Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Математика конспект 11 класс

Математика конспект 11 класс


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Дифференци́руемая (в точке) фу́нкция — это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке). Дифференцируемая на некотором множестве функция — это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет значительное число приложений как в самой математике, так и в других естественных науках.

Функция (отображение, оператор, преобразование) — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. 

Приращение дифференцируемой в данной точке функции можно представить как линейную функцию приращения аргумента с точностью до величин более высокого порядка малости. Это означает, что для достаточно малых окрестностей данной точки функцию можно заменить линейной (скорость изменения функции можно считать неизменной). Линейная часть приращения функции называется ее дифференциалом (в данной точке).

Необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости является непрерывность функции. В случае функции от одной вещественной переменной дифференцируемость равносильна существованию производной. В случае функции нескольких вещественных переменных необходимым (но не достаточным) условием дифференцируемости является существование частных производных по всем переменным. Для дифференцируемости функции нескольких переменных в точке достаточно, чтобы частные производные существовали в некоторой окрестности рассматриваемой точки и были непрерывны в данной точке.

Функция f \colon M \subset \R^n \to \R переменных x = (x^1, \ldots, x^n) является дифференцируемой в точке x_0 = (x^1_0, \ldots, x^n_0) своей области определения M, если для любой точки x = (x^1, \ldots, x^n) \in M существуют такие константы a = (a^1, \ldots, a^n), что

f(x)=f(x_0) + \sum_{i=1}^{n} a^i (x^i-x_0^i) + o(\|x-x_0\|), \ \quad x \to x_0,

где \|x-x_0\|^2 = \sum_{i=1}^{n} (x^i-x_0^i)^2.

В этой записи функция

A(x-x_0) = \sum_{i=1}^{n} a^i (x^i-x_0^i)

является дифференциалом функции f(x) в точке x_0, а числа a^1, \ldots, a^n являются частными производными функции f(x) в точке x_0, то есть

a^i = \frac{\partial f}{\partial x^i}(x_0) = \lim \limits_{h\to 0} \frac{f(x_0+h e_i)-f(x_0)}{h},

где e_i \in \R^n — вектор, все компоненты которого, кроме i-ой, равны нулю, а i-ая компонента равна 1.

Каждая дифференцируемая в точке функция имеет в этой точке все частные производные, но не каждая функция, имеющая все частные производные, является дифференцируемой. Более того, существование частных производных в некоторой точке не гарантирует даже непрерывность функции в этой точке. В качестве такого примера можно рассмотреть функцию двух переменных f(x,y), равную 0 при xy = 0 и 1 при xy \neq 0. В начале координат обе частные производные существуют (равны нулю), но функция не является непрерывной.

.

Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.

Полный дифф.

Частной производной по http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_1.gif от функции http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_2.gif называется предел отношения частного приращения этой функции http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_3.gif по http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_1.gif к приращению http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_4.gif, когда последнее стремится к нулю:
http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_5.gif .


Частной производной по
 http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_6.gif от функции http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_2.gif называется предел отношения частного приращения этой функции http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_7.gif по http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_6.gif к приращению http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_8.gif, когда последнее стремится к нулю:
http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_9.gif .


Пусть задана функция
 http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_2.gif . Если аргументу http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_1.gif сообщить приращение http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_4.gif, а аргументу http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_6.gif – приращение http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_8.gif, то функция http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_2.gifполучит приращение http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_10.gif, которое называется полным приращением функции и определяется формулой: http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_11.gif.


Функция
 http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_2.gif, полное приращение http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_10.gif которой в данной точке может быть представлено в виде суммы двух слагаемых (выражения, линейного относительно http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_4.gif и http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_8.gif, и величины бесконечно малой высшего порядка относительно http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_21.gif):
http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_12.gif ,
где
 http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_13.gif и http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_14.gif стремятся к нулю, когда http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_4.gif и http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_8.gif стремятся к нулю (т.е. когда http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_15.gif), называется дифференцируемой в данной точке.


Линейная (относительно
 http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_4.gif и http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_8.gif) часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_16.gif: 
http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_17.gif,
где
 http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_18.gif и http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_19.gif – дифференциалы независимых переменных, которые, по определению, равны соответствующим приращениям http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_4.gif и http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_8.gif.


Частные производные от частных производных первого порядка называются
 частными производными второго порядка. Для функции двух переменных http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_2.gif их четыре:
http://pgsksaa07.narod.ru/Images/examples/examples_poln_differ/theory/th_20.gif

дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке x_0, а функция g имеет производную в точке y_0 = f(x_0), то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точкеx_0.

Одномерный случай:

Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой, f:U(x_0) \to V(y_0), где y_0 = f(x_0), и g:V(y_0) \to \R Пусть также эти функции дифференцируемы: f\in \mathcal{D}(x_0),\; g \in \mathcal{D}(y_0). Тогда их композиция также дифференцируема: h = g \circ f \in \mathcal{D}(x_0), и её производная имеет вид:

h'(x_0) = g'\bigl( f(x_0) \bigr) \cdot f'(x_0).

Замечание:

В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции y = y(x), где x = x(t), принимает следующий вид:

\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}.

Инвариантность формы первого дифференциала:

Дифференциал функции z = g(y) в точке y_0 имеет вид:

dz = g'(y_0) \, dy,

где dy — дифференциал тождественного отображения y \to y_0:

dy(h) = h,\quad h \in \R.

Пусть теперь y = f(x),\; x \in U(x_0),\; f\in \mathcal{D}(x_0). Тогда dy = f'(x_0)\, dx, и согласно цепному правилу:

dz = g'\bigl(f(x_0)\bigr) \cdot f'(x_0)\, dx = g'(y_0) \, dy.

Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.

Пример. Пусть h(x) = (3x^2 - 5x)^7.\; Тогда функция h\; может быть записана в виде композиции h = g \circ f , где

f(x) = 3x^2-5x,\;

g(y) = y^7.\;

Дифференцируя эти функции отдельно:

f'(x) = 6x - 5,\;

g'(y) = 7y^6,\;

получаем

h'(x) = 7(3x^2-5x)^6 \cdot (6x-5).

Многомерный случай:

Пусть даны функции f:U(x_0) \subset \R^m \to V(y_0) \subset \R^n, где y_0 = f(x_0), и g:V(y_0) \subset \R^n \to \R^p. Пусть также эти функции дифференцируемы: f\in \mathcal{D}(x_0) и g \in \mathcal{D}(y_0). Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид

dh(x_0) = dg(y_0) * df(x_0).

В частности, матрица Якоби функции h является произведением матриц Якоби функций g и f:

\frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)} = \frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)} \cdot \frac{\partial(y_1,\ldots, y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)}.

Следствия

  • Якобиан композиции двух функций является произведением якобианов индивидуальных функций:

\left\vert\frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)}\right\vert = \left\vert\frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)}\right\vert \cdot \left\vert\frac{\partial(y_1,\ldots, y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)}\right\vert.

Для частных производных сложной функции справедливо

  • \frac{\partial h(x_0)}{\partial x_j} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial h(y_0)}{\partial y_i} \frac{\partial y_i}{\partial x_j},\quad j=1,\ldots m.



Пример

Пусть дана функция трёх переменных h(x,y,z) = \sin x + \cos^2 (x+y+z) - \sqrt{2x^2 + 5y^3}\; и требуется найти её частную производную по переменной x. Функция h\;может быть записана как h(x,y,z) = f(u,v,w) , где

f(u,v,w) = u + v^2 + w,\;

u(x,y,z) = \sin x,\;

v(x,y,z) = \cos (x+y+z),\;

w(x,y,z) = - \sqrt{2x^2 + 5y^3}.\;

Тогда частная производная функции h по переменной x будет иметь следующий вид:

\frac{\partial h}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial w} \frac{\partial w}{\partial x}

Вычисляем производные:

\frac{\partial f}{\partial u} = 1,\; \frac{\partial f}{\partial v} = 2v,\; \frac{\partial f}{\partial w} = 1,\; \frac{\partial u}{\partial x} = \cos x,\; \frac{\partial v}{\partial x} = -\sin (x+y+z),\; \frac{\partial w}{\partial x} = - \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 5y^3}}.\;

Подставляем найденные производные:

\frac{\partial h}{\partial x} = 1 \cdot \cos x \quad + \quad 2 \cdot \Bigl( \cos (x+y+z) \Bigl) \cdot \Bigl( -\sin(x+y+z) \Bigl) \quad + \quad 1 \cdot \left( - \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 5y^3}} \right)

В итоге

\frac{\partial h}{\partial x} = \cos x - \sin(2x+2y+2z) - \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 5y^3}}.


Автор
Дата добавления 14.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров213
Номер материала ДВ-062612
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх