Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
Средняя общеобразовательная школа № 44 города Тюмени

имени героя Советского Союза Ивана Ивановича Федюнинского

Учебный проект

Геометрические задачи с практическим с практическим содержанием.

Автор:

Столбова Дарья,

Класс: 8 б Научный руководитель:

Тимченко Олеся Александровна

г. Тюмень

2015

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение

2. Задачи с практическим содержанием по планиметрии

   1. Задачи с практическим содержанием по теме «Треугольник»

   2. Задачи с практическим содержанием по теме «Четырехугольник»

   3. Задачи с практическим содержанием по теме «Окружность»

   4. Задачи с практическим содержанием по теме «Многоугольник»

3. Вывод

ВВЕДЕНИЕ

Для овладения и управления современной техникой и технологией нужна серьезная общеобразовательная подготовка, включающая в качестве непременного компонента активные знания по математике .

Школа должна неуклонно повышать эффективность и качество учебной и воспитательной работы, добиваться, чтобы каждый урок способствовал развитию познавательных интересов учащихся и приобретению навыков самостоятельного пополнения знаний.

Одним из возможных путей решения этих серьёзных задач является прикладная ориентация школьного курса математики, которая позволяет вооружить ученика теми знаниями, которые, с одной стороны, разовьют его математическую культуру, а с другой стороны, помогут применять эти знания на практике в будущей трудовой деятельности.

Проведение обучения в школе требует, чтобы при преподавании математики обеспечивалось органическое единство изложения теории и практики, развивающее у учащихся умение применять теорию для решения прикладных задач, выполнения практических работ. Изучая математику, учащиеся должны усвоить и оценить её прикладные возможности и получить основные навыки в приложении этой науки на практике.

В осуществлении связи преподавания математики с практической деятельностью особую значимость приобретает производственное окружение школы: именно с ним, как правило, связаны профессиональная ориентация и подготовка, производительный труд учащихся.

При изучении школьного курса геометрии главное внимание должно быть обращено на то, чтобы учащиеся глубоко и прочно усвоили математическую теорию, чтобы они прочно овладели основными математическими методами и научились применять их для решения различных задач, возникающих в повседневной жизни, в науке, в технике.

Одной из причин «трудности» геометрии для учащихся и быстрого забывания изученного материала является отсутствие на многих уроках живого интереса учащихся к предмету, а также невнимание к формированию прочных и разнородных ассоциаций изучаемого материала с отдельными элементами их умственной деятельности.

Добиться успешного овладения учащимися курса геометрии со всеми нюансами его логики и идей можно лишь при условии, когда учащийся практически на каждом шагу убеждается, что знание свойств геометрических понятий с успехом применимо к разрешению многочисленных и разнообразных задач, возникающих в повседневной жизни, в технике, в естествознании.

Решение практических задач на уроках математики приводит к естественной взаимосвязи теории и практики при преподавании, показывает жизненность и практическую необходимость формирования тех или иных правил, способствует глубокому, не формальному изучению основ математических наук.

Под математической задачей с практическим содержанием (задачей прикладного характера) понимается задача, фабула которой раскрывает приложение математики в смежных учебных дисциплинах, знакомит с ее использованием в организации, технологии и экономике современного производства, в сфере обслуживания, в быту, при выполнении трудовых операции.

В работе приводятся примеры и решения задач по геометрии с практическим содержанием, которые используются для закрепления и обобщения разновидных тем в школе.

Целью данной работы – рассмотреть особенности геометрических задач с практическим содержанием.

Задачи исследования:

1. Подобрать и систематизировать задачи по геометрии с практическим содержанием.

2. Актуализировать теоретический материал необходимый для решения задач.

3. Решить подобранные задачи, акцентируя внимание на практическую составляющую.

Гипотеза - изучение геометрии с помощью задач с практическим содержанием вызовет больший интерес у обучающихся к предмету.

Новизна проделанной работы свидетельствует о ее практической значимости. Материалы работы могут быть полезны учащимся средних и старших классов, студентам математических специальностей, а также учителям, работающим в школах.

Методы исследования: изучение научной и методической литературы, а также школьных учебников.

 Сроки проведения работы: с января по май 2015 учебного года.

Этапы работы:

• 1 этап – изучение проблемы;

• 2 этап – сбор информации по проблеме ;

• 3 этап – обработка и анализ информации ;

• 4 этап – оформление документации;

• 5 этап – презентация учебного проекта .

Предполагаемые результаты: научиться строить магические квадраты любого порядка; выяснить возможность применения магических квадратов в деятельности человека, а так же в математике или её приложениях.

2. ЗАДАЧИ С ПРАКТИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ ПО ПЛАНИМЕТРИИ

Курс геометрии несет основную нагрузку в развитии логического мышления учащихся средней школы.

Важнейшим условием качественного изучения курса геометрии является преемственность между этапами обучения – курсами стереометрии и планиметрии.

В результате изучения курса изучения планиметрии учащиеся должны уметь: изображать на рисунках геометрические тела, указанные в условиях теорем и задач, и выделять известные тела на чертежах и моделях; решать типичные задачи на вычисление и доказательство, опираясь на изученные теоретические сведения, полученные при изучении планиметрии.

В курсе изучения планиметрии используются задачи практического содержания как для ознакомления определенной темы так и для ее закрепления. Рассмотрим некоторые из них.

2.1 Задачи с практическим содержанием по теме «Треугольник»

Треугольник - одна из самых распространенных фигур в курсе планиметрии.

В школьном курсе геометрии рассматривается множество задач по данной теме.

В повседневной жизни нас окружает множество разнообразных ситуации, которые мы можем решить с помощью геометрии. Например, найти расстояния на местности или высоту дерева. Многие практические задачи решаются с помощью свойств треугольников. Рассмотрим несколько задач при решении которых используются свойства прямоугольного треугольника.

Задача 2.1.1: Мальчик прошел от дома по направлению на восток метров. Затем повернул на север и прошел метров. На каком расстоянии от дома оказался мальчик? (Рисунок 1.1).

С

В

?

А

Рисунок 1.1

Решение: Треугольник – прямоугольный. По теореме Пифагора метров.

Задача 2.1.2: В метрах одна от другой растут две сосны. Высота одной метр, а другой - метров. Найдите расстояние между их верхушками. (Рисунок 1.2).

А

60 м

С

В

60 м

31 м

25 м

6 м

Рисунок 1.2

Решение: Из прямоугольного треугольника находим по теореме Пифагора метров.

Задача 1.1.6: Для измерения величины угла между наклонной и горизонтальной прямой на местности используют специальный прибор – эклиметр, принцип действия которого ясен из рисунка. (Рисунок 1.3) ( нить с грузиком, отвес). Докажите, что нить показывает на шкале величину искомого угла. (Рисунок 1.3).

О

P

B

S

Рисунок 1.3

Решение: Проведем прямую , перпендикулярную прямой .

Так как угол прямой, то суммы величин углов и , и равны. Отсюда следует, что величины углов и равны.

Наряду со свойствами треугольников для решения задач используются также равенство и подобие треугольников.

Задача 1.1.8: Длина тени фабричной трубы равна м; в это же время вертикально воткнутый в землю кол высотой м дает тень длиной м. Найдите высоту трубы. (Рисунок 1.4).

x

1,9

1,62

35,8

Рисунок 1.4

Решение: Возьмем треугольник и , где м. Найдем (длину трубы). (Рисунок 1.5).

A

A₁

B

B₁

C

C₁

35,8

1,9

1,62

Рисунок 1.5

Рассмотрим треугольник и . Свет на кол и трубу падает с одной стороны, следовательно , тогда треугольник и подобны, откуда имеем:

м.

Ответ: метра.

Задача 1.1.8: Используя данные, приведенные на рисунке, найдите расстояние в метрах между пунктами А и В, расположенными на разных берегах озера.

Рисунок 1.5

Решение: По теореме Пифагора АВ=500м.

Задача 1.1.8:Лестница длиной 12,5м приставлена к стене так, что расстояние от её нижнего конца до стены равно 3,5м. На какой высоте от земли находится верхний конец лестницы?

Рисунок 1.7

Решение: По теореме Пифагора высота равна 12м.

Задача 1.1.8: Стебель камыша выступает из воды озера на 1 м. Его верхний конец отклонили от вертикального положения на 2 м, и он оказался на уровне воды. Найдите глубину озера в месте, где растет камыш.

Рисунок 1.8

Решение: Обозначим глубину озера x. Тогда по теореме Пифагора

x²+2= (x+1)².Решая это уравнение, находим x=1,5.Значит, глубина озера равна 1,5 м.

Задача 1.1.8: На вершинах двух елок сидят две вороны. Высота елок равна 4 м и 6 м. Расстояние между ними равно 10 м. На каком расстоянии BEнужно положить сыр для этих ворон, чтобы они находились в равных условиях, т.е. чтобы расстояния от них до сыра было одинаковыми?  

Рисунок 1.9

Решение: Пусть ВЕ=х. Тогда АЕ²=16+x², СЕ² =36+(10-х)². Приравнивая АЕ² и СЕ², находим, что ВЕ=6 м.

Задача 1.1.8:  Используя данные, приведенные на рисунке, найдите расстояние AB от лодки A до берега b.

Рисунок 1.10

Решение: Треугольники АВС и ЕDС подобны. Коэффициент подобия равен 10. Следовательно, АВ= 100 м.

Задача 1.1.8:  Используя данные, приведенные на рисунке, найдите высоту мачты AB.

Рисунок 1.11

Решение: Треугольники СDЕ и САВ подобны. Коэффициент подобия

равен 5. Следовательно, АВ=5м.

Задача 1.1.8:  Используя данные, приведенные на рисунке, найдите ширину ABреки.

Рисунок 1.12

Решение: Треугольники СDЕ и СВА подобны. Коэффициент подобия равен 10. Следовательно, АВ= 10м.

Задача 1.1.8:   Используя данные, приведенные на рисунке, найдите ширину ABозера.

Рисунок 1.13

Решение: Треугольники СDЕ и САВ подобны. Коэффициент подобия равен 10. Следовательно, АВ= 30м.

2.2 Задачи с практическим содержанием по теме «Четырехугольник»

Объекты имеющие форму четырехугольника часто встречаются в повседневной жизни. Рассмотрим несколько задач практического содержания по данной теме.

Задача 1.2.1: Из круглого бревна нужно вырезать брус с поперечным сечением (см). Какой наименьший диаметр должно иметь бревно? (Рисунок 1.10)

Рисунок 1.14

Решение: Наименьшим диаметром является диагональ прямоугольника , которую ищем по теореме Пифагора:

Ответ: 13 см.

Задача 1.2.2: Какой должна быть ширина () прямоугольной рамки для фотографии, указанной на рисунке, чтобы прямоугольники рамки и фотографии были подобны? (Рисунок 1.11)

18 см

х см

х см

8 см

Рисунок 1.15

Решение: Коэффициенты подобия прямоугольников рамки и фотографии равен . Следовательно, высота фотографии равна см, а ширина рамки равна см.

Ответ: см.

Задача 1.2.3: Сторона квадратной шайбы равна мм. Какой длины должен быть лист стали, чтобы из него сделали шайб? Ширина листа

мм. (Рисунок 1.12)

60 мм

300 мм

мм

Рисунок 1.16

Решение: Так как ширина листа равна мм, то у нас войдет шайб в одну полоску. А так как нужно таких шайб, то нам надо таких полосок. Следовательно: мм должен быть лист стального полона.

Ответ: мм.

Задача 1.2.4: Между двумя фабричными зданиями устроен покатый желоб для передачи материалов. Расстояние между зданиями равно метров, а концы желоба расположены на высоте метров и метра над землей. Найдите длину желоба. (Рисунок 1.13)

C

8 м

10 м

4 м

A

B

D

O

Рисунок 1.17

Решение: Проведем Четырехугольник, – прямоугольник, тогда Треугольник – прямоугольный, по теореме Пифагора имеем: (м).

Ответ: метров.

2.3 Задачи с практическим содержанием по теме «Окружность»

В окружающем нас мире существует множества предметов которые имеют форму окружности или ее элементы и в связи с этим мы можем решить ряд практических задач.

Приведем примеры.

Задача 1.3.1:Чугунная труба имеет длину м и внешний диаметр см.

Толщина стенок трубы равна см. Найдите вес трубы, если удельный вес чугуна примерно равен г/см³. Ответ дайте в килограммах. (Примите ) (Рисунок 1.14).

2 см

20 см

Рисунок 1.18

Решение: Площадь поперечного сечения стенок трубы равна (см²). Объем трубы равен (см³). Вес трубы равен (г) .

Ответ: .

Задача 1.3.2: Поезд едет со скоростью км/ч. Диаметр его колеса равен см. Сколько оборотов в минуту делает колесо поезда? ( Примите ) (Рисунок 1.19).

81 км/ч

120 см

Рисунок 1.19

Решение: Длина окружности колеса, если принять , примерно равна см. За одну минуту поезд проходит метров. Следовательно, за одну минуту колесо делает (оборотов).

Ответ: оборотов.

Задача 1.3.3: Поле стадиона имеет форму прямоугольника с примыкающими к нему с двух сторон полукругами. Длина беговой дорожки вокруг поля равна метров. Длина каждого из двух прямолинейных участков дорожки равна метров. Найдите ширину поля стадиона. В ответе укажите (Рисунок 1.16).

Рисунок 1.20

Решение: Суммарная длина двух криволинейных участков беговой дорожки равна длине окружности и равна метров. Диаметр этой окружности равен ширине поля стадиона и равен . Следовательно, .

Ответ: метров.

Задача 1.3.7: Как далеко видно с воздушного шара, поднявшегося на высоту км над Землей (радиус Земли примерно равен км)? (Рисунок 1.21) [18].

О

К

М

Т

Рисунок 1.21

Решение: По теореме о касательной к окружности, касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то есть .
.
Тогда по теореме Пифагора:,

(км.)

Ответ: км.

Задача 1.3.8: Могут ли увидеть друг друга космонавты, летящие над поверхностью Земли на высоте км, если расстояние между ними по прямой равно км? Радиус Земли равен км (Рисунок 1.22).

A

C

B

O

O₁

O₂

Рисунок 1.22

Решение: Чтобы космонавты, находящиеся в точках и , могли видеть друг друга, надо, чтобы высота треугольника была больше радиуса Земли.

Треугольник – равнобедренный, – высота, тогда, и медиана треугольника,а значит,

Высота больше радиуса Земли, значит, космонавты могут увидеть друг друга.

Ответ: Могут.

Также рассмотрим задачу на свойства окружности, четырехугольника и многоугольника.

2.4 Задачи с практическим содержанием по теме «Многоугольник»

Объекты имеющие форму многоугольника часто встречаются в повседневной жизни. Рассмотрим несколько задач практического содержания по данной теме.

Задача 1.4.1: Найдите площадь земельного участка, изображенного ниже. (Рисунок 1.23)

15 м

45 м

25 м

30 м

Рисунок 1.23

Решение: Разделим фигуру на два прямоугольника и посчитаем площадь каждого отдельно. Площадь участка равна (м²).

Ответ: квадратных метров.

Задача 1.4.2: Пол требуется покрыть паркетом из восьмиугольных и квадратных плиток. Фрагмент паркета показан на рисунке (Рисунок 1.24). Найдите отношение числа квадратных плиток к числу восьмиугольных.

Рисунок 1.24

Решение: На каждую восьмиугольную плитку приходится одна квадратная. Отношение числа квадратных плиток к числу восьмиугольных равно 1.

Ответ: 1.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной курсовой работе были подобраны и систематизированы задачи с практическим содержанием, актуализирован теоретический материал необходимый для решения задач с практическим содержанием и решены подобранные задачи, с акцентом внимания на практическую составляющую. Тем самым цель работы достигнута, поставленные задачи реализованы.

В ходе исследования было усвоено, что к задачам с практическим содержанием предъявляются наряду с общими требованиями следующие дополнительные требования:

1) познавательная ценность задачи и ее воспитывающее влияние на учеников;

2) доступность школьникам используемого в задаче нематематического материала;

3) реальность описываемой в условии задачи ситуации, числовых значении данных, постановки вопроса и полученного решения.

Материалы данной работы могут иметь широкое практическое применение при разработке как уроков базового курса математики, так и элективного курса по соответствующим темам.

Дальнейшее исследование по теме может быть направлено на исследование задач с практическим содержанием по стереометрии и разработку методики использования геометрических задач с практическим содержанием в школьном курсе.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Балк М. Б., Балк Г. Д.  Математика после уроков, М.: Просвещение, 1971. – 151с.

2. Дубинчук Е. С., Слепкань З. И. Обучение геометрии в профтехучилищах. – М.: Высшая школа, 1989. – 128 с.

3. Киселев А. П., Геометрия. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 328с.

4. Киселев А. П., Рыбкин Н.А.  Геометрия 7–9 планиметрии. Дрофа. 1995. – 155с.

5. Ковалева Т. П. Геометрия в практической деятельности. Статья.

6. Погорелов А. В. Геометрия: Учебник для 7 – 11 классов общеобразовательных учреждений.– М.: Просвещение, 1997. – 383 с.

7. Сергеев И.Н. Примени математику. – М.: Наука. 1990. – 240 с.

8. Смирнова И. М., Смирнов В.А. Геометрические задачи с практическим содержанием. – М.: МЦНМО, 2010. – 136 с.

9. Современные проблемы методики преподавания математики: Сборник статей./ Н. С. Антонов, В. А. Гусев: Варданян С. С. Решение прикладных задач на уроках геометрии – М.: Просвещение, 1985. – 304 с.

10. Современные проблемы методики преподавания математики: Сборник статей./ Н. С. Антонов, В. А. Гусев: Такидзе Э. Р. Профориентационная работа с учащимися на уроках геометрии в 6 – 8 классах – М.: Просвещение, 1985. – 304 с.

11. Терешин Н. А. Прикладная направленность школьного курса математики: Книга для учителя. – М.: Просвещение, 1990. – 95 с.

12. Ткачев А.В. Домашняя математика 8 класс

13. Хабиб Р. А. О новых приемах обучения планиметрии. М., «Просвещение», 1969. – 158 с.

14. ЧетверухинН. Ф.  Методы геометрических построений, М.: Учпедгиз, 1952, - 258с.

15. ЧетверухинН.Ф. Изображение фигур в курсе геометрии – М.: Учпедгиз, 1958, - 217с.

16. Шапиро И. М. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики: Книга для учителя. – М.: Просвещение, 1990. – 96с.

17. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия, М.: 315с.