Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Физкультура / Другие методич. материалы / Математический кружок для 5 класса
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Физкультура

Математический кружок для 5 класса

библиотека
материалов
















Программа математического кружка для учащихся 5 классов


«В мире математики»










hello_html_m50db0d10.png








Пояснительная записка

Внеклассная работа-это «необязательная» часть работы учителя с учениками, но работа , без которой трудно представить себе преподавание математики. Её задача-повысить интерес учащихся к предмету, активизировать их деятельность, поддерживать и развивать пусть пока небольшие творческие взлёты, расширять знания. В виде игры часто можно предложить и сложные задачи, т.е. серьёзное содержание «одеть» в занимательную «одёжку».

В настоящее время все более актуальной становится проблема развития одаренных детей. Это, прежде всего, связано с потребностью общества в неординарной творческой личности. Неопределенность современной окружающей обстановки требует от человека не только высокой активности, но и его умения, способности нестандартного поведения. Раннее выявление, обучение и развитие одаренных и талантливых детей составляет одну их главных проблем совершенствования системы образования.


Цель программы – создание условий для раскрытия и развития внутреннего потенциала, способностей высокомотивированных учащихся и детей с признаками одаренности, удовлетворения их познавательных потребностей.


Данная программа соответствует основной стратегии развития школы:

ориентации нового содержания образования на развитие личности;

реализации деятельностного подхода к обучению;

обучению ключевым компетенциям (готовности учащихся использовать усвоенные знания, умения и способы деятельности в реальной жизни для решения практических задач) и привитие общих умений, навыков, способов деятельности как существенных элементов культуры, являющихся необходимым условием развития и социализации учащихся.


Когда ребенок переходит из начальной школы на среднюю ступень обучения, он уже обладает определенными вычислительными навыками по выполнению действий с натуральными числами, умеет решать стандартные задачи двух – трех видов, но чаще всего у него не развиты способности к аналитической деятельности. Главной задачей данной программы является формирование и развитие аналитических способностей у одаренных учеников, формирование исследовательских умений, а также развитие у них таких психических функций, как систематичность и последовательность мышления, способность к обобщению, сообразительность, развитие логическог мышления, сосредоточение внимания, выдержку и настойчивость в работе.



Обучению решению задач в математике уделяется много внимания, но единственным методом такого обучения на уроках является показ способов решения определенных видов стандартных задач и значительная, порой изнурительная практика по овладению ими. Решением нестандартных задач на уроках учащиеся практически не занимаются или делают это крайне редко. А ведь именно решение таких задач способствует углублению знаний учащихся, развитию их природных способностей и дарований, развитию логического, аналитического мышления, вовлекает их в серьезную самостоятельную работу. Поэтому на занятиях кружка ученикам предлагаются различные виды нестандартных задач: числовые ребусы, старинные, логические задачи, задачи на лабиринты, на разрезания, перекладывания, перекраивания, переливания, взвешивания, комбинаторные задачи, а также даются способы и методы их решения.


Предлагаемая программа ставит своей задачей создать у учащихся целостное представление о стандартных и нестандартных задачах, способах и схеме поиска их решения, развить общие умения решать любые математические задачи. Кроме того, программа способствует расширению кругозора школьников, дополняет обязательный учебный материал сведениями о математике и математиках, о математических фокусах, софизмах, головоломках, вовлекает учеников в исследовательскую самостоятельную деятельность.


Программа данного математического кружка рассчитана на 34 часа (по 1 ч. в неделю, всего 34 занятия. Работа математического кружка осуществляется с учетом индивидуального подхода к обучению учащихся с использованием активных форм и методов познавательной деятельности, современных образовательных технологий: информационно-коммуникативной, исследовательской (проблемно-поисковой), деятельностного подхода и другие. Учитывая физиологические и психологические особенности учащихся 5 классов, занятия кружка должны быть разнообразными как по содержанию, так и по организации учебной деятельности. Поэтому занятие кружка включает в себя либо приемы устного счета, либо теоретические подходы к решению задач и, конечно, решение самих нестандартных задач, дополненные математическими играми, головоломками, биографическими миниатюрами, занимательным материалом. Каждое теоретическое положение рассматривается на какой – либо конкретной задаче, что позволяет активно вовлекать учащихся в процесс ее обсуждения и решения. Во время проведения занятий, посвященных изучению теории (поиск плана решения, методы решения нестандартных задач), уместна организация групповой работы школьников с целью развития самостоятельности мышления и исследовательских умений.



В ходе проведения занятий кружка следует обратить внимание на то, чтобы обучающиеся овладели умениями: использования особых приемов для решения логических задач;

решения стандартных и нестандартных задач;

исследовательской деятельности;

развитие пространственного мышления;

грамотного использования математического языка в устной и письменной речи.


hello_html_6131bbbe.gifhello_html_f5c58a9.pngЗанятие №1-2 «В мире чисел» Один из величайших греческих математиков древности Пифагор (580- 500г. до нашей эры) считал, что числа очень важны для жизни людей. Попробуйте сами прочитать, что он говорил о числах.

hello_html_29f87224.gif


Математическая цепочка.



hello_html_m1d6ba5b3.gif



Игра. ЭВМ.


hello_html_m26e6a195.gif



Математические загадки


Ещё в древней Руси люди решали разные задачи. Например в XIX веке в деревнях загадывали:

1. «Шли семь старцев.

У каждого старца по семи костылей.

На каждом костыле по семи сучков.

На каждом сучке по семи кошелей.

В каждой кошеле по семи пирогов.

В каждом пироге по семи воробьев.

Сколько всего?»


2. Как записать число 100 шестью цифрами 4?


3. Как записать число 100 семью цифрами 4?


4. Как записать число 1000 пятнадцатью цифрами 4?


5. Летела стая гусей, а навстречу ему ещё гусь. Гусь говорит: «Здравствуйте, сто гусей». А ему отвечают: «Нас не сто гусей, а меньше. Если бы нас было столько, да ещё полстолька, да ещё четверть столько, да ты, гусь, вот тогда было бы нас сто гусей». Сколько гусей было бы в стае?


6. Семь старух отправились в Рим. У каждой старухи по семи ослов, каждый осел несёт по семи мешков, в каждом мешке по семи хлебов, в каждом хлебе по семи ножей, каждый нож в семи ножнах. Сколько всего предметов?


7. Имеет 4 зуба. Каждый день появляется за столом, а ничего не ест. Что это?


8. На какое дерево садится ворона во время проливного дождя?


9. У бабушки Даши внучка Маша, кот Пушок, собака Дружок. Сколько у бабушки внуков?


10. Сколько горошин может войти в обыкновенный стакан?


11. На четырёх ногах стою, ходить же вовсе не могу.


12. Может ли дождь идти два дня подряд?


13. Двенадцать братьев друг за другом стоят, но друг друга не видят.


14. Первый Назар шёл на базар,

Второй Назар с базара.

Какой Назар купил товар,

Какой шёл без товара?


15. Какой знак надо поставить между написанным рядом цифрами 2 и 3, так чтобы получилось число, больше двух, но меньшее трёх?


16. Половина – треть его. Какое это число?


17. Когда моему отцу был 31 год, мне было 8 лет, а теперь отец старше меня вдвое. Сколько мне лет теперь?


18. За книгу заплатили 1 рубль и ещё половину стоимости книги. Сколько стоит книга?


19. У одного папы спросили: «Сколько у вас детей?» Он ответил: «У меня четыре сына и у каждого из них есть родная сестра.» Сколько же у него детей?


20. Летела стая гусей. 1 гусь впереди, 2 позади, 1 гусь между двумя и 3 в ряду. Сколько всего гусей.


21. Шли две матери с дочерьми, да бабушка с внучкой. Нашли полтора пирога. По сколько им достанется?


22. Меня зовут Толей. У моей сестры только один брат, как зовут брата моей сестры?


23. По улице идут два отца и два сына. Всего три человека. Может ли быть такое?


24. Шёл Кондрат в Ленинград, а навстречу ему семь ребят. Сколько ребят шли в Ленинград?


Ответы на математические загадки

  1. 7*7*7*7*7*7

  2. 4+4*4-44+4

  3. 44+4*4/44+4

  4. 44/4+4/4*44-44+4/44+444

  5. 36

  6. 7*7*7*7*7*7

  7. вилка

  8. на мокрое

  9. 1

  10. нисколько

  11. стул

  12. нет

  13. месяцы

14. 1-й без товара, 2-й с товаром.

15.запятая

16.3/2

17.23

18.2

19.5

20.3

21.по половинке

22.Толя

23.да

24.нисколько











hello_html_ff1328.pngЗанятие №3 Задачи на переливание

Цели: На практике научить решать задачи на переливание;

Закрепить знания о дробях, развивать логическое мышление, внимание, речь;

Научить сравнивать, делать выводы.


Задачи:

развивать познавательные интересы личности (восприятие, воображение, память, мышление, внимание и др.);

формировать устойчивый интерес к предмету, познавательную активность;

формировать навыки самостоятельной работы и потребности в исследовательской деятельности;

развивать коммуникативные качества личности.


Предмет математики настолько серьезен, что нельзя упускать случая, сделать его немного занимательным.

Блез Паскаль.


Задачи на переливание – это задачи, в которых с помощью сосудов известных емкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости. Простейший прием решения задач этого класса состоит в переборе возможных вариантов. Понятно, что такой метод решения не совсем удачный, в нем трудно выделить какой-либо общий подход к решению других подобных задач.



1.

Переливаем молоко.Из восьмилитрового ведра, наполненного молоком, надо отлить 4 литра с помощью двух пустых бидонов: трехлитрового и пятилитрового.


Решение.


1. Переливаем из восьмилитрового ведра 5 литров молока в пятилитровое.

2. Переливаем из пятилитрового ведра 3 литра в трёхлитровое.

3. Переливаем их теперь в восьмилитровое ведро. Итак, теперь трёхлитровое ведро пусто, в восьилитровом 6 литров молока, а в пятилитровом - 2 литра молока.

4. Переливаем 2 литра молока из пятилитрового ведра в трёхлитровое, а потом наливаем 5 литров из восьмилитрового в пятилитровое. Теперь в восьмилитровом 1 литр молока, в пятилитровом - 5, а в трёхлитровом - 2 литра молока.

5. Доливаем дополна трёхлитровое ведро из пятилитрового и переливаем эти 3 литра в восьмилитровое ведро. В восьмилитровом ведре стало 4 литра, так же, как и в пятилитровом. Задача решена.



Можно ли разлить 50 литров бензина по трём бакам так, чтобы в первом баке было на 10 литров больше, чем во втором, а после переливания 26 литров из первого бака в третий в третьем баке стало столько же бензина, сколько во втором?


Решение. При таком переливании во втором баке должно было быть больше 26 л бензина, а в первом — ещё больше, чем во втором. Следовательно, даже если надо было бы наполнить только эти два бака, всё равно на это не хватило бы 50 л. Значит, разделить бензин так, как требуется в условии, невозможно.



Есть три бидона емкостью 14 л, 9 л и 5 л. В большем бидоне 14 литров молока, остальные бидоны пусты. Как с помощью этих сосудов разлить молоко пополам?


Решение. Приведем схему разливания молока (первое число - сколько литров в 14-литровом бидоне, второе - сколько в 9-литровом, третье - сколько в 5-литровом): 14 0 0 - 9 0 5 - 9 5 0 - 4 5 5 - 4 9 1 - 13 0 1 - 13 1 0 - 8 1 5 - 8 6 0 - 3 6 5 - 3 9 2 - 12 0 2 - 12 2 0 - 7 2 5 - 7 7 0 .


hello_html_6848244b.pngЗанятие №4-5

Задачи на взвешивания

Цели:

Обучение общим приёмам решения разнообразных задач на взвешивания .

Отработка умения логически рассуждать, правильно строить свои умозаключения.

Привитие вкуса к логическим рассуждениям.

Научить творчески относится к решению каждой интересной задаче.

Задача 1: Из 9 монет одна – фальшивая, она легче настояших. Найти ее за два взвешивания.


Задача 2: Из 27 монет одна – фальшивая, она легче настоящих. Можно ли нйти ее за a) 3 взвешивания b) 2 взвешивания.


Решение:


а) Да. Одним взвешиванием можно уменьшить количество «подозрительных монет втрое: нужно разделить монеты на три одинаковые группы и сравнить две из них. Если одна из групп легче, то фальшивая монета находится в ней, а если группы равны по весу, то фальшивая монета – в третьей группе. Таким образом, за три взвешивания группа «подозрительных» монет сужается до одной монеты, которая и является фальшивой.


б) Нет. Девять различных исходов двух взвешиваний не позволят однозначно определить все 27 возможных вариантов расположения фальшивой монеты.


Задача 3: Из 101 монеты 50 – фальшивые, которые на 1 грамм легче настоящих. За одно взвешивание на весах с делениями определить, является ли данная монета фальшивой.


Решение: Нужно разделить все монеты, кроме данной, на две группы по 50 штук и сравнить их. Если разность весов чётна, то данная монета – настоящая, иначе – фальшивая.


Задача 4: Есть 6 мешков с монетами. В некоторых из них монеты фальшивые (на 1 грамм легче настоящих). За одно взвешивание на весах с делениями определить, в каких мешках монеты фальшивые, если известно, что:


a) Фальшивые монеты только в одном мешке.


b) Фальшивые монеты не во всех мешках.


Решение: b) Положим на левую чашку весов одну монету из первого мешка, 2 – из второго, 4 – из третьего, 8 – из четвёртого и 16 – из пятого. На правую чашу положим 31 монету из шестого мешка. «Фальшивые» мешки определяются по двоичной записи разности весов на чашках.


Задача 5: Из 103 монет две – фальшивые (фальшивые монеты одинаковы по весу). За три взвешивания определить, тяжелее они настоящих или легче.


Задача 6: Есть 6 монет, из которых две – фальшивые (легче настоящих). Найти их за 3 взвешивания.


Задача 7: Из 16 монет одна – фальшивая, причем неизвестно, легче она настоящих или тяжелее. Найти ее за 4 взвешивания.


Задача 8:


Из 12 монет одна – фальшивая, причем неизвестно, легче она настоящих или тяжелее. Найти ее за 3 взвешивания.


Задача 9: Есть 5 монет, из которых две – фальшивые, причем одна тяжелее настоящих, а другая – легче. За 3 взвешивания найти обе фальшивые монеты.


Задача 10: В качестве вещественного доказательства суду были предъявлены 14 монет. Суд знает, что 7 из этих монет – настоящие, а 7 – фальшивые (легче настоящих). Адвокат обвиняемого знает, какие именно монеты фальшивые, и хочет убедить в этом суд. Как ему это сделать всего за три взвешивания на чашечных весах?











hello_html_46b71ed3.pngЗанятие №6 -8 Составление уравнений

1.

Решите уравнение (x:2 − 3):2 − 1 = 3.


Решение Ответ

Решение. Делаем всё в обратном порядке:

(x:2 − 3):2 − 1 = 3

(x:2 − 3):2 = 4

x:2 − 3 = 8

x:2 = 11

x = 22.


2.Деду 56 лет, внуку — 14. Через сколько лет дедушка будет вдвое старше внука?


Решение Ответ

Решение. Пусть это произойдёт через x лет. Тогда

56 + x = 2(14 + x)

56 + x = 28 + 2x

28 = x

3.Упаковка чая на 50 копеек дороже пакета кофе. Вася купил 7 упаковок чая и 6 пакетов кофе, потратив 68 рублей 50 копеек. Сколько стоит пакет кофе?


Решение Ответ

Решение. Пусть пакет кофе стоит x рублей, тогда упаковка чая стоит x + 0,5. Значит,

7(x + 0,5) + 6x = 68,5

7x + 3,5 + 6x = 68,5

13x = 65

x = 5.

4.9 одинаковых тетрадок стоят 11 рублей с копейками, а 13 таких же тетрадок — 15 рублей с копейками. Сколько стоит одна тетрадка?


Решение Ответ

Решение. Обозначим за x рублей цену одной тетрадки. Тогда условие задачи можно переписать так:

11 < 9x < 12, 15 < 13x < 16.

Из левого неравенства первого соотношения следует, что

1,222... < x,

а из правого неравенства второго соотношения

x < 1,230... < 1,24.

Значит, тетрадка стоит больше, чем 1 руб. 22 коп., и меньше, чем 1 руб. 24 коп. Единственно возможный вариант 1 руб. 23 коп.

5.

Представьте число 45 в виде суммы четырёх чисел так, что после прибавления 2 к первому числу, вычитания 2 из второго, умножения на 2 третьего и деления на 2 четвёртого эти числа станут равными.


Решение Ответ

Решение. Пусть в итоге все числа стали равны x.

Тогда изначально числа были равны x − 2, x + 2, x/2, 2x. Получается, что

x − 2 + x + 2 + x/2 + 2x = 45

4,5x = 45

x=10.

6.

В трёх ящиках лежат орехи. В первом на 6 орехов меньше, чем в двух других вместе, а во втором на 10 орехов меньше, чем в первом и третьем. Сколько орехов в третьем ящике?


Решение Ответ

Решение. Обозначим количество орехов в ящиках x, y, z соответственно. Тогда получаем, что

x + 6 = y + z

y + 10 = x + z.

Сложим эти два равенства

x + y + 16 = x + y + 2z

16 = 2z

z = 8. Значит, в третьем ящике 8 орехов.

Решение Ответ

8.

Ваня 28 ноября сказал: «Сегодня разность между числом прожитых мною полных месяцев и числом полных лет впервые стала равна 144». Когда у Вани День рождения?


Решение Ответ

Решение. Пусть с того момента, как Ваня родился, до 28 ноября этого года прошло x лет и ещё y месяцев (y от 0 до 11). Значит, полных месяцев всего прошло 12x + y. Тогда

12x + y − x = 144

11x + y = 144

11x = 144 − y.

Значит, 144 − y делится на 11. Но единственно подходящее из возможных y равно 1. Получается, что День рождения у Вани за 1 месяц до 28 ноября, то есть, 28 октября.

hello_html_68970cb2.pngЗанятие №9-11 Упражнения со спичками


Цель: развитие наглядно-образного мышления.


1. Сто

Приложить к четырем спичкам (верхний рис.) пять спичек так, чтобы получилось сто.

Решение задачи показано на нижнем рисунке. Попробуйте найти еще одно решение.

hello_html_m276396d6.png

2. Три


Положено пять спичек. Прибавить к ним еще пять спичек так, чтобы получилось три.



3. Дом


Из спичек построен дом. Переложить две спички так, чтобы дом повернулся другой стороной.

hello_html_1cc93ce7.png

4. Рак


Спичечный рак ползет вверх. Переложить три спички так, чтобы он ополз вниз.

hello_html_m15fcdeb4.png


5. Весы


Весы составлены из девяти спичек и не находятся в состоянии равновесия. Требуется переложить в них пять спичек так, чтобы весы были в

равновесии.


hello_html_36bf3a5d.png


6. Две рюмки


Две рюмки составлены из десяти спичек. Переложить шесть спичек так, чтобы получился дом.


hello_html_m2af06cf1.png


7. Храм

Этот греческий храм построен из одиннадцати спичек. Требуется переложить четыре спички так, чтобы получилось пятнадцать квадратов.


hello_html_665403dc.png



8. Флюгер

Флюгер составлен из десяти спичек. Переложить четыре спички так, чтобы получился дом.

hello_html_12b8018.png




9. Фонарь

Переложив шесть спичек, требуется фонарь превратить в четыре равных треугольника.


hello_html_m5586b64b.png




10. Топор

Переложив четыре спички, превратить топор в три равных треугольника


hello_html_4a93f2a4.png




11. Лампа

В лампе, составленной из двенадцати спичек, переложить три спички так, чтобы получилось пять равных треугольников.


hello_html_79647e88.png




12. Ключ


Из десяти спичек сделан ключ. Переложить в нем четыре спички так, чтобы получилось три квадрата.


hello_html_m5566a844.png

13. Три квадрата


Построена фигура, показанная на рисунке. Переложить в ней пять спичек

так, чтобы получилось три квадрата.


hello_html_m2cdb3919.png



14. Пять квадратов


Спички расположены, как показано на рисунке. Переложить две спички так, чтобы получилось пять равных квадратов.


hello_html_m45fc814d.png

hello_html_47896e9d.png

15.Дана фигура из 6 квадратов. Надо убрать 2 палочки так, чтобы осталось 4 квадрата".


hello_html_2cbfd402.png


16.В фигуре переложить 3 палочки так, чтобы получилось 4 равных треугольника".

hello_html_m74ef500.png

17.Составить домик из 6 палочек, а затем переложить 2 палочки так, чтобы, получился флажок".

hello_html_70ed4acc.png

18.Переложить 6 палочек так, чтобы, из корабля получился танк.

hello_html_6bb485c6.png


Занятие №12-13 Принцип Дирихле

hello_html_m2faf67ff.png


1.

Восемь кроликов посадили в семь клеток. Докажите, что есть клетка, в которой оказалось по крайней мере два кролика.


Решение

Решение. Если бы ни в какой клетке не было двух кроликов, то всего их было бы не больше, чем клеток, то есть, максимум 7. Но кроликов 8, противоречие.

2.

За победу в математической регате команда из 4 человек получила 10 конфет. Дети поделили конфеты между собой, не разламывая их. Определите, верны ли следующие утверждения:

а)

"кому-то досталось по крайней мере 2 конфеты";

б)

"кому-то досталось по крайней мере 3 конфеты";

в)

"двум людям досталось по крайней мере две конфеты";

г)

"каждому досталась хотя бы одна конфета".


Ответ Решение

Ответ. а) и б) верны, в) и г) нет.

Решение.


а) Если бы никому не досталось две конфеты, то конфет всего было бы не больше 4. Но их 10, противоречие.


б) Если бы никому не досталось три конфеты, то конфет всего было бы не больше 2·4 = 8. Но их 10, противоречие.


в, г) Теоретически, все конфеты мог забрать, например, один человек.

3.

а)

В темной комнате стоит шкаф, в котором лежат 24 чёрных и 24 синих носка. Какое минимальное количество носков нужно взять из шкафа, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одного цвета?

б)

Какое минимальное количество носков нужно взять, чтобы заведомо можно было составить хотя бы одну пару носков черного цвета?

в)

Как изменится решение задачи, если в ящике лежат 12 пар чёрных и 12 пар синих ботинок и требуется составить пару одного цвета (как в пункте а) и пару черного цвета (как в пункте б)? Ботинки, в отличие от носков, бывают левыми и правыми.


Ответ Решение

Ответ. а) 3; б) 26; в) 25 и 37.

Решение.


а) Если взять только два носка, то они могут оказаться разных цветов, и составить из них пару не получится. А из трёх носков два точно будут одного цвета.


б) Если взять 25 носков, то 24 из них могут оказаться синими, и составить чёрную пару не получится. Если же взять 26 носков, то синих среди них не может быть больше 24 синих, поэтому точно будут два чёрных.


в) Если взять 24 ботинка, то все они могут оказаться левыми, и составить пару из них не получится. Разобьём мысленно все 48 ботинок на пары. Пар будет 24. Если взять 25 ботинок, то два из них точно будут из одной пары.

Если взять 36 ботинок, то 24 из них могут оказаться синими, а остальные 12 — левыми чёрными, и составить из них чёрную пару не получится. Если взять 37 ботинок, то хотя бы 13 из них будут чёрными, а значит, будет точно хотя бы один чёрный левый и хотя бы один чёрный правый.

4.

В лесу растут миллион ёлок. Известно, что на каждой из них не более 600000 иголок. Докажите, что есть две ёлки с одинаковым количеством иголок.


Решение

Решение. У ёлки может быть 0, 1, 2, ..., 600000 иголок. 600001 возможный вариант, а ёлок больше (1000000). Значит, какой-то вариант точно повторяется, т.е. найдутся две ёлки с одинаковым количеством иголок.

5.

В школе 30 классов и 1000 учащихся. Докажите, что есть класс, в котором не менее 34 учеников.

Решение. Если такого класса нет, то учеников в школе не может быть больше, чем 33·30 = 990 < 1000, противоречие.

6.

