Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Математические основы темы Алгебра и начала анализа: "Производная и ее геометрический смысл"

Математические основы темы Алгебра и начала анализа: "Производная и ее геометрический смысл"


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Алгебра и начала анализа

Вариант 8. Производная и ее геометрический смысл

  1. Математические основы темы интеграл.

Данная тема включает в себя следующие вопросы:

  • Задачи, приводящие к понятию производной.

  • Определение производной.

  • Вычисление производных:

  • Формулы дифференцирования

  • Правила дифференцирования

  • Дифференцирование функции y = f(kx + m)

  • Уравнение касательной к графику функции.



2. Дидактический анализ темы:

2.1. Цели изучения темы.

Образовательные:

познакомить учащихся с новой математической моделью – производной функции; показать физический и геометрический смысл производной для решения физических и геометрических задач; показать применение производной для исследования функции и построения ее графика.

Развивающие:

развитие памяти учащихся; развитие умений сравнивать, обобщать, правильно формулировать задачи и излагать мысли; развитие логического мышления, внимания и умения работать в проблемной ситуации.

Воспитательные:

развитие познавательного интереса учащихся; развитие любознательности учащихся; развитие умений преодолевать трудности при решении математических задач; воспитание таких качеств характера, как настойчивость в достижении цели.

2.2. Ведущие понятия темы.

Определение 1. Пусть функция y = f(x) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку x0. Дадим аргументу приращение Δx такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции Δy (при переходе от точки x0 к точке x0 + Δx) и составим отношение . Если существует предел этого отношения при Δx → 0, то указанный предел называют производной функции y = f(x) в точке x0 и обозначают f '(x0).

Определение 2. Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции y = f(x)в точке с абсциссой х = а можно провести касательную, непараллельную оси у, то f '(а) выражает угловой коэффициент касательной: k = f '(а).

Определение 3. Если функция y = f(x) имеет производную в точке x0, то ее называют дифференцируемой.

Определение 4. Если функции y = f(x) и y = g(x) имеют производные в точке x, то и их сумма имеет производную в точке х, причем производная суммы равна сумме производных.

Определение 5. Если функция y = f(x) имеет производную в точке х, то и функция имеет производную в точке х, причем (kf(x))' = kf '(x).

Определение 6. Если функции y = f(x) и y = g(x) имеют производные в точке x, то и их произведение имеет производную в точке х, причем (f(x)g(x))' = f '(x)g(x) + f(x)g '(x).

Определение 7. Если функции y = f(x) и y = g(x) имеют производные в точке x и g(x) ≠ 0 в этой точке , то функция имеет производную в точке х, причем .

Определение 8. Производная функции y = f(kx + m) вычисляется по формуле (f(kx + m))' = kf'(kx + m).

2.3. Ведущие (базовые) умения по теме и алгоритмические предписания к ним.

Алгоритм нахождения производной для функции y = f(x)

1. Зафиксировать значение x, найти f(x).

2. Дать аргументу x приращение Δx, перейти в новую точку x+Δx, найти f(x+Δx).

3. Найти приращение функции: Δy=f(x+Δx)−f(x).

4. Составить отношение ΔyΔx.

5. Вычислить  .

Этот предел и есть f(x).

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f(x)

1. Обозначить абсциссу точки касания буквой a.
2. Вычислить
f(a).
3. Найти
f '(x) и f '(a).
4. Подставить найденные числа
a, f(a), f '(a) в общее уравнение касательной y = f(a) = f '(a)(x – a).

2.4. Ключевые задачи по теме.

Пример 1.
а) Найти производную функции
y=x4+3x2+sin(x)
Решение:
Воспользуемся первым свойством - производная суммы равна сумме производных, так же воспользуемся и вторым свойством:
y'=(x4+3x2+sin(x) )'=(x4 )'+(3x4 )'+(sin(x) )'=4x3+6x+cos(x)
Ответ: y'=4x3+6x+cos(x)


б) Найти производную функции
y=cos(x) (x5+1)
Решение:
Воспользуемся третьим свойством:
y'=(cos(x) (x5+1))'=cos' (x)(x5+1)+cos(x) (x5+1)'==-sin(x) (x5+1)+cos(x) (5x4 )==-x5 sin(x)-sin(x)+5x4 cos(x)
Ответ: y'=-x5 sin(x)-sin(x)+5x4 cos(x)

Пример 2.
Найти значение производной функции y=(5x-4)
6 в точке x=1
Решение:
y'=5×6(5x-4)
5=30(5x-4)5
y' (2)=30(5×1-4)
5=30(1)5=30
Ответ: y'(2)=30

Пример 3.

 Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции hello_html_21e2c110.png в точке hello_html_m3b0c2fc6.png.

Решение:

 Из геометрического смысла производной получаем, что производная функции hello_html_4336ddd6.png, вычисленная при заданном значении hello_html_5a9d166d.png, равна тангенсу угла, образованного положительным направлением оси hello_html_m536a9fef.png и положительным направлением касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой hello_html_5a9d166d.png, то есть

hello_html_m49f78581.png

Найдем производную от заданной функции:

hello_html_ma912e3c.png

в точке hello_html_m3b0c2fc6.png имеем:

hello_html_m4f250e29.png

Тогда окончательно получим, что

hello_html_m5069b37c.png

Ответ: hello_html_m5069b37c.png

Пример 4.

К кривой hello_html_4d67eab2.gif в точке с абсциссой х0 =1 провести касательную.

hello_html_m4cb498ce.jpg

Зафиксируем точку х0 =1. Значение функции в этой точке равно 1.

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции:

1)  Найти х0 и точку касания. 

х0 - дано. Точка касания: (hello_html_m2ceac7b.gif;hello_html_m2e81089a.gif.

2) Найти производную в любой точке х.

hello_html_779f8a2f.gif.

3) Найти значение производной в точке с абсциссой х0.

 hello_html_m5d4457a7.gif.

4) Выписать и проанализировать уравнение касательной.

hello_html_17e1239c.gif.

Упрощаем и получаем:  hello_html_m49f7eb49.gif.

Ответ: hello_html_m49f7eb49.gif.





3. Технологическая карта темы.



Дата проведения урока

Тема учебного занятия

Стандарт темы

Результат урока

Способы организации деятельности уч-ся

план

план







Задачи, приводящие к понятию производной.

Понятие о производной функции, физический и геометрический смысл производной.

Знать физический и геометрический смысл производной.

Урок ознакомления с новым материалом.



Алгоритм нахождения производной.


Уметь находить производную функции через приращение функции и приращение аргумента.

Урок закрепления знаний и умений учащихся.



Формулы дифференцирования

Производные основных элементарных функций.

Уметь вычислять производные элементарных функций.

Комбинированный урок



Правила дифференцирования.

Производные суммы, разности, произведения и частного.

Уметь вычислять производные, применяя правила и формулы дифференцирования.

Комбинированный урок



Понятие и вычисление производной n-го порядка.

Вторая производная.

Уметь вычислять производные n-го порядка.

Комбинированный урок



Дифференцирование сложной функции.

Производная сложной функции.

Уметь вычислять производную сложной функции.

Урок ознакомления с новым материалом.



Дифференцирование обратной функции

Производные обратных функций.

Уметь вычислять производные сложных функций.

Комбинированный урок.



Уравнение касательной к графику функции.

Уравнение касательной к графику функции.

Уметь решать задачи с применением уравнения касательной к графику функции.

Урок ознакомления с новым материалом.



Решение задач с параметром и модулем с использованием уравнения касательной к графику функции.



Урок применения знаний и умений



Решение задач по теме «Правила и формулы отыскания производных»



Урок обобщения и систематизации знаний.



Контрольная работа



Урок контроля знаний и умений учащихся.



4. Урок данной темы с учётом современных требований к урокам математики.

Тема урока:

Определение производной. Задачи, приводящие к понятию производной. Физический и геометрический смысл производной.

Тип урока: изучение нового материала.

Оборудование: доска, интерактивная доска, мел.

Цели урока:

Образовательные: ввести понятие производной; рассмотреть задачи, приводящие к понятию производной; закрепить умение применять физический и геометрический смысл производной на конкретных примерах.

Развивающие: развивать подсознательную активность учащихся; формировать учебно – познавательные действия по работе с дополнительной литературой; углубление знаний учащихся о моделировании процессов действительности с помощью аппарата производной.

Воспитательные: воспитывать культуру личности, отношение к математике как к части общечеловеческой культуры, воспитывать у учащихся интерес к математике, формировать умение слушать и вступать в диалог.

Ход урока.

I. Организационный момент (3 мин)

Приветствие. Сообщить тему и цели урока.

II. Актуализация знаний учащихся.(10 мин)

Фронтальный опрос.

  • Дать определение функции.

  • Дать определение предела функции на бесконечности. Геометрический смысл. (Графики на интерактивной доске Слайд №1)

  • Дать определение предела функции в точке. Какая функция называется непрерывной в точке?

  • Дать определение приращения аргумента и приращения функции.

III. Изучение нового материала. (20мин.)

Слайд №2

Понятие предела имеет большой философский смысл. Окружающий нас мир бесконечен, бесконечны пространство и время. Если какое-либо явление можно описать некоторым законом, т. е. функцией, то предел этой функции на бесконечности может нам многое «рассказать» о будущем этого явления.

Слайд №3

С понятием предела непосредственно связано понятие производной. Различные задачи из различных областей знания приводят к одной и той же математической модели – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремиться к нулю. Впервые название этой модели и ее обозначение ввел немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц в 1675 году – основоположник дифференциального и интегрального исчисления. Лейбниц был философом и лингвистом, историком и биологом, дипломатом и политическим деятелем, математиком и изобретателем. Он в 1700 году организовал академию в Берлине, он же рекомендовал Петру I организовать академию в России. При организации Петербургской Академии наук в 1725 г. пользовались планами Лейбница.

Слайд №4

Итак, определение производной:

Производная непрерывной функции в данной точке равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

f (𝑥) = .

Обозначается f (х) или df/ dx, где df – дифференциал функции, dx - дифференциал аргумента (дифференциал – бесконечно малое приращение).

Если функция имеет производную в точке хо, то ее называют дифференцируемой в точке хо. Процедуру нахождения производной функции называют дифференцированием функции.

Мы рассмотрим две задачи, которые приводят к понятию производной.

Слайд №5

I. Механическая задача.

Итальянский ученый Г. Галилей, изучая свободное падение тел, экспериментальным путем определил зависимость пути S, пройденного телом за время t: S = gt2/2, где g – ускорение свободного падения. При свободном падении скорость тела v растет, движение неравномерное. Как найти скорость тела в любой момент времени, т.е. мгновенную скорость v(t)? Мы знаем, что при равномерном движении v=S/t. При неравномерном движении по этой формуле находится средняя скорость на всем пути: vср=∆S/∆t. Рассмотрим два момента времени: t и t+∆t, причем ∆t – малый промежуток времени. Тогда за этот промежуток времени тело пройдет путь ∆S=S(t+∆t) – S(t) и vср=∆S/∆t. Если ∆t0, то vсрv(t), значит. = v(t), v(t)

Вывод. Физический смысл производной заключается в том, что мгновенная скорость – это производная пути по времени:

v = S(t)

Вспомним определение ускорения: а = ∆v/∆t, но если ∆t0, то

а = Итак, задача механики о нахождении скорости тела в любой момент времени решена. Нужно только вычислить предел отношения приращения пути к приращению времени, если приращение времени стремится к нулю, т. е. найти производную пути.

II. Еще одна задача, приводящая к понятию производной, – задача о касательной к графику функции 𝒚 = f(𝑥).

Слайд №6

Рассмотрим график непрерывной функции и проведем в точке А секущую и касательную к графику



hello_html_16c582e2.png

Прямая АВ – секущая, ee уравнение y = kсекх +b, где kсек – угловой коэффициент секущей,

kсек =∆y/∆x = tg αсек, где αсек – угол наклона секущей (отсчитывается от положительного направления оси Ох против часовой стрелки).

Пусть ∆х стремится к нулю, тогда секущая стремится к своему предельному положению – к касательной в точке А, т. е. угловой коэффициент касательной равен пределу углового коэффициента секущей: = kкас, причем kкас = tg α, где α - это угол наклона касательной, отсчитываемый от положительного направления оси Ох.

