Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Математический проект на тему "Геометрические задачи с практическим с практическим содержанием"

Математический проект на тему "Геометрические задачи с практическим с практическим содержанием"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m643701cd.gifhello_html_m49863d8f.gifhello_html_m4a4ae65e.gifhello_html_m43f88c67.gifhello_html_6d0291d8.gifhello_html_7fd67f24.gifhello_html_3e0124be.gifhello_html_m2c9cdff0.gifhello_html_602380cc.gifhello_html_232c6f98.gifМуниципальное автономное общеобразовательное учреждение
Средняя общеобразовательная школа № 44 города Тюмени

имени героя Советского Союза Ивана Ивановича Федюнинского







Учебный проект

Геометрические задачи с практическим с практическим содержанием.

















Автор:

Столбова Дарья,

Класс: 8 б Научный руководитель:

Тимченко Олеся Александровна












г. Тюмень

2015

СОДЕРЖАНИЕ


  1. Введение

  2. Задачи с практическим содержанием по планиметрии

    1. Задачи с практическим содержанием по теме «Треугольник»

    2. Задачи с практическим содержанием по теме «Четырехугольник»

    3. Задачи с практическим содержанием по теме «Окружность»

    4. Задачи с практическим содержанием по теме «Многоугольник»

  3. Вывод














































ВВЕДЕНИЕ



Для овладения и управления современной техникой и технологией нужна серьезная общеобразовательная подготовка, включающая в качестве непременного компонента активные знания по математике .

Школа должна неуклонно повышать эффективность и качество учебной и воспитательной работы, добиваться, чтобы каждый урок способствовал развитию познавательных интересов учащихся и приобретению навыков самостоятельного пополнения знаний.

Одним из возможных путей решения этих серьёзных задач является прикладная ориентация школьного курса математики, которая позволяет вооружить ученика теми знаниями, которые, с одной стороны, разовьют его математическую культуру, а с другой стороны, помогут применять эти знания на практике в будущей трудовой деятельности.

Проведение обучения в школе требует, чтобы при преподавании математики обеспечивалось органическое единство изложения теории и практики, развивающее у учащихся умение применять теорию для решения прикладных задач, выполнения практических работ. Изучая математику, учащиеся должны усвоить и оценить её прикладные возможности и получить основные навыки в приложении этой науки на практике.

В осуществлении связи преподавания математики с практической деятельностью особую значимость приобретает производственное окружение школы: именно с ним, как правило, связаны профессиональная ориентация и подготовка, производительный труд учащихся.

При изучении школьного курса геометрии главное внимание должно быть обращено на то, чтобы учащиеся глубоко и прочно усвоили математическую теорию, чтобы они прочно овладели основными математическими методами и научились применять их для решения различных задач, возникающих в повседневной жизни, в науке, в технике.

Одной из причин «трудности» геометрии для учащихся и быстрого забывания изученного материала является отсутствие на многих уроках живого интереса учащихся к предмету, а также невнимание к формированию прочных и разнородных ассоциаций изучаемого материала с отдельными элементами их умственной деятельности.

Добиться успешного овладения учащимися курса геометрии со всеми нюансами его логики и идей можно лишь при условии, когда учащийся практически на каждом шагу убеждается, что знание свойств геометрических понятий с успехом применимо к разрешению многочисленных и разнообразных задач, возникающих в повседневной жизни, в технике, в естествознании.

Решение практических задач на уроках математики приводит к естественной взаимосвязи теории и практики при преподавании, показывает жизненность и практическую необходимость формирования тех или иных правил, способствует глубокому, не формальному изучению основ математических наук.

Под математической задачей с практическим содержанием (задачей прикладного характера) понимается задача, фабула которой раскрывает приложение математики в смежных учебных дисциплинах, знакомит с ее использованием в организации, технологии и экономике современного производства, в сфере обслуживания, в быту, при выполнении трудовых операции.

В работе приводятся примеры и решения задач по геометрии с практическим содержанием, которые используются для закрепления и обобщения разновидных тем в школе.

Целью данной работы – рассмотреть особенности геометрических задач с практическим содержанием.

Задачи исследования:

1. Подобрать и систематизировать задачи по геометрии с практическим содержанием.

2. Актуализировать теоретический материал необходимый для решения задач.

3. Решить подобранные задачи, акцентируя внимание на практическую составляющую.

Гипотеза - изучение геометрии с помощью задач с практическим содержанием вызовет больший интерес у обучающихся к предмету.

Новизна проделанной работы свидетельствует о ее практической значимости. Материалы работы могут быть полезны учащимся средних и старших классов, студентам математических специальностей, а также учителям, работающим в школах.

Методы исследования: изучение научной и методической литературы, а также школьных учебников.



 Сроки проведения работы: с января по май 2015 учебного года.

Этапы работы:

  • 1 этап – изучение проблемы;

  • 2 этап – сбор информации по проблеме ;

  • 3 этап – обработка и анализ информации ;

  • 4 этап – оформление документации;

  • 5 этап – презентация учебного проекта .



Предполагаемые результаты: научиться строить магические квадраты любого порядка; выяснить возможность применения магических квадратов в деятельности человека, а так же в математике или её приложениях.





2. ЗАДАЧИ С ПРАКТИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ ПО ПЛАНИМЕТРИИ



Курс геометрии несет основную нагрузку в развитии логического мышления учащихся средней школы.

Важнейшим условием качественного изучения курса геометрии является преемственность между этапами обучения – курсами стереометрии и планиметрии.

В результате изучения курса изучения планиметрии учащиеся должны уметь: изображать на рисунках геометрические тела, указанные в условиях теорем и задач, и выделять известные тела на чертежах и моделях; решать типичные задачи на вычисление и доказательство, опираясь на изученные теоретические сведения, полученные при изучении планиметрии.

В курсе изучения планиметрии используются задачи практического содержания как для ознакомления определенной темы так и для ее закрепления. Рассмотрим некоторые из них.


2.1 Задачи с практическим содержанием по теме «Треугольник»


Треугольник - одна из самых распространенных фигур в курсе планиметрии.

В школьном курсе геометрии рассматривается множество задач по данной теме.

В повседневной жизни нас окружает множество разнообразных ситуации, которые мы можем решить с помощью геометрии. Например, найти расстояния на местности или высоту дерева. Многие практические задачи решаются с помощью свойств треугольников. Рассмотрим несколько задач при решении которых используются свойства прямоугольного треугольника.

Задача 2.1.1: Мальчик прошел от дома по направлению на восток hello_html_m5cbd5ad.gif метров. Затем повернул на север и прошел hello_html_37966bee.gif метров. На каком расстоянии от дома оказался мальчик? (Рисунок 1.1).


С

В

?

А



Рисунок 1.1


Решение: Треугольник hello_html_5ccb7cae.gif – прямоугольный. По теореме Пифагора hello_html_m43765195.gif метров.

Задача 2.1.2: В hello_html_44160420.gif метрах одна от другой растут две сосны. Высота одной hello_html_1ce9233c.gif метр, а другой - hello_html_50d7627.gif метров. Найдите расстояние между их верхушками. (Рисунок 1.2).


А

60 м

С

В

60 м

31 м

25 м

6 м



Рисунок 1.2


Решение: Из прямоугольного треугольника hello_html_5ccb7cae.gif находим по теореме Пифагора hello_html_m2e4abf23.gif метров.


Задача 1.1.6: Для измерения величины угла между наклонной и горизонтальной прямой на местности используют специальный прибор – эклиметр, принцип действия которого ясен из рисунка. (Рисунок 1.3) (hello_html_546c96c7.gif нить с грузиком, отвес). Докажите, что нить hello_html_546c96c7.gif показывает на шкале величину искомого угла. (Рисунок 1.3).


О

P

B

S



Рисунок 1.3


Решение: Проведем прямую hello_html_m3884319f.gif, перпендикулярную прямой hello_html_276c7c90.gif.

Так как угол hello_html_1f0f7a9e.gif прямой, то суммы величин углов hello_html_m619e62cf.gif и hello_html_16812c02.gif,hello_html_1efc3546.gif и hello_html_5061b0e8.gif равны. Отсюда следует, что величины углов hello_html_1efc3546.gifи hello_html_m619e62cf.gif равны.

Наряду со свойствами треугольников для решения задач используются также равенство и подобие треугольников.

Задача 1.1.8: Длина тени фабричной трубы равна hello_html_30748a22.gifм; в это же время вертикально воткнутый в землю кол высотой hello_html_a0bada.gif м дает тень длиной hello_html_m56228928.gif м. Найдите высоту трубы. (Рисунок 1.4).


x

1,9

1,62

35,8




Рисунок 1.4


Решение: Возьмем треугольник hello_html_5ccb7cae.gif и hello_html_1101209a.gif, где hello_html_m276cd799.gif м. Найдем hello_html_m461d1be0.gif (длину трубы). (Рисунок 1.5).


A

A1

B

B1

C

C1

35,8

1,9

1,62



Рисунок 1.5


Рассмотрим треугольник hello_html_5ccb7cae.gif и hello_html_1101209a.gif. Свет на кол и трубу падает с одной стороны, следовательно hello_html_3655c01b.gif, тогда треугольник hello_html_5ccb7cae.gif и hello_html_1101209a.gif подобны, откуда имеем:

hello_html_m3e3e7339.gifм.

Ответ: hello_html_4e391998.gifметра.

Задача 1.1.8: Используя данные, приведенные на рисунке, найдите расстояние в метрах между пунктами А и В, расположенными на разных берегах озера.




Рисунок 1.5



Решение: По теореме Пифагора АВ=500м.

Задача 1.1.8:Лестница длиной 12,5м приставлена к стене так, что расстояние от её нижнего конца до стены равно 3,5м. На какой высоте от земли находится верхний конец лестницы?






Рисунок 1.7



Решение: По теореме Пифагора высота равна 12м.

Задача 1.1.8: Стебель камыша выступает из воды озера на 1 м. Его верхний конец отклонили от вертикального положения на 2 м, и он оказался на уровне воды. Найдите глубину озера в месте, где растет камыш.



 

Рисунок 1.8



Решение: Обозначим глубину озера x. Тогда по теореме Пифагора

x²+2= (x+1)².Решая это уравнение, находим x=1,5.Значит, глубина озера равна 1,5 м.

Задача 1.1.8: На вершинах двух елок сидят две вороны. Высота елок равна 4 м и 6 м. Расстояние между ними равно 10 м. На каком расстоянии BEнужно положить сыр для этих ворон, чтобы они находились в равных условиях, т.е. чтобы расстояния от них до сыра было одинаковыми?  

 

Рисунок 1.9



Решение: Пусть ВЕ=х. Тогда АЕ²=16+x², СЕ² =36+(10-х)². Приравнивая АЕ² и СЕ², находим, что ВЕ=6 м.

Задача 1.1.8:  Используя данные, приведенные на рисунке, найдите расстояние AB от лодки A до берега b.

 

Рисунок 1.10

Решение: Треугольники АВС и ЕDС подобны. Коэффициент подобия равен 10. Следовательно, АВ= 100 м.

Задача 1.1.8:  Используя данные, приведенные на рисунке, найдите высоту мачты AB.





Рисунок 1.11



Решение: Треугольники СDЕ и САВ подобны. Коэффициент подобия

равен 5. Следовательно, АВ=5м.



Задача 1.1.8:  Используя данные, приведенные на рисунке, найдите ширину ABреки.





Рисунок 1.12



Решение: Треугольники СDЕ и СВА подобны. Коэффициент подобия равен 10. Следовательно, АВ= 10м.



Задача 1.1.8:   Используя данные, приведенные на рисунке, найдите ширину ABозера.

 

 

Рисунок 1.13



Решение: Треугольники СDЕ и САВ подобны. Коэффициент подобия равен 10. Следовательно, АВ= 30м.

2.2 Задачи с практическим содержанием по теме «Четырехугольник»


Объекты имеющие форму четырехугольника часто встречаются в повседневной жизни. Рассмотрим несколько задач практического содержания по данной теме.

Задача 1.2.1: Из круглого бревна нужно вырезать брус с поперечным сечением hello_html_18c1b4ee.gif (см). Какой наименьший диаметр должно иметь бревно? (Рисунок 1.10)





Рисунок 1.14


Решение: Наименьшим диаметром является диагональ прямоугольника hello_html_3307f53.gif, которую ищем по теореме Пифагора: hello_html_m162b8b18.gif

Ответ: 13 см.

Задача 1.2.2: Какой должна быть ширина (hello_html_352c4075.gif) прямоугольной рамки для фотографии, указанной на рисунке, чтобы прямоугольники рамки и фотографии были подобны? (Рисунок 1.11)



18 см

х см

х см

8 см





Рисунок 1.15



Решение: Коэффициенты подобия прямоугольников рамки и фотографии равен hello_html_648852c5.gif. Следовательно, высота фотографии равна hello_html_37e0f6c6.gifсм, а ширина hello_html_352c4075.gif рамки равна hello_html_m14374a44.gifсм.

Ответ: hello_html_33c7ca96.gifсм.

Задача 1.2.3: Сторона квадратной шайбы равна hello_html_44160420.gifмм. Какой длины должен быть лист стали, чтобы из него сделали hello_html_18abce1c.gif шайб? Ширина листа

hello_html_18a75cfb.gifмм. (Рисунок 1.12)


60 мм

300 мм

hello_html_33266823.gifмм



Рисунок 1.16


Решение: Так как ширина листа равна hello_html_m292d499f.gifмм, то у нас войдет hello_html_m364cba0c.gif шайб в одну полоску. А так как нужно hello_html_18abce1c.gif таких шайб, то нам надо hello_html_3ae97eaf.gif таких полосок. Следовательно: hello_html_4b561a59.gifмм должен быть лист стального полона.

Ответ: hello_html_37966bee.gifмм.

Задача 1.2.4: Между двумя фабричными зданиями устроен покатый желоб для передачи материалов. Расстояние между зданиями равно hello_html_3ae97eaf.gif метров, а концы желоба расположены на высоте hello_html_550c96a1.gif метров и hello_html_2cb2655.gif метра над землей. Найдите длину желоба. (Рисунок 1.13)


C

8 м

10 м

4 м

A

B

D

O



Рисунок 1.17


Решение: Проведем hello_html_229d98ca.gif Четырехугольник, hello_html_mf2b9b8b.gif – прямоугольник, тогда hello_html_m37f1eb0a.gifhello_html_m110cb3cf.gif Треугольник – прямоугольный, по теореме Пифагора имеем: hello_html_6f332b62.gif(м).

Ответ: hello_html_17b40828.gif метров.


2.3 Задачи с практическим содержанием по теме «Окружность»


В окружающем нас мире существует множества предметов которые имеют форму окружности или ее элементы и в связи с этим мы можем решить ряд практических задач.

Приведем примеры.

Задача 1.3.1:Чугунная труба имеет длину hello_html_7de2ffcc.gifм и внешний диаметр hello_html_m4664b5b3.gif см.

Толщина стенок трубы равна hello_html_7de2ffcc.gif см. Найдите вес трубы, если удельный вес чугуна примерно равен hello_html_m6b66b1d2.gifг/см3. Ответ дайте в килограммах. (Примите hello_html_m356acec1.gif) (Рисунок 1.14).

2 см

20 см



Рисунок 1.18


Решение: Площадь поперечного сечения стенок трубы равна hello_html_m2d10149.gif (см2). Объем трубы равен hello_html_9c09a94.gif(см3). Вес трубы равен hello_html_m6ad5b412.gif(г) hello_html_m94691b9.gif.

Ответ: hello_html_m4f61fcb5.gif.

Задача 1.3.2: Поезд едет со скоростью hello_html_m71c0b875.gifкм/ч. Диаметр его колеса равен hello_html_5e131cdd.gif см. Сколько оборотов в минуту делает колесо поезда? ( Примите hello_html_m356acec1.gif) (Рисунок 1.19).


81 км/ч

120 см



Рисунок 1.19


Решение: Длина окружности колеса, если принять hello_html_m356acec1.gif, примерно равна hello_html_5378a088.gif см. За одну минуту поезд проходит hello_html_19ee63a9.gif метров. Следовательно, за одну минуту колесо делает hello_html_5fb443ac.gif (оборотов).

Ответ: hello_html_530a8ba2.gif оборотов.

Задача 1.3.3: Поле стадиона имеет форму прямоугольника с примыкающими к нему с двух сторон полукругами. Длина беговой дорожки вокруг поля равна hello_html_3db7d5ad.gif метров. Длина каждого из двух прямолинейных участков дорожки равна hello_html_6759b70c.gif метров. Найдите ширину hello_html_1079bc4a.gif поля стадиона. В ответе укажите hello_html_2df09e1.gif (Рисунок 1.16).



Рисунок 1.20


Решение: Суммарная длина двух криволинейных участков беговой дорожки равна длине окружности и равна hello_html_m20b8b0f2.gif метров. Диаметр этой окружности равен ширине hello_html_7ee064a5.gif поля стадиона и равен hello_html_m2370beb8.gif. Следовательно, hello_html_m5323518.gif.

Ответ: hello_html_m20b8b0f2.gifметров.



Задача 1.3.7: Как далеко видно с воздушного шара, поднявшегося на высоту hello_html_2cb2655.gifкм над Землей (радиус Земли примерно равен hello_html_10c53a8b.gif км)? (Рисунок 1.21) [18].



О

К

М

Т



Рисунок 1.21



Решение: По теореме о касательной к окружности, касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то есть hello_html_mdfb70d3.gif.
hello_html_1f91f010.gif.
Тогда по теореме Пифагора:
hello_html_m652ec74d.gif, hello_html_7008458.gif

hello_html_2b24383f.gif(км.)

Ответ: hello_html_m11885296.gifкм.

Задача 1.3.8: Могут ли увидеть друг друга космонавты, летящие над поверхностью Земли на высоте hello_html_17103217.gifкм, если расстояние между ними по прямой равно hello_html_5190ba71.gif км? Радиус Земли равен hello_html_10c53a8b.gifкм (Рисунок 1.22).



A

C

B

O

O1

O2



Рисунок 1.22



Решение: Чтобы космонавты, находящиеся в точках hello_html_m9661f30.gif и hello_html_m29e9eea4.gif, могли видеть друг друга, надо, чтобы высота hello_html_m4e989644.gif треугольника hello_html_m5b658d30.gif была больше радиуса Земли.

Треугольник hello_html_m5b658d30.gif – равнобедренный, hello_html_m4e989644.gif – высота, тогда, и медиана треугольникаhello_html_m5b658d30.gif,а значит, hello_html_381268e6.gif

hello_html_5834b923.gif

Высота больше радиуса Земли, значит, космонавты могут увидеть друг друга.

Ответ: Могут.

Также рассмотрим задачу на свойства окружности, четырехугольника и многоугольника.



2.4 Задачи с практическим содержанием по теме «Многоугольник»


Объекты имеющие форму многоугольника часто встречаются в повседневной жизни. Рассмотрим несколько задач практического содержания по данной теме.

Задача 1.4.1: Найдите площадь земельного участка, изображенного ниже. (Рисунок 1.23)


15 м

45 м

25 м

30 м



Рисунок 1.23


Решение: Разделим фигуру на два прямоугольника и посчитаем площадь каждого отдельно. Площадь участка равна hello_html_2cd5a460.gif2).

Ответ: hello_html_m21eaf3e8.gif квадратных метров.

Задача 1.4.2: Пол требуется покрыть паркетом из восьмиугольных и квадратных плиток. Фрагмент паркета показан на рисунке (Рисунок 1.24). Найдите отношение числа квадратных плиток к числу восьмиугольных.



Рисунок 1.24

Решение: На каждую восьмиугольную плитку приходится одна квадратная. Отношение числа квадратных плиток к числу восьмиугольных равно 1.

Ответ: 1.






















































ЗАКЛЮЧЕНИЕ



В данной курсовой работе были подобраны и систематизированы задачи с практическим содержанием, актуализирован теоретический материал необходимый для решения задач с практическим содержанием и решены подобранные задачи, с акцентом внимания на практическую составляющую. Тем самым цель работы достигнута, поставленные задачи реализованы.

В ходе исследования было усвоено, что к задачам с практическим содержанием предъявляются наряду с общими требованиями следующие дополнительные требования:

1) познавательная ценность задачи и ее воспитывающее влияние на учеников;

2) доступность школьникам используемого в задаче нематематического материала;

3) реальность описываемой в условии задачи ситуации, числовых значении данных, постановки вопроса и полученного решения.

Материалы данной работы могут иметь широкое практическое применение при разработке как уроков базового курса математики, так и элективного курса по соответствующим темам.

Дальнейшее исследование по теме может быть направлено на исследование задач с практическим содержанием по стереометрии и разработку методики использования геометрических задач с практическим содержанием в школьном курсе.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ


  1. Балк М. Б., Балк Г. Д.  Математика после уроков, М.: Просвещение, 1971. – 151с.

  2. Дубинчук Е. С., Слепкань З. И. Обучение геометрии в профтехучилищах. – М.: Высшая школа, 1989. – 128 с.

  3. Киселев А. П., Геометрия. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 328с.

  4. Киселев А. П., Рыбкин Н.А.  Геометрия 7–9 планиметрии. Дрофа. 1995. – 155с.

  5. Ковалева Т. П. Геометрия в практической деятельности. Статья.

  6. Погорелов А. В. Геометрия: Учебник для 7 – 11 классов общеобразовательных учреждений.– М.: Просвещение, 1997. – 383 с.

  7. Сергеев И.Н. Примени математику. – М.: Наука. 1990. – 240 с.

  8. Смирнова И. М., Смирнов В.А. Геометрические задачи с практическим содержанием. – М.: МЦНМО, 2010. – 136 с.

  9. Современные проблемы методики преподавания математики: Сборник статей./ Н. С. Антонов, В. А. Гусев: Варданян С. С. Решение прикладных задач на уроках геометрии – М.: Просвещение, 1985. – 304 с.

  10. Современные проблемы методики преподавания математики: Сборник статей./ Н. С. Антонов, В. А. Гусев: Такидзе Э. Р. Профориентационная работа с учащимися на уроках геометрии в 6 – 8 классах – М.: Просвещение, 1985. – 304 с.

  11. Терешин Н. А. Прикладная направленность школьного курса математики: Книга для учителя. – М.: Просвещение, 1990. – 95 с.

  12. Ткачев А.В. Домашняя математика 8 класс

  13. Хабиб Р. А. О новых приемах обучения планиметрии. М., «Просвещение», 1969. – 158 с.

  14. ЧетверухинН. Ф.  Методы геометрических построений, М.: Учпедгиз, 1952, - 258с.

  15. ЧетверухинН.Ф. Изображение фигур в курсе геометрии – М.: Учпедгиз, 1958, - 217с.

  16. Шапиро И. М. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики: Книга для учителя. – М.: Просвещение, 1990. – 96с.

  17. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия, М.: 315с.











Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 19.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров608
Номер материала ДВ-171480
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх