Математические этюды. 2. Прямоугольник и его части

Прямоугольник и его части

Прямоугольник двумя прямыми разделён на четыре прямоугольника, как показано на рисунке. Известны площади трёх из них – 18, 15 и 25, считая с верхнего слева и далее по часовой стрелке. Найти площадь четвёртой части прямоугольника.

Решаем задачу подбором.

Прямоугольники имеют попарно общие стороны, отсюда следует, что возможно такое решение: замечаем, что 18=3·6, 15=3·5 и 25=5·5; пусть стороны первой части равны 6 и 3, второй части – 3 и 5, третьей – 5 и 5. Получается, что стороны четвертой части равны 5 и 6, а потому её площадь равна 30.

Но единственное ли это решение?

Решим задачу, так сказать, в общем виде. Обозначим стороны частей-прямоугольников буквами a, b, c и d. Тогда их площади равны ab, bc, cd и ad. Перемножим площади «крест-накрест», получаем ab·cd и ad·bc.

Отсюда следует, что произведение площадей верхнего левого и нижнего правого равно произведению площадей верхнего правого и нижнего левого прямоугольников.

Значит, площадь четвёртой части равна

Итак, задача имеет единственное решение – 30.



Краткое описание документа:

Простой просмотр материала на этом сайте не отражает красочности. Скачай - всё придет в норму! Страницы журнала для учащихся, любящих математику. Страницы красочные, удобные для использования, могут применяться в стенгазете на неделе математики. Материал не содержит больших математических выкладок, не отягощен математическими рассуждениями. Одни страницы помогают детям в подготовке к ЕГЭ, другие переносят их в далекое прошлое математической науки, третьи открывают проблемы в современной практической математике.