Вариант 1

С1. а)Решите уравнение:

      б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

С2. В правильной треугольной пирамиде  с основанием  сторона основания равна 8, а угол равен . На ребре  взята точка М так, что - биссектриса угла . Найдите площадь сечения пирамиды, проходящего через точки .

С3. Решите систему неравенств:

С4. Окружность, вписанная в треугольник АВС, площадь которого равна 66, касается средней линии, параллельной стороне ВС. Известно, что ВС=11. Найдите сторону АВ.

 

Вариант 2

С1.а) Решите уравнение:

      б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

С2. В правильной треугольной призме  стороны основания равны 8, а боковые ребра равны . Изобразите сечение, проходящее через вершины А, С и середину ребра . Найдите его площадь.

С3. Решите систему неравенств:

С4. Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его строн. Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 7 и 17. Найдите расстояние между их центрами.

 

 

 

 

Вариант 3

С1. а) Решите уравнение:

      б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

С2. В правильной четырехугольной пирамиде  с основанием  проведено сечение через середины ребер АВ и ВС и вершину S. Найдите площадь этого сечения, если все ребра пирамиды равны 8.

С3. Решите систему неравенств:

С4. Дан прямоугольник KLMN со сторонами KL=11, MN=8. Прямая, проходящая через вершину М, касается окружности  с центром К и радиуса 4 и пересекается с прямой KN в точке Q. Найдите QK.

 

Вариант 4

С1. а) Решите уравнение:

      б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

С2. В прямоугольном параллелепипеде  АВ=2, . Найдите угол между прямой  и плоскостью

С3. Решите систему неравенств:

С4. Боковые стороны KL и MN равны 10 и 26 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 12, средняя линия трапеции равна 24. Прямые KLи MN пересекаются в точке А. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ALM.

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 5

С1. а) Решите уравнение:

       б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

С2. В правильной треугольной призме  стороны основания равны 2, боковые ребра равны 3, точка D- середина ребра . Найдите расстояние от вершины С до плоскости

С3. Решите систему неравенств:

С4. Дан равнобедренный треугольник с боковой стороной 4 и углом . Внутри него расположены две равные  касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.

 

Вариант 6

С1. а) Решите уравнение:

       б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

С2. В правильной четырехугольной призме  стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 5. На ребре отмечена  точка Е так, что АЕ:Е=3:2. Найдите угол между плоскостями АВС и

С3. Решите систему неравенств:

С4. В треугольнике АВС известны стороны: АВ=5, ВС=6, АС=7. Окружность, проходящая через точки А и С, пересекает прямые ВА и ВС соответственно в точках К и L, отличных от вершины треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник АВС. Найдите длину отрезка KL.

 

 

 

 

 

 

Вариант 7

С1. а) Решите уравнение:

       б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

С2. Точка Е- середина ребра  куба . Найдите площадь сечения куба плоскостью , если ребра куба равны 2.

С3. Решите систему неравенств:

С4. Точка О- центр правильного шестиугольника  со стороной . Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников АОВ, СОD и EOF.

 

Вариант 8

С1. а) Решите уравнение:

       б) найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

С2. На ребре  куба  отмечена точка Е так, что . Найдите угол между прямыми ВЕ и

С3. Решите систему неравенств:

С4. Продолжение биссектрисы CD неравнобедренного треугольника АВС пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке Е. Окружность, описанная около треугольника ADE, пересекает прямую АС в точке F, отличной от А. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если АС=8, AF=3, угол ВАС равен

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 9

С1. а) Решите уравнение:

      б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

С2. Точка Е- середина ребра  куба . Найдите угол между прямыми СЕ и

С3. Решите систему неравенств:

С4. Угол С треугольника АВС равен , D- отличная от А точка пересечения окружностей, построенных на сторонах АВ и Ас как на диаметрах. Известно, что . Найдите синус угла А.

 

Вариант 10

С1. а) Решите уравнение:

       б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

С2. В правильной четырехугольной призме  со стороной основания 4 и высотой 7 на ребре  взята точка М так, что АМ=2. На ребре  взята точка К так, что =2. Найдите угол между плоскостью  и плоскостью

С3. Решите систему неравенств:

С4. На прямой, содержащей медиану AD прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С, взята точка Е, удаленная от вершины А на расстояние, равное 4. Найдите площадь треугольника ВСЕ, если ВС=6, АС=4.

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 11

С1. а) Решите уравнение:

       б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

С2. Основанием прямого параллелепипеда  является ромб , сторона которого равна , а угол . Найдите расстояние от точки А до прямой , если известно, что боковое ребро параллелепипеда равно 8.