Значит, kкас = tg α =

Вывод. Геометрический смысл производной заключается в том, что угловой коэффициент или тангенс угла наклона касательной к графику функции в данной точке с абсциссой 𝑥 равен производной функции в этой точке:

kкас = tg α = f (𝑥)

IV.Закрепление изученного материала.

У доски ученики решают номера 27.1(а, б), 27.5(а, б), 27.6 (а, б) из учебника : Математика.10 класс. А. Г. Мордкович, И. М. Смирнова.- М. :Мнемозина, 2007.

27.1(а,б)

S(t) = 2t + 1

t1 = 2

  1. t2 = 3

S(3) - S(2) = 7 – 5 = 2

Δt = 1

Vcp =

б) t2 = 2,5

S(2,5) - S(2) = 6 – 5 = 1

Δt = 0,5

Vcp =

27.5(а, б)

а) у = 9,5х – 3

f (𝑥) = 9,5

б) у = -16х + 3

f (𝑥) = -16

27.6 (а, б)

а) f (𝑥) = х2, х0 = 2

f (𝑥0) = 4

б) f (𝑥) = х2, х0 = -1

f (𝑥0) = -2

V. Постановка домашнего задания.

Домашнее задание: §27, № 27.1(в, г), 27.5(в,г) , 27.6 (в, г)

27.5(в, г)

t2 = 2,1

S(2,1) - S(2) = 0,2

Δt = 0,1

Vcp =

г) t2 = 2,05

S(2,05) - S(2) = 0,1

Δt = 0,05

Vcp =

27.5(в,г)

в) у = 6,7х – 13

f (𝑥) = 6,7

г) у = - 9х + 3

f (𝑥) = - 9

27.6 (в, г)

в) f (𝑥) = х2, х0 = 2

f (𝑥0) = 4

г) f (𝑥) = х2, х0 = 9

f (𝑥0) = 18

5. Комплект КИМ.

Самостоятельная работа

по теме: «Вычисление производной»

Вариант I

Найти производную функции:

1. ;

2. ;

3. ;

4.

5.*;

6.*;

7.*.

Оценка: «3» -1-4 номер; «4» - 5 номеров; «5» - 6 номеров

Вариант II

Найти производную функции:

1. ;

2. ;

3. ;

4.

5.*;

6.*;

7.*.

Оценка: «3» -1-4 номер; «4» - 5 номеров; «5» - 6 номеров

Контрольная работа №6 "Правила и формулы отыскания производных"

Вариант I 

1. Найдите производные функций: а)
 y=2x4;

б) y = 1;

в) y = - ;

г) y=7x10; 
д)
 y=3x+sin(x). 

2. Найдите производные функций: а)
 y=

б) y=

в) y=(4x6)5. 

3. Вычислите
 f′(), если f(x)=3cos(x)+4x22πx+5. 

4. Прямолинейное движение точки описывается законом
 t73t3. Найдите ее скорость в момент времени t=2c. 

5. Найдите все значения x, при которых выполняется неравенство
 f′(x)≤0, если f(x)=4,5x212x3. 

6. Найдите все значения x, при которых выполняет равенство
 f′(x)=0, если f(x)=sin(2x)+x, xϵ[π;5π]. 

Вариант II 

1. Найдите производные функций: а)
 y=3x4; б) y=−2; в) y=−x4+5cos(x); 
г)
 y=−3x4; д) y=. 

2. Найдите производные функций: а)
 y=; б) y=; в) y=(6x+1)8. 

3. Вычислите
 f′(), если f(x)=4sin(x)+0,5x2+x3. 

4. Прямолинейное движение точки описывается законом
 t415t2. Найдите ее скорость в момент времени t=4c. 

5. Найдите все значения x, при которых выполняется неравенство
 f′(x)<0, если f(x)=x25x3. 

6. Найдите все значения x, при которых выполняет равенство
 f′(x)=0, если f(x)=2cos(2x)−2x, xϵ[−π;3π].






Автор
Дата добавления 17.09.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров270
Номер материала ДБ-198700
Получить свидетельство о публикации


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх