" Математика в архитектуре" работа ученицы 11 класса

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

« Средняя школа №40»

Городская научно-практическая конференция старшеклассников

«Старт в науку».

Название секции: Математика

«Математика и практическая деятельность человека»

Автор: Сучкова Кристина Андреевна

Класс 11

МБОУ «Средняя школа №40»

Учитель: Мустафина Галина Михайловна

Учитель математики 1 категории

МБОУ «Средняя школа №40»

Г. Дзержинск

2020

Оглавление

1.      Введение………………………………………………………………………………………..…2

1.1.            Актуальность………………………………………………………………………….…2

1.2.            Цель………………………………………………………………………………………2

1.3.            Задачи…………………………………………………………………………………….2

2.      Теория……………………………………………………………………………………………...3

2.1.            Основные понятия………………………………………………………………………3

2.2.            История возникновения архитектуры…………………………………………………3

2.3.            Математические законы в архитектуре………………………………………………..5

2.4.            Математика стен………………………………………………………………………...8

2.5.            Последовательность Фибоначчи……………………………………………………….8

2.6.            Фракталы…………………………………………………………………………………9

2.7.            Геометрические фигуры в архитектурных объектах………………………………...10

2.8.            Строительные стандарты………………………………………………………………11

3.      Практическая часть………………………………………………………………………………12

3.1.            Выполнение расчетов, необходимых для планирования и проектирования

3.2.            архитектурного объекта………………………………………………………………..12

3.3.            Выполнение всех необходимых чертежей с размерами……………………………..13

3.4.            Решение задачи на оптимальный выбор……………………………………………...16

3.5.            Вывод……………………………………………………………………………………17

Введение

Актуальность:

Математика – один из путеводителей в архитектуре. Математические действия необходимы для реализации проектов в строительстве. Прежде чем построить привлекательное сооружение, мало иметь воображения, нужно точно знать где, как и сколько потребуется материалов для строительства пусть даже обычного дома. В этом помогают знания математики. Также хочу добавить, что я сильно заинтересована в изучении данной темы и создании проекта собственного здания, так как в будущем хочу связать свою жизнь со строительством и архитектурой.

Цель:  понять, как используется математика в архитектуре, создать проект собственного здания и выполнить все необходимые расчёты.

Задачи:

1. Узнать историю возникновения архитектуры

2. Узнать, как используется математика в архитектуре

3. Выполнить практическую часть

Теория

Основные понятия:

Понятие «архитектура» происходит от греческого слова «архитектор» - главный строитель.  Архитектура – это результат строительной деятельности и художественного творчества, то есть с одной стороны – технологии строительства, с другой – искусство.

Создание зданий и сооружений, а также их комплексов – это организация искусственной материальной среды, необходимой людям для их жизнедеятельности.

Сооружение – это есть всё, что построено человеком (здания, башни, мосты, тоннели и т.д.).

Здание – это сооружение, состоящее из помещений различного назначения.

Главная задача здания – создание оптимальной искусственной среды для пребывания в ней человека.

История возникновения:

Зарождение архитектуры относится ко времени первобытнообщинного строя, когда возникли первые искусственно сооружаемые жилища и поселения. Были освоены простейшие приёмы организации пространства на основе прямоугольника и круга, началось развитие конструктивных систем с опорами-стенами или стойками, коническим, двускатным или плоским балочным покрытием. Применялись природные материалы (дерево, камень), изготовлялся кирпич-сырец. Конец существования первобытного общества отмечен строительством крепостей со стенами или земляными валами и рвами. В мегалитических сооружениях (менгиры, дольмены, кромлехи) сочетание вертикальных и горизонтальных блоков камня свидетельствует о дальнейшем освоении закономерностей архитектоники.

Менгир (рис.1) - большеразмерный, грубо обработанный камень, вертикально установленный на поверхности земли. Такие сооружения воздвигались либо в честь памятных событий, либо в честь выдающихся лиц, а может быть, и первых божеств.

Дольмен (рис.2) – два вертикальных камня, на которых покоится третий, горизонтально лежащий камень.

Кромлех (рис.3)– самый сложный из всех типов мегалитических сооружений. Установленные по внешнему периметру массивные каменные блоки образуют правильный круг и связаны воедино общей горизонтальной линией каменных перемычек.

Другой этап развития архитектуры неразрывно связан с развитием и становлением египетского государства, где возводились величественные храмы и пирамиды (рис.4). В этот период строительство полностью подчинено интересам правящей верхушки и было призвано увековечить власть и всемогущих правителей. Строительство, как правило, осуществлялось рабами и могло длиться несколько десятилетий.

В Древней Греции архитектура проходит новый этап развития. Именно здесь впервые используется планировка города с прямоугольной сеткой улиц и центром-площадью (рис.5). Наследники греков - римляне, создают крупные общественные сооружения и внедряют в строительство новый материал - бетон.

В эпоху средневековья основным направлением в развитии архитектуры является строительство храмов и церквей. Позднее мир завоёвывает архитектура романского стиля и готики, отличающаяся использованием лёгких материалов и созданием просторных внутренних помещений. Ну и, наконец, эпоха Возрождения, симметрия, логика и гармония стали главными элементами для архитектурного стиля. Кроме того, именно в это время строительство и архитектура перестали быть анонимными. Появляются известные архитекторы, со своими собственными стилями и узнаваемыми чертами.

Современные здания резко контрастируют со старыми постройками и отличаются простотой, строгостью форм и минимализмом в отделке фасадов. Современная архитектура направлена ​​на то, чтобы оторваться от процессов и способов мышления, которые стали стандартными (рис.7, рис.8). Это - новаторское направление.

Математические законы в архитектуре:

Говорят, что математика - царица всех наук. Область применения математических законов не знает границ, они используются во многих отраслях науки и производства.

Прежде чем построить привлекательное сооружение, мало иметь воображения, нужно точно знать где, как и сколько потребуется материалов для строительства пусть даже обычного дома.

В своих творениях архитекторы должны совместить функциональность, красоту, гармоничность, комфортность, экономичность и долговечность. В этом им и помогают знания математики. Например, для измерения площади земельного участка, архитектору необходимы знания формулы расчета площади и, конечно же, единиц измерения.

В ряде профессий строительной отрасли специалисты больше работают не с техникой, а со знаковыми системами. Они должны хорошо ориентироваться и разбираться в условных обозначениях, документах, текстах.  Создавать и перерабатывать чертежи, тексты, документы, таблицы, формулы, перечни, каталоги каких-либо объектов. В современном строительстве роль этой науки непрерывно возрастает. Строительные задачи отличаются по степени сложности расчётов.

При планировке здания руководствуются некоторыми правилами:

- При перенесении размеров земельного участка и проецировании здания архитектор пользуется признаками подобия фигур, т.е. он не чертит объект в натуральную величину, а пользуется масштабом, стандартное отношение которого 1:100.

-При планировке архитектор пользуется многими теоремами и аксиомами. Например, чтобы отложить несколько последовательно равных отрезков, используется знаменитая теорема Фалеса.

     (Теорема Фалеса: если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на однойего стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.)

-При построении параллельных прямых, архитекторы пользуются рейсшиной. Также построение параллельных прямых выполняют с помощью чертежного угольника и линейки. Параллельные прямые необходимы при построении аксонометрических проекций.

Аксонометрические проекции

Изометрическая проекция (рис.1)– это проекция, при которой в отображении трёхмерного объекта на плоскость коэффициент искажения (отношение длины спроецированного на плоскость отрезка, параллельного координатной оси, к действительной длине отрезка) по всем трём осям один и тот же.

Действительные коэффициенты искажения по осям OX, OY и OZ равны 0,82. Но для удобства используются приведенные коэффициенты искажений k = m = n =1. Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных плоскостям проекций, проецируются в эллипсы, большая ось которых равна 1,22, а малая – 0,71 диаметра образующей окружности D.

Диметрическая проекция (рис.2)— аксонометрическая проекция, у которой коэффициенты искажения по двум осям имеют равные значения, а искажение по третьей оси может принимать иное значение.

Коэффициенты искажения по осям ОХ и OZ k=n=0,94, а по оси OY – m=0,47. При округлении этих параметров принимается k=n=1 и m=0,5. В этом случае размеры осей эллипсов будут: большая ось эллипса 1 равна 0,95D и эллипсов 2 и 3 – 0,35D (D – диаметр окружности).

Рис.1

Рис.2

-После того, как все детали здания построены, на план наносят все необходимые надписи и размеры. Математические расчеты, измерения, построения – это самые важные и незаменимые методы для архитектора.

Математика стен

Несмотря на то, что стены могут быть украшены бесконечным количеством завитушек, говоря математическим языком, существует конечное число отдельных геометрических шаблонов. Все периодические рисунки Эшера, обои, плиточные дизайны и вообще все двумерные повторяющиеся группы фигур, могут быть отнесены к той или иной так называемой «плоской кристаллографической группе».

Группа орнамента (или группа плоской симметрии, или плоская кристаллографическая группа) — это математическая классификация двумерных повторяющихся узоров, основанных на симметриях. Такие узоры часто встречаются в архитектуре и декоративном искусстве. Группы орнаментов являются двумерными группами симметрии, средними по сложности.

Последовательность Фибоначчи

Последовательности Фибоначчи. Это ряд чисел: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… . Каждая из цифр в этом ряду является суммой двух предыдущих и играет значительную роль в дизайне. Если представить себе эти числа в виде квадратов 1 х 1…. 55 х 55…, то сочетания этих квадратов можно использовать для формирования, так называемого золотого прямоугольника. Соотношения между двумя соседними числами по смыслу приближено к золотому сечению.

Правило золотого сечения (это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором меньший отрезок так относится к большему, как больший к меньшему a: b= b:c или с:b= b:а) применялось практически во всей древнегреческой и древнеримской архитектуре и считалось эталоном измерения.  Золотое соотношение описывает гармоничную зависимость между шириной и высотой. В мире нет ничего случайного, и этот математический принцип  взят людьми явно из природы.

Фракталы

Фракталы — математические последовательности (самоподобные множества) — еще один прием математики, используемый архитекторами и дизайнерами. Фракталы повторяют геометрические узоры, которые объединяются для создания единого целого.

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых.

Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке справа приведены первый, второй и четвёртый шаги этой процедуры для кривой.

Дизайнеры и архитекторы используют фракталы для оригинального дизайна комнаты. Будь то рисунок на обоях или оформление всего интерьера.

Геометрические фигуры в архитектурных объектах

Архитектурные сооружения состоят из отдельных деталей, каждая из которых строится на базе определенных геометрических фигур либо на их комбинации. Кроме того, форма любого архитектурного сооружения имеет своей моделью определенную геометрическую фигуру. Математик бы сказал, что данное сооружение «вписывается» в геометрическую фигуру. В архитектуре используются почти все геометрические фигуры. Выбор использования той или иной фигуры в архитектурном сооружении зависит от множества факторов: эстетичного внешнего вида здания, его прочности, удобства в эксплуатации и т. д. Каждая геометрическая фигура обладает уникальным, с точки зрения архитектуры, набором свойств. Прочность конструкции сооружения в целом, напрямую связана с базовой геометрической формой этого сооружения. Например, Эйфелева башня имеет форму правильной четырехугольной пирамиды. Именно эта геометрическая форма обусловливает наибольшую устойчивость за счет большой площади основания.

Строительные стандарты

Общие правила нанесения размеров на чертежах устанавливаются ГОСТ 2.001-2013. Этим стандартом следует руководствоваться при нанесении размеров и на строительных чертежах     (см. приложение).

Размеры на чертежах, как правило, указывают размерными числами и размерными линиями. Помимо этого размеры могут указываться в таблицах (например, в спецификациях), в пояснительных надписях, в примечаниях к чертежам, на полных выносках и т. п.

Независимо от масштаба и точности выполнения изображения о величине изображенного предмета или его частей судят по размерным числам, нанесенным на чертеж. Исключением являются некоторые строительные чертежи, например, топографические, где размеры определяются по указанному на чертеже масштабу.

Размеры на строительных чертежах, как правило, указывают в миллиметрах, однако там, где не требуется большая точность измерений, размеры могут быть даны в других единицах. Расстояния между параллельными размерными линиями, а также от размерных линий до линий контура, центровых и выносных линий должны быть не менее 5 Мм (рекомендуется 7—10 Мм).

Практическая часть

Выполнение расчетов, необходимых для планирования и проектирования архитектурного объекта

Расчёт строительного объёма:

V = S’ × (h + k) × m, где k-примерная толщина перекрытий=0,2 и m-коэффициент перехода внутренней площади здания к внешней =1,2; S’— общая площадь здания; h — высота постройки.

Нужно найти площадь отдельно для каждого помещения по формуле  S=ab, где  a,b-длины сторон комнаты, a потом сложить значения.

В моем здании 3 основных помещения (танцевальный зал, зал для йоги, раздевальная комната), коридор, тамбур, 2 санузла и 2 душевые.

Служебное помещение №1 (танцевальный зал): a= 3000мм=3м, b=4240мм=4,24. S=3000×4240=12720000мм=12,72м

Служебное помещение №2 (зал для йоги): a=2940мм=2,94м;b=4240мм=4,42.S=2940×4240=12465600мм=12,47м

Коридор: a=4740мм=4,98м; b=2000мм=2м.

S=4740×2000мм=9480000мм=9,48м.

Тамбур: a=1200мм=1,2м; b=2000мм=2м.

S=1200×2000=2400000мм=2,4м.

Санузел: a=1020мм=1,02м; b=1860мм=1,86м.

S=1020×1900=1938000мм=1,94м.

Душевая: a=2060мм=2,06м; b=990мм=0,99м.

S=2060×990=2039400мм=2,04м.

Раздевальная комната: a=4340мм=4,34м; b=4040мм=4,04м. S=4340×4040=17533600мм=17,53м.

Найдем общую площадь здания S’:

S’=12,72+12,47+9,48+2,4+1,94+2,04+17,53=58,6м

h=3400мм=3,4м

Найдем объем здания:

V= 58,6×(3,4+0,2) ×1,2= 253,152~253м³

Определение  внутренних размеров здания объемом  V= 253м³, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда с квадратом в основании, на облицовку стен и пола, которого уйдет наименьшее количество материала.

Решение: Требуется найти такие размеры здания, чтобы на облицовку его поверхности ушло наименьшее количество материала (например, плитки). Из чего следует, что нам нужно составить функцию суммарной площади пола и 4 стен.

x - сторона квадратного пола (),  – площадь пола,

Объем можно найти по формуле:   h,где h – высота стены.

      h;           h

Составим функцию суммарной площади пола и четырёх одинаковых стен:

Найдем критические точки:

0

x=8 - критическая точка.

Проверим выполнение достаточного условия экстремума:

                               -                 +

                0                      8

                                      min

Значит, функция S(x) достигает минимума в точке x=8.

Таким образом: оптимальная сторона пола = 8м;  высота стены  3,9м;

при этом минимальная площадь облицовки:

Вывод:

 Я считаю, что достигла своей цели, т.е. узнала, как используется математика в архитектуре, а также спроектировала собственное здание и выполнила расчеты. Знания, которые я получила за время выполнения проекта, очень пригодятся мне в будущем, так как я хочу связать свою жизнь с архитектурой и проектированием.

Ссылки и источники:

https://school-science.ru/6/7/36646

https://j.etagi.com/ps/stroitelniy-obyom/

Краткий справочник архитектора. Юрий Николаевич Коваленко, Виктор Порфирьевич Шевченко, Иван Дмитриевич Михайленко. 1975 год.

http://docs.cntd.ru/document/1200004084

https://archisto.info/

https://pikabu.ru/story/kratkaya_istoriya_arkhitekturyi_vozniknovenie_arkhitekturyi_4741472

https://studfile.net/preview/5435159/

https://studopedia.ru/2_46751_istoriya-arhitekturi-kratkiy-obzor.html

https://vuzlit.ru/1609385/istoriya_razvitiya_arhitektury

рис1                                                                          рис2

Рис3                                                                               рис4

Рис5                                                                                  рис6

Рис7.8