В квадратном ковре со стороной 4 метра моль проела 15 дырок. Докажите, что из этого ковра можно вырезать коврик со стороной 1 метр, в котором дырок не будет.

Решение. Разобьём ковёр на 16 маленьких ковриков размером 1×1. Так как дырок всего 15, хотя бы один квадратик окажется без дырок. Его и можно вырезать.

7.

В финальном матче школьного чемпионата по баскетболу команда 5А забила 9 мячей. Докажите, что найдутся два игрока этой команды, забившие поровну мячей. (В команде по баскетболу 5 игроков.)


Решение. Предположим, что такие два игрока не найдутся. Тогда все пять игроков забили разное количество мячей. Пусть первый игрок ничего не забил, второй забил один мяч, третий — два, четвёртый — три, пятый — четыре. Тогда всего игроки забили 10 мячей. Если же кто-то забил больше, чем мы предположили, то и всего мячей было забито больше. Но поскольку по условию игроки забили 9 мячей, наше предположение неверно. Значит, есть два игрока, забившие поровну.

8.

Верно ли, что в вашей аудитории есть по крайне мере два человека, имеющие одинаковое число друзей в этой аудитории? Верно ли это для любой аудитории?


Решение

Решение. Да, верно. Проведём рассуждения сразу для любой аудитории.

Пусть в аудитории n человек, и у всех из них разное количество друзей. Друзей может быть 0, 1, 2, ..., (n − 1). Всего n возможных вариантов. А так как человек тоже n, то все эти варианты используются. Значит, есть человек, у которого 0 друзей, т. е. который ни с кем не дружит. И есть человек, у которого (n − 1) друг, т.е. который дружит со всеми. Однако этого быть не может, т.к. эти два человека должны одновременно и дружить, и не дружить друг с другом. Получаем противоречие. Значит, два человека с одинаковым количеством друзей всегда найдутся.

Дополнительные задачи

9.

Каждая клетка таблицы 2011×2011 покрашена в один из 2010 цветов. За ход можно взять строку или столбец и, если там есть две клетки одного цвета, перекрасить эту строку или столбец в этот цвет. Всегда ли можно за несколько ходов покрасить всю таблицу в один цвет?


Ответ Решение

Ответ. Всегда.

Решение. Возьмём любую строку. Так как цветов 2010, а клеток в строке — 2011, есть по крайней мере две клетки одного цвета. Значит, мы можем перекрасить всю строку в этот цвет. Воспользуемся этим и покрасим каждую строку в какой-нибудь цвет. Теперь у нас есть 2011 строк, покрашенные в 2010 цветов. Значит, по крайней мере две строки покрашены в один цвет (допустим, красный). То есть, в любом столбце есть две красные клетки. Покрасим все столбцы в красный цвет — все клетки доски будут покрашены в один цвет.


10.

Можно ли клетки доски 5×5 покрасить в четыре цвета так, чтобы клетки, стоящие на пересечении любых двух строк и любых двух столбцов, были покрашены не менее, чем в три цвета?


Решение

Решение. Нельзя.

Предположим, что существует раскраска таблицы 5×5, удовлетворяющая условию. Рассмотрим эту таблицу.

hello_html_m75c02a5d.png

В каждом столбце найдется цвет, в который покрашены по крайней мере две клетки этого столбца. Назовем такой цвет преобладающим для данного столбца (возможно, у какого-то столбца будет два преобладающих цвета). Аналогично, какой то цвет (назовем его 1) будет преобладающим для двух столбцов. Поскольку от перестановки строк и столбцов ничего не зависит, будем считать, что это столбцы a и b. Также можем считать, что в первом столбце цветом 1 покрашены клетки a4 и a5. Тогда клетки b4 и b5 должны быть покрашены какими-то двумя различными цветами, отличными от цвета 1. Пусть они покрашены цветами 2 и 3, а поскольку цвет 1 — преобладающий для столбца b, можем считать, что клетки b2 и b3 покрашены цветом 1. Рассмотрим клетку a3. Выбрав 3 и 4 строку и столбцы a и b, мы получим, что клетка a3 не может быть покрашенной цветами 1 и 3. Выбрав 3 и 5 строку и столбцы a и b, мы получим, что клетка a3 не может быть покрашенной цветами 1 и 2. То есть клетка a3 покрашена цветом 4. Но из аналогичных рассуждений мы получаем, что и клетка a2 покрашена цветом 4. То есть квадрат, состоящий из клеток a3, a2, b3 и b2, покрашен в два цвета — противоречие.

Дополнительные задачи


1.

В магазин привезли 25 ящиков яблок трех сортов. В каждом ящике лежат яблоки одного сорта. Продавец утверждает, что у него нет девяти ящиков с яблоками одного сорта. Не ошибся ли он?


2.

В поход пошли 20 туристов. Самому старшему из них 35 лет, а самому младшему а) 16 лет б) 17 лет. Верно ли, что среди туристов есть одногодки?


3.

В школе учатся 400 учеников. Докажите, что хотя бы двое из них отмечают день рождения в один и тот же день.


4.

Сможете ли вы разложить 44 шарика на 9 кучек так, чтобы количество шариков в разных кучках было различным?


5.

Занятия математического кружка проходят в девяти аудиториях. Среди прочих, на эти занятия приходят 19 учеников из одной и той же школы.

а) Докажите, что как их не пересаживай, хотя бы в одной аудитории окажется не меньше трех таких школьников.

б) Верно ли, что в какой-нибудь аудитории обязательно окажется ровно три таких школьника?


6.

Докажите, что в любой компании из 5 человек есть двое, имеющие одинаковое число знакомых в этой компании.

Дополнительные задачи 1


7.

Несколько футбольных команд проводят турнир в один круг. Докажите, что в любой момент турнира найдутся команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое количество матчей.


8.

Каждая грань куба окрашена в черный или белый цвет. Докажите, что найдутся две грани с общим ребром, которые одинаково окрашены.


9.

Какое наибольшее число королей можно поставить на шахматной доске так, чтобы никакие два из них не били друг друга?



10.

Клетчатая бумага покрашена в 8 разных цветов (каждая клетка - целиком одного цвета). Докажите, что на эту бумагу можно положить фигурку, изображенная на рисунке, так, чтобы она покрывала две клетки одного цвета.




11.

Докажите, что никакая прямая не может пересекать все три стороны треугольника.


12.

По краю круглого стола равномерно расставлены таблички с фамилиями дипломатов, участвующих в переговорах. После начала переговоров оказалось, что ни один из них не сидит напротив своей таблички. Можно ли повернуть стол так, чтобы по крайней мере два дипломата сидели напротив своих табличек?













hello_html_m5e1959de.pngЗанятие № 14-15 Геометрические конструкции

Цель: Развитие пространственного воображения.

1.

У двух человек было два квадратных торта. Каждый сделал на своём торте по два прямолинейных разреза от края до края. При этом у одного получилось три куска, а у другого — четыре. Могло ли такое быть?


Ответ. Да, могло.

Решение.

hello_html_4dafa35b.png

2.

На рисунке изображена развертка кубика. На ней проставлены только числа: 1 и 2. Расставьте остальные числа: 3, 4, 5, 6 — так, чтобы сумма чисел на любых двух противоположных гранях была равна 7.

hello_html_298e6986.png


Решение:

hello_html_4e725744.png

3.

Можно ли на плоскости отметить 6 точек и соединить их отрезками так, чтобы каждая была соединена ровно с четырьмя другими?

Решение


hello_html_m7f93a3f.png

Ответ. Да, можно.


4.

Верно ли, что среди любых пяти отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник?


Ответ. Нет, не верно.

Решение. Пусть отрезки имеют длины 1, 2, 4, 8, 16. Нетрудно видеть, что для любых трех отрезков a < b < c верно, что a + b < c. Значит, треугольник составить не удастся.

5.

Кролик, готовясь к приходу гостей, повесил в трёх углах своей многоугольной норы по лампочке. Пришедшие к нему Винни-Пух и Пятачок увидели, что не все горшочки с мёдом освещены. Когда они полезли за мёдом, две лампочки разбились. Кролик перевесил оставшуюся лампочку в некоторый угол так, что вся нора оказалась освещена. Могло ли такое быть?


Ответ. Да, могло

Решение. Пример см. на рис. Лампочки обозначены кружочками.

hello_html_5f6183a9.png

6.

Поставьте на плоскости 9 точек так, чтобы никакие 4 не лежали на одной прямой, но из любых шести нашлись 3, лежащие на одной прямой. (На рисунке проведите все прямые, на которых лежат по три отмеченные точки.)


Решение

hello_html_m7611cd86.png


Далее несложным перебором легко показать, что данная конфигурация удовлетворяет условию.

7.

Каждую грань куба разбили на четыре одинаковых квадрата. Можно ли каждый из получившихся квадратов покрасить в один из трёх цветов так, чтобы любые два квадрата, имеющие общую сторону, были покрашены в разные цвета?


Ответ. Да, можно.

Решение.

hello_html_1a417be5.png

8.

На клетчатой бумаге отмечен прямоугольник размером 2×6. Можно ли раскрасить узлы клеток, лежащие на границе и внутри этого прямоугольника (всего их 21), в два цвета так, чтобы никакие четыре одноцветных узла не оказались в вершинах прямоугольника со сторонами, идущими вдоль линий сетки?



Ответ. Нет, нельзя.

Решение. Разобьем прямоугольник из условия на 7 троек из 3 точек. Заметим, что если какие-то две тройки совпадают, то найдется искомый прямоугольник, т.к. в каждой тройке одного из двух цветов хотя бы 2 точки. Всего таких комбинаций 2·2·2 = 8. Осталось заметить, что если выбрана комбинация из трех точек цвета 1, то не выбраны еще хотя бы 3 тройки (в каждой из них ровно две точки цвета 1). Таким образом, найдутся две одинаковые тройки.







Занятие №16 -17 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОКУСЫ



hello_html_m561e9ab7.png


Фокусы развивают творческие начала личности, артистические способности, стимулируют потребность в творческом самовыражении. Математические фокусы способствуют концентрации внимания и активизации учащихся на уроках математики. Магия фокуса способна разбудить сонных, растормошить ленивых, заставить думать тугодумов. Ведь не разгадав секрета фокуса, невозможно понять и оценить всей его прелести. А секрет фокуса чаще всего имеет математическую природу.

Миллионы людей во всех частях света увлекаются математическими фокусами, которые являются очень своеобразной формой демонстрации математических закономерностей. И это не удивительно. “Гимнастика ума” полезна в любом возрасте, она тренируют память, обостряют сообразительность, вырабатывают настойчивость, способность логически мыслить, анализировать и сопоставлять.

Еще в Древней Элладе без игр не мыслилось гармоническое развитие личности. И игры древних не были только спортивными. Наши предки знали шахматы и шашки, не чужды им были ребусы и загадки. Таких игр во все времена не чуждались ученые, мыслители, педагоги. Они и создавали их. С древних времен известны головоломки Пифагора и Архимеда, русского флотоводца С.О. Макарова и американца С. Лойда.

На огромную познавательную и воспитательную ценность интеллектуальных игр неоднократно указывали К.Д. Ушинский, А.С. Макаренко, А.В. Луначарский. Среди тех, кто увлекался ими, были К.Э. Циолковский, К.С. Станиславский, И.Г. Эренбург и многие другие выдающиеся люди.

Фокус “Феноменальная память”.

Для проведения этого фокуса необходимо заготовить много карточек, на каждой из которых поставить ее номер (двузначное число) и записать семизначное число по особому алгоритму. “Фокусник” раздает карточки участникам и объявляет, что он запомнил числа, записанные на каждой карточке. Любой участник называет номер каточки, а фокусник, немного подумав, говорит, какое на этой карточке записано число. Разгадка данного фокуса проста: чтобы назвать число “фокусник” проделывает следующие действия – прибавляет к номеру карточки число 5, переворачивает цифры полученного двузначного числа, затем каждая следующая цифра получается сложением двух последних, если получается двузначное число, то берется цифра единиц. Например: номер карточки – 46. Прибавим 5, получим 51, переставим цифры – получим 15, будем складывать цифры, следующая – 6, затем 5+6=11, т. е. возьмем 1, потом 6+1=7, дальше цифры 8, 5. Число на карточке: 1561785.


Фокус “Угадать задуманное число”.

Фокусник предлагает кому-нибудь из учащихся написать на листе бумаги любое трехзначное число. Далее приписать к нему это же число еще раз. Получится шестизначное число. Передать лист соседу, пусть он разделит это число на 7. Передать листочек дальше, пусть следующий ученик разделит полученное число на 11. Снова передать результат дальше, следующий ученик пусть разделит полученное число на 13. Затем передать листочек “фокуснику”. Он может назвать задуманное число.

Разгадка фокуса:

Когда мы к трехзначному числу приписали такое же число, то мы тем самым умножили его на 1001, а затем, разделив последовательно на 7, 11, 13, мы разделили его на 1001, то есть получили задуманное трехзначное число.


Фокус “Волшебная таблица”.

На доске или экране таблица, в которой известным образом в пяти столбцах записаны числа от 1 до 31. Фокусник предлагает присутствующим задумать любое число из этой таблицы и указать, в каких столбиках таблицы находится это число. После этого он называет задуманное вами число.

hello_html_m3917e95d.gif

Разгадка фокуса:

Например вы задумали число 27. Это число находится в 1-ом, 2-ом, 4-ом и 5-ом столбиках. Достаточно сложить числа, расположенные в последней строке таблицы в соответствующих столбиках, и получим задуманное число. (1+2+8+16=27).


Фокус “Угадать зачеркнутую цифру”.

Пусть кто-либо задумает какое-нибудь многозначное число, например, число 847. Предложите ему найти сумму цифр этого числа (8+4+7=19) и отнять ее от задуманного числа. Получится: 847-19=828. в том числе, которое получится, пусть он зачеркнет цифру – безразлично какую, и сообщит вам все остальные. Вы немедленно назовете ему зачеркнутую цифру, хотя не знаете задуманного числа и не видели, что с ним проделывалось.

Выполняется это очень просто: подыскивается такая цифра, которая вместе с суммою вам сообщенных цифр составила бы ближайшее число, делящееся на 9 без остатка. Если, например, в числе 828 была зачеркнута первая цифра (8) и вам сообщили цифры 2 и 8, то, сложив 2+8, вы соображаете, что до ближайшего числа, делящегося на 9, т. е. до 18 – не хватает 8. Это и есть зачеркнутая цифра.

Почему так получается?

Потому что если от какого-либо числа отнять сумму его цифр, то останется число, делящееся на 9 без остатка, иначе говоря такое, сумма цифр которого делится на 9. В самом деле, пусть в задуманном числе а – цифра сотен, в – цифра десятков, с – цифра единиц. Значит всего в этом числе единиц 100а+10в+с. Отнимая от этого числа сумму цифр (а+в+с), получим: 100а+10в+с-(а+в+с)=99а+9в=9(11а+в), т. е. число, делящееся на 9. При выполнении фокуса может случиться, что сумма сообщенных вам цифр сама делится на 9, например 4 и 5.Это показывает, что зачеркнутая цифра либо 0, либо 9.Тогда вы должны ответить: 0 или 9.

все остальные. Вы немедленно назовете ему зачеркнутую цифру, хотя не знаете задуманного числа и не видели, что с ним проделывалось.

Выполняется это очень просто: подыскивается такая цифра, которая вместе с суммою вам сообщенных цифр составила бы ближайшее число, делящееся на 9 без остатка. Если, например, в числе 828 была зачеркнута первая цифра (8) и вам сообщили цифры 2 и 8, то, сложив 2+8, вы соображаете, что до ближайшего числа, делящегося на 9, т. е. до 18 – не хватает 8. Это и есть зачеркнутая цифра.

Почему так получается?

Потому что если от какого-либо числа отнять сумму его цифр, то останется число, делящееся на 9 без остатка, иначе говоря такое, сумма цифр которого делится на 9. В самом деле, пусть в задуманном числе а – цифра сотен, в – цифра десятков, с – цифра единиц. Значит всего в этом числе единиц 100а+10в+с. Отнимая от этого числа сумму цифр (а+в+с), получим: 100а+10в+с-(а+в+с)=99а+9в=9(11а+в), т. е. число, делящееся на 9. При выполнении фокуса может случиться, что сумма сообщенных вам цифр сама делится на 9, например 4 и 5.Это показывает, что зачеркнутая цифра либо 0, либо 9.Тогда вы должны ответить: 0 или 9.

Фокус “Любимая цифра”.

Любой из присутствующих задумывает свою любимую цифру. Фокусник предлагает ему выполнить умножение числа 15873 на любимую цифру, умноженную на 7. Например, если любимая цифра 5, то пусть умножит на 35. Получится произведение, записанное только любимой цифрой. Возможен и второй вариант: умножить число 12345679 на любимую цифру, умноженную на 9, в нашем случае это число 45. Объяснение этого фокуса достаточно простое: если умножить 15873 на 7, то получится 111111, а если умножить 12345679 на 9, то получится 111111111.


Фокус “Угадать задуманное число, ничего не спрашивая”.

Фокусник предлагает учащимся следующие действия:

Первый ученик задумывает какое-нибудь двузначное число, второй – приписывает к нему справа и слева такое же число, третий – делит полученное шестизначное число на 7, четвертый – на 3, пятый – на 13, шестой – на 37 и передает свой ответ задумавшему, который видит, что к нему вернулось его число. Секрет фокуса: если к любому двузначному числу приписать справа и слева такое же число, то двузначное число при этом увеличится в 10101 раз. Число 10101 равно произведению чисел 3, 7, 13 и 37, поэтому после деления мы и получаем задуманное число.

Конкурс болельщиков – “Веселый счет”. От каждой команды приглашается представитель. На доске две таблицы, на которых в беспорядке отмечены числа от 1 до 25. По сигналу ведущего учащиеся должны найти на таблице все числа по порядку, кто это сделает быстрее, тот и выиграл.


Фокус “Число в конверте”

Фокусник пишет на бумажке число 1089, вкладывает бумажку в конверт и заклеивает его. Предлагает кому-нибудь, дав ему этот конверт, написать на нем трехзначное число такое, чтобы крайние цифры в нем были различны и отличались бы друг от друга больше, чем на 1. Пусть затем он поменяет местами крайние цифры и вычтет из большего трехзначного числа меньшее. В результате пусть он снова переставит крайние цифры и получившееся трехзначное число прибавит к разности двух первых. Когда он получит сумму, фокусник предлагает ему вскрыть конверт. Там он найдет бумажку с числом 1089, которое у него и получилось.


Фокус “Угадывание дня, месяца и года рождения”

Фокусник предлагает учащимся выполнить следующие действия: “Умножьте номер месяца, в котором вы родились, на 100, затем прибавьте день рождения, результат умножьте на 2, к полученному числу прибавьте 2, результат умножьте на 5, к полученному числу прибавьте 1, к результату припишите 0, к полученному числу прибавьте еще 1 и, наконец, прибавьте число ваших лет. После этого сообщите, какое число у вас получилось Теперь “фокуснику” осталось от названного числа отнять 111, а потом остаток разбить на три грани справа налево по две цифры. Средние две цифры обозначают день рождения, первые две или одна – номер месяца, а последние две цифры – число лет, зная число лет, фокусник определяет год рождения.


Фокус “Угадать задуманный день недели”.

Пронумеруем все дни недели: понедельник – первый, вторник – второй и т. д. Пусть кто-нибудь задумает любой день недели. Фокусник предлагает ему следующие действия: умножить номер задуманного дня на 2, к произведению прибавить 5, полученную сумму умножить на 5, к полученному числу приписать в конце 0, результат сообщить фокуснику. Из этого числа он вычитает 250 и число сотен будет номером задуманного дня. Разгадка фокуса: допустим, задуман четверг, то есть 4 день. Выполним действия: ((4×2+5)*5)*10=650, 650 – 250=400.


Фокус “Угадать возраст”.

Фокусник предлагает кому-нибудь из учащихся умножить число своих лет на 10, затем любое однозначное число умножить на 9, из первого произведения вычесть второе и сообщить полученную разность. В этом числе “фокусник” должен цифру единиц сложить с цифрой десятков – получится число лет.

hello_html_m21bc85cb.png

Занятие №18-20

Математические задачи-шутки

Цель введения задач-шуток - содействовать воспитанию у детей наблюдательности, внимательного отношения к содержанию задач, к ситуациям, описанным в них, осторожного отношения к применению аналогий при решении задач.

1. На верёвке висели и спокойно сохли 8 выстиранных наволочек. 6 наволочек стащила с верёвки и сжевала коза Люська. Сколько наволочек спокойно высохли на верёвке?


2. Коза Люська забодала забор, который держался на 7 столбиках. 3 столбика упали вместе с забором, а остальные остались торчать самостоятельно. Сколько столбиков торчат самостоятельно?


3. Коза Люська имеет 4 кривые ноги, а её хозяйка Уля – только 2. Сколько всего ног у них обеих?


4. У первого петуха было 59 жён, а у второго – в 3 раза больше. На сколько жён больше, чем у первого петуха, стало у второго, после того, как первый женился ещё на трёх курицах?


5. В одной квартире преступники украли одну правую тапочку и две левые, а в другой – только одну правую. Сколько пар тапочек украли преступники в обеих квартирах?


6. В песочнице сидят 11 малышей.9 малышей лепят куличики, а остальные лупят друг друга совочками. Сколько малышей лупят друг друга совочками?


7. На одной жужаре к нам прижакали 70 лямзиков, а на другой – на 3 лямзика больше. Сколько лямзиков прижакали к нам на обеих жужарах?


8. Одна фляка стоит 17 хмуриков. Сколько фляк можно купить на 85 хмуриков?


9. Мляша коллекционирует млянечки, а Пляша – плянечки. У Мляши млянечков в 3 раза больше, чем у Пляши плянечков. Сколько у Пляши плянечков, если у Мляши 69 млянечков?


10. Мряка и Бряка поссорились. Мряка 7 раз фрякнул Бряку марфуфочкой по чему попало, а Бряка фрякнул Мряку той же марфуфочкой по чему попало 9 раз. Спрашивается, сколько раз хватали бедную марфуфочку за хвост и фрякали ею по чему попало?


11. Если Хрямзика обозвать слюником, он начинает бодаться и не перестаёт, пока не боднет обозвавшего по 5 раз каждым рогом. Однажды Бряка именно так его и обозвала, и Хрямзик боднул её 35 раз. Сколько рогов у Хрямзика?


12. У трёх бабушек было по одному серенькому козлику. Бабушки козликов очень любили. Пошли козлики в лес погулять, а там их волк съел. Остались от козликов рожки да ножки. Сколько осталось рожек и сколько ножек?


13. Один дедушка охотился в кухне на тараканов и убил пятерых, а ранил – в три раза больше. Трёх тараканов дедушка ранил смертельно, и они погибли от ран, а остальные тараканы выздоровели, но обиделись на дедушку и навсегда ушли к соседям. Сколько тараканов ушли к соседям навсегда?


14. Сколько дырок окажется в клеёнке, если во время обеда 12 раз проткнуть её вилкой с 4 зубчиками?


15. В комнате веселилось 47 мух. Дядя Гоша открыл форточку, размахивая полотенцем, выгнал из комнаты 12 мух. Но прежде, чем он успел закрыть форточку, 7 мух вернулось обратно. Сколько мух теперь веселится в комнате?


16. У бабы Яги на носу 3 бородавки, а у Кощея Бессмертного – на 6 бородавок больше. Сколько бородавок теснится на носу у кощея Бессмертного?


17. У Змея Тугарина – одна голова, а у Змея Горыныча целых 3. На сколько голов Змей Горыныч умнее Змея Тугарина?



Ответы на математические задачки - шутки

  1. 2;

  2. 4;

  3. 6;

  4. 515;

  5. 2;

  6. 2;

  7. 143;

  8. 5;

  9. 23;

  10. 16;

  11. 7;

  12. 6 и 12;

  13. 12;

  14. 48;

  15. 32;

  16. 9;

  17. 2.


Занимательные задачи.


1.Два мальчика вместе шли в школу и на дороге нашли десять рублей. Сколько денег найдут пять ребят. (Нисколько).

2. На столе 4 стакана с ягодами. Вова съел один стакан ягод. Сколько стаканов осталось на столе? (Четыре. Вова же съел ягоды, а не стакан.)

3. У стены стоит кадушка, а в кадушке той лягушка. Если б было семь кадушек, сколько было бы лягушек? (Одна, которая сидит в кадушке, в остальных может не быть ни одной.)

4. Росли 4 березы, на каждой березе – по 4 больших ветке, на каждой большой ветке – по 4 маленьких, на каждой маленькой – по 4 яблока. Сколько всего яблок? (На березе яблоки не растут)



Ответы на задачи-шутки

  1. Нисколько

  2. Четыре. Вова же съел ягоды, а не стакан

  3. Одна, которая сидит в кадушке, в остальных может не быть ни одной.

  4. На березе яблоки не растут





Дополнительные задачи-шутки.


Задача 1

Будем условно считать, что если человек не будет семь суток есть или семь суток спать, то он умрет. Пусть человек неделю не ел и не спал. Что он должен сделать в первую очередь к концу седьмых суток: поесть или поспать, чтобы остаться в живых?

(Несмотря на шутливый характер, задача имеет строгое и единственное решение).

Задача 2

Снесли вместе 7 стожков сена и 11 стожков. Сколько стожков получилось?

Задача 3

Каждую из пяти шашек передвиньте на одну клетку так, чтобы в итоге в каждом ряду, столбце и по диагоналям находилась одна шашка.




Задача 4

Задумайте число и запишите его. Удвойте его и прибавьте 1. Затем умножьте на 5 и вычтите 5. Разделите на 10. Результат запишите рядом с задуманным числом. Что получилось?

Задача 5

Вставьте в кружочки на рисунке числа от 1 до 7 так, чтобы на каждой прямой сумма чисел равнялась 15. (Решение задачи не единственно).




Задача 6

На одном доме четыре дымовые трубы, на соседнем три и на следующем две. Что получается в результате?


Задача 7

Как правильно сказать: "9 и 7 будет 15" или "9 плюс 7 равно 15"?

Задача 8

Нарисуйте этот конверт, не отрывая карандаша от бумаги.



Задача 9

Заполните пустые клеточки на рисунке числами 2, 4, 8, 12, 16, 18 так, чтобы сумма чисел, соединенных прямыми по всем направлениям, равнялась 30. (Решение задачи не единственно).


Задача 10

Задумайте число и запишите его, умножьте на 5, прибавьте 2, умножьте на 4 и затем прибавьте 3. Теперь умножьте на 5 и прибавьте еще 7. Запишите результат. Вычеркните две последние цифры. Какое число получилось?

Задача 11

У мальчика сестер столько же, сколько и братьев. Но у каждой сестры братьев в 2 раза больше, чем сестер. Сколько всего детей в семье? Сколько из них мальчиков и сколько девочек?

Задача 12

Числа 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, 58, 65 необходимо расположить в магическом квадрате так, чтобы сумма чисел по каждой вертикали, горизонтали и диагонали была одинакова.



Задача 13

Как из 45 (сумма, которая составляется из сложения чисел от 1 до 9) вычесть 45, чтобы в итоге получилось... 45?


Задача 14

Электропоезд едет с востока на запад. Набрав скорость, поезд делает 60 км/ч. В том же направлении – с востока на запад – дует ветер, но со скоростью 50 км/ч. В какую сторону относит дым поезда?

Задача 15

Из 12 палочек сложили 5 квадратов. Уберите две палочки так, чтобы остались только два разных по величине квадрата.


Задача 16

Предположим, что земной шар охвачен по экватору обручем, который по длине превосходит экватор на 10 метров. Допустим, что обруч на всем протяжении равно удален от поверхности земли. Как велик промежуток между поверхностью и обручем? Смогла бы, скажем, проползти под обручем муха?

Задача 17

Петя говорит другу: "Я поймал много больших рыб, а маленьких вдвое меньше. Всего у меня было 16 рыб." Верно ли это?

Ответ

Задача 18

Составьте примеры с ответом 100. При этом можно пользоваться математическими знаками +, –, ×, / :

а) пять раз цифрой 1 ;

б) четыре раза цифрой 9 ;

в) пять раз цифрой 5 .

Например, "пять раз цифрой 3" : 33×3+3/3 = 100.

Задача 19

В знойный летний день, когда воздух звенит от насекомых, на зеленой лужайке площадью в три с половиной га пасутся две лошади одной породы и масти, различающиеся между собой разве только тем, что у одной хвост подвязан, а у другой – нет. Лужайка имеет форму параллелограмма, и одна из лошадей щиплет траву, передвигаясь по его диагонали, а другая – по его сторонам. Какая из этих лошадей в течение часа съест больше травы, если аппетит у них одинаков, одинаков и травяной покров лужайки, на которой они пасутся?


Задача 20

Восемь чисел 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 необходимо так расставить по квадратикам, чтобы каждая из четырех сумм (в наружном и внутреннем квадратах, а также по диагоналям) составляла 20.


Задача 21

Мельник пришел на мельницу. В каждом из четырех углов он увидел по 3 мешка, на каждом мешке сидело по 3 кошки, а каждая кошка имела при себе троих котят. Спрашивается, много ли ног было на мельнице?


Задача 22

Как можно одним мешком пшеницы, смоловши ее, наполнить два мешка, которые столь же велики, как и мешок, в котором находится пшеница?

Задача 23

Переложите одну из палочек так, чтобы равенство было верным:

а)


б)


Задача 24

Двое прошли – три гвоздя нашли,

Следом четверо пройдут – много ли гвоздей найдут?


Задача 25

Летели утки: одна впреди и две позади, одна позади и две впереди, одна между двумя и три в ряд. Сколько всего летело уток?


Задача 26

Два землекопа выкапывают 2 м канавы за 2 ч. Сколько землекопов за 5 ч выкопают 5 м канавы?

Задача 27

Два отца и два сына поймали 3 зайцев, а досталось каждому по 1 зайцу. Спрашивается, как это могло случиться?


Задача 28

Вставьте числа 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8 в клетки магического квадрата так, чтобы сумма в каждом ряду и столбце равнялась 18.



Задача 29

Написать цифрами число, состоящее из одиннадцати тысяч, одиннадцати сотен и одиннадцати единиц.

Задача 30

Что это такое: две ноги сидели на трех, а когда пришли четыре и утащили одну, то две ноги схватили три, бросили их в четыре, чтобы четыре оставили одну?

Задача 31

Что это может быть: две головы, две руки и шесть ног, а при ходьбе только четыре?

Задача 32

Как найти задуманное четное число?

Предложите кому-нибудь задумать четное число, затем это число утроить, полученное произведение разделить на 2, а частное опять утроить. После объявления результата арифметических действий вы называете задуманное число. Как это сделать?


Задача 33

Как отгадать два числа?

Предложите кому-нибудь задумать два числа, одно из которых превышает другое на 1, и каждое из которых не больше девяти. Затем попросите перемножить два этих числа, из произведения вычесть меньшее из чисел и результат опять умножить на меньшее из задуманных чисел. По объявленной последней цифре полученного результата вы можете назвать задуманные числа. Как их найти?

Ответ

Задача 34

Как найти задуманное число?

Предложите кому-нибудь задумать не очень большое число и умножить его на само себя. К полученному результату попросите прибавить удвоенное задуманное число и еще 1. По объявленному результату арифметических действий вы можете назвать задуманное число. Как это сделать?

Льюис Кэрролл предложил следующую задачу. Предположим, что у вас имеются двое часов, одни, которые вообще не идут, и вторые, которые отстают на одну минуту в сутки. Спрашивается, какие часы лучше?

Ответ




Ответ к задаче 1


Человек не может одновременно и спать и есть. Поэтому срок в семь суток после сна и после еды наступает в разное время. Человек должен сделать то, что неделю назад делал раньше: спал или ел.


Ответ к задаче 2


Получился один стог.

Ответ к задаче 3


hello_html_m1f0e96aa.png


Ответ к задаче 4


Задуманное число.

Ответ к задаче 5



hello_html_m1409e9c9.png


Ответ к задаче 6


В результате получится дым.


Ответ к задаче 7


9+7=16.

Ответ к задаче 8


hello_html_m65fec752.png



Ответ к задаче 9

hello_html_m32ebbf1c.png


Ответ к задаче 10


Задуманное число.


Ответ к задаче 11


7 детей: 4 мальчика и 3 девочки.


Ответ к задаче 12


hello_html_4c8c448a.png


Ответ к задаче 13


hello_html_61c4c5db.png

Ответ к задаче 14


Ни в какую. Электропоезд не дает дыма.


Ответ к задаче 15


hello_html_m77bfede3.png



Ответ к задаче 16


Расстояние между земной поверхностью и обручем будет равно примерно 1.6 метра. Такой промежуток достаточен для того, чтобы под обручем мог пройти человек невысокого роста.


Ответ к задаче 17


Это неверно, так как 16 не делится без остатка на 3.


Ответ к задаче 18


а) 111–11 = 100;

б) 99+9/9 = 100;

в) 5×5×5–5×5 = 100.


Ответ к задаче 19


Больше травы съест та лошадь, у которой хвост не подвязан: ей не приходится отвлекаться от еды, чтобы отгонять мошкару.

Ответ к задаче 20


hello_html_m304c93de.png


Ответ к задаче 21


Две ноги мельника, ибо у кошек и котят не ноги, а лапы.


Ответ к задаче 22


Надо один из пустых мешков вложить в другой такой же, а затем в него насыпать смолотую пшеницу.

Ответ к задаче 23



hello_html_m308c1fad.png


hello_html_m2f6f6729.png


Ответ к задаче 24


Скорее всего ничего не найдут.


Ответ к задаче 25


Всего летело 3 утки, одна за другой.

Ответ к задаче 26


2 землекопа.

Ответ к задаче 27


Это были дед, его сын и внук.

Ответ к задаче 28


hello_html_707004f0.png

Ответ к задаче 29


Многие считают, что это будет число 111111.

На самом деле это число 12111 = 11000 + 1100 + 11.


Ответ к задаче 30


Повар сидел на стуле, имеющем 3 ножки, пришла собака и утащила куриную ногу. Повар бросил стул в собаку, чтобы она оставила куриную ногу.


Ответ к задаче 31


Всадник на лошади.

твет к задаче 32


Для нахождения задуманного числа надо разделить объявленный результат на 9 и затем частное умножить на 2.

Обоснование.

Пусть кто-то задумал четное число, которое обозначим через 2k. Тогда в результате предложенных арифметических действий получается число

(((2k × 3) : 2) × 3) = 9k.

Разделив его на 9 и удвоив результат, найдем задуманное число 2k.



Ответ к задаче 33


Для нахождения задуманных чисел надо запомнить таблицу:

последняя цифра 1 2 3 4 5 6 7 8

задуманные числа 1; 2 8; 9 7; 8 4; 5 5; 6 6; 7 3; 4 2; 3



Можно запомнить только меньшее из чисел второй строки таблицы. Если объявленная цифра равняется 1, 4, 5 или б (этими цифрами оканчиваются квадраты целых чисел), то она совпадает с меньшим из задуманных чисел. В остальных случаях меньшее из задуманных чисел равно дополнению объявленной цифры до 10.

Обоснование.

Пусть задуманы числа k и k+1, где 1 ≤ k ≤ 8. Тогда произведение этих чисел равно

k (k+1) = k2 + k.

Если из последнего результата вычесть меньшее из чисел – k, то получим k2. Возводя последовательно числа от 1 до 8 в куб, получаем:

13 = 1

23 = 8

33 = 27

43 = 64

53 = 125

63 = 216

73 = 343

83 = 512.

Каждое из полученных чисел оканчивается на одну из цифр от 1 до 8, и никакие два числа не оканчиваются на одну и ту же цифру. Поэтому, если помнить таблицу кубов чисел от 1 до 8, то по последней цифре куба некоторого числа можно сказать, какое число возводилось в куб.

Ответ к задаче 34


Для нахождения задуманного числа надо из объявленного результата извлечь квадратный корень, а затем вычесть 1.

Обоснование.

Пусть кто-либо задумал число k. После предложенных арифметических действий получается число

k·k + 2·k + 1 = (k+1)2.

Это число и будет объявлено.













hello_html_m4e96cf45.pngЗанятие №21-22 Логические задачи

Цель: через решение логических задач развивать алгоритмическое мышление, а также умение анализировать, синтезировать, обобщать.

1.

В три банки с надписями "малиновое", "клубничное" и "малиновое или клубничное" налили смородиновое, малиновое и клубничное варенье. Все надписи оказались неправильными. Какое варенье налили в банку "клубничное"?


Решение. Так как все надписи неправильные, то в третьей банке не может быть ни малиновое, ни клубничное варенье. Значит, там смородиновое варенье. Тогда клубничное и малиновое должны быть в первых двух банках. А так как надписи неправильные, то в банке "клубничное" на самом деле малиновое варенье.

Ответ. Малиновое.

2.

Когда учительница ругала Дениса за плохой почерк, он сказал: "У всех великих людей был плохой почерк, значит, я великий человек." Прав ли он?


Решение. Нет, он неправ.

Первым утверждением он говорит, что если человек великий, то у него плохой почерк. Но из этого совершенно не следует, что обратное утверждение тоже верно: то есть, что человек с плохим почерком великий. Таким образом, его вывод неверен.

Можно привести много верных математических утверждений, обратные к которым неверны. Например: если два числа чётны, то их сумма тоже чётна. Но совсем не обязательно, что если сумма двух чисел чётна, то оба они тоже чётны (3 + 5 = 8).

3.

У императора украли перец. Как известно, те, кто крадут перец, всегда лгут. Пресс-секретарь заявил, что знает, кто украл перец. Виновен ли он?


Решение. Предположим, что он виновен. Значит, он должен всегда лгать. Кроме того, так как это он украл перец, то он должен знать, кто его украл: это он сам. Но тогда получается, что он сказал правду. Противоречие.

Значит, наше предположение неверно, и виновным он быть не может.

Ответ. Нет.

4.

Среди четырёх людей нет трёх с одинаковым именем, или с одинаковым отчеством, или с одинаковой фамилией, но у каждых двух совпадает или имя, или фамилия, или отчество. Может ли такое быть?


Решение

Решение. Может. Например:

Иванов Александр Сергеевич

Иванов Павел Васильевич

Гусев Александр Васильевич

Гусев Павел Сергеевич

5.

Ковбой Джо приобрел в салуне несколько бутылок Кока-Колы по 40 центов за штуку, несколько сэндвичей по 24 цента и 2 бифштекса. Бармен сказал, что с него 20 долларов 5 центов. Ковбой Джо высказал бармену всё, что он думает о его умении считать. Действительно ли бармен ошибся?


Решение

Решение. Выразим цены всех товаров в центах. Так как 40 — чётное число, то несколько бутылок Кока-Колы, купленные Джо, стоят чётное число центов. Аналогично сэндвичи стоят чётное число центов. Так как бифштекса два, то оба они вместе также стоят чётное число центов. Получается, что каждый товар стоит чётное число центов, поэтому стоимость всего заказа должна тоже выражаться чётным количеством центов. Но 20 долларов 5 центов — это 2005 центов: нечётное число. Значит, бармен ошибся.

6.

Кто-то подарил Златовласке подарок, положив его на крыльцо её дома. Златовласка подозревает, что это был один из её друзей: Стрекоза, Огонёк или Ушастик. Но как это узнать? Каждый из них указывает на одного из двух других. Правду сказала только Стрекоза. Если бы каждый указывал не на того, на кого указывает, а на второго, то Ушастик был бы единственным, кто сказал правду. Кто же подарил подарок?


Решение. Это не могла быть Стрекоза, так как если бы это она подарила подарок, то она указала бы на себя, так как она сказала правду. Из таких же соображений следует, что это не мог быть Ушастик. Значит, это был Огонёк.

Ответ. Огонёк.

7.

Кто-то из трёх друзей таким же образом подарил подарок Синеглазке. На вопросы Синеглазки Огонёк отвечал, что это Ушастик, а что сказали Ушастик и Стрекоза, Синеглазка забыла. Златовласка взяла дело в свои руки и выяснила, что только один из троих сказал правду, и именно он и сделал подарок. Кто подарил подарок?


Решение. Так как тот, кто подарил подарок, сказал правду, то он должен был указать на себя. Поэтому подарок подарил не Огонёк, так как он указал на Ушастика. Кроме того, отсюда следует, что он сказал неправду. Значит, подарок подарил не Ушастик. Получается, что это была Стрекоза.

8.

Клоуны Бам, Бим и Бом вышли на арену в красной, синей и зелёной рубашках. Их туфли были тех же трёх цветов. Туфли и рубашка Бима были одного цвета. На Боме не было ничего красного. Туфли Бама были зелёные, а рубашка нет. Каких цветов били туфли и рубашка у Бома и Бима?


Решение. Составим таблицу: Бам Бим Бом

рубашка не зел. одинак. не кр.

туфли зел. одинак. не кр.


У Бама зелёные туфли, поэтому двум другим клоунам остаются синие и красные. У Бама не красные. Значит, у него синие, а красные у Бима. Тогда рубашка у Бима тоже красная. Бам Бим Бом

рубашка не зел. кр. не кр.

туфли зел. кр. син.


Баму и Бому остаются зелёная и синяя рубашки. У Бама не зелёная. Значит, у него синяя, а зелёная у Бома. Бам Бим Бом

рубашка син. кр. зел.

Туфли зел. кр. син.


Дополнительные задачи

9.

Богини Гера, Афина и Афродита пришли к юному Парису, чтобы тот решил, кто из них прекраснее. Представ перед Парисом, богини высказали следующие утверждения:

Афродита: "Я самая прекрасная".

Афина: "Афродита не самая прекрасная".

Гера: "Я самая прекрасная".

Афродита: "Гера не самая прекрасная".

Афина: "Я самая прекрасная".

Парис предположил, что все утверждения прекраснейшей из богинь истинны, а все утверждения двух других богинь ложны. Мог ли Парис вынести решение, кто прекраснее из богинь?


Решение Ответ

Ответ. Афродита.

10.

Каждый житель острова Сонный просыпается всегда одним и тем же способом. Способов всего три: (А) открыть одновременно оба глаза и бежать на зарядку; (Б) открыть сначала левый глаз, а через 16 минут — правый, и бежать на завтрак; (В) открыть сначала правый глаз, а через 27 минут — левый. В социологическом опросе службы "Доброе утро" приняли участие жители городов Кривдина и Правдина, всего 1024 островитянина. Каждому было задано по 3 вопроса: (1) "Просыпаетесь ли Вы способом А?", (2) "Просыпаетесь ли Вы способом Б?", (3) "Просыпаетесь ли Вы способом В?" Ответов "Да" на первый вопрос было 289, на второй вопрос — 361, на третий вопрос — 441. Сколько жителей каждого из городов приняло участие в опросе?


Решение Ответ

Ответ. 957 жителей Правдина и 91 житель Кривдина.


11. Переправа через реку

Отец с двумя сыновьями отправился в поход. На их пути встретилась река, у берега которой находился плот. Он выдерживает на воде или отца, или двух сыновей. Как переправиться на другой берег отцу и сыновьям?

Решение:вначале переправляются оба сына. Один из сыновей возвращается обратно к отцу. Отец перебирается на противоположный берег к сыну. Отец остается на берегу, а сын переправляется на исходный берег за братом, после чего они оба переправляются к отцу.


12. Коробки с конфетами

Пете и Коле купили по коробке конфет. В каждой коробке находится 12 конфет. Петя из своей коробки съел несколько конфет, а Коля из своей коробки съел столько конфет, сколько осталось в коробке у Пети. Сколько конфет осталось на двоих у Пети и Коли?

Ответ:12 конфет.


13. Может ли такое быть?

Одного человека спросили:

— Сколько вам лет?

— Порядочно, — ответил он.

— Я старше некоторых своих родственников почти шестьсот раз. Может ли такое быть?

Ответ: может, например если человеку 50 лет, а его внуку или внучке 1 месяц.







hello_html_m416604c3.pngЗанятия №24-28

Решение задач повышенной сложности.



Основные цели занятий:

  • Повышение уровня математической подготовки;

  • Развитие логического мышления, потенциальных творческих способностей, повышение общей математической культуры учащихся.

Задачи занятий:

  • Расширение объема знаний учащихся;

  • Знакомство учащихся с новыми нестандартными подходами к решению различных задач;

  • Развитие алгоритмической культуры учащихся;

  • Обобщение знаний по алгебре, подготовке учащихся к применению этих знаний для решения задач.

1.В мешке 24кг гвоздей. Как , имея только чашечные весы без гирь, отмерить 9 кг гвоздей?

Решение :Доступная основная операция- деление некоторого количества гвоздей на 2 равные по размеру кучи. Вначале имеем 24 кг.


1 куча

2 куча

3 куча

4 куча

1 шаг

12кг

12кг



1

12кг

6

6


3

12

6

3

3

  1. шаг: 6кг+3кг


2.Восстановите пример : 6*5* - *8*4=2856 ответ: 6750-2894=2856


3.Сумма двух чисел равна 213. Одно из них меньше другого на 37. Найдите эти числа.

Ответ: 88 и125


4.Все числа, на которые число 24 делится без остатка.

Ответ: 1,2,3,4,6,12,24 5.Из 3-х монет одна фальшивая, она легче остальных. За сколько взвешиваний на чашечных весах без гирь можно определить , какая монета фальшивая.

Ответ: Требуется 1 взвешивание: положим по 2 монете на одну чашку весов. Возможны 2 случая: 1)весы находятся в равновесии, тогда 3 монета фальшивая, 2)равновесия нет, тогда фальшивая монета там, где вес меньше.


6.Из 9 монет одна фальшивая- она легче остальных. Как за 2 взвешивания на чашечных весах без гирь определить, какая монета фальшивая?

Ответ: 1 взвешивание: положим по 3 монеты на каждую чашку весов. Возможны 2 случая: 1)имеет место равновесие, тогда на чашках только настоящие монеты, а фальшивая – среди тех, которые не взвешивались; 2)если одна из кучек легче, то в ней фальшивая монета. Теперь требуется найти фальшивую монету среди трех имеющихся

7.Расставьте скобки всеми возможными способами, выберите наибольший и наименьший результаты: 100-20*3+2

8.Задумано число, к нему прибавлена 1 , сумма умножена на 2, произведение разделено на 3 и от результата отнято 4. Получилось 6 .Какое число задумано?


9.Запишите все числа, на которые число 72 делится без остатка.

10.Из трех монет одна фальшивая. Но неизвестно, легче она или тяжелее остальных. За сколько взвешиваний на чашечных весах без гирь можно определить, какая именно монета фальшивая и легче или тяжелее она остальных.

11.Расставьте скобки всеми возможными способами и выберите наибольший и наименьший результаты: 60+ 40:4 –2

Ответ:

Знаки

Пример

-

*

+


1

2

3

(100-20)*3+2=242

1

3

2

(100-20)*(3+2)=400 наибольший

2

1

3

100-20*3+2=42

2

3

1

Невозможно

3

1

2

100-(20*3+2)=38

3

2

1

100-20*(3+2)=0 наименьший



12.Известно, что 60 листов книги имеют толщину 1см. Какова толщина всей книги, если в ней 240 страниц.

Ответ:2см

13.Три сосуда вместимостью 20литров наполнены водой, причем в первом-11л, во втором-7л, в третьем- 6л. Как разлить имеющуюся воду поровну, если в сосуд разрешается наливать только такое количество воды, которое в нем имеется.

Решение:


1 сосуд

2 сосуд

3 сосуд

перелито

Начало

11л


1 переливание

4

14

6

Из 1 во 2

2 перелив.

8

14

2

Из 3 в 1

3 перелив.

8

12

4

Из 2 в 3

4 перелив

8

8

8

Из 2 в 3


14.На скотном дворе гуляли гуси и поросята. Мальчик сосчитал количество голов, их оказалось 30, затем сосчитал, сколько всего ног, их оказалось 84. Можно ли узнать сколько гусей и сколько поросят было на скотном дворе?

Решение:Если бы на скотном дворе гуляли одни гуси, то всего было бы 60 ног, (лишние ноги , а их 24 принадлежат поросятам- по 2 на каждого. Следовательно , было 12 поросят и 18 гусей.






15.Падая по лестнице с 5 этажа, Алиса насчитала 100 ступенек. Сколько ступенек она насчитала бы, падая с со 2 этажа?

Решение: Алиса находится на 5 этаже, одновременно находится на крыше 4 этажа, а находясь ан 2- на крыше первого. Таким образом , падать с 5 этажа в 4 раза выше , чем со второго. Следовательно, Алиса насчитала 25 ступенек.


16.Брат нашел на 36 грибов больше , чем сестра. По дороге домой сестра стала просить брата: «Дай мне несколько грибов, чтобы у меня стало столько же грибов, сколько и у тебя».Сколько грибов должен дать брат сестре?

Решение: Если у брата не было этих 34 грибов, то у них было бы поровну, значит и эти грибы следует разделить пополам, т. е. брат должен отдать сестре 18 грибов


17.Миша говорит: «Позавчера мне было 10 лет, а в следующем году мне исполнится 13». Возможно ли это?

Решение:Это возможно, если Миша говорит об этом 1 января, а день рождения у него 31 декабря.




  1. Найдите сумму: 1+2+3+4+…+111

Решение: Пусть S=1+2+3+…+111. Тогда S=11+110+109+…+3+2+1 и 2S=(1+111)+(2+11)+…(111+1)=112*111. Следовательно, S=112*111:2=6216


  1. Используя четыре раза цифру 4 , скобки, знаки действия, представьте все числа от 0до 10.

Решение: Например: 4+ 4 –4- 4=0, 4 :4+ 4- 4 =1, 4: 4+ 4: 4 =2, (4 +4+ 4): 4 =3,(4- 4)* 4+ 4 =4,

(4+ 4 *4): 4 =5, 4+ (4+ 4): 4 =6,

4+ 4- 4: 4 =7, 4+ 4+ 4- 4 =8, 4 +4 +4 :4 =9, (44 –4): 4 =10


20.Количество мальчиков, решивших на уроке сложную задачу, равно количеству девочек, ее не решивших. Кого в классе больше, тех , кто решил задачу или девочек?

Решение:

Решили задачу

Мальчики

Девочки

Да

А

В

Нет


А


Количество девочек А+В совпадает с количеством тех, кто решил задачу


21.Найдите сумму : 1+2+3+…+181-96-95-…-2-1

Решение: S=1+2+3+…+181-96-95-..-1=97+98+…+181. S=181+180+…+97. Значит, 2S=(97+181)+(98+180)+…+(181+97)=278*84=23352


22.Во сколько раз километр больше миллиметра?

Решение:Сантиметр в 10 раз больше миллиметра, метр- в 10 раз сантиметра, километр- в 1000 раз метра. Таким образом, км больше мм в 10*100*1000=1000000 раз


23.На складе имеются гвозди в ящиках по 24 кг., 23 кг., 17 кг., 16 кг. Можно ли отправить со склада 100 кг. Гвоздей, не распечатывая ящиков?

Решение:Можно. Например, 4 ящика по 17кг ( итого 68 кг), и 2 ящика по 16 кг (итого 42кг).


24.Как , имея пятилитровую банку и десятилитровое ведро, набрать из реки ровно 3 литра воды?

Сосуд

Шаг 0

Шаг1

2

3

4

5

6

7

8

0

0

5

0

4

4

5

0

5

0

9

4

4

0

9

8

8

3



25.Два муравья отправились в гости к стрекозе. Один всю дорогу прополз, а второй первую половину пути ехал на гусенице, что было в два раза медленнее , чем ползти, а вторую половину скакал на кузнечике, что было в 10 раз быстрее. Какой муравей первым придет в гости, если они вышли одновременно?

Решение: Пока 2 муравей ехал на гусенице, первый уже добрался до места.



26.Известно, что 4 персика, 2 груши и яблоко весят вместе 550г., а персик , 3 груши и 4 яблока вместе весят 450г.Сколько весят груша, яблоко и персик вместе.

Решение:4 персика , 2 груши и яблоко весят 550г., персик , 3 груши и 4 яблока- 450г.

Следовательно, 5 персиков, 5 груш и 5 яблок весят 1000г. Таким образом, персик,

груша и яблоко весят 200 г.


27.Какой цифрой заканчивается произведение всех нечетных чисел от 1 до51?

Решение: Произведение всех нечетных чисел от 1 до 51 оканчивается на 5., т.к. нечетные числа при умножении на 5, дадут число с цифрой 5 на конце.


28.Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если цифру десятков умножить ан два, я цифру единиц- на3 и сложить оба произведения, то в результате получится 29. Найдите это число.

Решение: Если бы цифру единиц и цифру десятков умножить на 2 , то получилось бы 24, а на самом деле получено 29, т.к. цифру единиц умножили не на 2 , а на 3 , т.е. взяли на одно количество единиц больше. Следовательно, количество единиц 29-24=5, а количество десятков 12-5=7. Ответ :75


29.В трех ящиках находятся мука, крупа и сахар. На первом из них написано « Крупа», на втором – «Мука», на третьем- «Крупа или сахар». Известно, сто содержимое ящиков не соответствует записи. В каком ящике что находится?

Решение: 1)В третьем ящике не крупа и не сахар, значит- мука, 2) в первом не крупа, судя по надписи, но и не мука, т.к. мука в 3 ящике, значит, в 1 ящике- сахар,3) тогда во втором, единственное , что может быть- крупа.


30.В магазин привезли 141л масла в бидонах по 10 и 30 л. Сколько было всего бидонов?

Решение: Пусть в тринадцатилитровых бидонах а литров молока, в десятилитровых- с литров. Тогда число с делится на 10, т.е. оканчивается цифрой 0, и , следовательно число а оканчивается цифрой 1 , а, значит , количество тринадцатилитровых бидонов оканчивается цифрой 7 , но 13*17-221hello_html_3b008c03.gif141, т.к. 13*7=91hello_html_2354b435.gif141. Таким образом, было 7 тринадцатилитровых и 5 десятилитровых бидонов (т.к. 141-91=50)


31.Найдите сумму 1+3+5+…+97+99.
Решение: Пусть S= 1+3+5+…+97+99, S= 99+97+…+3+1

2S= (1+9)+(3+97)+…+(99+1) = 100*50. S=100*50:2=2500


32.6 карасей тяжелее, чем 10 лещей, но легче, чем 5 окуней. 10 карасей тяжелее, чем 8 окуней. Что тяжелее 2 карася или 3 леща?

Т. К. 6 карасей тяжелее, чем 10 лещей, то тем более, 6 карасей тяжелее, чем 3 леща. Два из трех условий в задаче лишние.


33.Сумма двух последовательных чисел равна 75. Найдите эти числа.

Решение: Если бы каждое из двух последовательных чисел было бы равно меньшему из них, то сумма их была бы на единицу меньше, т.е. 74. Следовательно, меньшее из трех чисел равно 72:2=37. Второе число 38.



34.Встретились 3 друга Белов , Чернов, Рыжов. Один из них блондин, другой- брюнет, третий- рыжий. Брюнет сказал Белову: «Ни у одного из нас цвет волос не совпадае6т с фамилией».Какой цвет волос у каждого из них?

Решение: 1) Белов не блондин, т.к. цвет его волос не соответствует фамилии, он так же не брюнет, т.к. нон разговаривал с брюнетом, следовательно он рыжий. 2)Чернов не брюнет и не рыжий, значит, он блондин. 3)Волосы Рыжова- черные





hello_html_5825e08d.png

Задачи на «рассуждения» очень часто включаются в задания математических олимпиад разного уровня. Цель данного занятия разобрать основные типы задач, решаемые при помощи рассуждений с минимальным привлечением вычислений. Рассматриваются задачи, которые можно решать и при помощи элементарных алгебраических выкладок, но, учитывая, что учащиеся пятого класса не владеют алгебраическими приемами, предлагается решение задач только при помощи рассуждений.

Задача 1.

Десяти собакам и кошкам скормили 56 котлет. Каждой собаке досталось 6 котлет, а каждой кошке 5 котлет. Сколько было собак, а сколько кошек?.

Решение. Будем рассуждать следующим образом: Скормим каждому животному по 5 котлет. После этого у нас останется 6 котлет. По условию, каждой кошке досталось по 5 котлет, а значит, они уже получили причитающуюся им долю. Поэтому все оставшиеся котлеты надо скормить собакам, причем дать каждой по одной котлете. А значит, мы можем оставшиеся котлеты скормить шестерым псам. Это значит, что собак было 6, а поэтому кошек было 4, если всего животных было 10.

Задача 2.

В зоомагазине продают голубей и синиц. Голубь стоит в два раза дороже синицы. Школьники, зашедшие в магазин, купили для живого уголка 5 голубей и 3 синицы. Если бы они купили 3 голубя и 2 синицы, то потратили бы на 200 рублей меньше. Сколько стоит каждая птица?

Решение. Решим задачу как и предыдущую, используя только рассуждения. Так как цена одного голубя равна цене одной синицы, то 5 голубей стоят столько же сколько и 10 синиц. Значит, 5 голубей и три синицы стоят столько же, сколько и 13 синиц. С другой стороны, цена 3 голубей и 5 синиц равняется цене 11 синиц. Таким образом, разница между ценой 5 голубей и 3 синиц оказывается равной разнице между ценой 13 и11 синиц, а значит равна цене 2 синиц. Поскольку две синицы стоят 200 рублей, то одна стоит 100 рублей. Так как голубь в два раза дороже синицы, то он стоит 200 рублей.

Задача 3.

Масса 10 ящиков болтов и 7 ящиков гвоздей – 366 кг, а 5 ящиков шурупов и 3 ящика навесов – 262 кг. Определите массу одного ящика гвоздей, шурупов, болтов и навесов, если известно, что ящик с гвоздями в три раза легче ящика с навесами, а с болтами – на 4 кг тяжелее, чем с шурупами.

Решение. Зная, что ящик с гвоздями в три раза легче ящика с навесами, имеем, что 1 ящик с навесами весит столько же, сколько 3 ящика с гвоздями три ящика, а значит 5 ящиков с шурупами и 9 ящиков гвоздей весят 262 кг. Теперь, учитывая, что ящик с болтами тяжелее ящика с шурупами на 4 кг, видим, что 5 ящиков с болтами и 9 ящиков с гвоздями весят 282 кг. Учитывая первое условия задачи, получаем, что 11 ящиков с гвоздями весят198 кг, а значит 1 ящик – 18 кг. Теперь можно узнать массу ящика других материалов. Получается, что ящик навесов весит 54 кг, шурупов – 20 кг, болтов – 24 кг.

Из разбора решений видно, что задачи 2 и 3 решаются аналогичным образом, рассуждением и заменой одних объектов в условии задачи другими.

Рассмотрим теперь решение задачи на нахождение трех неизвестных по трем суммам этих неизвестных, взятых попарно. Задача легко решается при помощи алгебраической модели из трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Но пятиклассники не владеют этим методом и, по моему мнению, им более понятны конкретные рассуждения по условию задачи.

Задача 4.

Английский и немецкий языки изучают 116 школьников, немецкий и испанский языки учат 46 школьников, а английский и испанский языки изучают 90 школьников. Сколько школьников изучают английский, немецкий и испанский языки отдельно, если известно, что каждый школьник изучает только один язык.

Решение. Сложим все заданные числа. В полученную сумму количество учащихся, изучающих какой-либо язык, войдут дважды, а значит, мы узнали удвоенное количество школьников, изучающих один из иностранных языков. Итак, 252 – это удвоенное количество учеников. Поэтому всего учеников, изучающих языки, будет 126. Вычитая из этого числа 116 школьников, изучающих английский и немецкий языки, получим, что испанский язык учат 10 школьников. Поводя аналогичные рассуждения, получим, что английский язык учат 80 школьников, а немецкий 36.

Эту же задачу можно решить другим способом.

