Математический проект по теме "Теорема Пифагора"

Название школы: Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение Добрыниховская средняя общеобразовательная школа;

Класс: 8;

Автор: Щербакова Александра Марковна;

 Название проекта: «Наследие Пифагора»;

 Руководитель проекта: Киселёва Вера Николаевна;

 Год выполнения: 2016.

Оглавление

1. Введение

2. Историческая справка о Пифагоре

3. История открытия теоремы

4. Доказательство теоремы Пифагора выдающимися историческими личностями

5. Теорема Пифагора в современной жизни

6. Заключение

7. Список используемых источников и литературы

Геометрия владеет двумя сокровищами. Одно из них – теорема Пифагора, другое – деление отрезка в среднем и крайнем отношении. И если первое из этих сокровищ можно сравнить с мерой золота, то второе – с драгоценным камнем.                      Иоганн Кеплер (1571-1630)

 

Введение

Работа «наследие Пифагора» показывает, что теорема Пифагора является не только важным математическим заключением для прямоугольных треугольников с очень полезными приложениями во многих областях, но  в большей степени она даёт нам ключ к пониманию и изучению мира посредством чисел. Вот как пишет о Пифагоре Джон Берналл, один из пионеров в области рентгеновской  кристаллографии: «… самое главное заключается в том, что взаимосвязь меду математикой, наукой и философией, провозглашенная в его учении, не забыта и по сей день».

Цель проекта: раскрыть значение теоремы Пифагора в современной жизни.

Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач:

Задачи исследования: Провести исследования о значимости теоремы Пифагора, показать важность теоремы в современной жизни, её применение в реальных жизненных ситуациях.

Великое геометрическое открытие

Во всём мире людям, несмотря на различия, на которых мы чаще акцентируем внимание, присущи общие культурные достижения, характерные для всего человечества. Одним из ярких примеров является теорема Пифагора – фундаментальный математический результат, который был открыт и сформулирован в той или иной форме во всех культурах.

Пифагор, несомненно, является звездой первой величины в истории математики, хотя его жизнь окутана мистическими легендами. Имя Пифагора продолжает оставаться одним из самых влиятельных в истории человеческого знания. Теорема Пифагора занимает видное место в классических геометрических трактатах. Эта теорема даёт прекрасную возможность насладиться красотой её наглядных доказательств, простых и в то же время гениальных.

 Она также является отправной точкой для изучения некоторых математических головоломок, которые на протяжении веков вызывали интерес специалистов и любителей. Эти головоломки играют в нашей повседневной жизни гораздо бóльшую роль, чем мы можем себе представить.

 Применения теоремы Пифагора разнообразны и всепроникающи. С её помощью можно решить задачу квадратуры многоугольников, построить подобные фигуры и квадрировать гиппократовы луночки. Она также даёт научную основу для по строения перспективы и живописи. Более того, эта теорема проливает свет на теорию пифагоровых троек и последнюю теорему Ферма, на доказательство которой потребовалось три сот ни лет. Значение теоремы Пифагора входит за пределы мира треугольников и других плоских фигур, она удивительным образом появляется и в трёхмерном пространстве.

Историческая справка о Пифагоре

Становление математики как теоретической науки связано с Пифагором и его последователями в пятом веке до н.э. Именно Пифагор первым понял, что истинность утверждений необходимо доказать, прежде чем они могут быть использованы в дальнейших логических рассуждений. Он начал делать это ещё до Евклида. Для этого Пифагор использовал основополагающий элемент философии – логику. Он применял её к математике настолько естественным образом, что теперь кажется, будто философия заимствовала логику у математики. Для пифагорейцев математика была не просто научным подходом: с её помощью они объясняли мир, используя математику как инструмент для понимания природы и поиска путей к совершенству.

 Пифагор был современником Будды, Конфуция и Лао-цзы, также являющихся основателями собственных учений, в которых трудно определить, где заканчивается религия и начинается философия. Пифагорейкое учение оказалось идеальном синтезом мистики и рационального учения, смесью науки и религии, которая предлагала совершенный образ жизни.

Официально считается, что Пифагор родился около 570 г. до н.э. на острове Самосе в Эгейском море, у берегов современной Турции. По версии некоторых авторов он был сыном Аполлона, другие считают, что его отец – богатый островитянин Мнесарх. Остров Самос находился недалеко от прибрежного города Милет, где жил известный философ Фалес.

Пифагор начал излагать своё учение на Самосе, своём родном острове, в возрасте 40 лет. Перед этим он долгое время путешествовал. Он был в Египте и Вавилоне, посетив, по некоторым данным, и Индию. 20 лет он прожил в Вавилоне, где учился и преподавал астрономию, математику и астрологию. В Италии  Пифагор основал свою научную школу, которая приобрела авторитет в городе и оказала огромное влияние на последующие поколения мыслителей и учёных. В путешествиях Пифагор впитал все сведения, какие только мог, о математике и астрономии. Вернувшись домой, он начал объединять эти знания с наследием своей собственной культуры. Многие элементы пифагорейского учения унаследованы от более ранних учёных, хотя во многих случаях Пифагор развил и уточнил их.                

Одним из примеров этого является самое знаменитое открытие Пифагора о прямоугольных треугольниках: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы. Во всём мире это заключение называют теоремой Пифагора, хотя её история уходит в далёкие времена.

Теорема Пифагора

            Формулировка и история открытия

Знаменитая теорема Пифагора впервые была подробно описана в самой первой из западных книг по геометрии – «Началах» древнегреческого учёного Евклида. Однако предшественники этой теоремы могут быть найдены во многих древних цивилизациях Востока. Многие историки уверены, что Пифагор во время своих путешествий должен был познакомиться с этими идеями. Не смотря на это, гениальность древнегреческого математика не подлежит сомнению. Имевшиеся результаты были основаны на конкретных примерах, математических свойствах геометрических фигур. Именно Пифагор смог обобщить эти частные результаты. От  конкретных треугольников он перешёл к общей теореме, справедливой для любого прямоугольного треугольника. Подобно другим древнегреческим геометрам, он сформулировал теоретическую схему, применимую во всех случаях.

В оригинальной формулировке Теорема Пифагора звучит так: в данном треугольнике с вершинами (углами) A,B, и C угол A является прямым углом тогда и только тогда, когда площадь квадрата, построенного на стороне а, противолежащей А, равна сумме площадей квадратов, построенных на двух других сторонах b и c.(a²=b²+c²).

На данном рисунке: площадь BCED² = площадь FHAB² + площадь AGKC².                    

Теорема Пифагора в повседневной жизни

Хотя прошло около 2500 лет с момента её открытия, теорема Пифагора продолжает применяться в нашей повседневной жизни. Единственным разумным объяснением того, что эта фундаментальная теорема так долго остаётся актуальной, являются её многочисленные приложения. Теорема помогает решать задачи в различных областях – от математики до эстетических и художественных проблем в дизайне интерьера. Далее мы рассмотрим некоторые из этих приложений – как в академической сфере, так и в повседневной жизни.

Теорема Пифагора имеет важное значение для расчёта длин площадей и объёмов фигур. Также её можно использовать для вычисления расстояния на плоскости и в пространстве.

Доказательство теоремы Пифагора выдающимися историческими личностями

 Доказательство Леонардо да Винчи

Гениальный Леонардо да Винчи (1452-1519) нашёл блестящее доказательство теоремы Пифагора. Он изобразил треугольник с тремя квадратами на сторонах, добавив ещё три части : треугольник ECF сверху и равный исходному треугольник  JIH снизу.  Проведя перпендикулярные прямые DG и CI, он заметил, что DG симметрично делит пополам  шестиугольник BADEFG. Если нижнюю из этих частей повернуть (вокруг точки А), то она покроет ровно половину шестиугольника  BCAJIH. От сюда следует, что сумма площадей двух квадратов на катетах должна быть такой же, как площадь квадрата на гипотенузе.

 Теорема Пифагора в арабской мозаике

Другое доказательство этой теоремы  из арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н.э.) основано на мозаике. Мозаика состоит  из кусочков квадратов, соответствующих катетам, наложенных на квадрат, соответствующий гипотенузе. Обе мозаики  покрывают одну и ту же поверхность. Удивительно оригинальный способ доказательства теоремы!

 Доказательство Генри Перигаля

Одной из жемчужин коллекции доказательств теоремы Пифагора является доказательство 1873 г. английского математика Генри Перигаля. Он создал головоломку, в которой большой квадрат делится на две части.

Доказательство президента Соединённых штатов

В 1876 г., прежде чем стать двадцатым президентом США, Джеймс Абрам Гарфилд (1831-1881) опубликовал оригинальное доказательсьво теоремы Пифагора, которое он обсуждал с коллегами в Конгрессе. Во время его президентства, как и следовало ожидать, он уже не занимался математическими изысканиями. В доказательстве Гарфилда площадь четырёхугольника находится двумя способами:

Площадь трапеции = площадь первого треугольника + площадь второго треугольника + площадь третьего треугольника

1/2(a+b)(a+b)=1/2ab+1/2ab+1/2cc, 1/2(a²+2ab+b²)=1/2(ab+ab+c²), от куда следует: a²+b²+2ab=2ab+c², откуда a²+b²=c²

Применение теоремы Пифагора в жизни

Теорема Пифагора в пространстве

Теорема Пифагора обычно формулируется для прямоугольных прямоугольников на плоскости. Как бы она звучала в трёхмерном пространстве? На этот вопрос имеется несколько ответов. Наиболее часто рассматривается коробка размерами a,b, и c. Тогда её диагональ x выражается с помощью теоремы Пифагора: x ²=a²+b²+c².

Теорема Пифагора и палка салями

Палка салями имеет цилиндрическую форму. Отрезанные под углом куски представляют собой эллипсы. Как видно на рисунке, если диаметр палки салями равен d, то длина эллипса L зависит от величины угла, определённого длиной отрезка b – a. По теореме Пифагора L= √ (b-a)²+d². Таким образом, при заданном d можно отрезать сколь угодно большие кусочки (ограниченные только общей длиной палки салями). Размер этих кусочков определяется теоремой Пифагора, но их толщина, конечно, будет зависеть от того, насколько мы голодны!

Тайна простой коробки

Пифагоровы тройки означают, что существует бесконечное количество прямоугольников, стороны и диагонали которых являются целыми числами. Но существует ли параллелепипед (коробка) с рёбрами, выраженными целыми числами a,b,c, такими, что длины диагоналей граней √a²+b², √b²+c², √a²+c² и большой диагонали √a²+b²+c² также являются целыми числами? Эта тайна до сих пор не разгадана. Найдены многогранники с аналогичным свойством, но ни одной простой коробки.

Теорема Пифагора и винтовая лестница

Винтовая лестница состоит из треугольных ступенек, соединяющих центральную ось башни с внешней цилиндрической поверхностью. Она представляет собой красивую математическую кривую, называемую спиралью.

Чтобы сделать спираль, достаточно взять прямоугольный лист бумаги и нарисовать три прямоугольных треугольника с равными и параллельными гипотенузами. Тогда спираль получается путём склеивания двух противоположных краёв бумаги. Нарисованная кривая имеет постоянный наклон, как у винтовой лестницы.

В этом примере теорема Пифагора позволяет нам вычислить общую длину спирали L: L = 3a = 3√b²+c².

Теорема Пифагора, верёвки и колышки

Согласно основам архитектуры, первым шагом в строительстве любого здания является разметка земельного участка. Это означает, что задача точного определения размеров земельного участка и разметка его на прямоугольники возникла много тысячелетий назад. На первый взгляд это кажется тривиальным. Требуется лишь четыре вбитых в землю колышка, верёвка и рулетка. Но вопрос точности всё ещё остаётся открытым. Как можно убедиться, что мы разметили настоящий прямоугольник, а не просто произвольный четырёхугольник? Как в медицине, точность в архитектуре очень важна.

Если измерить стороны прямоугольника и его диагонали, то теорема Пифагора позволяет проверить перпендикулярность смежных сторон. Но можно поступить ещё проще: если пары параллельных сторон имеют равную длину, то достаточно измерить диагонали и убедиться в их равенстве, тем самым доказав, что мы получили прямоугольник, а не просто параллелограмм.

Изображение луны

В живописи, в театре и даже в кино часто в ночных сценах часто изображается Луна, размер и расположение которой представлены ошибочно. Как правило, чем ниже Луна находится к горизонту, тем больше она кажется.

Правильные размеры можно получить с помощью простых расчётов с использованием прямоугольных треугольников. Вычисления действительно просты, так как при известном расстоянии от Земли до Луны она видна под крошечном углом всего лишь в 0,5 градусов.

Если окно на картине имеет 20 см в ширину и Луна занимает четверть этого пространства, то её диаметр 5 см. Если художник находится от картины на расстоянии d, то мы имеем:

tg(0,5/2)=5/2/d, или d=2,5/tg0,25градусов=581,4 см. Это означает, что картина написана художником-гигантом, который может кистью дотянуться на расстояние в 5,81 м.

Теорема Пифагора на улицах городов  

В реальной жизни, чтобы пройти расстояние между двумя точками, не всегда получается воспользоваться прямолинейным маршрутом, ведь человек не может проходить сквозь стены.

Эта проблема особенно актуальна в крупных городах. Определение кратчайшего расстояния важно для определения расстояния маршрутов почтовых служб, сборщиков мусора и т.д. эта задача также лежит в основе государства для установления расстояний между аптеками или между школами, для расположения медицинских центров и других общественных служб. Проблема определения расстояния в городе иногда приобретает важнейшее значение в суде.

  В 2002 г. американский гражданин Джеймс Роблинс был задержан в Манхэттене на углу 8-й Авеню и Западной 40-й улицы. Его обвинили в торговле наркотиками с отягчающим обстоятельством: он находился на расстоянии не менее 1000 шагов от школы Святого Креста, расположенной на 43-й улице, между 8-ой и 9-й Авеню.

При подсчёте расстояния до школы полиция применила теорему Пифагора a²+b²=c² ,где a =764 шага (расстояние от места торговли вдоль 8-й Авеню), b=490 шагов (расстояние от школы по 43-ей улице), а гипотенуза c=907,63 шага. В этом состояло преступление. Расстояние до школы было менее 1000 шагов!

  Но адвокаты заявили, что расстояние должно измеряться так, чтобы человек мог преодолеть его в реальной жизни, не проходя сквозь стены. Таким образом, отягчающего обстоятельства не существует (a+b= 764 шага + 490 шагов = 1254 шага).

Апелляционный суд вынес решение в пользу полиции. Это означает, что в Нью-Йорке судебная система в настоящее время является «пифагорейской».                                                                             

 

 

 

Заключение

Теорема Пифагора является не только важным математическим заключением для прямоугольных треугольников с очень полезными приложениями во многих областях. То, что она известна столько веков и до сих пор продолжает оставаться актуальной, объясняется тем, что она лежит в основе пифагорейского философского и математического подхода к пониманию и изучению мира посредством чисел.

Теорема Пифагора является некоторым образом теоремой нашей жизни, потому что именно сегодня более чем когда-либо наша жизнь является пифагорейской.

Список используемых источников и литературы

1.     Мир математики: т.5: Клауди Альсина. Секта чисел. Теорема Пифагора. –М.: Де Агостини, 2014.

2.     http://900igr.net/kartinki/geometrija/Pifagor-biografija/011-A-Pifagora-li-znamenitaja-teorema-Pifagora.html.

3.     http://www.freecity.lv/politika/753.

4.     http://verikolataria.ucoz.ru/publ/biologija/zolotoe_sechenie/istorija_zolotogo_sechenija/180-1-0-379.

5.     http://www.bestreferat.ru/referat-95516.html.

 

 

 

 

                                                                                                                                                

Краткое описание документа:

Математическмй проект "Наследие Пифагора" может быть использован на уроках геометрии в 8 классе в качестве сведений из истории развития математики.

Проект содержит историческую справку, историю открытия теоремы, доказательство теоремы выдающимися историческими личностями и значение теоремы Пифагора в современной жизни.