Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Статьи / Математические этюды. 5. Круглый треугольник

Математические этюды. 5. Круглый треугольник

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m6150f105.jpghello_html_m7c2ac72f.pnghello_html_m6150f105.jpg


РЕЛО Франц (Reuleaux Franz, 1829–1905) — фран­цуз­ский уче­ный. Впер­вые (1875) чет­ко сфор­му­ли­ро­вал и из­ло­жил ос­нов­ные воп­ро­сы струк­ту­ры и ки­не­ма­ти­ки ме­ха­низ­мов; раз­ра­ба­ты­вал проб­ле­му эс­те­тич­нос­ти тех­ни­чес­ких объек­тов.


hello_html_m715cf46a.jpg

hello_html_5a467867.gif

Круглый треугольник Рело



Проектор 8 миллиметровой кинопленки hello_html_62737c15.pngЛуч-2. Именно он был в каждом доме, где сами снимали и смотрели киноэтюды.

В этом этюде рассказывается, как геометрическое понятие, часто изучаемое на математических кружках, находит применение в нашей повседневной жизни.


hello_html_1aad4276.jpg

Колесо… Окружность. Одним из свойств окружности является ее постоянная ширина. Проведем две параллельные касательные и зафиксируем расстояние между ними. Начнем вращать. Кривая (в нашем случае окружность) постоянно касается обеих прямых. Это и есть определение того, что замкнутая кривая hello_html_62737c15.pngимеет постоянную ширину.


hello_html_m37eac52.gif

Бывают ли кривые, отличные от окружности и имеющие постоянную ширину?

Рассмотрим правильный треугольник (с равными сторонами). На каждой стороне построим дугу окружности, радиусом равным длине стороны. Эта кривая и носит имя hello_html_62737c15.png"треугольник Рело".


Оказывается, она тоже является кривой постоянной ширины. Как и в случае окружности проведем две касательные, зафиксируем расстояние между ними и начнем их вращать. Треугольник Рело постоянно касается обеих прямых. Действительно, одна точка касания всегда расположена в одном из "углов" треугольника Рело, а hello_html_62737c15.pngдругая на противоположной дуге окружности. Значит, ширина всегда равна радиусу окружностей, т.е. длине стороны изначального правильного треугольника.


В житейском смысле постоянная ширина кривой означает, что если сделать катки с таким профилем, то книжка hello_html_62737c15.pngбудет катиться по ним, hello_html_62737c15.pngне шелохнувшись.

Однако колесо с таким профилем сделать нельзя, так как центр такой фигуры hello_html_62737c15.pngописывает сложную линию при качении фигуры по прямой.




hello_html_m7c55aacf.gif




hello_html_3fc016d0.gif










hello_html_25d91437.gif




















hello_html_m56bfd3f1.jpg






hello_html_4aef3e1a.jpg


Бывают ли какие-то еще кривые постоянной ширины? Оказывается их бесконечно много.

На любом правильном нечетном n-угольнике можно построить кривую постоянной ширины по той же схеме, что был построен треугольник Рело. Из каждой вершины, как из центра, hello_html_62737c15.pngпроводим дугу окружности на противоположной вершине стороне. В Англии hello_html_62737c15.pngмонета в 20 пенсов имеет форму кривой постоянной ширины, построенной на семиугольнике.

Рассмотренные кривые не исчерпывают весь класс кривых постоянной ширины. Оказывается, среди них бывают и несимметричные кривые. Рассмотрим произвольный набор пересекающихся прямых. Рассмотрим один из секторов. Проведем дугу окружности произвольного радиуса с центром в точке пересечения прямых, определяющих этот сектор. Возьмем соседний сектор, и с центром в точке пересечения прямых, определяющих его, проведем окружность. Радиус подбирается такой, чтобы уже нарисованный кусок кривой непрерывно продолжался. Будем так делать дальше. Оказывается, при таком построении hello_html_62737c15.pngкривая замкнется и будет иметь постоянную ширину. Докажите это!


Все кривые данной постоянной ширины hello_html_62737c15.pngимеют одинаковый периметр. Окружность и треугольник Рело выделяются из всего набора кривых данной ширины своими экстремальными свойствами. Окружность ограничивает максимальную площадь, а треугольник Рело —  минимальную в классе кривых данной ширины.

Треугольник Рело часто изучают на математических кружках. Оказывается, что эта геометрическая фигура имеет интересные приложения в механике.

Смотрите, это hello_html_62737c15.pngМазда RX-7. В отличие от большинства серийных машин в ней (а также в модели RX-8) стоит роторный двигатель Ванкеля. Как же он устроен внутри? В качестве ротора используется именно hello_html_62737c15.pngтреугольник Рело! Между ним и стенками образуется три камеры, каждая из которых по очереди является камерой сгорания. Вот вспрыснулась синяя бензиновая смесь, далее из-за движения ротора она сжимается, поджигается и крутит ротор. Роторный двигатель лишен некоторых недостатков поршневого аналога - здесь вращение передается сразу на ось и не нужно использовать коленвал.


А это — hello_html_62737c15.pngгрейферный механизм. Он использовался в кинопроекторах. Двигатели дают равномерное вращение оси, а чтобы на экране было четкое изображение, пленку мимо объектива надо протянуть на один кадр, дать ей постоять, потом опять резко протянуть и так 18 раз в секунду. Именно эту задачу решает грейферный механизм. Он основан на треугольнике Рело, вписанном в квадрат и двойном параллелограмме, который не дает квадрату наклоняться в стороны. Действительно, т.к. длины противоположных сторон равны, то среднее звено при всех движениях остается параллельным основанию, а сторона квадрата всегда параллельной среднему звену. Чем ближе ось крепления к вершине треугольника Рело, тем более близкую к квадрату фигуру hello_html_62737c15.pngописывает зубчик грейфера.



Вот такие интересные применения, казалось бы, чисто математической задачи используют люди.


hello_html_6de01295.jpg


Литература

В.Г. Болтянский, И.М. Яглом. Выпуклые фигуры. - М.-Л.: ГТТИ. 1951. 343 с.
• Г. Радемахер, О. Теплиц. Числа и фигуры. - М.: Физматгиз. 1962. 263 с.




Краткое описание документа:

Просмотр не отражает красочности материала. Скачивай, всё сам увидишь! Страницы журнала для учащихся, любящих математику. Страницы красочные, удобные для использования, могут применяться в стенгазете на неделе математики. Материал не содержит больших математических выкладок, не отягощен математическими рассуждениями. Одни страницы помогают детям в подготовке к ЕГЭ, другие переносят их в далекое прошлое математической науки, третьи открывают проблемы в современной практической математике.

Автор
Дата добавления 20.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Статьи
Просмотров92
Номер материала ДВ-472674
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх