Математический альбом: «Решение нестандартных и занимательных задач»

                                                                                         

                       Математический альбом:

«Решение

нестандартных и занимательных

задач»

                                                                                                                                                                                                         

      Сколько номеров?

   Саша обратил внимание на номер автомашины, подъехавшей к его дому: СТО 85—87. Интересно, если прибавить к первому числу цифры второго, то получится       85 + 8 + 7 = 100, и если прибавить ко второму числу цифры первого, то тоже получится 87 + 8 + 5 = 100. А сколько всего таких номеров?

                         Решение:

Если цифры номера а, b, с и d, то условие задачи запишется в виде: 10a + b + c + d = a + b+10c + d = 100. Из первого равенства следует, что а = с, тогда второе равенство перепишется в виде: 11а + b + d= 100. Из первого равенства следует, что а = с, тогда второе равенство перепишется в виде: 11а + b + d = 100. Ясно, что число а может равняться лишь 8 или 9. При а = 9 получаем b + d = 1, следовательно, в этом случае имеем два решения: 90-91 и 91-90. Если а = 8,то             b + b=12 и получаем еще 7 решений: 83-89, 84-88, 85-87, 86-86, 88-84, 89-83.

                                                                                                             

                               Переправа через реку

Отец с двумя сыновьями отправился в поход. На их пути    встретилась река, у берега которой находился плот. Он выдерживает на воде или отца, или двух сыновей. Как переправиться на другой берег отцу и сыновьям?

   Решение:

Вначале переправляются оба сына. Один из сыновей  возвращается обратно к отцу. Отец перебирается на противоположный берег к сыну. Отец остается на берегу, а сын переправляется на исходный берег за братом, после чего они оба переправляются к отцу.

            В день рождения бабушки

— С днем рождения, бабушка!
— Спасибо, Андрей! И тебя с днем рождения!
— Сколько лет тебе исполнилось?
— А вот посчитай. Если две последние цифры нынешнего года поменять местами, то получится год моего рождения.
— Значит, ты в восемь раз старше меня. А дедушка еще старше?
— Конечно. Он родился до революции, а я — после нее. 

                                                                                                                   

                          Решение:

                           Возраст бабушки равен

                          1900 + 10х + у - 1900 - 10у - х = 9(х - у), т.е.    делится на 9, но он делится и на 8, поэтому х - у = 8, что возможно в двух случаях: х= 8, у = 0 и х = 9, у = 1. Так как бабушка родилась после 1917 г., то это 1919 г. и разговор происходил в 1991 г.

                     В кафе по мороженому

Ира, Витя и Коля взяли каждый по порции трех видов мороженого: фруктового, сливочного и шоколадного. Однако им этого оказалось мало и Ира взяла еще порцию фруктового, Витя — сливочного, а Коля — шоколадного мороженого. Уходя они уплатили: Ира — 70 руб., Витя — 80 руб., Коля — 90 руб. 
Сколько стоит порция каждого из видов мороженого?

                                                                                                                      

              Решение:

        Если обозначить через х стоимость порции               фруктового мороженого, то сливочное будет                      стоить х + 10 руб., а шоколадное — х+20 руб.                          Ира заплатила 70 руб за 2 порции фруктового,                      одну шоколадного и одну сливочного.                                Отсюда, 4х + 30 = 70 и х = 10.                                                     Итак, порция фруктового мороженого                                 стоила 10 руб., порция сливочного — 20 руб,                                и порция шоколадного — 30 руб.

                                  Взвешивание крупы

Имеется 9 кг крупы и чашечные весы

с гирями в 50 г и 200г.

Попробуйте в три приема

отвесить 2 кг этой крупы.

                Решение:

              Нужно развесить крупу на две равные части                        по 4,5 кг; затем развесить одну из этих                                     частей еще раз пополам, то есть по 2,25 кг,                                  и от одной из этих частей отнять                                                 при помощи двух имеющихся гирь 250 г.                             Таким образом, Вы получите вес в 2 кг.

                                                                                                              

                                                                 Возможно ли?

                                                   Мой знакомый мальчик Саша однажды сказал такую фразу: «Позавчера мне было 10 лет, а в будущем году исполнится 13 лет». 
Может ли такое быть?

Решение:

Такая ситуация возможна, если Саша родился 31 декабря, а фразу произнес 1 января. Действительно, позавчера, т.е. 30 декабря ему было еще 10 лет, а вчера, 31 декабря, ему исполнилось 11 лет, в этом году 31 декабря, ему исполнится 12 лет, а в будущем году — 13 лет.

Деревенский дурачок

Люди, приезжавшие в одну деревушку, часто удивлялись местному дурачку. Когда ему предлага­ли выбор между блестящей 50-центовой монетой и мя­той пятидолларовой купюрой, он всегда выбирал моне­ту, хотя она стоит вдесятеро меньше купюры. Почему он никогда не выбирал купюру?

                                                                                                                 

                                                     Решение:

                                         "Дурачок" был не так глуп:

                                      он понимал, что, пока он будет

                                   выбирать 50-центоную монету,

                          люди будут предлагать ему деньги на выбор,

                          а если он вы­берет пятидолларовую купюру,

                               предложения денег прекратятся,

                                     и он не будет получать ничего.

                                                Как её зовут?

                                    Девочка заменила каждую букву

                           в своем имени ее номером в русском алфавите

                               и получила число 2011533. Как ее зовут? 

Решение:

В этой записи каждая цифра может играть одну из трех ролей: быть номером буквы,

быть первой цифрой двузначного числа и

быть его второй цифрой. В нашей записи

цифра 0 не может

выступать ни в первой, ни во второй роли, а цифра 5 — во второй роли. Отсюда первая цифра имени имеет номер 20. Этот номер имеет буква Т.

Остальные цифры разбиваются на 2 блока: 115 и 33.

Блок 115 можно представить тремя способами: 1-1-5, 11-5, 1-15, что соответствует сочетаниям букв ААД, ЙД. АН.

Второй блок можно представить двумя способами: 3-3 и 33, что соответствует сочетаниям ВВ и Я.

Получаем 6 возможностей: ТААДВВ, ТААДЯ, ТЙДВВ, ТЙДЯ, ТАЕВВ и ТАНЯ. 
Очевидно, имя девочки — Таня.

Математик и ГАИ

К задумчиво стоящему на тротуаре математику подъехал полицейский. «Вы не обратили внимания на номер проехавшего сейчас самосвала?» — спросил он. «О да! У него редкостный номер! Второе двузначное число получается из первого перестановкой цифр, а их разность равна сумме цифр каждого из них». Какой же номер у самосвала? 

Решение:

Если х и у — цифры первого двузначного

числа, то из условия задачи записывается

уравнение: 10х + у - х = х + у.

 Отсюда 8х = 10у или 4х = 5у.

Учитывая, что х и у — цифры,

получаем х = 5, у = 4.

Искомый номер 54 - 45.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         

                Переправа                                                                                                          

           Имеется круглое глубокое озеро диаметром 200                                                     

      метров и два дерева, одно из которых растет на берегу

     у самой воды, другое - по центру озера на небольшом

        островке. Человеку, который не умеет плавать,

      нужно перебраться на островок при помощи веревки,

        длина которой чуть больше 200 метров.

         Как ему это сделать?

        Решение:

      Привязав веревку одним концом к дереву, растущему

      на берегу, необходимо обойти с веревкой озеро по

      окружности и привязать второй конец веревки к

       тому же дереву. В результате между деревьями

      будет натянута сдвоенная веревка для

        переправы на остров                                                                                                                                     

             

                  Мешки с золотом

               Имеется 10 мешков с монетами (количество монет

                в каждом мешке одинаковое). В девяти мешках

                  монеты золотые, а в одном - фальшивые. Вес

                  настоящей золотой монеты 5 грамм, а вес

                  фальшивой - 4 грамма. Как за одно взвешивание

                   на весах (весы взвешивают с точностью

                   до грамма) определить, в каком из мешков

                   монеты фальшивые?

                   Решение:

                   Пронумеруем мешки от 1 до 10. Из первого

                   мешка возьмем 1 монету, со второго 2,

              из третьего 3, и так до 10 монет (суммарно 55 монет).   

                  Произведем взвешивание этих монет. Если бы все                 

                  монеты были золотыми, то весили бы 275 грамм.

                 Если при нашем взвешивании  не будет хватать 1                 

                   грамма, то фальшивые монеты в первом мешке,

                 если 2-х грамм - то во втором, и так далее до 10-ти.

.

       

                           В киоске

                  Коля купил 1 тетрадь, 2 карандаша и резинку,               

               заплатив за все это 12 коп. Саша за 2 тетради,

                  3 карандаша и 3 резинки заплатил 27 коп. 
              Сколько нужно заплатить Антону за 2 тетради, 5  

              карандашей и 1 резинку? 

             Решение:

             Коля, Антон и Саша купили вместе 5 тетрадей,

            10 карандашей и 5 резинок, что в 5 раз больше того,

             что купил Коля, следовательно, за все было

             заплачено 12 • 5 = 60 коп., из них Коля с

            Сашей заплатили 12 + 27 = 39 коп., следовательно,

            покупка обошлась Антону в 60 - 39 = 21 коп.

              В посудной лавке

             На полке стоят несколько кувшинов, среди которых

              есть по крайней мере два кувшина разной формы,

                                    а также по крайней мере два кувшина

                                     разной расцветки. Докажите, что

                           среди них найдутся два кувшина одновременно

                                 разной формы и разной расцветки. 

                                                                                                                           Возьмем 2 кувшина разной формы.

 Если у них и расцветка разная, то это — 4

требуемые кувшины. Если у них расцветка

одинаковая, то возьмем третий кувшин, отличающийся

от этих двух расцветкой. Ясно, что его форма отличается

от формы хотя бы одного из этих кувшинов. Взяв

третий кувшин и тот из первых двух, от которого он

отличается формой, получаем нужную пару кувшинов.

          Два подряд

Найдите наименьшее число, сумма цифр которого делится

на 17 и сумма цифр следующего за ним числа тоже

делится на 17. 

Решение:

Если число не оканчивается на 9, то сумма цифр следующего за ним числа больше его суммы цифр на 1, поэтому такое число не может быть искомым. Если число оканчивается на 9 (но не 99), то сумма цифр следующего за ним числа меньше его суммы цифр на 8, что опять не соответствует

условию задачи. Если же число

 оканчивается на 99 (но не на

999), то сумма цифр у следующего

                                                                                                                                        

                  за ним числа будет меньше суммы цифр

            рассматриваемого на 17. Отсюда следует, что

            если сумма цифр нашего числа делится на 17,

             то и сумма цифр следующего за ним числа тоже

             делится на 17, и оно оканчивается на 00.

            Найдем наименьшее число с суммой цифр 17,             

            оканчивающееся на 00. Очевидно, что это 8900.

            Поэтому искомое число есть 8899.

           Зеркальные числа

           Два числа называются зеркальными, если одно число           

           получается из другого перестановкой цифр в обратном  

           порядке, например, зеркальными будут числа 123 и 321.          

             Найдите 2 зеркальных числа, если известно, что их  

            произведение равно 92565. 

             Решение:

             Число 92565 раскладывается на простые множители       

                                  следующим образом: 3 • 3 • 5 • 11 • 11 •17.

                                           Если некоторое число делится на 3,                                           

                                             то и зеркальное к нему делится на 3.

                                         То же с делимостью на 11 (докажите).

                                           Поэтому то число, которое делится на                  

                                                                                                                                       17, должно иметь множителями еще числа 3 и 11.

Других множителей оно иметь не может, так как тогда

второе число будет двузначным. Итак получаем, что

одно из чисел равно 3 • 11 • 17 = 561, а второе равно

3 • 5 • 11 = 165, оно зеркально первому.

Испорченный бриллиант

У ювелира во время шлифовки раскололся бриллиант, в результате его стоимость снизилась на 32%. Какая часть бриллианта откололась, если стоимость бриллианта пропорциональна квадрату его веса? 

Решение:

Запишем уравнение, соответствующее условию задачи, для этого обозначим вес бриллианта через х, вес отколовшейся части через у и коэффициент пропорциональности

между весом и стоимостью бриллианта

 через к. Получаем: kх^2*68/100 =

к(х - у)^2 + кy^2. Теперь обозначим

через р долю отколовшейся части,

т.е. р = у/х. Разделив уравнение на х^2

и сократив обе части на к, получаем:

                                                                                                               

                            2р^2 - 2р + 32/100 = 0. Решая это уравнение,        

                            получаем р1 = 1/5, Р2 = 4/5.

                                  На тусовке

             Четыре неформальные молодежные группы

             «Зеленый фронт», «Эко», «Красный патруль»                    

              и «Искатели истины» решили объединиться.                                       

              На объединительной конференции присутствовало                      

             поровну делегатов от всех четырех групп. Разногласия              

              возникли при выборе названия нового объединения.                           

               Для голосования были отобраны два названия:                           

              «Зеленый мыслитель» и «Мыслящий эколог».                  

             Известно, что все делегаты от «Красного патруля»                          

           хотят голосовать за одно и то же название, а в остальных

             делегациях единства нет. Среди делегатов                                   

                         «Зеленого фронта» столько же хотят голосовать                                       

                                      за первое название, сколько делегатов из                                             

                                        «Эко» — за второе. Среди приверженцев  

                                      второго названия 1/3 составляют делегаты  

                                       «Искателей истины». Какое название  

                                        будет выбрано? 

                                         Решение:

                                                                                                                              Пусть в каждой делегации по n человек, тогда,

 если за первое название хотят голосовать х делегатов

«Зеленого фронта», то за второе — (n-х) делегатов этой группы и х делегатов от «Эко». Если за второе предложение

голосуют у делегатов от «Искателей истины» и все

делегаты от «Красного патруля», то общее их число

равно 2n + у, но у = (2n + у)/3, откуда у = n, что противоречит условию у < n. Следовательно, делегаты «Красного патруля» голосуют за первое название и за него голосуют

3n - у делегатов, а за второе предложение голосуют n + у делегатов. Первое число больше, чем 2n, а второе — меньше 2n. Значит, большинство за первое название.

Последний фрукт

На чудо-дереве садовник вырастил 25 бананов и 30 апельсинов. Каждый день он срывает два плода и на их месте вырастает один новый плод, причем, если он срывает два

одинаковых фрукта, то вырастает апельсин,

а если два разных, то банан. 
Каким может оказаться последний

фрукт на этом дереве? 

Решение:

                                                                                                               Заметим, что количество бананов нечётно и после

 срывания пары плодов оно остается нечётным. Поэтому единственный оставшийся плод может быть только бананом.

Прогулка по парку

Коля и Витя, гуляя по парку, набрели на большую круглую поляну, обсаженную столетними липами. Коля пошел во- круг поляны, считая деревья. Витя сделал то же, но начал с другого дерева. Дерево, которое у Коли было 20-м, у Вити было 7-м, а 7-е — 94-м. Сколько деревьев росло вокруг поляны?

Решение: 

Из первого условия следует, что дерево, которое у Вити было первым, у Коли было 14-м, а последнее — 13-м. Отсюда следует, что разность между 94-м и последним деревом (по счету Вити) такая же, как и разность между 7-м и 13-м по счету Коли. Значит, последнее дерево имеет номер

 94+13-7=100.                                 

                                                                    Всеобщий мир

                                                    В некотором государстве каждые           

                                                      двое — либо друзья, либо враги.  

                                     Каждый человек может в некоторый

                                                                    момент поссориться со

                                                                                                       всеми друзьями и помириться со всеми врагами.

Оказалось, что каждые 3 человека могут таким

образом стать друзьями. Докажите, что тогда и все люди в государстве могут стать друзьями. 

Решение:

Из условия следует, что если А и В — друзья, то любой из остальных либо их общий друг, либо общий враг, иначе им троим не примириться. Возьмем всех друзей человека А. Из сказанного следует, что все они дружны между собой и враждуют с остальными. Пусть теперь А и его друзья по очереди ссорятся с друзьями и мирятся с врагами. После этого все окажутся друзьями. Действительно, пусть А первым поссорился с друзьями и помирился с врагами, но тогда каждый из его бывших друзей помирится с ним. а бывшие враги станут друзьями А и, следовательно, друзьями между собой.

За круглым столом

12 собеседников совещались за круглым

 столом. После перерыва они вновь с

ели за этот стол, но в другом порядке.

 Докажите, что между ними найдутся такие два собеседника, между которыми (считая от первого ко второму по часовой

                                                                                                                      стрелке) во второй раз окажется столько же собеседников, что и       

                    в первый.

                 Решение:

Предположим, что все расстояния между собеседниками изменились, пусть собеседники поднялись со своих мест и пошли по часовой стрелке к своим новым местам. Тогда общий пройденный ими путь равен целому числу полных обходов вокруг стола. Действительно, пусть первый прошел свой путь и сел на новое место, сидевший там также прошел свой путь и т. д., пока очередной собеседник не займет место первого, завершив целое число оборотов. Если при этом рассмотрены не все собеседники, то продолжим рассмотрение, начав с одного из нерассмотренных. С другой стороны, по предположению, все собеседники прошли разные длины путей, что возможно, если один собеседник остался на месте, второй прошел 1/12 полного обхода, третий 2/12 полного обхода и т.д., последний 11/12 полного обхода. Сумма этих путей равна 66/12 или 3,5 полного   

                                                 обхода. Это противоречит  

                                                 доказанному утверждению, что

                                      было сделано целое количество полных  

                              обходов. Следовательно, предположение о том, что все собеседники прошли разные расстояния, а, значит, и все расстояния изменились, — неверно.

    

Знакомства

В математическом кружке принимают участие

100 школьников. Известно, что среди любых четырех участников кружка всегда найдется по меньшей мере один, знакомый с остальными тремя. Докажите, что существует участник кружка, знакомый со всеми остальными 99 школьниками. Каким может быть число школьников, знакомых со всеми остальными? 

Решение:

Возьмем произвольного участника А. Если A знаком со всеми остальными 99 школьниками, то утверждение доказано. Будем поэтому считать, что А не знаком с некоторым участником Б. Рассмотрим некоторого школьника С. Если С знаком со всеми участниками кружка, то утверждение доказано. Поэтому будем считать, что С не знаком с некоторым участником кружка. Пусть С не знаком со школьником D.

Тогда среди четырех участников

А, B, С и D кружка ни один не

знаком со всеми остальными тремя.

Получили противоречие. Если же С не знаком с одним из школьников А или Б, для определенности с А, то из доказанного выше следует, что С знаком со всеми остальными участниками кружка и любые двое из школьников, исключая А и B, знакомы друг с другом. Возьмем школьника О. В четверке A, B, С и D один знаком с остальными тремя, но А, В и С таким свойством не обладают, значит, это школьник D. Поскольку таких школьников 97, то значит, что всегда найдутся 97 школьников, знакомых со всеми остальными. С другой стороны ясно, что таких школьников может быть 97. Итак, наименьшее количество школьников, знакомых со всеми остальными, равно 97.

Какое же верное?

Однажды на лестнице я нашел странную тетрадь. В ней было написано 100 следующих утверждений
«В этой тетради ровно 1 неверное утверждение».
«В этой тетради ровно 2 неверных утверждения».
....
«В этой тетради ровно 100 неверных утверждений»
Какие из этих утверждений верные? 

                               Решение:

                                  Сначала отметим, что написано не более                

                                  одного верного  утверждения, поскольку  

                                     любые два друг другу

                                  противоречат и, следовательно, не могут  

                                  быть одновременно верными.

                                                                                                                                                  Все утверждения не могут быть неверными,  

поскольку тогда последнее утверждение окажется верным вопреки сделанному нами предположению. Итак, верно лишь одно утверждение, а именно, 99-е, которое утверждает, что неверно 99 утверждений, а верно одно — оно само.

Лгуны и правдивые

В комнате находятся 12 человек. Некоторые из них всегда лгут, а остальные всегда говорят правду. Один из них сказал: «Здесь нет ни одного честного человека», второй: «Здесь не более 1 честного человека», третий: «Здесь не более 2 честных людей» и т.д., 12-й: «Здесь не более 11 честных людей». Сколько в комнате честных людей? 

Решение:

Заметим, что первый сказал ложь, а

последний — правду. Кроме того,

если один из говоривших сказал правду,

то и следующий также сказал правду,

поскольку высказывание не противоречит сказанному предыдущим. Утверждение к-го из говоривших «Здесь не более (к - 1) честного человека» эквивалентно тому, что имеется не                

                                                                                                           менее (13 - к) лгунов. Чтобы говорившему не попасть в их число, должно выполняться соотношение: к больше (13 - к), откуда к больше 6. Следовательно, правдивых не больше шести и седьмой из говоривших сказал правду, как еще 5 человек, говоривших после него. Остальные — лжецы.

Максимальная сумма

Произведение миллиарда натуральных чисел равно миллиарду. Какое наибольшее значение может принять сумма всех этих чисел?

Решение: 

Максимальная сумма будет в том случае, если одно из чисел равно миллиарду, а остальные — единице. Она будет равна 1999999999. Докажем это. Сначала отметим, что для любых двух чисел а и b, больших единицы, из неравенства (а — 1 )( b -1) > 0 следует, что ab + 1 > а + b.

                                      Пусть среди миллиарда чисел, дающих в  

                                        произведении миллиард и имеющих

                                           наибольшую сумму, имеются 2 числа,   

                                     большие единицы: а и b. Заменив их на числа 1 и ab, получим набор из миллиарда чисел с тем же                    

                                                                                                              произведением и большей суммой, поскольку ab + 1 > а + Ь, как мы заметили выше. Утверждение доказано.

На дискотеке

На дискотеку собрался почти весь класс — 22 человека. Рената танцевала с 7-ю мальчиками, Ширинат — с 8-ю, Вера — с 9-ю и так далее до Ирины, которая танцевала со всеми мальчиками. Сколько мальчиков было на дискотеке? 

Решение:

Пусть девочек было х, тогда Ирина танцевала с х + 6 мальчиками, следовательно, х + (х + 6) = 22. Отсюда получаем, что девочек было 8, а мальчиков 14.