Математика конспект 11 класс

Дифференци́руемая (в точке) фу́нкция — это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке). Дифференцируемая на некотором множестве функция — это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет значительное число приложений как в самой математике, так и в других естественных науках.

Функция (отображение, оператор, преобразование) — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. 

Приращение дифференцируемой в данной точке функции можно представить как линейную функцию приращения аргумента с точностью до величин более высокого порядка малости. Это означает, что для достаточно малых окрестностей данной точки функцию можно заменить линейной (скорость изменения функции можно считать неизменной). Линейная часть приращения функции называется ее дифференциалом (в данной точке).

Необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости является непрерывность функции. В случае функции от одной вещественной переменной дифференцируемость равносильна существованию производной. В случае функции нескольких вещественных переменных необходимым (но не достаточным) условием дифференцируемости является существование частных производных по всем переменным. Для дифференцируемости функции нескольких переменных в точке достаточно, чтобы частные производные существовали в некоторой окрестности рассматриваемой точки и были непрерывны в данной точке.

Функция  переменных  является дифференцируемой в точке  своей области определения , если для любой точки  существуют такие константы , что

где .

В этой записи функция

является дифференциалом функции  в точке , а числа  являются частными производными функции  в точке , то есть

где  — вектор, все компоненты которого, кроме -ой, равны нулю, а -ая компонента равна 1.

Каждая дифференцируемая в точке функция имеет в этой точке все частные производные, но не каждая функция, имеющая все частные производные, является дифференцируемой. Более того, существование частных производных в некоторой точке не гарантирует даже непрерывность функции в этой точке. В качестве такого примера можно рассмотреть функцию двух переменных , равную  при  и  при . В начале координат обе частные производные существуют (равны нулю), но функция не является непрерывной.

.

Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.

Полный дифф.

Частной производной по  от функции  называется предел отношения частного приращения этой функции  по  к приращению , когда последнее стремится к нулю:
 .

Частной производной по  от функции  называется предел отношения частного приращения этой функции  по  к приращению , когда последнее стремится к нулю:
 .

Пусть задана функция  . Если аргументу  сообщить приращение , а аргументу  – приращение , то функция получит приращение , которое называется полным приращением функции и определяется формулой: .

Функция , полное приращение  которой в данной точке может быть представлено в виде суммы двух слагаемых (выражения, линейного относительно  и , и величины бесконечно малой высшего порядка относительно ):
 ,
где  и  стремятся к нулю, когда  и  стремятся к нулю (т.е. когда ), называется дифференцируемой в данной точке.

Линейная (относительно  и ) часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается : 
,
где  и  – дифференциалы независимых переменных, которые, по определению, равны соответствующим приращениям  и .

Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка. Для функции двух переменных  их четыре:

дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке , а функция g имеет производную в точке , то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке.

Одномерный случай:

Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой,  где  и  Пусть также эти функции дифференцируемы:  Тогда их композиция также дифференцируема:  и её производная имеет вид:

Замечание:

В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции  где  принимает следующий вид:

Инвариантность формы первого дифференциала:

Дифференциал функции  в точке  имеет вид:

где  — дифференциал тождественного отображения :

Пусть теперь  Тогда , и согласно цепному правилу:

Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.

Пример. Пусть  Тогда функция  может быть записана в виде композиции  где

Дифференцируя эти функции отдельно:

получаем

Многомерный случай:

Пусть даны функции  где  и  Пусть также эти функции дифференцируемы:  и  Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид

В частности, матрица Якоби функции  является произведением матриц Якоби функций  и 

Следствия

·         Якобиан композиции двух функций является произведением якобианов индивидуальных функций:

Для частных производных сложной функции справедливо

• 

Пример

Пусть дана функция трёх переменных  и требуется найти её частную производную по переменной . Функция может быть записана как  где

Тогда частная производная функции  по переменной  будет иметь следующий вид:

Вычисляем производные:

Подставляем найденные производные:

В итоге