С3.Решите систему неравенств:

С4. Площадь трапеции ABCD равна 135. Диагонали пересекаются в точке О. Отрезки, соединяющие середину Р основания AD с вершинами В и С, пересекаются с диагоналями трапеции в точках М и N. Найдите площадь треугольника MON, если одно из оснований трапеции вдвое больше другого.

 

Вариант 12

С1. а) Решите уравнение:

       б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

С2. В прямоугольном параллелепипеде АВ=2, AD=4,  и точка Е- середина ребра АВ. Найдите угол между прямыми  и

С3. Решите систему неравенств:

С4. Дан треугольник АВС со сторонами АВ=15, АС=9, ВС=12. На стороне ВС взята точка D, а на стороне AD – точка О, причем СD=4 и АО=3OD. Окружность с центром О проходит через точку С. Найдите расстояние от точки С до точки пересечения этой окружности с прямой АВ.

 

 

 

 

 

 

Вариант 13

С1. а) Решите уравнение:

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

С2. В пирамиде  известны ребра АВ=АС=DB=DC=13см, DA=6см, ВС=24см. найти расстояние между прямыми DA и ВС.

С3. Решите систему неравенств:

С4. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно 24. На одной из них взята точка С, а на другой взяты точки А и В так, что треугольник АВС- остроугольный равнобедренный, и его боковая сторона равна 25. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

 

Вариант 14

С1. а) Решите уравнение:

       б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

С2. В правильной треугольной пирамиде  точка S – вершина. Точка М- середина ребра SA, точка К- середина ребра SB. Найдите угол между плоскостями СМК и АВС, если SC=6, АВ=4.

С3. Решите систему неравенств:

С4. Дан треугольник АВС. Точка Е на прямой Ас выбрана так, что треугольник АВЕ, площадь которого равна 14, - равнобедренный с основанием АЕ и высотой BD. Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что  и

 

 

 

 

 

 

Вариант 15

С1. а) Решите уравнение:

      б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

С2. Дана правильная четырехугольная пирамида . Боковое ребро SA=, сторона основания равна 2. Найдите расстояние от точки В до плоскости ADM, где М- середина ребра SC.

С3. Решите систему неравенств:

С4. Радиусы окружностей  и  с центрами и равны 1 и 7 соответственно, расстояние между точками и  равно 5. Хорда АВ окружности касается окружности  в точке М, причем точки и  лежат по одну сторону от прямой АВ. Найдите длину отрезка АВ, если известно, что

 

Вариант 16

С1. а) Решите уравнение:

       б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

С2. В правильной четырехугольной призме  сторона основания равна , а высота равна 1. М- середина ребра . Найдите расстояние от точки М до плоскости

С3. Решите систему неравенств:

С4. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, равен 150см, косинус угла при основании равен . Найдите радиус окружности, касающейся вписанной окружности этого треугольника и двух его сторон.

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 17

С1. а) Решите уравнение:

      б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

С2. Основанием прямой призмы  является равнобедренный треугольник АВС, АВ=АС=5, ВС=8. Высота призмы равна 3. Найдите угол между прямой  и плоскостью

С3. Решите систему неравенств:

С4. Расстояние между параллельными прямыми равно 6. На одной из них лежит вершина С, на другой основание АВ равнобедренного треугольника АВС. Известно, что АВ=16. Найдите расстояние между центрами окружностей, одна из которых вписана в треугольник АВС, а вторая касается данных параллельных прямых и боковой стороны треугольника АВС.

 

Вариант 18

С1. а) Решите уравнение:

       б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

С2. Основание прямой четырехугольной призмы  - прямоугольник , в котором АВ=12, =5. Найдите угол между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра перпендикулярно прямой , если расстояние между прямыми АС и  равно 13.

С3. Решите систему неравенств:

С4. Точка М лежит на отрезке АВ. На окружности с диаметром АВ взята точка С, удаленная от точек А,М и В на расстояния 20,14 и 15 соответственно. Найдите площадь треугольника ВМС.

 

 

 

 

Вариант 19

С1. а) Решите уравнение:

       б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку

С2. В правильной четырехугольной призме , стороны основания которой равны 3, а боковые ребра равны 4, найдите угол между прямой и плоскостью

С3. Решите систему неравенств:

С4. Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами АС=15 и ВС=8. С центром в вершине В проведена окружность  радиуса 17. Найдите радиус окружности, вписанной в угол ВАС и касающейся окружности

 

Вариант 20

С1. а) Решите уравнение:

       б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

С2. В правильной четырехугольной пирамиде  все ребра которой равны 1, точка Е – середина ребра . Найдите угол между прямой СЕ и плоскостью

С3. Решите систему неравенств:

С4. Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность . Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключенный внутри треугольника, равен 40, а отношение катетов треугольника равно

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 21

С1. Решите уравнение:

С2. В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми и

С3. Решите систему неравенств:

С4. Окружность, вписанная в треугольник АВС, площадь которого равна 36, касается средней линии, параллельной стороне ВС. Известно, что ВС=9. Найдите сторону АВ.

 

Вариант 22

С1. Решите уравнение:

C2. В правильной шестиугольной призме , стороны основания которой равны 3, а боковые ребра равны 4, найдите расстояние от точки С до прямой

С3. Решите систему неравенств:

С4. Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок прямой, заключенный внутри треугольника, равен 6, а отношение боковой стороны треугольника к его основанию равно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 23

С1. Решите уравнение:

С2. В правильной шестиугольной призме , стороны основания которой равны 4, а боковые ребра равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой

C3. Решите неравенство:

С4. Дана окружность радиуса 4 с центром в точке О, расположенной на биссектрисе угла, равного . Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся данной окружности внешним образом, если известно, что расстояние от точки О до вершины угла равно 10.

 

Вариант 24

С1. Решите уравнение:

С2.В правильной четырехугольной призме , стороны основания которой равны 3, а боковые ребра равны 4, найдите угол между прямыми АС и

С3. Решите неравенство:

С4. Окружность радиуса 6 вписана в равнобедренную трапецию, большее основание которой равно 18. Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции отсекает от трапеции треугольник. Найдите отношение площади этого треугольника к площади трапеции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 25

С1. Решите уравнение:

С2. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 12. Найдите расстояние от центра основания до боковой грани, если двугранный угол при ребре основания равен

С3. Решите систему неравенств:

С4. Точки А,В и с лежат на сторонах соответственно  треугольника KLM, причем КАВС – параллелограмм, площадь которого составляет  площади треугольника KLM. Найдите диагональ АС параллелограмма, если известно, что KL=8, КМ=12 и

 

Вариант 26

С1. Решите уравнение:

С2. Длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды  с вершиной Р равны между собой. Найдите угол между прямой ВМ и плоскостью BDP, если точка М- середина бокового ребра пирамиды АР.

С3. Решите систему неравенств:

С4. Через вершину В правильного шестиугольника  проведена прямая, пересекающая диагональ  в точке К. Известно, что эта прямая разбивает шестиугольник на части, площади которых относятся как 1:2. Найдите отношение

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 27

С1. Решите уравнение:

С2. Основанием прямой призмы  является ромб , у которого АВ=10, BD=12. Высота призмы равна 6. Найдите расстояние от центра грани  до плоскости

С3. Решите неравенство:

С4. Расстояния от точки М, расположенной внутри угла, равного , до сторон угла равны 1 и 2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот угол и проходящей через точку М.

 

Вариант 28

С1. Решите уравнение:

С2. В основании прямой треугольной призмы  лежит равнобедренный прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ, равной ; высота призмы равна . Найдите расстояние от точки  до плоскости ВСМ, где М- середина ребра

С3. Решите неравенство:

С4. Найти радиус окружности, вписанной в угол , равный , и касающейся окружности радиуса 4, также вписанный в угол .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 29

С1. Решите уравнение:

С2. Длина ребра куба равна 1. Найдите расстояние от вершины В до плоскости

С3. Решите неравенство:

С4. Четырехугольник  описан около окружности и вписан в окружность. Прямые АВ и DC пересекаются в точке М. Найдите площадь четырехугольника, если известно, что  и радиусы окружностей, вписанных в треугольники ВМС и AMD, равны соответственно r и R.

 

Вариант 30

С1. Решите уравнение:

С2. Дан куб с ребром 1. Найдите расстояние от вершины А до плоскости , где Т- середина ребра AD.

С3. Решите неравенство:

С4. Расстояние между параллельными прямыми равно 12. На одной из них лежит вершина С, на другой – основание АВ равнобедренного треугольника АВС. Известно, что АВ=10. Найдите расстояние между центрами окружностей, одна из которых вписана в треугольник АВС, а вторая касается данных параллельных прямых и боковой стороны треугольника АВС.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 31

С1. Решите уравнение:

С2. Дан правильный тетраэдр МАВС с ребром 1. Найдите расстояние между прямыми AL и МО, где L-середина ребра МС, О- центр грани АВС.

С3. Решите неравенство:

С4. Прямая, проведенная через середину N стороны АВ квадрата ABCD, пересекает CD и AD в точках М и Т соответственно и образует с прямой АВ угол, тангенс которого равен 4. Найдите площадь треугольника ВМТ, если сторона квадрата ABCD равна 8.

 

Вариант 32

С1. Решите уравнение:

С2. Дан куб . Длина ребра куба равна 1. Найдите расстояние от середины отрезка  до плоскости

С3. Решите неравенство:

С4. Площадь трапеции ABCD равна 90, а одно из оснований трапеции вдвое больше другого. Диагонали пересекаются в точке О; отрезки, соединяющие середину Р основания AD с вершинами В и С, пересекаются с диагоналями трапеции в точках М и N соответственно. Найдите площадь четырехугольника OMPN

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 33

С1. Решите уравнение:

С2. В кубе  найдите угол между плоскостями  и

С3. Решите неравенство:

С4. Дан параллелограмм ABCD, АВ=2, ВС=5, . Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырехугольника ABOD.

 

Вариант 34

С1. Решите уравнение:

С2. В правильной треугольной призме  известны ребра: АВ=, . Точка М- середина ребра , а точка Т- середина . Найдите угол между плоскостью ВСТ и прямой АТ.

С3. Решите неравенство:

С4. Расстояние между параллельными прямыми равно 12. На одной из них лежит точка С, а на другой – точки А и В, причем треугольник  АВС – остроугольный равнобедренный и его боковая сторона равна 13. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 35

С1. Решите уравнение:

С2. В прямоугольном параллелепипеде , у которого , AD=8, АВ=6, найдите угол между плоскостью  и прямой EF, проходящей через середины ребер АВ и

С3. Решите неравенство:

С4. Окружность S радиуса 12 вписана в прямоугольную трапецию с основаниями 28 и 21. Найдите радиус окружности, которая касается основания, большей боковой стороны и окружности S.

 

Вариант 36

С1. Решите уравнение:

С2.Дан куб  с ребром . Найдите расстояние от середины ребра  до прямой МТ, где точки М и Т – середины ребер CD и  соответственно.

С3. Решите неравенство:

С4. Две окружности, касающиеся прямой в точках А и В, пересекаются в точках С и D, причем АВ=8, CD=15. Найдите медиану СЕ треугольника АВС.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 37

С1.Решите уравнение:

С2. Дан куб . Найдите тангенс угла между плоскостями  и

С3. Решите неравенство:

С4. В треугольнике KLM биссектриса КР и высота КН. Известно, что , , а площадь треугольника КНР равна 30. Найдите площадь треугольника KLM.

 

Вариант 38

С1. Решите систему уравнений:

С2. В правильной треугольной пирамиде  с основанием АВС известны ребра: АВ=, SC=10. Точка N- середина ребра ВС. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой АТ, где Т- середина отрезка SN.

С3. Решите неравенство:

С4. Дан параллелограмм ABCD. Точка М лежит на диагонали BD и делит ее в отношении 1:2. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если площадь четырехугольника АВСМ  равна 60.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 39

С1. Решите систему уравнений:

С2. В прямоугольном параллелепипеде  известны ребра: АВ=8, AD=6, . Найдите угол между плоскостями   и

С3. Решите неравенство:

С4.Диагонали трапеции равны 5 и , а высота равна 4. Найдите площадь трапеции.

 

Вариант 40

С1.Решите систему уравнений:

С2. В прямоугольном параллелепипеде  известны ребра: АВ=8, AD=6, . Найдите угол между  плоскостями  и

С3. Решите неравенство:

С4.В окружности, радиус которой равен 5, проведена хорда АВ=8. Точка С лежит на хорде АВ так, что АС:ВС=1:2. Найдите радиус окружности, касающейся данной окружности и касающейся хорды АВ в точке С.

 

Вариант 41

С1. Решите систему уравнений:

С2. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра: АВ=, SC=17. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и ВС

С3.Решите неравенство:

С4. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками М и N так, что ВМ:MN=1:5. Найдите ВС, если АВ=3

 

 

Вариант 42

С1. Решите систему уравнений:

С2. В правильной шестиугольной призме сторона основания равна 7, а высота равна 1. Найдите угол между прямой  и плоскостью

С3. Решите неравенство:

С4. В треугольнике АВС АВ=15, ВС=8, АС=9. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD:DC=3:8. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADCи ADB, касаются стороны AD в точках Е и F. Найдите длину отрезка EF.

 

Вариант 43

С1. Решите систему уравнений:

С2. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки С до прямой

С3. Решите неравенство:

С4. В окружность радиуса вписана трапеция с основаниями 3 и 4. Найдите расстояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей .

 

Вариант 44

С1. Решите систему уравнений:

С2. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки С до прямой SA.

С3. Решите неравенство:

С4. Расстояние между центрами окружностей радиусов 2 и 8 равно 15. Этих окружностей и их общей внутренней касательной касается третья окружность. Найдите ее радиус.

 

 

Вариант 45

С1.Решите систему уравнений:

С2. В тетраэдре ABCD, все ребра которого равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой, проходящей через точку В и середину Е ребра CD

С3. Решите неравенство:

С4.Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами АС=12 и Вс=5. С центром в вершине В проведена окружность S радиуса 8. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся окружности S.

 

Вариант 46

С1. Решите систему уравнений:

С2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD сторона основания равна , а боковое ребро равно 5. Найдите угол между плоскостями АВС и АСМ, где М делит ребро BS так, что ВМ:МS=2:1.

С3. Решите неравенство:

С4. На стороне прямого угла с вершиной А взята точка О, причем АО=7, С центром в точке О проведена окружность S радиуса 1. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся окружности S.

 

Вариант 47

С1. Решите систему уравнений:

С2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 1, боковое ребро равно . Найдите расстояние от точки С до прямой SA.

С3. Решите неравенство:

С4. Расстояние между центрами окружностей радиусов 1 и 9 равно 17. Обе окружности лежат по одну сторону от общей касательной. Третья окружность касается обеих окружностей и их общей касательной. Найдите радиус третьей окружности.

Вариант 48

С1. Решите систему уравнений:

С2. В кубе все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки С до прямой

С3. Решите неравенство:

С4.радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 13; высота, проведенная к стороне ВС, равна 5; . Найдите длину той хорды АМ описанной окружности, которая делится пополам стороной ВС.

 

Вариант 49

С1.Решите систему уравнений:

С2. В правильной треугольной призме  высота равна2, сторона основания равна 1. Найдите расстояние от точки до прямой

С3. Решите неравенство:

С4. Центр О окружности радиуса 4 принадлежит биссектрисе угла величиной . Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся данной окружности, если известно, что расстояние от точки О до вершины угла равна 10.

 

Вариант 50

С1. Решите систему уравнений:

С2. Сторона основания правильной треугольной призмы  равна 8. Высота этой призмы равна 6. Найти угол между прямыми  и

С3. Решите неравенство:

С4. Расстояние от общей хорды двух пересекающихся окружностей до их центров относятся как 2:5. Общая хорда имеет длину , а радиус одной из окружностей в два раза больше радиуса другой окружности. Найдите расстояние между центрами окружностей.

 

Вариант 51

С1. Решите систему уравнений:

С2. В основании прямой призмы  лежит равнобедренный прямоугольный треугольник  АВС с гипотенузой АВ, равной . Высота призмы равна 6. Найдите угол между прямыми  и

С3. Решите неравенство:

С4. Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведены диаметры АС и AD этих окружностей. Найдите расстояние между центрами окружностей, если ВС=7, BD=3.

 

Вариант 52

С1. Решите систему уравнений:

С2. В основании прямой призмы  лежит прямоугольный треугольник АВС, у которого угол С равен , угол А равен , АС=. Диагональ боковой грани  составляет  угол  с плоскостью . Найдите высоту призмы.

С3. Решите неравенство:

С4. В прямоугольнике ABCD АВ=2, ВС=. Точка Е на прямой АВ выбрана так, что . Найдите АЕ.

 

Вариант 53

С1. Решите систему уравнений:

С2. В прямоугольном параллелепипеде , у которого АВ=6, Вс=6, ., найдите тангенс угла между плоскостями  и

С3. Решите неравенство:

С4. Трапеция ABCD с основаниями  AD и ВС вписана в окружность с центром О. Найдите высоту трапеции, если ее средняя линия равна 3 и

 

Вариант 54

С1. Решите систему уравнений:

С2. В прямоугольном параллелепипеде , у которого АВ=4, ВС=6, , найдите тангенс угла между плоскостью АВС и прямой EF, проходящей через середины ребер  и

С3. Решите неравенство:

С4. Найдите длину отрезка общей касательной к двум окружностям, заключенного между точками касания, если радиусы окружностей равны 23 и 7, а расстояние между центрами окружностей равно 34.