Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.
Подать заявку на курс
- Математика
Математическая статья «Поиграем» с квадратичной функцией!
Математическая статья
«Поиграем» с квадратичной функцией!
Работу выполнила
Ефремова Анна Валентиновна,
учитель математики
МКОУ СШ № 1 г. Дубовки
2015 г
«Поиграем» с квадратичной функцией!
При изучении явлений окружающего мира и в практической деятельности нам приходится рассматривать величины различной природы: длину, площадь, объем, температуру, время. Поэтому математика изучает зависимость между переменными в процессе их измерения.
Зависимость, выраженная видом 
, где a, b, c - заданные числа, причем a ≠ 0, а x, y - переменные, является квадратичной функцией.
Знакомство с квадратичной функцией начинается в 7 классе на примере зависимости площади квадрата от его стороны ( 
, где S – площадь квадрата, a – сторона квадрата). Впервые строится график 
, его называют параболой и выясняют некоторые свойства.
х
-3
-2
-1
0
1
2
3
у
9
4
1
0
1
4
9
1.Если х = 0, то 
2.Если х ≠ 0, то 
3.Противоположным значениям х соответствует одно и то же значение у: 
Ветви параболы симметричны относительно оси ОУ.
В 9 классе, изменяя коэффициент a , замечаем изменения в графике:
При 
Построим график функции 
х
-3
-2
-1
0
1
2
3
у
18
8
2
0
2
8
18
При 
Построим график функции 
х
-3
-2
-1
0
1
2
3
у
4,5
2
0,5
0
0,5
2
4,5
При 
Построим график функции
х
-3
-2
-1
0
1
2
3
у
-4,5
-2
-0,5
0
-0,5
-2
-4,5
Приходим к выводу, что для построения графика функции 
надо растянуть график функции в a раз вдоль оси ординат, если ; если , график строится с помощью сжатия график функции в a раз вдоль оси ординат; при для построения графика функции надо сначала растянуть график в 
раз вдоль оси ординат, а затем отразить его симметрично относительно оси абсцисс.
Рассмотрим другие случаи квадратичной функции .
Если 
Построим график функции 
х
-3
-2
-1
0
1
2
3
у
11
7,5
5
3
5
7,5
11
Если 
Построим график функции 
х
-3
-2
-1
0
1
2
3
у
2,5
0
-1,5
-2
-1,5
0
2,5
Вывод: для построения графика функции надо график функции параллельно перенести на 
единиц вдоль ось ординат
в положительном направлении, если
;в отрицательном направлении, если
Если 
Построим график функции 
х
1
3
4
5
6
7
9
у
8
2
0.5
0
0.5
2
8
Если 
Построим график функции 
х
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
у
9
4
1
0
1
4
9
Вывод: график функции можно получить из графика функции с помощью параллельного переноса вдоль ось абсцисс на m единиц вправо, если , или на m единиц влево, если
Построим график функции 
График этой функции можно получить из графика функции с помощью параллельных переносов на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс и 2 единицы вверх вдоль оси ординат.
Вывод: график функции вида можно получить из графика функции с помощью двух параллельных переносов :
сдвига вдоль оси ОХ на
единиц вправо, если , или на 
единиц влево, если 
сдвига вдоль оси ОУ на
единиц вверх, если , или на 
единиц вниз, если 
Для построения надо:
1.Найти координаты вершины параболы (
;
) по формулам
; 
;
.Построить ось симметрии параболы 
;
3.Найти две точки графика слева или справа от оси симметрии;
4.Построить две точки , симметричные полученным точкам относительно оси симметрии;
5.Построить параболу и назвать ее.
Пример.
Построить график функции 
.
Квадратичная функция, график парабола , ветви направлены вверх (т.к. 
Вершина параболы (2; -1)
x=2, - ось симметрии
x
0
1
2
y
3
0
-1
Рассмотренные варианты построения графиков квадратичных функций можно разбить на 4 блока
Преобразование графиков квадратичных функций
С помощью отображения относительно оси абсцисс
С помощью параллельного переноса вдоль оси абсцисс и оси ординат
С помощью алгоритма построения графика квадратичной функции общего вида
С помощью сжатия и растяжения вдоль оси ординат
При рассмотрении построения графика квадратичной функции в системе координат реализуются связи содержательных линий алгебры и геометрии: выясняется геометрический смысл коэффициента 
, а также ясную геометрическую интерпретацию получает коэффициент 
.
Данный материал имеет практическую направленность. Умение выполнять простейшие преобразования графиков элементарных функций помогает при составлении различных математических моделей, позволяет расширить аппарат решения уравнений и неравенств, систем уравнений и неравенств графическим способом. А это позволяет успешно применять полученные навыки при выполнении материалов итоговой аттестации ЕГЭ и ОГЭ.
| Автор | |
|---|---|
| Дата добавления | 16.11.2015 |
| Раздел | Математика |
| Подраздел | Другие методич. материалы |
| Просмотров | 166 |
| Номер материала | ДВ-160970 |
Просмотров: 398
Комментариев: 0
Просмотров: 1284
Комментариев: 0
Просмотров: 294
Комментариев: 0
Просмотров: 291
Комментариев: 0
Просмотров: 246
Комментариев: 0
Просмотров: 1383
Комментариев: 0
Просмотров: 192
Комментариев: 0