"Математические понятия в начальной школе "

Содержание

Введение………………………………………………………..……………….....3

Глава 1. Методологические основы изучения математических понятий в начальной школе…………………………………………………………………..6

1.1. Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями…………….6

1.2. Определение понятий. Способы определения понятий…………………..15

Выводы по главе 1……………………………………………………………….19

Глава 2. Методологические условия формирования математических понятий в начальной школе ………...……………...……………………………………….21

2.1. Анализ программ по математике для 3 класса……………………………..21

2.2. Комплекс заданий по формированию математических понятий в 3 классе……………………………………………………………………………..24

Заключение……………………………………………………………………….30

Список литературы………………………………………………………………31

Введение

В наши дни математике отводится ответственная роль в развитии и становлении активной, самостоятельно мыслящей личности, способной творчески и конструктивно подходить к решению стоящих перед обществом задач, ведь именно она воспитывает в человеке такие качества, как критичность мышления, точность, четкость и ясность. Так же, математика способствует развитию у детей логики, мышления, внимания, умения считать, различать различные геометрические фигуры и умения действовать в определенной последовательности, соблюдая алгоритм при решении простейших задач. Поэтому, такая дисциплина, как математика является неотъемленной частью учебного процесса.

Государство ставит перед школой задачу в формировании личности обучающегося с развитыми индивидуальными особенностями, положительной мотивацией и умениями в учебной деятельности, такими как овладение чтением, письмом, счетом, элементами теоретического мышления, простейшими навыками самоконтроля, культурой поведения и речи и т.п. На выходе из школы государство хочет видеть сформированных личностей с нравственными убеждениями, эстетическим вкусом и здоровым образом жизни, владеющего основами наук, государственным языком Российской Федерации, навыками умственного и физического труда, способных к самоопределению [1]. Для достижения поставленных перед школой целей просто невозможно представить школу без математических дисциплин, так как именно математика способствует становлению и формированию у личности таких черт характера, как трудолюбие, любознательность, последовательность. Математика учит не только мыслям, но и учит мыслить. У.У. Сойер в своей книге «Прелюдия к математике» отмечал: "Можно научить учеников решать достаточно много типов задач, но подлинное удовлетворение придет лишь тогда, когда мы сумеем передать нашим воспитанникам не просто знания, а гибкость ума"[2], позволяющая в дальнейшем не только решать существующие задачи, но и ставить перед собой новые. При освоении основной образовательной программы начального общего образования по курсу математики Федеральный Образовательный Государственный Стандарт Российской Федерации ставит перед школой ожидаемые результаты, которые должны в себе содержать:

1) использование начальных математических знаний для описания и объяснения окружающих предметов, процессов, явлений, а также оценки их количественных и пространственных отношений;

2) овладение основами логического и алгоритмического мышления, пространственного воображения и математической речи, измерения, пересчета, прикидки и оценки, наглядного представления данных и процессов, записи и выполнения алгоритмов;

3) приобретение начального опыта применения математических знаний для решения учебно-познавательных и учебно-практических задач;

4) умение выполнять устно и письменно арифметические действия с числами и числовыми выражениями, решать текстовые задачи, умение действовать в соответствии с алгоритмом и строить простейшие алгоритмы, исследовать, распознавать и изображать геометрические фигуры, работать с таблицами, схемами, графиками и диаграммами, цепочками, совокупностями, представлять, анализировать и интерпретировать данные [3].

Для достижения поставленных результатов необходимо ответственно подходить к изучению курса математики. Изучение детьми математики происходит еще задолго до школы, уже в младшем дошкольном возрасте дети знакомятся с математическими понятиями определения фигуры, формы, количества, позже с такими понятиями, как число, счет, цифра. И, только уже в школьном возрасте ребенок серьезно подходит к усвоению математических понятий, а так же, применения их на практике. Однако, в школьной практике многие учителя требуют от учеников заучивания определений понятий, но это приводит к незначительным результатам. Ученики могут безошибочно воспроизвести понятия, но применить их на практике они не могут, что является следствием того, что учащиеся опираются на малосущественные признаки, существенные же признаки понятий ученики осознают и воспроизводят только при ответе на вопросы, требующие определения понятия. Процессом усвоения понятий можно управлять, формировать их с заданными качествами. При усвоении научных знаний учащиеся начальной школы сталкиваются с разными видами понятий. Неумение ученика дифференцировать понятия приводит к неадекватному их усвоению. «Главный недостаток школьного усвоения понятий - формализм», - считает психолог Н.Ф. Талызина [4]. Суть формализма состоит в том, что ученики, правильно воспроизводя определение понятия, то есть, осознавая его содержание, не умеют пользоваться им при решении задач на применение этого понятия. Следовательно, формирование понятий - это важная, актуальная проблема.

Объект исследования – процесс обучения младшего школьника математике.

Предмет исследования – условия формирования математических понятий в 3 классе.

Цель исследования – выявление комплекса задач для младших школьников, направленный на формирование математических понятий.

Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

1)    теоретический анализ литературы по теме исследования;

2)    подобрать комплекс заданий для учащихся 3 класса по формированию математических понятий.

Глава 1. Методологические основы изучения математических понятий в начальной школе.

1.1.          Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями.

В математике понятия являются одной из главных составляющих, формирование которых у детей считается сложным психологическим процессом, начинающийся с образования простейших форм чувственного познания и ощущений. Общеизвестно, что формирование математических понятий зачастую происходит по следующей схеме: ощущение → восприятие → представление → понятие.

В узком смысле представлением называют появляющийся в сознании образ ранее воспринятого предмета или явления, после того как представляемое объективно уже не присутствует [5]. В зависимости от того, как возникают эти представления можно выделить две группы:

·        Представления памяти. Данный вид представления возникает у человека основываясь на ощущения и восприятие. Однако, в отличии от образов ощущений и восприятия, что является непосредственно результатом этих процессов, образ представления существует вне времени и пространства. Он как бы достается человеком из памяти, ведь чтобы представить что-то, нам не обязательно непосредственно видеть этот предмет.

·        Представления воображения. Этот вид представления создается человеком при помощи воссоздающего воображения. Такие представления возникают у человека преобразовываясь из уже имеющихся образов в его памяти. Например: «Рыба-лопата- это одна из редчайших рыб, обитающих у берегов южной Австралии, относящихся к виду ископаемых. Тело этих рыб сильно сжато с боков, что напоминает по виду диск или лопату. Внешний вид рыбы-лопаты настолько сильно изменяется по мере роста, что рыб разного возраста описывали как разные виды. Окрас как и у всех рифовых рыб хоть и яркий, но маскирующий. Молодь окрашена в желтый или оранжевый цвет. С возрастом плавники становятся короче, желтый цвет тускнеет, черные полосы постепенно размываются и рыба приобретает почти однотонный темный цвет. Размеры могут достигать до 90 см с весом до 9 кг. Главное отличие от других рыб то, что рыба-лопата довольно странно использует свои плавники, она на них ходит по дну моря, использую плавники как ноги». У человека, прочитавшего описание, возникает в голове образ рыбы, которую он никогда не видел. При всем этом особую значимость в понимании словесного объяснения играет употребление различных признаков (цвет, форма, размер), которые всеми людьми воспринимаются одинаково.

Эти два вида представления имеют значимое место в школьном курсе математики. Например, основываясь на представлениях памяти можно соотнести образ различных геометрических фигур, а к представлениям воображения – представления о возможных случаях взаимного расположения фигур.

Однако, при обучении математики мы сталкиваемся с проблемами формирования представлений, так как далеко не все предметы и явления можно представить. Тогда создается редкая в обыденной жизни ситуация, когда учитель вынужден формировать понятие при отсутствии у учащихся более ранних чувственных форм познания, имеющих образную природу. В связи с этим особо возрастает роль графических способов представления материала и решения задач, когда учителю приходится использовать не реальные образы, а созданные их заменители. Это одна из первых проблем формирования представления у учащихся начальной школы. Так же, возникает проблема, когда в курсе математики встречаются ситуации, где чувственная ступень познания играет меньшую роль, и наглядность из средства, способствующего формированию понятия, становится тормозящим фактором. Например, бесконечность множества чисел на любом отрезке числовой прямой не подкрепляется, а, наоборот, опровергается конкретным образом конечного отрезка. И, в завершении хочется сказать о проблеме, когда учителя математики мало внимания уделяют формированию у учащихся необходимых математических представлений, которые способствуют развитию таких мыслительных операций, как обобщение и абстрагирование, после овладениями которыми, учениками совершается переход от представлений к понятиям. Безусловно эти два определения тесно связаны между собой, но так же они имеют и ряд отличий:

·        Представление определяется вторичным образом предмета, когда понятие – мыслью о предмете, выраженной в словах;

·        Представление обобщает существенные и не существенные свойства предметов и явлений, когда понятие – только существенные;

·        Представление – субъективно, так как складывается исходя из индивидуального опыта человека, а понятие складывается в теоретической и практической деятельности многих поколений;

·        Одно и то же представление у различных людей может отличаться по точности, полноте, яркости и т.п., когда понятия у большинства людей одинаковы;

·        Не все явления и процессы можно представить, а вот мыслить в понятиях можно о любых процессах и явлениях [6].

Исходя из этих отличий можно сделать вывод, что понятие - это форма мышления о целостной совокупности существенных и несущественных свойств объектов реального мира, в частности, и математических объектов [7].

Для формирования у учащихся математических понятий необходимо понятие о математическом объекте, что является результатом выделения из предметов и явлений окружающего нас мира особых количественных и пространственных свойств и отношений и абстрагирования от всех других свойств, характеризующимся благодаря применению определенных умственных действий [8]. Таким образом, математические объекты не существуют в реальной жизни, ведь нет в окружающем нас мире геометрических фигур, чисел и т.д. Все они плод человеческого воображения, существующие лишь в мышлении человека и в тех знаках и символах, которые были созданы для образования математического языка. Поэтому принято говорить, что математические объекты – это есть идеальные объекты, описывающие реальные объекты. Например, необходимо рассчитать, сколько фасадной плитки нужно купить для облицовки стены, если известно, что плитка имеет форму квадрата со стороной 25 см.  В данном случае неважно какого цвета стена или из какого материала она сделана. Важно знать лишь форму и размер этой стены. Следовательно, отвлекаемся от всех свойств рассматриваемого предмета и выделяем только его форму и размер. В результате такого абстрагирования получаем математический объект - геометрическую фигуру.

Математические объекты обладают различными свойствами. Например, у квадрата свойства будут следующие [9]:

·        Имеет четыре стороны;

·        Все стороны равны;

·        Имеет четыре внутренних угла;

·        Все углы прямые и т.д.

Таким образом, свойства – это все то, в чем объект сходен или различен с другими объектами; все то, благодаря чему объект можно узнать, определить, описать. Исходя из данного определения можно выделить два вида свойств, которыми обладает каждый объект – существенные и несущественные. К существенным свойствам относят присущие данному объекту свойства, без которых он не сможет существовать. К несущественным свойствам относят те же присущие свойства объекта, отсутствие которых не влияет на его существование [7]. Так, приведенные выше свойства квадрата являются существенными. И, если сказать, что «сторона AD квадрата ABCD горизонтальна», то это будет несущественным свойством, так как если квадрат ABCD повернуть, то сторона AD окажется расположенной по другому, а квадрат не изменит своих существенных свойств (рис. 1).

Рис. 1

Следовательно, чтобы понимать данный объект, достаточно знать его существенные свойства. Тогда говорят, что имеется понятие о данном объекте. Но если изменить его существенные свойства – тогда это будет совершенно другой объект. К примеру, если ученикам будет дано задание разделить следующие квадраты на две группы (рис. 2):

Рис. 2

При решении данной задачи учащиеся будут руководствоваться такими свойствами, как цвет, размер, расположение, не относящимися к существенным свойствам квадрата. Поэтому, справедливо будет отметить, что при решении конкретных задач несущественные свойства могут стать существенными для решения данной задачи. Делая вывод, можем отметить, что под понятием следует понимать совокупность существенных и несущественных свойств соответствующего объекта, соединяющих в себе целый класс объектов [10]. Например, понятие «четырехугольник» обозначает класс всевозможных многоугольников, обладающими конкретными свойствами: иметь четыре стороны, иметь четыре вершины, иметь четыре угла и т.д. Совокупность всех этих многоугольников будет составлять объем понятия «четырехугольника».

Здесь же можем отметить, что объемом понятия можно считать совокупность всех объектов, обозначаемых одним и тем же термином (словом, названием). Если объемом понятия a будем называть множество A объектов или отношений, охватываемым данным понятием, то объемом понятия a – «однозначное натуральное число» является множество A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Если по объему понятий можно обозначать целый класс, обозначающийся одним лишь словом, то по содержанию объединение в единый класс происходит по существенным свойствам данных объектов. Тогда можно утверждать, что совокупность всех взаимосвязанных существенных свойств, каждое из которых присуще данному объекту называют содержанием понятия об этом объекте [11].

Отсюда следует, что всякое понятие характеризуется термином, объемом и содержанием. И, не стоит забывать, что между объемом понятия и его содержанием существует определенная связь и характеристика: чем «больше» объем понятия, тем «меньше» его содержание, и наоборот. Такое утверждение достоверно только для понятий, которые находятся в родовидовых отношениях. К примеру, понятие «многоугольник» будет являться родовым по отношению к понятию «четырехугольник», а понятие «четырехугольник» - видовым по отношению к понятию «многоугольник». Здесь же можно сказать, что понятие «многоугольник» шире понятия «четырехугольник», а понятие «четырехугольник» уже понятия «многоугольник», либо понятие «многоугольник» является обобщением понятия «четырехугольник», а понятие «четырехугольник» есть частный случай понятия «многоугольник». Так же, существуют и такие понятия, которые не могут находиться в родовидовых отношениях. Например, у понятия «треугольник» и «прямоугольник» объемы не пересекаются, поэтому они не смогут находиться в родовидовых отношениях. Вообще, понятие рода и вида относительны: любое понятие может быть родовым по отношению к одному, а видовым по отношению к другому. К примеру, понятие «прямоугольник» есть родовое по отношению к понятию «квадрат» и видовое по отношению к понятию «четырехугольник». Так же, для данного понятия можно указать несколько родовых понятий, к понятию «прямоугольник» можно отнести следующие родовые понятия: «четырехугольник», «параллелограмм», «многоугольник», и выделить ближайшее, таким для нашего понятия будет «параллелограмм». Еще стоит отметить, что видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Например, квадрат, который будет являться видовым понятием по отношению к понятию «прямоугольник», обладает всеми свойствами относящимся к прямоугольнику.

 Если объем понятия есть множество, то изобразим отношения между объемами понятий с помощью кругов Эйлера.

Установим отношения между следующими парами понятий a и b:

1)    a – «ромб», b – «прямоугольник»;

2)    a – «параллелограмм», b – «многоугольник»;

3)    a – «отрезок», b – «прямая».

В первом случае объемы данных понятий пересекаются, но ни одно из этих множеств не является подмножеством другого (рис. 3):

                                         А                                    В

                                                                                  
                                                                                      Рис. 3

Делая вывод можно утверждать, что данные понятия a и b не находятся в отношении рода и вида.

В случае под номером два – a является подмножеством множества b, и объемы этих понятий находятся в отношении включения, но не совпадают, из чего следует вывод, что всякий параллелограмм может быть многоугольником, а не наоборот (рис. 4):

                                  В

                                                      А

Рис. 4

В этом случае можно утверждать, что понятие «параллелограмм» является видовым по отношению к понятию «многоугольник», а понятие «многоугольник» можно считать родовым по отношению к понятию «параллелограмм».

И наконец, в третьем случае объемы понятий не пересекаются, так как ни одна прямая не может быть названа отрезком, и ни один отрезок нельзя назвать прямой (рис. 5):

                     А
                                                                    В

                                                            Рис. 5

Исходя из этого делаем вывод, что данные понятия не находятся в отношении рода и вида, но мы можем утверждать, что они находятся в отношении целого и части, так как отрезок есть часть прямой, а не ее вид. И, если мы утверждали, что видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия, то здесь нужно отметить, что часть не всегда обладает всеми свойствами целого так, как и отрезок не обладает таким свойством прямой – как ее бесконечность.

1.2.          Определение понятий. Способы определения понятий.

Заключительным этапом изучения понятий является, как правило, определение. Как нам уже известно, в содержание понятия каждого математического объекта входит множество различных существенных свойств. Однако, для распознавания данного объекта следует указать лишь некоторые существенные свойства, это и будет называться определением понятия об этом объекте. Таким образом, определением принято считать некоторую логическую операцию перечисления необходимых и достаточных свойств, раскрывающих содержание понятия.

 Определения можно разделить на неявные и явные. Под неявными принято понимать определение понятия с помощью наглядности конкретных объектов, охватываемых этим понятием. Неявные определения используются на начальном курсе изучения математики, поэтому особенно важно учителю начальных классов владеть данным материалом. Так же, неявные определения разделим на остенсивные и контекстуальные определения.

Остенсивными (от лат. ostendere – показывать) определениями принято пользоваться для введения терминов путем показа объектов, которые этими терминами обозначают. К примеру, с помощью такого определения в начальной школе вводятся понятия «числовое выражение», «равенства», «неравенства» и др. Покажем на примере числовых выражений:

«Прочитай записи:
9 + 71      30 + 6 + 14      18 – (14 + 6)
23 – 37    15 – 7 + 32       25 – (15 – 10)
Это числовые выражения, или, короче, выражения».

В различных современных учебниках математики сохраняются аналогичные задания, изменяются лишь математические объекты, при всем этом способ знакомства с этим понятием остается тем же – путем показа.

В контекстуальных определениях содержание нового понятия вводится через контекст, отрывок текста, анализ конкретной ситуации, раскрывающей смысл вводимого понятия. Например, понятие «уравнение» и способ его решения в некотором учебнике математики вводится контекстуально. Здесь, после записи 56-x=23 и перечня чисел 23, 13, 33, 32, 36 идет текст: «x – неизвестное число, которое надо найти. Какое из этих чисел нужно поставить вместо x, чтобы равенство было верным? Это число 33» [12]. Опираясь на данный текст можно утверждать, что уравнение есть равенство с неизвестной переменной, которую надо найти, а решить уравнение – значит найти такое значение x, при подстановке которого в уравнении получится верное равенство.

Со временем у ученика происходит процесс накопления знаний, развивается язык и способность к общению. Благодаря чему, у ученика появляется возможность определять неизвестные определения с помощью известных – это уже явные определения. Если будем говорить о явных определениях, то стоит отметить, что в нем отождествляются два понятия, где одно называют определяемым понятием, а другое – определяющим. С помощью определяющего раскрывается содержание определяемого понятия.

На примере определения квадрат, попробуем проанализировать его структуру. Дадим определение квадрату: «Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны». В данном определении «квадрат» является определяемым понятием, затем приведено определяющее понятие, включающее в себя свойства квадрата – быть прямоугольником, иметь равные стороны. В первом свойстве «быть прямоугольником» указывается, что все квадраты являются прямоугольником, такое свойство будет родовым по отношению к определяемому понятию «квадрат». А во второй части определения указывается видовое свойство: «иметь равные стороны» - это то, что отличает квадрат от других видов прямоугольников.

Данная структура имеет место быть и в других определениях школьного курса математики. Для наглядности представим ее схематично:

Определение понятий через такую схему называют определением через род и видовое отличие.

Но в математике встречаются определения построенные и по другой схеме. К примеру, разберем такое определение, как «треугольник». Дадим ему определение: «треугольником называется фигура, состоящая из трех точек не лежащих на одной прямой и трех попарно соединяющих их отрезков». В этом определении сначала дано родовое понятие по отношению к треугольнику – «фигура», а после, в качестве видового отличия, указан способ построения такой фигуры, являющейся треугольником: взять три точки, не лежащие на одной прямой и соединить каждую их пару отрезком. Такое определение будет называться – генетическим (от слова генезис – происхождение), где частным случаем будет указание определения через род и видовое отличие, когда видовое отличие будет указывать на происхождение или способ построения определяемого объекта.

Так же, в математической теории встречаются определения, в которых указывается некоторые основные элементы из объема понятия, а так же даются правила, которые позволяют получать из уже имеющихся элементов – новые. К примеру, рассмотрим определение арифметической прогрессии: «Арифметической прогрессией называется последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом». Такое определение будет называться – рекурсивным.

В математике могут существовать понятия, которые логически не определяются. Такие понятия называют основными или первичными. Примерами таких понятий могут быть: точка, прямая, множество, величина. Если будем говорить об определении, то нет смысла рассматривать его как истинное или ложное, так как оно может быть корректным и некорректным в зависимости от того, удовлетворяет оно или нет определенным требованиям.

Выводы по главе 1.

После изученного в первой главе теоретического материала можно сделать вывод, что математические понятия – это составленные понятия о математических объектах, основанные на целостной совокупности существенных и несущественных свойствах об этих объектах. Начнем с того, что формирование математических понятий у младшего школьника сложный психологический процесс, который должен начинаться с образования простейших форм чувственного познания и ощущений. Таковым является и представление, формирование которого очень важно для учащихся, так как без него невозможно понимание общего курса математики, где зачастую при введении нового понятия невозможен метод наглядности, тогда ученикам и предстоит формировать понятие опираясь на свой жизненный опыт и воображение. После овладения методом представления учениками совершается переход от представлений к понятиям. Не стоит забывать, что эти два понятия тесно связаны между собой и не могут существовать друг без друга, ведь каждое понятие вводится путем представления. Поэтому, особенно важно учителю начальных классов уделить достаточно времени для формирования у учащихся необходимых математических представлений, что служит основой для дальнейшего понимания всего курса математики.

В начальном курсе математики вводится насыщенный материал математических понятий, и в первых этапах каждое понятие вводится в учебном процессе путем наглядности через наблюдения конкретных предметов. Так, уже в первом классе ученики знакомятся с понятиями «цифра», «число», «слагаемое», «сумма» и многими другими. Во втором классе к ним добавляются понятия о умножении и делении, а в третьем классе вводятся такие понятия, как дроби, площади фигуры и др. Учитель опирается на приобретенный опыт детей и знания, которые сформировались еще в дошкольном возрасте. Так же, на начальном этапе изучения математики вводится небольшое число понятий, определяемых через род и видовое отличие. Для младшего школьника важно не только безошибочно воспроизводить понятие, но и понимать его содержание, а так же уметь применять эти знания на практике, определяя существенные признаки. Здесь же, можем отметить, что процессом усвоения и формирования математических понятий младшим школьником можно управлять, о чем мы и поговорим во второй главе данной работы.

Глава 2. Методологические условия формирования математических понятий в начальной школе.
2.1. Анализ программ по математике для 3 класса.

Основной целью изучения математических понятий является правильное усвоение школьниками содержания понятий и способность использовать их в своей учебной деятельности. Важно, при формировании математических понятий у учеников, учителю ставить правильные цели и продумывать ряд конкретных действий для ее достижения. К примеру, при формировании понятия «однозначное число» учитель ставит цель научить учащихся правильно читать и записывать однозначные числа, знать порядок следования этих чисел в натуральном ряду, знать и уметь записывать состав однозначных чисел из отдельных единиц. А если формировать понятие «многозначное число», то с ним ученики, кроме отмеченных действий относительно понятия «однозначное число», должны уметь выполнять и другие действия. Например, представлять многозначное число в виде суммы разрядных слагаемых, находить в нем число единиц, десятков, сотен и т.д. Следовательно, относительно этой задачи можем сделать вывод, что правильно подобранные действия в учебном процессе ведут к достижению поставленной цели, в нашем случае – это усвоение младшими школьниками математических понятий [13].

Рассмотрим и проведем краткий анализ двух учебников по математике, авторов М.И. Моро «Математика» в двух частях и Л.Г. Петерсон «Математика» в трех частях, на предмет вводимых понятий в 3 классе. Оба учебника соответствуют требованиям Федерального Государственного Образовательного Стандарта и пользуются спросом в педагогической деятельности, в зависимости от утвержденной образовательной программы в каждой школе. Для лучшей наглядности законспектируем вводимые понятия с помощью таблицы:

М.И. Моро	Л.Г. Петерсон
Уравнение  Площадь прямоугольника Доли Окружность Круг Радиус Диаметр окружности Масса Грамм Разносторонний треугольник Равнобедренный треугольник Равносторонний треугольник Остроугольный треугольник Прямоугольный треугольник Тупоугольный треугольник Меры времени Деление с остатком Квадратный сантиметр Квадратный дециметр Квадратный метр	Множество Элементы множества Диаграмма Эйлера-Венна Подмножество Пересечение множеств Объединение множеств Система счисления Натуральные числа Длина Масса Грамм Тонна Центнер Симметрия Меры времени Переменная Равенство Неравенство Уравнение Корень уравнения Формулы Площадь прямоугольника Периметр прямоугольника Куб Кубический сантиметр Формула пути Формула стоимости Формула работы

Перед нами примерный список вводимых математических понятий в 3 классе по учебникам двух авторов, после анализа которых можно сделать следующие выводы. Учебники различаются не только по содержанию вводимых понятий, но и по их объему. Анализ учебника Л.Г. Петерсон показал, что построение заданий в этом учебнике направлено на самостоятельное добывание знаний учащимися, формирование представления, а не на отработку умения решать определенный вид задач. У Моро же задания очень однотипны и объем вводимых математических понятий на период изучения математики в 3 классе сильно сжат. Далее попробуем совместить упражнения из данных учебников с понятиями, которые изучаются учащимися и подобрать комплекс заданий направленный на формирование математических понятий в 3 классе.

2.2. Комплекс заданий по формированию математических понятий в 3 классе.

Ученикам начального звена необходимо научиться абстрагироваться для лучшего усвоения математического материала. Так же, в своей концепции построения учебной деятельности, рассчитанной на усвоение учащимися начальных классов научных понятий, писал и В.В. Давыдов. Он писал об индуктивном-дедуктивном способе изложения материала, рассчитанный на формирование полноценного теоретического мышления, способность переходить от частного к общему и обратно, умение анализировать и обобщать. «Одна из задач теоретического мышления, - пишет В.В. Давыдов, - состоит в выделении существенной связи (ее абстрагировании), а затем в мысленном сведении к ней всех проявлений объекта (в их обобщении)» [14]. Поэтому, следует обеспечить учащемуся в учебном процессе возможность свободного мысленного движения в двух указанных взаимосвязанных направлениях: от абстрактного к конкретному и от конкретного к абстрактному, но с выделением приоритета первого направления.

Для формирования математических понятий у учеников начальных классов проводится работа в три этапа [15]:

·        Первый этап рассчитан на изучение частных фактов;

·        Второй этап на обобщение понятия;

·        Третий этап – этап развития понятия.

Совокупность заданий, соответствующих всем трем этапам, определяет систему заданий, как средство формирования у учащихся начальной школы определенного математического понятия. Если обобщить вышеизложенное, можно выделить ряд некоторых требований к системе заданий, которые направлены на формирование у младших школьников математических понятий:

1.     Система должна задавать необходимую сеть связей и отношений между формируемыми частными фактами;

2.     Связь между математическим содержанием задания, процессом решения и содержанием частных фактов должна быть достаточно сильной;

3.     Методическая характеристика каждого задания должна быть достаточной для отграничения от других заданий;

4.     Система должна стимулировать учащихся в усвоении частных фактов;

5.     Система заданий должна допускать контроль и корректировку процесса усвоения учащимися частных фактов;

6.     Система должна содержать задание способствующие усвоению математических понятий.

На основе этих требований, можно выделить ряд действий, направленный на формирование математических понятий у младших школьников:

1.     Распознавание предметов, входящих в объем данного понятия. Действие распознавания часто используется в начальной школе. Целью этого является правильное выделение необходимого математического объекта в данной совокупности объектов. Распознавание предметов всегда осуществляется по существенным свойствам. Поэтому одна из важнейших задач учителя заключается в том, чтобы правильно сориентировать учащихся на такие свойства. Ее решение в начальных классах существенно осложняется, т.к. здесь в основном используются такие приемы раскрытия содержания понятий, в которых явно существенные признаки не указываются (например, прием показа). Приведем примеры задач на распознавание. Задача 1. Назови все лучи и углы на рисунке 6. Выпиши сначала название прямых углов, потом тупых и затем острых углов [18].

               Рис. 6

Решение задач на распознавание принадлежности объекта объему данного понятия основывается, как правило, на определении этого понятия через род и видовое отличие. Если определение содержит одно видовое свойство, то распознавание проводится по следующему плану.

1) Проверяем, принадлежит ли объект объему родового понятия. Если окажется, что не принадлежит, то проверку прекращаем и делаем вывод, что объект не принадлежит объему понятия.

2) Если объект принадлежит объему родового понятия, то продолжаем проверку и выясняем, обладает ли объект видовым отличием.

3) Если объект обладает этим свойством, то делаем вывод о его принадлежности к объему данного понятия.

4) Если объект не обладает этим свойством, то делаем вывод о том, что объект не принадлежит объему данного понятия [17].

Умение решать задачи на распознавание является показателем уровня сформированности понятия. В то же время, как показывает практика обучения младших школьников, они испытывают затруднения при решении задач на распознавание. Часто причина ошибок при решении задач на распознавание связана с тем, что понятия определяются остенсивно или контекстуально. В этом случае школьникам предъявляется объект и вводится термин или предлагается специально сконструированный текст, в котором необходимо увидеть существенные свойства понятия. Чтобы предупредить такие ошибки, необходимо при введении определения того или иного математического понятия не только обращать внимание на его структуру, но и выполнять соответствующие упражнения.

2.     Действие подведения под понятие.

Для того, чтобы правильно происходило подведение объекта под то 6или иное понятие, учащимся нужно, во-первых, научиться выделять понятие, под которое требуется подвести данный объект. Во-вторых, надо установить, при каких условиях данный объект может относиться к данному понятию.

Примеры заданий на формирование действия подведение под понятие с использование учебника по математике [18]:

1) назови закрашенные доли круга в порядке их увеличения и в соответствии с этим запиши буквы. Ты получишь зашифрованное слово.

2) какое число надо записать в окошко, чтобы стало верным равенство: 14+14+14+14=□×4? Варианты для вставки: 14,4,3.

Действия распознавания и подведения под понятие имеют много общего: и в том, и в другом случае учащимся необходимо знать существенные свойства рассматриваемого понятия. Различие заключается в том, что при решении задач на распознавание ученики должны выяснять, чем отличаются предлагаемые объекты, а при рассмотрении действия подведения под понятие выделяют общее для всех объектов, принадлежащих одному понятию.

3.     Получение следствий.

Цель этого действия состоит в том, чтобы с разных сторон рассмотреть предмет, выбранный из объема данного понятия, изучить его в плане разных понятий. Выполнение такого действия формирует умение рассматривать один и тот же объект с разных сторон, что очень важно для развития учащихся. Например, предлагается задание [19]:

Вместо «Сейчас 1 час 15 минут» можно сказать: «Сейчас 15 минут второго». А вместо «Сейчас 5 часов 40 минут» говорят: «Сейчас без двадцати шесть» (то есть до шести осталось 20 минут). Прочитай по-разному:

4.     Сравнение понятий по содержанию и по объему.

Целью такого действия является выявление сходного и различного в рассматриваемых понятиях для более четкого усвоения отличительных признаков объектов. Делается это путем постановки соответствующих вопросов. Например, какой общий признак у всех уравнений? Сохранится ли уравнение, если вместо знака равенства поставить знак неравенства? Почему? Какой признак надо убрать у квадрата, чтобы он стал не прямоугольником? Чем похожи все числовые равенства? Чем они отличаются? Чем отличаются понятия «числовое равенство» и «числовое выражение»? Необходимо отметить, что сравнение должно происходить на основе существенных свойств. Действие сравнения помогает учащимся понять место усваиваемого понятия среди других. Ценность рассмотренных действий на получение следствий и сравнение состоит в том, что их выполнение содействует усвоению понятий во взаимосвязи, в некоторой системе.

5.     Классификация.

Действие классификации более сложное, чем выше рассмотренные. Классификация дополнительно требует понимания родовидовых отношений и предполагает наличие понятий о роде и виде. Классификация позволяет, с одной стороны, включать изучаемое понятие в систему других, ранее изученных, с другой – увидеть подклассы объектов, входящих в объем изучаемого понятия. Так, четырехугольник может быть рассмотрен и как один из видов многоугольников и как родовое понятие, включающее целое множество различных видов. Классификация включает ряд действий и требует выполнения ряда условий. Приведем пример [20]: «Вспомни соотношения между единицами длины, площади, объема и массы. Вычисли:»

а) 6 дм 3 см 2 мм – 48 см                      д) 4 км 788 м + 6 км 20 м

б) 9 кг 200 г – 5 кг 540 г                        е) 15 м² 2 см² – 9 м² 5 дм² 27 см²

в) 17 ц 69 кг + 3 т 831 кг                       ж) 12 дм³ – 3 дм³ 4 см³

г) 4 км 52 м + 12 км 6 м – 8 км 258 м

Заключение.

Первоначальное знакомство с понятиями не является окончательным. Понятие получает дальнейшее развитие. Так как в начальной школе понятия в основном усваиваются на уровне представлений объектов и действий с ними, то необходимо учитывать определенные методические требования при формировании понятий.

1. Как правило, нельзя начинать знакомство учащихся с понятием сразу с введения соответствующего термина.

2. Так как понятия усваиваются в действиях, которые выполняют с ними ученики, то необходимо предварительно выявить, какие действия должны усвоить дети при изучении данного понятия, и в соответствии с этим подбирать упражнения.

3. Для того чтобы дети правильно усваивали отличительные признаки изучаемых объектов, необходимо варьирование как существенных, так и несущественных признаков этих объектов.

4. Для более глубокого усвоения понятий важно использовать не одно, а несколько действий: сравнение, выведение следствий, классификацию и др.

Из данной работы можно сделать вывод, что в начальной школе много математических понятий сначала усваиваются поверхностно, расплывчато. При первом ознакомлении учащиеся узнают только о некоторых свойствах понятий и очень узко представляют их объем. Не все понятия легко усвоить, но бесспорно, что понимание и своевременное использование учителем тех или других видов определений математических понятий - одна из условий формирования у учеников твердых знаний об этих понятиях.

Список литературы.

1.     Новый Федеральный закон об образовании в Российской Федерации №273-ФЗ. 2015.

2.     У.У. Сойер. Прелюдия к математике. 1972.

3.     ФГОС РФ от 2012.

4.     Талызина Н.Ф. Педагогическая психология: Учебное пособие для средних педагогических заведений. Академия 2001.

5.     Философский энциклопедический словарь. 2010.

6.     Артемов А.К. Изучение математических понятий в начальных классах. Пенза 2010.

7.     Стойлова Л.П., Пышкало А.М. Основы начального курса математики: учебное пособие для учащихся пед. училищ. – М.: Просвещение, 1988.

8.     Белошистая А.В. Методика обучения математике в начальной школе. – М.: Гуманитар. изд. центр ВЛАДОС, 2007.

9.     Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах. – М.: Просвещение, 2004.

10.  Оганесян В.А., Колягин Ю.М., Луканин Г.Л., Саннинский В.Я. Методика преподавания математике в средней школе. – М.: Просвещение, 2010.

11.  Аматова Г.М., Аматов М.А. Математика.- М.: Московский психолого – социальный институт, 2010.

12. Стойлова Л.П., Конобеева Е.А., Конобеева Т.А., Шадрина И.В. Математика. Сборник задач. – М.: Изд.  центр «Академия», 2012.

13. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. – М.: 2010.

14.  Давыдов В.В. Основные проблемы развития мышления в процессе обучения. – М.: 1981.

15.  Лубсанова Л.Б. О системе заданий, направленных на формирование математических понятий у младших школьников. Вестник бурятского университета. 2010.

16.  Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П. Моя математика. 3 кл. УМК «Школа 2100». 2012.

17.  Богданович М.В. Определение математических понятий. 2013.

18.  Моро М.И. «Математика» 3 кл., часть 1. 2012.

19.  Петерсон Л.Г. «Математика» 3 кл., часть 2. 2012.

20.  Петерсон Л.Г. «Математика» 3 кл., часть 3. 2012.