Пифагор сразу покорил жителей города своим величием, благородством, красотой и обаянием. Он организовал религиозно- этическое братство

« Союз Истины, Добра и Красоты», который в последствии назовут пифагорейской школой или пифагорейским союзом.

                                                           Пифагорейская школа.

Ученик 2. В пифагорейский союз принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось Пифагору. Даже после его смерти, ученики окружили имя своего учителя множеством легенд, что установить правду о Пифагоре невозможно.

Система знаний школы состояла из 4 разделов :

( на экране пишутся разделы)

1. Арифметика- учение о числах;

2. Геометрия- учение о фигурах,

3. астрономия- учение о строении мира;

4. Музыка- учение о гармонии и теории музыки.

Эта система образования , заложенная Пифагором , просуществовала не века, а тысячелетия.

В школе был особый распорядок дня Вставали с восходом солнца  и шли на морской берег встречать рассвет. В утренней прохладе строили планы на день, делали гимнастические упражнения, завтракали. В конце дня – прогулка, морское купание, ужин и чтение . ( Фотография Пифагора с чтецами). Обычно читал младший, а самый старший комментировал прочитанное . члены союза с равным усердием заботились и о духовном и о физическом развитии . среди победителей Олимпийских игр в те времена было много учеников Пифагора. По преданию, и сам он стал победителем по кулачному бою.

Правила поведения, основные принципы жизни пифагорейцы объединили в моральный кодекс « Золотые стихи» Нравственные правила и сегодня достойны подражания.

( Звучит медленная музыка. На экране пишутся « Золотые стихи», ведущий читает их)

1. Беги  от хитрости

2. Отсекай огнем, железом  и любым оружием от тела- болезнь, от семьи- ссору, от души- невежество, от утробы- роскошества, от города- смуту, от всего , что есть- неумеренность.

3. Есть две поры, учил Пифагор , наиболее подходящие для размышлений 6 когда идешь ко сну и когда пробуждаешься от сна. В то время требуй от себя отчета. Оцени, что сделано и что предстоит сделать.

4. Не гоняйся за счастьем : оно находится в тебе самом.

5. Сыщи себе верного друга, имея его, ты можешь обойтись без богов.

6. Помни, сто лицо лишь тогда бывает прекрасным, когда изображает изящную душу.

7. Измеряй свои желания, взвешивай свои мысли, исчисляй свои слова.

8.Не делай никогда того, что не знаешь, но научись всему, что следует знать.

9. Делай то, что в последствии не огорчит тебя инее принудит раскаиваться.

Золотые стихи переписывались и дополнялись на протяжении тысячелетней истории. Это общечеловеческие ценности, которые актуальны, пока жив человек.

                                                                  Пентаграмма.

Ученик 3. У пифагорейцев был свой знак, по которому они узнавали друг друга. Пентаграмма- это звезчатый  пятиугольник, образованный диагоналями правильного пятиугольника.( на экране- пентаграмма) Пятиконечная звезда считалась символом дружбы, вроде чем-то талисмана, которым одаривали друзей. Почему Пифагор выбрал именно этот знак? Красота внешней формы пентаграммы связана с необычным пропорциональным строением. Здесь есть среднее арифметическое, среднее геометрическое и среднее гармоническое. Пентаграмму никто не изобретал, ее  только копировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют цветы, морские звезды и другие создания природы .( На экране морские звезды, цветы)

Пентаграмма пропорциональна, значит красива. Не случайно и сегодня она реет на флагах многих стран мира. Но первым кто обратил пентаграмму в символ , были пифагорейцы.

                                                         О теореме Пифагора.

Ученик 4.  Изучая во время путешествия математику древнего Египта и Вавилона , Пифагор убедился, что математики, в основном, стремились к накоплению готовых рецептов для решения задач: « возьми то-то», «сделай так». Пифагора интересовало, откуда взяты эти решения, факты, как доказать справедливость общих и частных случаев. Пифагор и его ученики потратили много сил, чтобы отдельным сведениям и фактам придать характер настоящей науки. Пифагору приписывается много замечательных открытий, доказательств, среди них знаменитая теорема Пифагора.

Открытие этой теоремы окружено ореолом красивых легенд. Прокл , в своем комментарии пишет : « Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору ; рассказывают, что он в честь этого открытия принес в жертву быка». Впрочем , боле щедрые сказители одного быка превратили в целую гекатомбу, а это уже целая сотня, что послужило поводом для юмора в рассказах писателей и поэтов.

Ученик 5.Пребудет вечной истина, как скоро

Ее познает слабый человек !

И ныне теорема Пифагора

Верна, как и в его далекий век

Обильно было жертвоприношенье

Богам от Пифагора 100 быков

Он отдал на закланье и сожженье

За света луч, пришедший с облаков

Поэтому всегда с тех самых пор,

Чуть истина рождается на свет

Быки ревут, ее почуя, вслед

Они не в силах свету помешать,

А могут лишь, закрыв глаза,  дрожать

От страха , что вселил в них Пифагор.

Ученик 6. Хотя ,всякое пролитие крови было чуждо уставу пифагорейского ордена, легенда эта прочно срослась с теоремой Пифагора и через две тысячи лет продолжала вызывать горячие отклики. Так М.В. Ломоносов писал :»  Пифагор за изобретение одного геометрического правила принес в жертву сто волов. Но ежели бы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то едва бы на целом свете столько рогатого скота сыскалось»

На основе этих и других преданий долгое время считали, что до Пифагора эта теорема не была известна и поэтому ее назвали «теорема Пифагора». Это название сохранилось и поныне. На самом деле соотношение, которое утверждает теорема, было известно древним математикам за много веков до Пифагора. Ее знали в Китае, Вавилонии, Египте. Вернее ,не ее , а частные случаи.

Исторический обзор начнем с китайцев. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей . в этом сочинении говорится о прямоугольном треугольнике со сторонами 3,4,5.Крупнейший немецкий историк Кантор считает, что равенство 5 = 3 +4  было известно уже египтянам еще 2300 г до н. э.

Несколько больше известно о теореме у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника.  В Древней Индии в сочинениях ,относящихся к 4-5 в до н.э встречается построение прямого угла при помощи треугольника со сторонами 3,4,5

Несмотря на то, что теорема была обнаружена до Пифагора, имя Пифагора столь прочно сплавилось с теоремой Пифагора, что сейчас невозможно представить ,что это словосочетание распадется.  Но в современной истории математики считается, что именно Пифагор дал первое логически стройное, полноценное доказательство.

Увы, от него не сохранилось никаких следов. Некоторые приписывают Пифагору доказательство , которое приводит Евклид  в первой книге «Начал» , с другой стороны

Утверждают, что доказательство в «Началах» принадлежит самому Евклиду.

( На экране   фрагмент доказательства из « Начал»)

                                                          Различные названия теоремы

Ученик 7.

( Рисунки с карикатурами к теореме)

Вед.  На протяжении веков были даны многочисленные доказательства теоремы Пифагора. Однако принципиально различных идей в этих доказательствах используется немного. Рассмотрим красивые и изящные доказательства, которые известны еще из древних трактатов . сделать это еще полезно и потому, что в современных школьных учебниках дается алгебраическое доказательство теоремы. При этом бесследно исчезает первозданная геометрическая аура теоремы, теряется та нить Ариады, которая вела древних мудрецов к истине, а путь этот почти всегда оказывался кратчайшим и всегда красивым.

Итак, теорему Пифагора можно сформулировать двояко : « геометрически» и « арифметически»

( На экране рисунок теоремы Пифагора)

Геометрически ее можно выразить так : « Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов , построенных на катетах»

А теперь рассмотрим  некоторые интересные доказательства знаменитой теоремы.

                                                        Простейшее доказательство

Ученик  8.

Это доказательство получается в простейшем случае  равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно ,с него и начиналась теорема.

На самом деле , достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы.

Например, для   треугольника  АВС : квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты , построенные на катетах – по два

Теорема доказана.

Ученики рассказывают различные способы доказательства теоремы.

 Вед :  К сожалению , невозможно привести все или даже самые красивые доказательства теоремы. Однако приведенные примеры отражают основные идеи доказательства. Подобно « геометрическому подходу, при котором в основу кладется сравнение площадей двух фигур, противостоит « арифметический» подход, при котором измерение площади рассматривается по сути дела, как вычислительная операция. Немало доказательств  основано на теории подобия. Хочется надеяться, что данные примеры доказательств теоремы свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и вчера проявляемой по отношению к ней .

Пифагор , доказывая свою теорему, построил фигуру, где на сторонах прямоугольного треугольника расположены квадраты. В наш век эта фигура выросла в целое дерево.

 ( на экране  « Деревья Пифагора»)

Впервые дерево Пифагора построил А.Е. Босман во время второй мировой войны, используя обычную чертежную линейку. В классическом дереве Пифагора угол равен 45, но также можно построить и обобщенное дерево  при использовании других углов. Такое дерево называют « обдуваемое ветром дерево Пифагора» А рисуя вместо квадратов линии , можно получить картинки, очень похожие на настоящие деревья.

Еще недавно была изобретена головоломка называемая « Пифагор» В основе этой головоломки – квадрат 7на 7 , разбитый на семь частей .

( На экране : головоломка, рисунки составленные из квадрата»)

 Задача: нужно полностью ,использовав все 7 частей, сложить фигуры, накладывать или оставлять между ними пустые места нельзя. Это только малая толика богатств , скрытых в жемчужине античной математике – теореме Пифагора.

Причина такой популярности теоремы  триедина: это ее простота- красота – значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал  и придает ей особую притягательную силу , делает ее красивой .Несомненно также , что интерес к теореме вызывается тем, что она занимает в математике одно из центральных мест, из нее или с помощью ее можно вывести большинство  теорем геометрии, ее по праву можно назвать символом математики.

Великий Карл Гаусс предлагал ее использовать в качестве первого сообщения внеземным цивилизациям о существовании на земле разумной жизни, проведя в лесах России огромные вырубки в форме « пифагоровых   штанов», чтобы этот « чертеж» было видно из космоса. Мы  на земном шаре твердо верим, что математический факт , выражаемый теоремой Пифагора, имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.

Литература:

1 .В. Литцман  « Теорема Пифагора» , Москва 1960г.

2. Энциклопедия для детей « математика « , Аванта +» , 2004 г.

3. Д.К. Самин « теорема Пифагора» 100 великих научных открытий.

4. Е. И. Игнатьев. « В царстве смекалки» ,Москва 1984г.

5. Г.И. Глейзер  « История  математики в школе 7-9 классы» , Москва 1982г.

6. Приложение к газете « Первое сентября» - Математика

№ 19 2006 г  « похвальное слово Пифагору « А. Щетников

№3 2006 г « Разрезание и складывание многоугольников» В. Вавилов, П. Красников.

№ 48 2001г. « Жизнь Пифагора» Р. Мурадова.