Инфоурок / Математика / Конспекты / Математическая регата . Конспект урока по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»(9 класс)
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

Математическая регата . Конспект урока по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»(9 класс)

библиотека
материалов

hello_html_m7e198edb.pngМатематическая регата

по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»

Цели: обучающие – закрепить знания, умения и навыки учащихся по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей», формировать навыки решения задач на применение теоретических знаний, формировать вычислительные навыки учащихся;

развивающие – способствовать развитию мышления, памяти, произвольного внимания и речи учащихся; умений применять изученный материал на практике и в жизни;

воспитательные – расширять кругозор учащихся, познакомить с фрагментами истории комбинаторики, воспитывать культуру общения, сотрудничество.


Ход урока.

I. Организационный момент.

Сегодня на уроке мы повторим тему «Элементы комбинаторики и теории вероятностей». После небольшой разминки (устной работы), мы проведём математическую регату.

  1. Устная работа.

Учитель. И так, разминка.

Задачи разминки решаем устно, или с прикидкой на черновике, можно решение задач записать в тетради, поэтому запишите число, классная работа.

(слайд 2) hello_html_3bc0b072.png

Задача 1. Отправляясь в путешествие, на завтрак мы можем выбрать плюшку, кекс, пряник и запить их чаем, кефиром или кофе. Из скольких вариантов завтрака мы может выбрать?

Составим сначала все завтраки с кофе: кофе и плюшка, кофе и кекс, кофе и пряник, всего – три; завтраков с чаем – тоже три, завтраков с кефиром – тоже три.

Значит, мы может выбрать завтрак из 9 вариантов.

Учитель: На практике часто встречаются задачи, решая которые

приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций (вариантов). Как называются такие задачи?

Задачи, в которых мы осуществляем полный перебор всех вариантов или всевозможных комбинаций называются комбинаторными.

Учитель: А как называется раздел математики, в котором рассматриваются такие задачи?

Раздел математики, в котором изучаются комбинаторные задачи, называют комбинаторикой.

Все необходимые материалы для нашего путешествия лежат в сейфе, а код был утерян. Известно, что он состоит из цифр 2,4, 5, 9.

(слайд 3)hello_html_m78e9c836.png


Задача 2. Сколько комбинаций можно составить и

з цифр 2, 4, 5, 9, используя в записи числа каждую из них не боле одного раза, чтобы открыть наш сейф.

Учитель. При решении задачи можно использовать способ рассуждения, который мы называем перебором всевозможных вариантов, и выписать все возможные комбинации чисел можно данный перебор вариантов проиллюстрировать на схеме, которую мы называем деревом вариантов.

А как решить задачу устно, не выписывая числа, не изображая дерево вариантов?

Будем рассуждать так. Первую цифру можно выбрать 4-мя способами, так как после выбора 1 цифры останутся три, то вторую цифру можно выбрать 3-мя способами. 3-ю цифру можно выбрать (из оставшихся 2-х) двумя способами, а 4-ю одним способом( оставшаяся одна цифра) Следовательно, число искомых комбинаций равно произведению 4 · 3 · 2 1, т.е. 24.

(слайд 4) hello_html_m4396692b.png

Итак, карта нашего маршрута перед нами. Но!

Задача 3. Из пункта А в пункт В ведут 4 дорог, а из пункта В в пункт С – 3 дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут нас из А в С?

(слайд 5)hello_html_m24be270a.png Сколько существует вариантов совершить наше путешествие?

Из А в В можно попасть 4-мя способами, а из В в С – 3-мя способами. По правилу произведения 4 · 3 = 12 путей.

Учитель. Как называют правило, на котором основано решение задачи?

При решении использовали комбинаторное правило умножения.

(при желании учащиеся формулируют это правило)

Задача 4. Перед нами 12 возможностей совершить наше путешествие. Известно, что три пути более безопасные, а остальные полны трудностей. Какова вероятность, что выбранный путь будет безопасен?

(слайд 6)hello_html_m28ac15b.png

Находясь в путешествии некоторые из нас могут написать письма друзьям.

(слайд 7)hello_html_m15b6ae51.png

Задача 5. А сколькими способами можно разложить 5 разных писем по одному в 5-ть конвертов?

5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 способов.

(слайд 8)hello_html_m2b2c8811.png

Задача 6. Среди почтовых голубей два белых. Какова вероятность, что ваше письмо понесет домой белый голубь?

Учитель. В данной задаче мы столкнулись с произведением подряд идущих натуральных чисел. Какое обозначение существует для такого произведения?

(слайд 9)hello_html_m189fa4de.png

произведение первых подряд идущих п натуральных чисел обозначают п!

п! = 1 · 2 · 3 · …· п.

(слайд 10)hello_html_77d46f76.png

Задание 6. Что больше и во сколько раз 6! · 5! и 5! · 6 ?

И так, я думаю, мы провели хорошую разминку и подготовились к регате.


III. Математическая регата.

Учитель. И так отправимся в путь, регата началась.


1 заплыв (тур).

Проверка знаний теории (каждому экипажу даются тесты с заданиями 1 тура, за верный ответ – 1 балл).

Задание 1 (слайд 11)hello_html_a3c8fd8.png


ТЕСТ 1. Выбрать правильное определение.

А. Перестановкой из п элементов называется каждое расположение этих элементов в определённом порядке.

В. Сочетанием из п элементов по к (кп) называется любое множество, состоящее из любых к элементов, взятых в определённом порядке из данных п элементов.

С. Размещением из п элементов по к называется любое множество, составленное из к элементов, выбранных из п элементов. Ответы пояснить.

(слайд 12)hello_html_7a9c36bb.png

ТЕСТ 2. Выбрать верное утверждение.

А. Число сочетаний можно вычислить по формуле Сп = п!

В. Формула для вычисления числа размещений из п элементов по : hello_html_m29d5d955.gif

С. Число всевозможных перестановок из п элементов вычисляется по формуле

Р пк = п!/(к!(п – к)!).

По количеству набранных баллов 2 экипажа выходят во второй

заплыв (тур)


Задание 2. (формулы записаны на доске, установить соответствие)

      1. Сформулируйте определения перестановки, сочетания, размещения.

      2. Запишите формулы для вычисления перестановок, сочетаний, размещений, запишите их в тетради.

Перестановки – выборки из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком расположения.

Формула Рn=n!

Размещения – выборки из n элементов по k , которые отличаются и составом и порядком расположения этих элементов.

Формулы hello_html_m29d5d955.gif

Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k, элементов, выбранных из данных n элементов.

Формула hello_html_m45fa637c.png

(слайд 13)hello_html_4fb3abd7.png (формулы записаны на доске, установить соответствие)


3. Решите задачи.

1 заплыв (тур).

(слайд 14)hello_html_mb5b8f23.png

а) Сколькими способами можно разместить за круглым столом 6 человек?

(слайд 15)hello_html_1176778a.png

б) В регате участвуют 8 команд. Сколькими различными способами могут быть распределены 3 различные медали?

(слайд 16) hello_html_54ed7aea.png

в) Из 9 членов команды надо выбрать 3-х дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор.

(слайд 17) hello_html_mb922f8.png

г) Вычислите. 16! - 15! = 15!(16-1) = 14!*15*15 = 15

14!*15 14! *15 14!*15


  1. Историческая справка. (заранее подготовил ученик)

Комбинаторика – ветвь математики, которая возникла в XVII в. Долгое время комбинаторика лежала вне основного русла развития математики. Положение дел резко изменилось после появления быстродействующих вычислительных машин. В настоящее время комбинаторные методы применяются в теории случайных процессов, статистике, математическом программировании и т.д.

С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определённом порядке и отыскивать среди разных положений наилучшие, люди столкнулись ещё в доисторическую эпоху, выбирая лучшее положение охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов – во время работы.

Комбинаторные навыки оказались полезными и в часы досуга, когда появились игры, требовавшие, в первую очередь, умения рассчитывать, составлять планы и опровергать планы противника. Приспособления таких игр археологи находили в древних захоронениях, например в пирамиде египетского фараона Тутанхамона.

О таких играх английский поэт Уордсворд писал:

Не нужно нам владеть клинком,

Не ищем славы громкой.

Тот побеждает, кто знаком

С искусством мыслить, тонким.

Со временем появились нарды, карты, шашки, шахматы и т.д. В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных.

Толчком к развитию комбинаторики послужили азартные игры, прежде

всего игра в кости. Игроки пытались понять, почему одни суммы выпадают чаще, другие – реже. Задача оказалась совсем не простой. Этой проблемой в XVI- XVII в занимались многие известные математики.

Но не только азартные игры послужили толчком к исследованиям математиков. Ещё одна причина – тайна переписи. Шифрами пользовались короли, дипломаты и заговорщики, а также сами учёные. Так, ещё в конце XVI в., во время войны Франции с Испанией, расшифровкой переписки между противниками французского короля Генриха III и испанцами занимался Франсуа Виет. Навыки в работе со сложными шифрами помогали учёным при разгадке письменности древних народов.

В дальнейшем полем для приложения комбинаторных методов оказалась биология, химия, физика. И, наконец, роль комбинаторики коренным образом изменилось с появлением компьютеров: она превратилась в область, находящуюся на магистральном пути развития науки.


2 заплыв (тур). Решение задач.

Каждому экипажу даются задачи с выбором правильного ответа. За каждый верный ответ – 1 балл.

Задание.

(слайд 18-19) hello_html_6bd24519.png hello_html_2cef22b5.png

Решить задачи и проверить друг друга

1) Из города А в город В ведут 3 дороги, из города В в С – 2 дороги, из С в Д – 4 дороги. Сколькими способами можно проехать из города А в город Д через города В и С?

А. 3 · 2 · 4 = 24 способа; Б. 3 + 2 +4 = 10 способов; С. Другое решение.


2) Курьер должен разнести пакеты в 8 различных учреждений. Сколько маршрутов может он выбрать?

А. 1 + 2 + 3 + …+ 8; В. 8! С. Другое решение.


3) Сколькими способами из класса, в котором учатся 30 школьников, можно выбрать 2-х для участия в олимпиаде по математике и русскому языку?

А. С302; В. А302; С. Р30;.


4) В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить 4 мальчиков и 3 девочек. Сколькими способами можно сделать?

А. С164 + С123; В. С164 · С123; С. Другое решение.


5) Сколько различных стартовых 6-к можно образовать из числа 10 волейболистов?

А. С106; В. А106; С. Другое решение.

(слайд 20) hello_html_32bc7e64.pngОтветы: А; В; В; В; А

Задания дополнительного (утешительном) заплыва.(если команды набрали одинаковое количество баллов)

Задача. Из 30 участников собрания надо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами можно это сделать? (Ответ: А302 )


(слайд 21) hello_html_39373f43.png

  1. Рефлексия

  2. Итоги урока.

Сообщаются результаты регаты, и оценивается работа учащихся на уроке.

Общая информация

Номер материала: ДБ-081632

Похожие материалы