1053252
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 1.410 руб.;
- курсы повышения квалификации от 430 руб.
Московские документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ ДО 90%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО до конца апреля!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана ООО "Столичный учебный центр", г.Москва)

ИнфоурокМатематикаДругие методич. материалыМатематическая статья «Поиграем» с квадратичной функцией!

Математическая статья «Поиграем» с квадратичной функцией!

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

hello_html_m30368f28.gifhello_html_m258577d3.gifhello_html_m398e15f8.gifhello_html_21f7ae09.gifhello_html_m4bff19f0.gifhello_html_3903f209.gifhello_html_m620865cc.gifhello_html_m2dd7d90b.gifhello_html_m552a7901.gif









Математическая статья

«Поиграем» с квадратичной функцией!














Работу выполнила

Ефремова Анна Валентиновна,

учитель математики

МКОУ СШ № 1 г. Дубовки














2015 г

«Поиграем» с квадратичной функцией!

При изучении явлений окружающего мира и в практической деятельности нам приходится рассматривать величины различной природы: длину, площадь, объем, температуру, время. Поэтому математика изучает зависимость между переменными в процессе их измерения.

Зависимость, выраженная видом hello_html_m2367f12.gif , где a, b, c - заданные числа, причем a ≠ 0, а x, y - переменные, является квадратичной функцией.

Знакомство с квадратичной функцией начинается в 7 классе на примере зависимости площади квадрата от его стороны ( hello_html_3a291531.gif , где S площадь квадрата, a сторона квадрата). Впервые строится график hello_html_7d177a5.gif , его называют параболой и выясняют некоторые свойства.



х

-3

-2

-1

0

1

2

3

у

9

4

1

0

1

4

9



1.Если х = 0, то hello_html_669b0adf.gif

2.Если х ≠ 0, то hello_html_7fc1ec82.gif

3.Противоположным значениям х соответствует одно и то же значение у: hello_html_7054f260.gif

Ветви параболы симметричны относительно оси ОУ.



C:\Users\Маман\Desktop\media\image1.jpeg

В 9 классе, изменяя коэффициент a , замечаем изменения в графике:



При hello_html_7db4e636.gif




Построим график функции hello_html_76fa1eb3.gif

х

-3

-2

-1

0

1

2

3

у

18

8

2

0

2

8

18







C:\Users\Маман\Desktop\media\image1.jpeg

При hello_html_m6309732.gif



Построим график функции hello_html_m1a72e0aa.gif

х

-3

-2

-1

0

1

2

3

у

4,5

2

0,5

0

0,5

2

4,5



C:\Users\Маман\Desktop\media\image1.jpeg

При hello_html_m266c99ef.gif

Построим график функции

hello_html_49724c6a.gif



х

-3

-2

-1

0

1

2

3

у

-4,5

-2

-0,5

0

-0,5

-2

-4,5



C:\Users\Маман\Desktop\media\image1.jpeg



Приходим к выводу, что для построения графика функции hello_html_34d7f7b8.gifнадо растянуть график функции hello_html_7d177a5.gif в a раз вдоль оси ординат, если hello_html_7db4e636.gif; если hello_html_m6309732.gif, график строится с помощью сжатия график функции hello_html_7d177a5.gif в a раз вдоль оси ординат; при hello_html_m266c99ef.gif для построения графика функции hello_html_34d7f7b8.gif надо сначала растянуть график hello_html_7d177a5.gif в hello_html_3e21ccc2.gif раз вдоль оси ординат, а затем отразить его симметрично относительно оси абсцисс.

Рассмотрим другие случаи квадратичной функции .

hello_html_1b9f4c40.gif

Если hello_html_m7c0a5b55.gif

Построим график функции hello_html_52bc9aaf.gif



х

-3

-2

-1

0

1

2

3

у

11

7,5

5

3

5

7,5

11



C:\Users\Маман\Desktop\media\image1.jpeg

Если hello_html_m7f02adf1.gif

Построим график функции hello_html_23db5181.gif



х

-3

-2

-1

0

1

2

3

у

2,5

0

-1,5

-2

-1,5

0

2,5



C:\Users\Маман\Desktop\media\image3.jpeg




Вывод: для построения графика функцииhello_html_1b9f4c40.gif надо график функции hello_html_34d7f7b8.gif параллельно перенести на hello_html_m757c981c.gif единиц вдоль ось ординат

  • в положительном направлении, если hello_html_m7c0a5b55.gif;

  • в отрицательном направлении, если hello_html_5d3c2695.gif



hello_html_3b4ee51b.gif

Если hello_html_732c0581.gif




Построим график функции hello_html_55a47515.gif



х

1

3

4

5

6

7

9

у

8

2

0.5

0

0.5

2

8



C:\Users\Маман\Desktop\media\image1.jpeg



Если hello_html_7024f325.gif



Построим график функции hello_html_m5fae0d23.gif



х

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

у

9

4

1

0

1

4

9



C:\Users\Маман\Desktop\media\image1.jpeg





Вывод: график функции hello_html_3b4ee51b.gif можно получить из графика функции hello_html_34d7f7b8.gif с помощью параллельного переноса вдоль ось абсцисс на m единиц вправо, если hello_html_732c0581.gif, или на m единиц влево, если hello_html_7024f325.gif



hello_html_m61824fbc.gif

Построим график функции hello_html_m221ae6c4.gif



График этой функции можно получить из графика функции hello_html_m1a72e0aa.gif с помощью параллельных переносов на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс и 2 единицы вверх вдоль оси ординат.


C:\Users\Маман\Desktop\media\image2.jpeg


Вывод: график функции вида hello_html_m61824fbc.gif можно получить из графика функции hello_html_34d7f7b8.gif с помощью двух параллельных переносов :

  • сдвига вдоль оси ОХ на hello_html_m6fcfd213.gif единиц вправо, если hello_html_732c0581.gif , или на hello_html_61e52644.gif единиц влево, если hello_html_2b83be56.gif

  • сдвига вдоль оси ОУ на hello_html_443248c0.gif единиц вверх, если hello_html_m7c0a5b55.gif , или на hello_html_m36e7a611.gif единиц вниз, если hello_html_m1aa8b591.gif



hello_html_m2367f12.gif

Для построения надо:

1.Найти координаты вершины параболы (hello_html_69b83015.gif;hello_html_7e672011.gif) по формулам

hello_html_m44c35e47.gif; hello_html_2577a3c0.gif;

hello_html_m1657ada0.gif.Построить ось симметрии параболы hello_html_288a0c80.gif;

3.Найти две точки графика слева или справа от оси симметрии;

4.Построить две точки , симметричные полученным точкам относительно оси симметрии;

5.Построить параболу и назвать ее.

Пример.

Построить график функции hello_html_5108b94c.gif.

Квадратичная функция, график парабола , ветви направлены вверх (т.к. hello_html_m65e63a2d.gif Вершина параболы (2; -1)

hello_html_6c2e4f33.gif

hello_html_m4b1e7d59.gif

x=2, - ось симметрии

x

0

1

2

y

3

0

-1



C:\Users\Маман\Desktop\media\image2.jpeg



Рассмотренные варианты построения графиков квадратичных функций можно разбить на 4 блока

Преобразование графиков квадратичных функций







С помощью отображения относительно оси абсцисс

С помощью параллельного переноса вдоль оси абсцисс и оси ординат








С помощью алгоритма построения графика квадратичной функции общего вида

С помощью сжатия и растяжения вдоль оси ординат







При рассмотрении построения графика квадратичной функции в системе координат реализуются связи содержательных линий алгебры и геометрии: выясняется геометрический смысл коэффициента hello_html_m8f522f9.gif, а также ясную геометрическую интерпретацию получает коэффициент hello_html_m56d84833.gif.

Данный материал имеет практическую направленность. Умение выполнять простейшие преобразования графиков элементарных функций помогает при составлении различных математических моделей, позволяет расширить аппарат решения уравнений и неравенств, систем уравнений и неравенств графическим способом. А это позволяет успешно применять полученные навыки при выполнении материалов итоговой аттестации ЕГЭ и ОГЭ.

















Общая информация

Номер материала: ДВ-160970

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.