Сложив первые два заданных числа, а именно 116 и 46, мы получим 162. По смыслу задачи, это будут все ученики, изучающие иностранный язык плюс те, кто учит немецкий. И если теперь мы от этого количества отнимем тех, кто учит английский и испанский, а по условию это 90 школьников, то получим 72 ученика, что в два раза больше изучающих немецкий язык. Значит, немецкий язык учат 36 школьников. Теперь из первого и второго условия легко найти, что английский язык учат 80, а испанский 10 учеников.

Рассмотрим еще одну задачу, решаемую при помощи рассуждений.

Задача 5.

В математической олимпиаде участвовали 100 школьников. Было предложено четыре задачи. Первую задачу решили 90 человек, вторую – 80, третью – 70 и четвертую –60. При этом никто не решил все задачи. Награду получили школьники, решившие и третью, и четвертую задачи. Сколько школьников было награждено?

Решение. Так, как первую или вторую задачу или первую и вторую задачу решили 90+80=170 человек, а всего в олимпиаде участвовали 100 человек, то как минимум обе задачи решили 70 человек. Рассуждая аналогично, получаем, что третью и четвертую. Задачу решили как минимум 30 человек. Но по условию, ни один из участников олимпиады не решил все задачи, а значит, первую и вторую решили 70, а третью и четвертую – 30 человек. Таким образом, награждены были 30 человек.

И напоследок, рассмотрим задачу, которую будем решать с конца.

Задача 6.

Два пирата играли на золотые монеты. Сначала первый проиграл половину своих монет и отдал второму, потом второй проиграл половину всех своих монет, потом снова первый проиграл половину своих. В результате у первого оказалось15 монет, а у второго – 33. Сколько монет было у первого пирата до игры?


Решение. Проведем наши рассуждения с конца игровой ситуации. Перед последней игрой у первого пирата было 30 монет, потому что после проигрыша половины у него осталось 15 монет, а у второго, который выиграл в последней игре, до этой игры было 18. Рассуждая аналогичным образом, получим, что перед второй игрой у первого было 12 монет, а у второго – 36. А значит, вначале игры у каждого пирата было по 24 монеты.










hello_html_m4dace875.pngЗанятие №31-32

Решай, смекай, угадывай.

1.

Кот в Сапогах поймал четырех щук и еще половину улова. Сколько щук поймал Кот в Сапогах?


Ответ. 8


2.

Во время прогулки по лесу Винни-Пух каждые 40 метров находил гриб. Какой путь он прошёл от первого гриба до последнего, если всего он нашёл 15 грибов?


Ответ. 560


3.

В зоомагазине продают больших и маленьких птиц. Большая птица стоит вдвое дороже маленькой. Одна дама купила 5 больших птиц и 3 маленьких, а другая — 5 маленьких и 3 больших. При этом первая дама заплатила на 20 рублей больше. Сколько стоит каждая птица?


Ответ. 10 и 20


4.

Когда "послезавтра" станет "вчера", то "сегодня" будет так же далеко от воскресенья, как тот день, который был "сегодня", когда "вчера" было "завтра". Как вы думаете, какой сегодня день недели?


Ответ. среда


5.

Куб со стороной 1 м распилили на кубики со стороной 1 см и положили их в ряд (по прямой). Какой длины оказался ряд?

Ответ. 1000000 см


6.

Несколько гномов, навьючив свою поклажу на пони, отправились в дальний путь. Их заметили тролли, которые насчитали в караване 36 ног и 15 голов. Сколько было гномов, и сколько пони?


Ответ. 3 пони и 12 гномов


7.

В Таниной квартире имеется 8 розеток, 21 тройник и неограниченный запас утюгов. Какое наибольшее число утюгов Таня может включить в сеть одновременно?


Ответ. 50


8.

Двое часов начали и закончили бить одновременно. Первые бьют через каждые 2 с, вторые — через каждые 3 с. Всего было сделано 13 ударов (совпавшие удары воспринимались за один). Сколько времени прошло между первым и последним ударами?


Ответ. 18 сек


9.

В комнате стоят несколько четырехногих стульев и трехногих табуреток. Когда на всех стульях и табуретках сидит по человеку, в комнате всего 39 ног. Сколько в комнате стульев и сколько табуреток?


Ответ. 4 стула и 3 табуретки


10.

Сумма двух натуральных чисел равна 1244. Если в конце первого приписать 3, а в конце второго отбросить 2, то числа окажутся равными. Найти эти числа.


Ответ. 12 и 1232


11.

В корзине лежат 30 рыжиков и груздей. Среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов имеется хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине?

Ответ. 11 груздей и 19 рыжиков


12.

На окраску кубика 2x2x2 требуется 12 г краски. Сколько краски потребуется, чтобы окрасить кубик 6х6х6?

Ответ. 108 грамм


13.

Сколько человек нужно пригласить на праздничный вечер, чтобы по крайней мере у десятерых из них дни рождения были в одном и том же месяце?


Ответ. 12x9+1


14.

Камень весит 5 кг, еще треть камня и еще половину камня. Сколько весит камень?


Ответ. 30 кг


15.

Портос, Атос и Д’Артаньян вместе весят 290 кг, Портос, Арамис и Д’Артаньян – 270 кг, Портос, Атос и Арамис – 280 кг, Д’Артаньян,Арамис и Атос – 240 кг. Сколько килограммов весит каждый из мушкетёров?


Ответ. Арамис – 70 кг, Дартаньян – 80 кг, Атос – 90 кг, Портос – 120 кг


16.

Тилли, Вилли и Дилли участвовали в легкоатлетическом забеге. В какой-то момент времени оказалось, что они бегут рядом друг с другом, впереди них бежит половина участников забега и позади них - треть участников забега. Сколько спортсменов участвовало в забеге?

Ответ. 18


17.

Три охотника сварили кашу. Первый дал 2 кружки крупы, второй – одну, третий – ни одной, но он расплатился 5 патронами. Как должны поделить эти патроны первые два охотника?


Ответ. Все пять патронов первому.


18.

Расставьте на шахматной доске 32 коня так, чтобы каждый бил ровно двух других.


Ответ. Левый нижний угол выглядит так:

hello_html_7cad1570.png


Кружочки – это кони, остальные углы – такие же.


19.

Вифсла, Тофсла и Хемуль играли в снежки. Первый снежок бросил Тофсла. Затем в ответ на каждый попавший в него снежок Вифсла бросал 6 снежков, Хемуль — 5, а Тофсла — 4. Через некоторое время игра закончилась. Найдите, в кого сколько снежков попало, если мимо цели пролетели 13 снежков. (В себя самого снежками не кидаются и один снежок не может попасть в двоих.)


Ответ. По одному разу.


20.

Экологи запускают в пруд карпов. Сначала – одного, через час – ещё двух, через два часа – трёх и т.д. Браконьер Петя начинает лов рыбы спустя час после того как в пруд был запущен первый карп. В первый час своей рыбалки Петя ловит 1 карпа, во второй час – двух, в третий час – трёх и т.д. Сколько карпов останется в пруду спустя сутки после запуска в пруд первой рыбки?


Ответ. 25








hello_html_m3732d3b7.png

Занятие-соревнование №33-34


Форма проведения: игра- путешествие по стране «Комбинаторика», соревнование между двумя командами.

Цель урока: в нетрадиционной, занимательной форме повторить основной программный материал, развить познавательную активность и творчество учащихся, их смекалку, наблюдательность и чувство юмора, расширить технический кругозор.

ХОД ЗАНЯТИЯ


Вступление. Французский писатель XIX столетия Анатоль Франс однажды заметил: «Учиться можно весело…Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом». Пусть эти слова послужат девизом нашего занятия- путешествия в страну Комбинаторики.


Историческая справка (на доске портреты ученых, внесших вклад в развитие комбинаторики: Эйлера, Ферма, Лейбница, Паскаля.)


Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.


Выбором объектов и расположением их в том или ином порядке приходится заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности, например, конструктору, который разрабатывает новую модель механизма, ученому-агроному, который планирует распределение сельскохозяйственных культур на нескольких полях, химику, который изучает строение молекул.


С аналогичными задачами, получившими название комбинаторных, люди столкнулись в глубокой древности. Уже несколько тысячелетий назад в Древнем Китае увлекались составлением магических квадратов. В Древней Греции изучали фигуры, которые можно составить из частей квадрата. Комбинаторные задачи возникали и в связи с такими играми, как шахматы, домино, карты, кости и т.д. комбинаторика становится наукой лишь в XVII веке. Изучением комбинаторных задач занимались французские математики Б. Паскаль и П. Ферма. Первым рассматривал комбинаторику как самостоятельную ветвь науки немецкий философ и математик Г. Лейбниц, он же впервые ввел термин «комбинаторный». Замечательные достижения в области комбинаторики принадлежат Л. Эйлеру. Комбинаторными задачами интересовались и математики, занимавшиеся составлением и разгадыванием шифров, изучением древних письменностей.


Теперь комбинаторика находит приложение во многих областях науки: в биологии, где она применяется для изучения состава белков, в химии, механике сложных сооружений и в других областях науки и техники.


Разминка


Учащиеся перед началом занятия получили карточки с четными и нечетными числами, что дало возможность разбить их на две команды: «Четные» и «Нечетные».


Каждая пара учащихся получает карточку, где изображена фигура, составленная из треугольников или квадратов. Необходимо подсчитать их количество.


Варианты карточек:

hello_html_638a5df8.pnghello_html_m45a96555.png


hello_html_m682e0793.png





На обратной стороне карточки написаны буквы, образующие фразу « В путь!» Варианты возможного количества треугольников или квадратов написаны на вагончиках и паровозе, изображенных на доске. Учащиеся прикрепляют карточку к получившемуся результату.


И мы отправляемся в путь.


«В математике не меньше логики и красоты, чем в шахматах. И есть преимущество: математики не разыгрывают между собой звание абсолютного чемпиона» (М. Эйве)


Математики просто выясняют, кто же из них самый внимательный, сообразительный, у кого хорошо развито логическое мышление.


I станция РАЗМЕЩЕНИЕ


На каждой станции будут предлагаться три задачи: одна общая для обеих команд и по одной каждой команде. За верное решение команда получает 1 балл.


1) Разместите три кружка у сторон прямоугольника так, чтобы у каждой стороны было по одному кружку.


2) Разместите пять одинаковых шариков в коробке с тремя ячейками таким образом, чтобы ни одна ячейка не осталась пустой. Укажите все различные варианты размещения шариков.


3) Разместите два треугольника, два квадрата, два кружка, две звездочки в четырех клетках так, чтобы в каждой клетке было по две различные фигуры, и не было повторений фигур.


II станция РАЗБИЕНИЕ


Разбейте фигуру на 4 равные части, подобные исходной фигуре.


hello_html_78ae4499.png


Разбейте фигуру на три равные части так, чтобы эти части оказались пронумерованными 1, 2, 3.


hello_html_2e3c9b47.png


Разбейте фигуру на пять равных частей.




III станция ПЕРЕКЛАДЫВАНИЕ


Переложите одну спичку так, чтобы получилось верное равенство:


1) XI=VII+II (X=VIII+II)


X = III + II (V = III + II)


2) VI=VII+II (VI = VIII – II)


3) VI-IV=IX (VI + IV = X)

hello_html_4a51757b.png

IV станция ПЕРЕЛИВАНИЕ


1) Используя пятилитровый и четырехлитровый бидоны, набрать из крана три литра воды.


2) Используя девятилитровое ведро и пятилитровый бидон, набрать из крана три литра воды.


3) Используя девятилитровое и одиннадцатилитровое ведра, набрать из крана четыре литра воды.








Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

Внеклассная работа по математике формирует и развивает способности и личность школьника. Управлять этим процессом - значит не только развивать и совершенствовать заложенное в человеке природой, но формировать у него потребность в постоянном саморазвитии и самореализации, так как каждый человек воспитывает себя прежде всего сам, здесь добытое лично -добыто на всю жизнь. В данной разработке представлено планирование работы математического кружка, разработаны занятия всех 34 уроков, что является огромной помощью для учителя. Материал подходит для учащихся 5и 6 классов. На свое усмотрение учитель может внести изменения.

Автор
Дата добавления 16.03.2015
Раздел Физкультура
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров2702
Номер материала 445262
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх