Инфоурок Алгебра КонспектыМатематика задачи с решениями

Математика задачи с решениями

Скачать материал

Задача 1.

В сосуд, содержащий 7 литров 14-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

гло+ показать Вот так выглядит краткое условие в рисунке:

 

 

 

 

 

Пусть в сосуде изначально было xл некоторого вещества.

Составляем пропорцию:

uh

Откуда x=\frac{7\cdot 14}{100}=0,98л.

р

После того, как в сосуд долили 7 литров воды, воды стало 14 л, а некоторого вещества по-прежнему 0,98л.

Составим очередную пропорцию:

гн

Откуда  процент некоторого вещества в сосуде есть

Вот так выглядит краткое условие в рисунке:

гло

Пусть в сосуде изначально было xл некоторого вещества.

Составляем пропорцию:

uh

Откуда x=\frac{7\cdot 14}{100}=0,98л.

р

После того, как в сосуд долили 7 литров воды, воды стало 14 л, а некоторого вещества по-прежнему 0,98л.

Составим очередную пропорцию:

гн

Откуда  процент некоторого вещества в сосуде есть

\frac{0,98\cdot 100}{14}=7%.

Ответ: 7.

Задача 2.

Смешали некоторое количество 13-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 17-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

Пусть x– вес первого раствора.

потп

В нем 0,13xнекоторого вещества:

с

Второго вещества по весу взяли столько же, – x. В нем 0,17xтого же некоторого вещества, что и в первом:

а

Тогда в смешанном растворе будет 0,13x+0,17x=0,3xпо весу некоторого вещества.

Наконец, составляя последнюю пропорцию, получаем:

нп

Концентрация раствора: \frac{0,3x\cdot 100}{2x}=15%.

Задача 4.

Смешав 54-процентный и 61-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 46-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 56-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 54-процентного раствора использовали для получения смеси?

 

Пусть x– вес первого раствора.

потп

В нем 0,13xнекоторого вещества:

с

Второго вещества по весу взяли столько же, – x. В нем 0,17xтого же некоторого вещества, что и в первом:

а

Тогда в смешанном растворе будет 0,13x+0,17x=0,3xпо весу некоторого вещества.

Наконец, составляя последнюю пропорцию, получаем:

нп

Концентрация раствора: \frac{0,3x\cdot 100}{2x}=15%.

Ответ: 15.

Решение:

Пусть вес первого расвора xлитров. В нем согласно условию 0,54xл кислоты.

Пусть вес второго раствора yлитров. В нем согласно условию  0,61y л кислоты.

При смешивании двух растворов и добавлении 10 л воды, мы получим раствор весом x+y+10л и кислоты в нем будет 0,54x+0,61y.

hb

Составим пропорцию:

р

46(x+y+10)=100(0,54x+0,61y);

46x+46y+460=54x+61y;

8x+15y=460;

Рассмотрим второй случай.

При смешивании двух растворов и добавлении 10 л 50%-го раствора кислоты, мы получим раствор весом x+y+10л и кислоты в нем будет 0,54x+0,61y+5.

g

Составим пропорцию:

Снимок экрана 2013-11-02 в 20.20.36

56(x+y+10)=100(0,54x+0,61y+5);

56x+56y+560=54x+61y+500;

2x-5y=-60;

Итак, нам предстоит решить систему уравнений:

\begin{cases} 8x+15y=460,& & -2x+5y=60; \end{cases}

или

\begin{cases} 8x+15y=460,& & -6x+15y=180; \end{cases}

Вычитая строки, получаем:

14x=280;

x=20.

Ответ: 20.

 

Пусть  x кг – масса первого сплава. Тогда согласно условию 225-xкг – масса второго сплава.

гр

В первом сплаве 0,1xкг никеля, во втором – \frac{35\cdot (225-x)}{100}=0,35(225-x)=78,75-0,35xкг никеля.

Тогда в новом сплаве 78,75-0,35x+0,1x=78,75-0,25xкг никеля.

tg

Стало быть,

78,75-0,25x=\frac{225\cdot 25}{100};

78,75-0,25x=56,25;

0,25x=22,5;

x=90;

Значит,  масса второго сплава –  225-90=135 кг, что на 45кг больше массы первого сплава.

Ответ: 45.

Задача 3.

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй  — 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Решение:

Решение:

- спрятать

Пусть  x кг – масса первого сплава. Тогда согласно условию 225-xкг – масса второго сплава.

гр

В первом сплаве 0,1xкг никеля, во втором – \frac{35\cdot (225-x)}{100}=0,35(225-x)=78,75-0,35xкг никеля.

Тогда в новом сплаве 78,75-0,35x+0,1x=78,75-0,25xкг никеля.

tg

Стало быть,

78,75-0,25x=\frac{225\cdot 25}{100};

78,75-0,25x=56,25;

0,25x=22,5;

x=90;

Значит,  масса второго сплава –  225-90=135 кг, что на 45кг больше массы первого сплава.

Ответ: 45.

 

 

Пусть вес первого расвора xлитров. В нем согласно условию 0,54xл кислоты.

Пусть вес второго раствора yлитров. В нем согласно условию  0,61y л кислоты.

При смешивании двух растворов и добавлении 10 л воды, мы получим раствор весом x+y+10л и кислоты в нем будет 0,54x+0,61y.

hb

Составим пропорцию:

р

46(x+y+10)=100(0,54x+0,61y);

46x+46y+460=54x+61y;

8x+15y=460;

Рассмотрим второй случай.

При смешивании двух растворов и добавлении 10 л 50%-го раствора кислоты, мы получим раствор весом x+y+10л и кислоты в нем будет 0,54x+0,61y+5.

g

Составим пропорцию:

Снимок экрана 2013-11-02 в 20.20.36

56(x+y+10)=100(0,54x+0,61y+5);

56x+56y+560=54x+61y+500;

2x-5y=-60;

Итак, нам предстоит решить систему уравнений:

\begin{cases} 8x+15y=460,& & -2x+5y=60; \end{cases}

или

\begin{cases} 8x+15y=460,& & -6x+15y=180; \end{cases}

Вычитая строки, получаем:

14x=280;

x=20.

Ответ: 20.

Задача 5.

Имеются два сосуда. Первый содержит 100 кг, а второй — 60 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 19% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 22% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Решение:

 

Решение:

- спрятать

Ситуация 1.

Пусть  x% – концентрация кислоты в первом растворе, y% – концентрация кислоты во втором растворе.

рпи

uh

 

 

160\cdot 19=100(x+0,6y);

152=5x+3y;

Ситуация 2.

Пусть вес каждого смешиваемого раствора – mкг.

j

gh

Тогда

2m\cdot 22=\frac{100m}{100}\cdot (x+y);

44=x+y;

Итак, нам предстоит работать с  системой уравнений:

\begin{cases} 152=5x+3y,& & 44=x+y; \end{cases}

\begin{cases} 152=5x+3y,& & -132=-3x-3y; \end{cases}

Складывая уравнения системы, получаем:

2x=20;

x=10.

Тогда в первом растворе содержится 10кг кислоты.

Ответ: 10.

 

Ситуация 1.

Пусть  x% – концентрация кислоты в первом растворе, y% – концентрация кислоты во втором растворе.

рпи

uh

 

 

160\cdot 19=100(x+0,6y);

152=5x+3y;

Ситуация 2.

Пусть вес каждого смешиваемого раствора – mкг.

j

gh

Тогда

2m\cdot 22=\frac{100m}{100}\cdot (x+y);

44=x+y;

Итак, нам предстоит работать с  системой уравнений:

\begin{cases} 152=5x+3y,& & 44=x+y; \end{cases}

\begin{cases} 152=5x+3y,& & -132=-3x-3y; \end{cases}

Складывая уравнения системы, получаем:

2x=20;

x=10.

Тогда в первом растворе содержится 10кг кислоты.

Ответ: 10.

 Задача 6.

Виноград содержит 90% влаги, а изюм  — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 40 килограммов изюма?

Решение: Решение:

- спрятать

Рисунок наглядно иллюстрирует условие задачи:

ар

Обратите внимание! Что очень важно понимать для решения данной задачи?

«Твердая часть винограда» = «твердая часть изюма»!

Начнем с изюма.

Обозначим за xкг твердую часть винограда (изюма). Она составляет 95% веса изюма.

гнп

x=\frac{40\cdot 95}{100};

x=38.

Итак, в изюме массой 40 кг, также как и в винограде, из которого он получен, твердая часть – 38 кг.

Переходим к винограду.

Твердая часть в винограде занимает 10% веса. Обозначим за mкг массу винограда.

g

m=\frac{38\cdot 100}{10};

m=380.

Итак, необходимо взять 380 кг винограда (чтобы получить 40 кг изюма).

Ответ: 380.

 

 

 

Рисунок наглядно иллюстрирует условие задачи:

ар

Обратите внимание! Что очень важно понимать для решения данной задачи?

«Твердая часть винограда» = «твердая часть изюма»!

Начнем с изюма.

Обозначим за xкг твердую часть винограда (изюма). Она составляет 95% веса изюма.

гнп

x=\frac{40\cdot 95}{100};

x=38.

Итак, в изюме массой 40 кг, также как и в винограде, из которого он получен, твердая часть – 38 кг.

Переходим к винограду.

Твердая часть в винограде занимает 10% веса. Обозначим за mкг массу винограда.

g

m=\frac{38\cdot 100}{10};

m=380.

Итак, необходимо взять 380 кг винограда (чтобы получить 40 кг изюма).

Ответ: 380.

Задача 7.

В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 1%, а в 2010 году  — на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

Решение:

+ показать Решение:

- спрятать

1) 1% (то есть сотая часть) от 40000 жителей   – это 400 человек.

Значит, в 2009 годы число жителей составило 40000+400=40400человек.

2) Найдем 9% от 40400 жителей: \frac{40400\cdot 9}{100}=3636 (человек).

Итак, в 2010 году в квартале стало проживать 40400+3636=44036человек.

Ответ: 44036.

 

1) 1% (то есть сотая часть) от 40000 жителей   – это 400 человек.

Значит, в 2009 годы число жителей составило 40000+400=40400человек.

2) Найдем 9% от 40400 жителей: \frac{40400\cdot 9}{100}=3636 (человек).

Итак, в 2010 году в квартале стало проживать 40400+3636=44036человек.

Ответ: 44036.

Задача 8.

В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 1% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Решение:

 + показать 1) Пусть в понедельник акции компании подорожали на p%, а до повышения цены стоимость акций обозначим за x.

Итак, в понедельник цена акций будет составлять 100+p% по отношению к стоимости акций до повышения.

проценты

Поэтому новая цена акций на понедельник: \frac{x(100+p)}{100}.

2) Вторник. Цена акций будет составлять 100-p% по отношению к стоимости акций в понедельник.

ол

Поэтому новая цена акций на вторник: \frac{\frac{x(100+p)}{100}\cdot (100-p)}{100}=\frac{x(10000-p^2)}{10000}.

3) Что мы имеем? На открытие торгов в понедельники стоимость акций – x, во вторник  стоимость акций  – \frac{x(10000-p^2)}{10000},при этом последняя стоимость акций составляет 99% от стоимости на открытие торгов.

гн

Перед нами пропорция:

\frac{x(10000-p^2)}{10000}\cdot 100=99x;

10000-p^2=9900;

p^2=100;

Откуда получаем, что p=10%.

Ответ: 10.

 

1) Пусть в понедельник акции компании подорожали на p%, а до повышения цены стоимость акций обозначим за x.

Итак, в понедельник цена акций будет составлять 100+p% по отношению к стоимости акций до повышения.

проценты

Поэтому новая цена акций на понедельник: \frac{x(100+p)}{100}.

2) Вторник. Цена акций будет составлять 100-p% по отношению к стоимости акций в понедельник.

ол

Поэтому новая цена акций на вторник: \frac{\frac{x(100+p)}{100}\cdot (100-p)}{100}=\frac{x(10000-p^2)}{10000}.

3) Что мы имеем? На открытие торгов в понедельнки стоимость акций – x, во вторник  стоимость акций  – \frac{x(10000-p^2)}{10000},при этом последняя стоимость акций составляет 99% от стоимости на открытие торгов.

гн

Перед нами пропорция:

\frac{x(10000-p^2)}{10000}\cdot 100=99x;

10000-p^2=9900;

p^2=100;

Откуда получаем, что p=10%.

Ответ: 10.

Задача 9.

Шесть рубашек дешевле куртки на 2%. На сколько процентов девять рубашек дороже куртки?

Решение:

+ показать Согласно условию цена 6 рубашек составляет 98% по отношению к цене куртки.

А значит, 1 рубашка составляет \frac{98}{6}% по отношению к цене куртки.

Стало быть, 9 рубашек составляют \frac{98\cdot 9}{6}=147% по отношению к цене куртки.

То есть 9 рубашек дороже куртки на 47 %.

Ответ: 47.

 

Согласно условию цена 6 рубашек составляет 98% по отношению к цене куртки.

А значит, 1 рубашка составляет \frac{98}{6}% по отношению к цене куртки.

Стало быть, 9 рубашек составляют \frac{98\cdot 9}{6}=147% по отношению к цене куртки.

То есть 9 рубашек дороже куртки на 47 %.

Ответ: 47.

Задачу, аналогичную задаче №9, можно посмотреть и в видеоформате:

Задача 10.

Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 65%. Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился бы на 2%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Решение:

+ показать Пусть зарплата мужа – xрублей, жены  – y, стипендия дочери – z.

Тогда общий доход семьи – x+y+z.

Если бы  зарплата мужа увеличилась вдвое, то есть стала бы 2x, то общий доход семьи увеличился бы на xрублей.

То есть, согласно условию, xрублей составляет 65% от общего дохода семьи (до повышения зарплаты мужа).

Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, то есть стала бы \frac{z}{2}, то общий доход семьи уменьшился бы на \frac{z}{2}рублей, что соответствует, согласно условию,  2% от первоначального общего дохода семьи. Значит, стипендия дочери (z) составляет  4% от дохода семьи.

Выясним, наконец, сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены:

100-65-4=31(%)

Ответ: 31.

 

Пусть зарплата мужа – xрублей, жены  – y, стипендия дочери – z.

Тогда общий доход семьи – x+y+z.

Если бы  зарплата мужа увеличилась вдвое, то есть стала бы 2x, то общий доход семьи увеличился бы на xрублей.

То есть, согласно условию, xрублей составляет 65% от общего дохода семьи (до повышения зарплаты мужа).

Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, то есть стала бы \frac{z}{2}, то общий доход семьи уменьшился бы на \frac{z}{2}рублей, что соответствует, согласно условию,  2% от первоначального общего дохода семьи. Значит, стипендия дочери (z) составляет  4% от дохода семьи.

Выясним, наконец, сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены:

100-65-4=31(%)

Ответ: 31.

Задача 11.

Дима, Андрей, Гриша и Коля учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Дима внес 26% уставного капитала, Андрей  — 55000 рублей, Гриша  — 0,16 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Коля. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1000000 рублей причитается Коле? Ответ дайте в рублях.

Решение:

+ показать Найдем процент уставного капитала Андрея:

п

\frac{55000\cdot 100}{200000}=27,5(%)

А так как проценты уставного капитала  Димы и Гриши 26% и 16% соответственно, то уставной процент Коли – 100-26-27,5-16=30,5%.

А значит, от прибыли в 1000000 рублей он получит \frac{1000000\cdot 30,5}{100}=305000рублей.

Ответ: 305000.

 

Найдем процент уставного капитала Андрея:

п

\frac{55000\cdot 100}{200000}=27,5(%)

А так как проценты уставного капитала  Димы и Гриши 26% и 16% соответственно, то уставной процент Коли – 100-26-27,5-16=30,5%.

А значит, от прибыли в 1000000 рублей он получит \frac{1000000\cdot 30,5}{100}=305000рублей.

Ответ: 305000.

Задача 12.

Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20700 рублей, через два года был продан за 16767 рублей.

Решение:

+ показать

Пусть цена холодильника ежегодно уменьшаетя на xпроцентов.

Тогда через год после выставления на продажу он будет стоить 20700\cdot \frac{100-x}{100}рублей.

j

Еще через год цена на холодильник будет такой:

20700\cdot \frac{(100-x)^2}{100^2}рублей.

jkj

А поскольку холодильник через два года был продан за 16767 рублей, то составим уравнение:

20700\cdot \frac{(100-x)^2}{100^2}=16767;

(100-x)^2=8100;

100-x=\pm 90;

Откуда x=10%.

Ответ: 10.

 

Пусть цена холодильника ежегодно уменьшаетя на xпроцентов.

Тогда через год после выставления на продажу он будет стоить 20700\cdot \frac{100-x}{100}рублей.

j

Еще через год цена на холодильник будет такой:

20700\cdot \frac{(100-x)^2}{100^2}рублей.

jkj

А поскольку холодильник через два года был продан за 16767 рублей, то составим уравнение:

20700\cdot \frac{(100-x)^2}{100^2}=16767;

(100-x)^2=8100;

100-x=\pm 90;

Откуда x=10%.

Ответ: 10.

Конец формы

·          

Поиск по сайту

·          

Закрытый раздел

Снимок экрана 2014-07-09 в 1.34.45EIBA5mtIY6Q

 

·         u

·         Рубрики

o    01 Простейшие текст/задачи (2)

o    02 Читаем графики (1)

o    03 Оптимальная выборка (2)

o    04 Геометрия, ч. I (11)

o    05 Теория вероятностей (2)

o    06 Простейшие уравнения (9)

o    07 Геометрия, ч. II (11)

o    08 Производная, ПО (4)

o    09 Стереометрия, ч.I (4)

o    10 Вычисления (6)

o    11 «Прикладные» задачи (4)

o    12 Стереометрия, ч.II (7)

o    13 Текстовые задачи (8)

o    14 Исследование функции (2)

o    15 Тригоном/уравнения* (31)

o    16 Стереометрич/задачи* (44)

o    17 Неравенства* (40)

o    18 Планиметрич/задачи* (39)

o    19 (22)

o    20 Параметры* (29)

o    21 Числа, их свойства* (1)

o    Видеоуроки (45)

o    ГИА (12)

§  II часть (11)

§  Тесты ГИА (1)

o    ЕГЭ (диагностич. работы) (15)

o    Иррациональные выражения, уравнения и неравенства (15)

o    Логарифмы (38)

o    Метод интервалов (4)

o    Метод рационализации (16)

o    Модуль (9)

o    Параметр (29)

o    Переменка (7)

o    Планиметрия (70)

o    Показательные выражения, уравнения и неравенства (8)

o    Разложение на множители (1)

o    Рациональные выражения, уравнения и неравенства (10)

o    Справочные материалы (70)

o    Стереометрия (54)

o    Т/P A. Ларина (157)

o    Текстовые задачи (13)

o    Теория чисел (2)

o    Тесты ЕГЭ (4)

o    Тесты по темам (69)

o    Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства (39)

o    Функции и графики (9)

·        

yi

 

·         Подписка на обновление сайта

 

Начало формы

Ваш e-mail: *

Ваше имя: *

Конец формы

·         Дружественные сайты

Сайт А. Ларина
ЕгэТренер – О. Себедаш
Математика?Легко!
Егэ? Ок! – И. Фельдман

·         Свежие записи

o    Задание №20 Т/Р №111 А. Ларина

o    Задание №19 Т/Р №111 А. Ларина

o    Задание №18 Т/Р №111 А. Ларина

o    Задание №17 Т/Р №111 А. Ларина

o    Задание №16 Т/Р №111 А. Ларина

·         Архивы

·          

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Математика задачи с решениями"

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

Режиссер-постановщик

Получите профессию

Няня

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 625 190 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 01.12.2015 1260
    • DOCX 490.4 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Клименко Галина Васильевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Клименко Галина Васильевна
    Клименко Галина Васильевна
    • На сайте: 9 лет и 10 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 17227
    • Всего материалов: 6

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Интернет-маркетолог

Интернет-маркетолог

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Применение возможностей MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 35 человек из 19 регионов

Курс повышения квалификации

Ментальная арифметика: отрицательные числа, дроби, возведение в квадрат, извлечение квадратного корня

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 112 человек из 42 регионов

Курс повышения квалификации

Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО

36 ч. — 180 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 321 человек из 69 регионов

Мини-курс

Театральная педагогика: творческое развитие и воспитание

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 30 человек из 17 регионов

Мини-курс

Музыкальная журналистика: создание и продвижение контента

10 ч.

1180 руб. 590 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Основы управления проектами

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе