Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Тесты / Математика ЗНО 2012 2 сессия условия и решения всех заданий

Математика ЗНО 2012 2 сессия условия и решения всех заданий

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m3adae45c.gifhello_html_m3adae45c.gifЗНО 2012 року з математики

(Основна сесія № 2)


  1. На рисунку показано жирними точками найвищу і найнижчу температуру повітря кожного дня тижня з понеділка до п’ятниці в деякому місті України. По горизонталі відмічено дні тижня, а по вертикалі – температуру повітря в градусах Цельсія. У який день різниця між найвищою та найнижчою температурами повітря була найбільшою?

hello_html_m789c8a5c.gif

Дні тижня

А

Б

В

Г

Д

понеділок

вівторок

середа

четвер

п’ятниця


Розв’язання. Розглянемо рисунок. В понеділок найвища температура була 5оС, найнижча - 1 оС. Різниця - 4 оС (дивись таблицю).

Дні тижня

Найвища температура (в градусах Цельсія)

Найнижча температура (в градусах Цельсія)

Різниця між найвищою та найнижчою температурами (в градусах Цельсія)

Понеділок

5

1

4

Вівторок

4

1

3

Середа

0

-2

2

Четвер

1

-6

7

П’ятниця

3

-2

5

Порівнявши числа (різниці) в останньому стовпчику, маємо: різниця між найвищою та найнижчою температурами повітря була найбільшою в четвер.

Відповідь. Г.

Повторити: «Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації».


  1. Протягом тижня два курєри разом доставили 210 пакетів. Кількості пакетів, доставлених першим і другим курєрами за цей період відносяться, як 3:7. Скільки пакетів доставив другий курєр?

А

Б

В

Г

Д

21

30

63

70

147


Розв’язання. Загальна кількість пакетів, доставлених першим і другим курєрами, складається з 3+7 = 10 частин. На одну частину припадає 210:10 = 21 пакет. Тоді другий курєр доставив 21 · 7 = 147 пакетів.

ІІ спосіб. Нехай перший курєр доставив 3х пакетів, а другий – 7х. Разом за умовою – 210 пакетів. Складаємо і розвязуємо рівняння: 3х+7х = 210; 10х=210; х=21. Тоді другий курєр доставив 21 · 7 = 147 (пакетів).

Відповідь. Д.

Повторити: «Числа і вирази. Відношення і пропорції».

  1. Яка з наведених точок лежить у площині Оxz прямокутної системи координат у просторі?

А

Б

В

Г

Д

(0; -3; 0)

(0; 4; - 3)

(3;0;-4)

(-4; 3; 0)

(-3; 3 3)

Розв’язання. Точка лежить у площині Оxz прямокутної системи координат, якщо хhello_html_m2bc03806.gif0 іhello_html_73340329.gif0, а у=0. Цій умові відповідає точка (3;0;-4).

Відповідь. В.

Повторити: «Прямокутна система координат у просторі. Координати точки».

  1. На рисунку зображено коло з центром в точці О, довжина якого дорівнює 64 см. Визначте довжину меншої дуги АВ кола, якщо АОВ = 90о.

hello_html_m2a30e2fb.gif

А

Б

В

Г

Д

4 см

8 см

16 см

32 см

48 см






Розв’язання. Оскільки градусна міра кола -360о, а 90 о- це четверта частина від 360о,то довжина дуги АВ - четверта частина довжини кола. Маємо 64: 4 = 16 (см).

ІІ спосіб. Довжина дуги l кола обчислюється за формулою: l= hello_html_m1bd93be7.gif, де n – градусна міра дуги, hello_html_m16702114.gif – половина довжини кола. Градусна міра дуги АВ кола дорівнює величині відповідного центрального кута АОВ. Підставляючи дані з умови задачі, маємо: l= hello_html_m40fcadf6.gif = 16 (см).

Відповідь. В.

Повторити: «Коло, круг та їх елементи. Обчислення довжини кола, дуги кола».


  1. Використовуючи зображені на рисунку графіки функцій, розв’яжіть нерівність 2х -х +3.

hello_html_m38693151.gif


А

Б

В

Г

Д

(-; 2)

(1; +)

(0;1)

(-; 1)

(2; +)



Розв’язання. Функція у=2х зростаюча на всій області визначення, функція у = -х +3 спадна при будь-яких значеннях х, тому кожного свого значення набувають лише один раз. Графік функції у=2х лежить вище графіка функції у = -х +3 на інтервалі (1; +).

Відповідь. Б.

Повторити: «Розв’язування нерівностей за допомогою графіків функцій».


  1. При якому значенні у вектори а (-3;5) і в (6;у) колінеарні?

А

Б

В

Г

Д

-10

-2,5

2,5

3,6

10




Розв’язання. В колінеарних векторів відповідні координати пропорційні. Складемо і розв’яжемо пропорцію: hello_html_m519d1bbb.gif =hello_html_1a6e6e0a.gif. Звідси у= hello_html_m61808d2a.gif = - 10. Отже, дані вектор колінеарні при у = - 10.

Відповідь. А.

Повторити: «Вектори. Колінеарність та компланарність векторів. Пропорції».


  1. Укажіть область визначення функції у = log3 (x+9)

А

Б

В

Г

Д

(9; +)

(-9; +)

(-9;0)

(0; +)

(-; +)




Розв’язання. Область визначення логарифмічної функції у = logа x – множина додатних чисел при а hello_html_m2bc03806.gif 1, а hello_html_m7c48e444.gif 0. Маємо нерівність х + 9 hello_html_m7c48e444.gif 0. Звідси х hello_html_m7c48e444.gif -9, тобто х hello_html_m6559db2e.gif (-9; +).

Відповідь. Б.

Повторити: «Логарифмічна функція, її графік та властивості».

  1. Укажіть хибне твердження.

А Протилежні сторони паралелограма рівні.

Б Сума двох кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180о.

В Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл.

Г Площа паралелограма дорівнює добутку двох його сусідніх сторін на синус кута між

ними.

Д Площа паралелограма дорівнює половині добутку його сторони на висоту, проведену

до цієї сторони.

Розв’язання. Завдання на знання теорії. Твердження Д - хибне.

Відповідь. Д.

Повторити: «Паралелограм. Властивості паралелограма. Площа».


  1. На якому з наведених рисунків зображено ескіз графіка функції у = -hello_html_m5cdff76c.gif ?

hello_html_m14141035.gif

Розв’язання. За властивостями оберненої пропорційності функція у = -hello_html_m5cdff76c.gif зростаюча на всій області визначення, має точку розриву х=0, додатна при хhello_html_m7c48e444.gif0 і від’ємна при хhello_html_m63c33baf.gif Отже, дана функція на рисунку Д.

ІІ спосіб. Графік функції у = hello_html_56a34d7c.gif – гіпербола. При hello_html_4aeedfcc.gif вітки гіперболи розміщені в І і ІІІ чвертях, при hello_html_15cac3ad.gif0 - в ІІ і ІУ. В даному випадку hello_html_m417594b3.gif= -1hello_html_m7c48e444.gif0, отже, дана функція на рисунку Д.

Відповідь. Д.

Повторити: «Властивості оберненої пропорційності».


  1. Прямокутний трикутник із катетами 9 см і 12 см обертається навколо більшого катета (див. рисунок). Визначте площу повної поверхні отриманого тіла обертання.

А

Б

В

Г

Д

324 hello_html_6b2fd1c.gif см2

216 hello_html_6b2fd1c.gif см2

180 hello_html_6b2fd1c.gif см2

135 hello_html_6b2fd1c.gif см2

81 hello_html_6b2fd1c.gif см2





Розв’язання. Тіло, отримане в результаті обертання прямокутного трикутника навколо катета – конус. Площа S повної поверхні конуса обчислюється за формулою S =hello_html_6b2fd1c.gifR(R+hello_html_m594e7757.gif), де R – радіус кола основи,hello_html_m594e7757.gif – твірна конуса. За умовою катети даного трикутника - 9 і 12 см. Це пропорції єгипетського трикутника (3:4:5=а:в:с, де а,в – катети, с - гіпотенуза). Отже, гіпотенуза даного трикутника – 15 см. Гіпотенуза – це твірна hello_html_m594e7757.gif конуса, менший катет (9 см) – радіус R основи конуса. Знайдемо площу поверхні конуса: S =hello_html_6b2fd1c.gif·9· (9+15)=216hello_html_6b2fd1c.gif (см2).hello_html_2f4ec5ca.gif

ІІ спосіб. Тіло, отримане в результаті обертання прямокутного трикутника навколо катета – конус. Площа S повної поверхні конуса обчислюється за формулою S =hello_html_6b2fd1c.gifR(R+hello_html_m594e7757.gif), де R – радіус кола основи (для даної задачі – менший катет),hello_html_m594e7757.gif – твірна конуса (гіпотенуза трикутника). За умовою катети даного трикутника - 9 і 12 см. Знайдемо довжину гіпотенузи за теоремою Піфагора: с22 2=92+122 =81+144=225, с=15. hello_html_m594e7757.gif=с=15 см. Знайдемо площу поверхні конуса: S =hello_html_6b2fd1c.gif·9· (9+15)=216hello_html_6b2fd1c.gif (см2).

Відповідь. Б.

Повторити: «Конус. Площа поверхні конуса». «Теорема Піфагора». «Формули площ поверхонь тіл обертання».

  1. У магазині побутової техніки діє акція: на першу велику покупку (вартість перевищує 1000 грн.) надається знижка 30 грн., на кожну наступну велику покупку попередня знижка збільшується на 25 грн. На яку за рахунком велику покупку отримає в цьому магазині покупець знижку 180 грн.?

А

Б

В

Г

Д

четверту

п’яту

шосту

сьому

восьму




Розв’язання. Складемо математичну модель задачі. Задано арифметичну прогресію, в якій перший член а1=30, різниця d=25. Необхідно знайти кількість членів прогресії , якщо ап=180. п-й член арифметичної прогресії обчислюється за формулою ап=а1+(п-1)d. Маємо: 180=30+(п-1)25; 25п - 25+30=180; 25п+5=180; 25п=175; п=7. Отже, на сьому покупку покупець отримає в цьому магазині знижку 180 грн..

ІІ спосіб. Перебором: перша знижка -30грн., друга -30+25=55, третя – 55+25=80, четверта -80+25=105, п’ята – 105+25=130, шоста – 130+25=155, сьома -155+25=180.

ІІІ спосіб. 180-30=150; 150:25=6 разів по 25 грн. додавали. Враховуючи першу знижку – на сьому.

Відповідь. Г.

Повторити: «Арифметична прогресія, п-й член арифметичної прогресії»

  1. На рисунку зображено рівнобічну трапецію, бічна сторона якої дорівнює 2hello_html_m4ec2c24d.gif, а більша основа – 8. Визначте довжину діагоналі цієї трапеції, якщо її гострий кут дорівнює 30о.

А

Б

В

Г

Д

hello_html_3926d155.gif

hello_html_m5d5ea9a7.gif

hello_html_16a077a9.gif

hello_html_7b135988.gif

hello_html_m4c1f1d9a.gif

hello_html_mb9dceea.gif

Розв’язання. Скористаємось теоремою косинусів: квадрат сторони будь-якого трикутника дорівнює сумі квадратів двох її інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними. Нехай діагональ трапеції – х. Маємо: х2= 82+ (2hello_html_5909bbae.gif)2 - 2· 8·2hello_html_m1d80b9fe.gifо; х2= 64+ 12- 32hello_html_5909bbae.gifhello_html_1fc87bde.gif; х2=76-48; х2=28; х=hello_html_3926d155.gif.

Відповідь. А.

Повторити: «Трапеція та її властивості». «Теорема косинусів». «Дії з квадратними коренями»

  1. Порожній басейн, що вміщує х м3 води, повністю заповнюють водою за 5 годин ( швидкість заповнення є сталою). За якою формулою можна обчислити кількість води V (у м3) у басейні через 2 години після початку його заповнення, якщо басейн був порожній і швидкість заповнення не змінювалася?


А

Б

В

Г

Д

V=hello_html_6406f3.gif

V=2·5х

V=hello_html_m3c1ae607.gif

V=hello_html_467747d4.gif

V=hello_html_6f81111b.gif




Розв’язання. За 1 годину заповнюється V=hello_html_m18124726.gif м3. За 2 години заповнюється V=hello_html_467747d4.gif м3.

Відповідь. Г.

Повторити: «Розв’язування текстових задач»

  1. На рисунку зображено ромб, площа якого дорівнює 96 см2. У ромб вписано коло. Визначте площу зафарбованої фігури.

hello_html_m5fdbe4f3.gif


А

Б

В

Г

Д

24 см2

32 см2

48 см2

64 см2

72см2





Розв’язання.

Діагоналі ромба ділять його на 4 рівних трикутники. Якщо перемістити всі зафарбовані частини вправо від більшої діагоналі, то буде зафарбовано половину ромба, тобто 0,5 · 96 =48 (см2).

Відповідь. В.

Повторити: «Чотирикутники. Ромб та його властивості. Площа ромба»

  1. Укажіть проміжок, якому належить значення виразу сtg25о.

А

Б

В

Г

Д

(0; hello_html_m5e5e191c.gif)

(hello_html_m3b625739.gif)

(hello_html_1fc87bde.gif; 1)

(1;hello_html_5909bbae.gif)

(hello_html_5909bbae.gif;+)





Розв’язання. Функція у= сtg х спадна на всій області визначення. сtg 25оhello_html_m15cdc277.gif30оhello_html_17a462fe.gif

Відповідь. Д.

Повторити: «Тригонометричні функції та їх властивості. Тригонометричні вирази та їх перетворення».


  1. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 3 см, а бічне ребро – 5 см. Визначте косинус кута між бічним ребром і площиною основи.

А

Б

В

Г

Д

hello_html_36b5a9e0.gif

hello_html_3b7b3c70.gif

hello_html_3b88a430.gif

hello_html_m4d2614a7.gif

hello_html_m57c90caf.gif





Розв’язання. Проекцією бічного ребра правильної чотирикутної піраміди на площину основи є половина діагоналі основи. Бічне ребро, висота піраміди та половина діагоналі основи утворюють прямокутний трикутник, який має пропорції єгипетського (3:4:5). Отже, половина діагоналі основи – 4 см. Косинус гострого кута прямокутного трикутника – це відношення прилеглого катета до гіпотенузи. Маємо: соshello_html_695bfd0f.gif= hello_html_36b5a9e0.gif , де hello_html_695bfd0f.gif - кут між бічним ребром і площиною основи піраміди.

ІІ спосіб. Проекцією бічного ребра правильної чотирикутної піраміди на площину основи є половина діагоналі основи. Бічне ребро, висота піраміди та половина діагоналі основи утворюють прямокутний трикутник. За теоремою Піфагора знайдемо довжину прилеглого катета: hello_html_m253bea9b.gif = hello_html_7ebc59dd.gif = 4(см). За означенням косинуса маємо: соshello_html_695bfd0f.gif= hello_html_36b5a9e0.gif , де hello_html_695bfd0f.gif - кут між бічним ребром і площиною основи піраміди.

Відповідь. А.

Повторити: «Тригонометричні функції кутів трикутника», «Теорема Піфагора».

  1. Розв’яжіть нерівність (х+4)(х – 7) hello_html_m7c48e444.gif 3(х-7)

А

Б

В

Г

Д

(7; +)

(-1; 7)

(-1; 7) hello_html_48d46fa3.gif(7; +)

(-1; +)

(hello_html_m5c3176c7.gif(7; +)

Розв’язання. ОДЗ: х hello_html_m6559db2e.gif R. Розв’яжемо нерівність методом інтервалів:

(х+4)(х – 7) hello_html_m7c48e444.gif 3(х-7); (х+4)(х –7) - 3(х-7)hello_html_m360d6129.gif; (х –-7)(х+4 – 3) hello_html_m360d6129.gif; (х – 7)(х+1)hello_html_m360d6129.gif; х1=7, х2= -1.

C:\Users\школа\Desktop\zno-2012-II-17.png

Отже, хhello_html_m6559db2e.gif(hello_html_m5c3176c7.gif(7; +)

Відповідь. Д.

Повторити: «Нерівності з однією змінною. Способи розв’язування нерівностей»


  1. Запишіть числа 215, 410, 105 у порядку зростання.

А

Б

В

Г

Д

215, 410, 105

215, 105 ,410

105 , 215, 410,

105 , 410, 215

410, 215, 105




Розв’язання. Зведемо дані степені до однакового показника степеня. Маємо: (23)5, (42)5, 105. Звідси: 85, 165, 105. Скориставшись властивостями степеня, можемо розставити отримані числа у порядку зростання: 85, 105,165 або 215, 105 , 410 .

ІІ спосіб. За властивостями степеня 215= 210 ·25; 410= (22)10 = 220 = 215 ·25; 105 = (5·2)5 = 55·25. Оскільки 22 hello_html_m7c48e444.gif 5hello_html_m7c48e444.gif23, то 210 hello_html_m7c48e444.gif 55 hello_html_m7c48e444.gif215. Отже, 215hello_html_m7c48e444.gif 105 hello_html_m7c48e444.gif 410.

Відповідь. Б.

Повторити: «Властивості степеня. Дії зі степенями»


  1. Якщо аhello_html_m7c48e444.gif-2, то 1- hello_html_m7c48e444.gifа+2 hello_html_m7c48e444.gif =

А

Б

В

Г

Д

-а-3

-а-1

а-1

а+3

-а+3




Розв’язання. За властивостями модуля дійсного числа для аhello_html_m7c48e444.gif-2 маємо:

1- hello_html_m7c48e444.gifа+2 hello_html_m7c48e444.gif =1- (- а – 2)= 1+а +2=а+3.

Відповідь. Г.

Повторити: «Модуль дійсного числа та його властивості», «Дії з від’ємними числами».

  1. Функція hello_html_m261c8cc.gif(х) в точці хо=5 має похідну hello_html_m2601f635.gif(5)= -1. Обчисліть значення похідної функції g(х)hello_html_m59e6f0a6.gif(хх в точці хо, якщоhello_html_m261c8cc.gif(5)=3.


А

Б

В

Г

Д

ghello_html_m74384ee1.gif (х)hello_html_m7c48e444.gif-2

ghello_html_m74384ee1.gif (5)hello_html_m7c48e444.gif-1

ghello_html_m74384ee1.gif (5)hello_html_m7c48e444.gif-5

ghello_html_m74384ee1.gif (5)hello_html_m7c48e444.gif14

ghello_html_m74384ee1.gif (5)hello_html_m7c48e444.gif15




Розв’язання. Знайдемо похідну функції g(х) за формулою похідної добутку:

ghello_html_m74384ee1.gif (х)hello_html_m21ac359c.gif(ххhello_html_16e3ac74.gif=hello_html_m2601f635.gif(хх + hello_html_m261c8cc.gif(х). Тоді при хо=5 маємо:

ghello_html_m74384ee1.gif (хо)hello_html_6e5da59a.gif=hello_html_m2601f635.gif(5) ·5 + hello_html_m261c8cc.gif(5) = -1·5 + 3 = -5+3 = -2.

Відповідь. А.

Повторити: «Означення похідної в точці. Правила знаходження похідної суми, добутку, частки двох функцій».


  1. До кожного виразу (1-4) доберіть тотожно рівний йому вираз (А-Д).

1 (а - 8) (а + 8)

А а2- 16а + 64

2 (а - 8)2

Б а2- 64

3 (а – 4) ( а2 + 4а + 16)

В а2- 20а + 64

4 (а – 4) (а – 16)

Г а3 + 64


Д а3- 64

Розв’язання. Скористаємось формулами скороченого множення та правилом множення многочленів:


1 (а - 8) (а + 8) = а2- 64 Б

2 (а - 8)2 = а2- 16а + 64 А

3 (а – 4) ( а2 + 4а + 16) = а3- 64 Д

4 (а – 4) (а – 16) = а2- 20а + 64 В

Відповідь.


А

Б

В

Г

Д


Х




Х









Х



Х









Повторити: «Формули скороченого множення», «Множення многочленів».


  1. Розв’яжіть рівняння (1-4). Установіть відповідність між кожним рівнянням та твердженням (А-Д), що є правильним для цього рівняння.

Рівняння

Твердження

1 х + hello_html_6b2fd1c.gif = 0

А коренем рівняння є ірраціональне число

2hello_html_m328abec3.gif=hello_html_5909bbae.gif

Б коренем рівняння є число 16

3hello_html_m34792c1c.gif = 4

В рівняння не має коренів

4 hello_html_m13ba83d0.gif = 0

Г рівняння має два корені


Д корінь рівняння належить відрізку hello_html_770e46a6.gif


Розв’язання.

1 х + hello_html_6b2fd1c.gif = 0

А коренем рівняння є ірраціональне число, оскільки hello_html_6b2fd1c.gif- ірраціональне число.

2hello_html_m328abec3.gif=hello_html_5909bbae.gif

В рівняння не має коренів, бо -1hello_html_m54ea4251.gif hello_html_34741eb7.gif1, а hello_html_5909bbae.gif hello_html_d477b9.gif

3hello_html_m34792c1c.gif = 4

Б коренем рівняння є число 16 ( за означенням кореня квадратного із числа х=42)

4 hello_html_m13ba83d0.gif = 0

Д корінь рівняння належить відрізку hello_html_770e46a6.gif. Дріб дорівнює нулю, якщо чисельник дорівнює нулю, а знаменник – не дорівнює. Маємо х=1 та х hello_html_m2bc03806.gif -7, а 1hello_html_m6559db2e.gif hello_html_770e46a6.gif


Відповідь.


А

Б

В

Г

Д

Х







Х




Х








Х



Повторити: «Лінійні, раціональні, ірраціональні, тригонометричні рівняння, корінь рівняння».


23. На рисунку зображено куб АВСDA1B1C1D1. Установіть відповідність між парою прямих та їхнім взаємним розміщенням.

Пара прямих

Взаємне розміщення

hello_html_m25c659f9.gif

1 AC і CC1

А прямі паралельні

2 AB1 і CD1

Б прямі мимобіжні

3 AC і CD1

4 AB1 і C1D

В прямі перетинаються і

утворюють прямий кут

Г прямі перетинаються і

утворюють кут 45о

Д прямі перетинаються і

утворюють кут 60о



Розв’язання.

  1. Прямі АС і СС1 мають спільну точку С, отже, вони перетинаються. Пряма СС1 перпендикулярна до площини АВСД, отже, і до прямої АС, що лежить в цій площині, тому прямі АС і СС1 утворюють прямий кут.

  2. Прямі АВ1 і CD1 мимобіжні (лежать в різних площинах, не перетинаються і не паралельні).

  3. Трикутник АСD1 рівносторонній з рівними кутами (АС = СD1= АD1 як діагоналі граней квадрата). Прямі АС і СD1 перетинаються в точці С і утворюють кут 60о.

  4. Прямі AB1 і C1D паралельні (суміщаються паралельним перенесенням).



Відповідь.


А

Б

В

Г

Д



Х




Х








Х

Х






Повторити: «Прямі і площини у просторі. Взаємне розміщення прямих у просторі, прямої і площини у просторі, площин у просторі».

  1. На рисунку зображено графік функції у = hello_html_m261c8cc.gif(х), спадної на проміжку (-; +). Установіть відповідність між функцією (1-4) та точкою перетину її графіка з віссю Ох (А-Д).

Функція

Точка перетину

hello_html_2dd7ffbb.gif

1 у = hello_html_m261c8cc.gif(х+2)

А (0;0)

2 у = hello_html_m261c8cc.gif(х-2)

Б (2;0)

3 у = 2hello_html_m261c8cc.gif(х)

В (4;0)

4 у = hello_html_m261c8cc.gif(х) - 2

Г (6;0)


Д (8;0)

Розв’язання. Точка перетину графіка функції у = hello_html_m261c8cc.gif(х) з віссю Ох – (4;0), з віссю Оу – (0;2).

  1. Графік функції у = hello_html_m261c8cc.gif(х+2) отримуємо з графіка функції у = hello_html_m261c8cc.gif(х), змістивши її вліво по осі Ох. Точка перетину – (2;0).

  2. Графік функції у = hello_html_m261c8cc.gif(х-2) отримуємо з графіка функції у = hello_html_m261c8cc.gif(х), змістивши її вправо по осі Ох. Точка перетину – (6;0).

  3. Графік функції у = 2hello_html_m261c8cc.gif(х) отримуємо з графіка функції у = hello_html_m261c8cc.gif(х), розтягнувши його вдвічі вздовж осі Оу. Точка перетину – (4;0).

  4. Графік функції у = hello_html_m261c8cc.gif(х) - 2 отримуємо з графіка функції у = hello_html_m261c8cc.gif(х), опустивши його вниз по осі Оу на дві одиниці. Точка перетину – (0;0).


Відповідь.


А

Б

В

Г

Д

1


Х




2




Х


3



Х



4

Х





Повторити: «Перетворення графіків функцій»


  1. Петро, Микола та Василь уранці відвідали кафе і кожен із них замовив собі на сніданок бутерброд та гарячий напій. Відомо, що Василь не п’є чорного чаю, а Микола замовив собі бутерброд з шинкою. Скориставшись таблицею, визначте, скільки грошей ( у грн.) буде коштувати Миколі, Василю і Петру разом найдешевше замовлення в цьому кафе.

І вар. Страви

Ціна, грн.


ІІ вар. Страви

Ціна, грн.

ІІІ вар. Страви

Ціна, грн.

Бутерброд із сиром

7.00


Бутерброд із сиром

7.00

Бутерброд із сиром

7.00

Бутерброд із шинкою

15.00


Бутерброд із шинкою

15.00

Бутерброд із шинкою

14.00

Бутерброд із рибою

17.00


Бутерброд із рибою

17.00

Бутерброд із рибою

17.00

Кава з молоком

13.00


Кава з молоком

13.00

Кава з молоком

13.00

Кава

12.00


Кава

12.00

Кава

12.00

Чай чорний

8.00


Чай чорний

8.00

Чай чорний

8.00

Чай зелений

9.00


Чай зелений

10.00

Чай зелений

9.00

Розв’язання. Найдешевше замовлення в кафе:

І вар.

Бутерброд із сиром

Бутерброд із шинкою

Бутерброд із рибою

Кава з молоком

Кава

Чай чорний

Чай зелений

Петро

7.00

-

-

-

-

8.00


Микола


15.00

-

-

-

8.00


Василь

7.00

-

-

-

-

-

9.00

Разом: 2·(7 +8) + 15 + 9 = 54 (грн.)


ІІ вар.

Бутерброд із сиром

Бутерброд із шинкою

Бутерброд із рибою

Кава з молоком

Кава

Чай чорний

Чай зелений

Петро

7.00

-

-

-

-

8.00


Микола


15.00

-

-

-

8.00


Василь

7.00

-

-

-

-

-

10.00

Разом: 2·(7 +8) + 15 + 10 = 55 (грн.)


ІІІ вар.

Бутерброд із сиром

Бутерброд із шинкою

Бутерброд із рибою

Кава з молоком

Кава

Чай чорний

Чай зелений

Петро

7.00

-

-

-

-

8.00


Микола


14.00

-

-

-

8.00


Василь

7.00

-

-

-

-

-

9.00

Разом: 2·(7 +8) + 14 + 9 = 53 (грн.)

Відповідь. І в. -54, ІІ в.- 55, ІІІ в.- 53

Повторити: «Числа. Вирази»


  1. Скільки всього різних двоцифрових чисел можна утворити з цифр 1, 5, 7 і 8 так, щоб у кожному числі всі цифри не повторювалися?

Розв’язання. Першу цифру двоцифрового числа можна обрати чотирма способами, другу - трьома. Всього способів: 3·4 = 12.

Відповідь. 12.


ІІ варіант. Скільки всього різних двоцифрових чисел можна утворити з цифр 1, 5, 6, 7 і 8 так, щоб у кожному числі всі цифри не повторювалися?

Розв’язання. Першу цифру двоцифрового числа можна обрати п’ятьма способами, другу – чотирма. Всього способів: 5·4 = 20.

Відповідь. 20.


ІІІ варіант. Скільки всього різних двоцифрових чисел можна утворити з цифр 1, 5, 6, 7, 8 і 9 так, щоб у кожному числі всі цифри не повторювалися?

Розв’язання. Першу цифру двоцифрового числа можна обрати шістьма способами, другу - п’ятьма. Всього способів: 6·5 = 30.

Відповідь. 30.

Повторити: «Комбінаторика. Розміщення, перестановки, комбінації».


  1. Розв’яжіть систему

hello_html_3978a6f0.gifЯкщо пара (хо; уо) є єдиним розв’язком цієї системи рівнянь, то запишіть у відповідь добуток хо· уо. Якщо пари (х1; у1) та (х2; у2) є розв’язками цієї системи рівнянь, то запишіть у відповідь найменший із добутків х1· у1 та х2 · у2.


Розв’язання. ОДЗ: {х;у}hello_html_m171b680f.gif Розв’яжемо дану нерівність способом підстановки. hello_html_m373c6242.gif hello_html_mfe2e77f.gif hello_html_m2a6e9dcd.gif

hello_html_2858ccb3.gifhello_html_6987e954.gifhello_html_m70d7d0f7.gif

При х=2 у = 3-2 = 1, при х= -10 у = 3-(-10)= 3+10=13. Маємо пари чисел (2;1) та (-10;13). Найменший з добутків - від’ємний: -10 ·13= -130.hello_html_11852162.gifВідповідь. -130.

ІІ варіант. Розв’яжіть систему

hello_html_264db57.gifЯкщо пара (хо; уо) є єдиним розв’язком цієї системи рівнянь, то запишіть у відповідь добуток хо· уо. Якщо пари (х1; у1) та (х2; у2) є розв’язками цієї системи рівнянь, то запишіть у відповідь найменший із добутків х1· у1 та х2 · у2.


Розв’язання. ОДЗ: {х;у}hello_html_m171b680f.gif Розв’яжемо дану нерівність способом підстановки. hello_html_3b822f96.gif hello_html_m71455306.gif hello_html_m53d994d.gif

hello_html_m5959a6a5.gifhello_html_m661a405e.gifhello_html_2c8f0620.gif

При х=2 у=3-2=1, при х = -9 у= 3 - (-9) = 3+9=12. Маємо пари чисел (2;1) та (-9;12). Найменший з добутків: -9 ·12= -108.hello_html_11852162.gifВідповідь. -108.


ІІІ варіант. Розв’яжіть систему

hello_html_66d73de0.gifЯкщо пара (хо; уо) є єдиним розв’язком цієї системи рівнянь, то запишіть у відповідь добуток хо· уо. Якщо пари (х1; у1) та (х2; у2) є розв’язками цієї системи рівнянь, то запишіть у відповідь найменший із добутків х1· у1 та х2 · у2.


Розв’язання. ОДЗ: {х;у}hello_html_m171b680f.gif Розв’яжемо дану нерівність способом підстановки. hello_html_m302d46df.gif hello_html_m64d87770.gif hello_html_m55837404.gif

hello_html_773ed125.gifhello_html_3e26e9.gifhello_html_4557856.gif

При х=1 у = 3-1 = 2, при х = -8 у = 3 - (-8) = 3+8 =11. Маємо пари чисел (1;2) та (-8;11). Найменший з добутків: -8 ·11 = -88.

Відповідь. -88.

Повторити: «Розв’язування систем рівнянь з двома невідомими», «Розв’язування квадратних рівнянь. Теорема Вієта».


  1. Бісектриса кута А прямокутника АВСhello_html_66e6724f.gif перетинає його більшу сторону ВС в точці М. Визначте радіус кола ( у см), описаного навколо прямокутника, якщо ВС=24 см, АМ=10hello_html_39f1b7ec.gifсм.


Розв’язання.

АВСhello_html_66e6724f.gif – даний прямокутник, АМ – бісектриса прямого кута. Тоді кут МАhello_html_66e6724f.gif дорівнює куту АМВ як внутрішні різносторонні при паралельних прямих Аhello_html_66e6724f.gif і ВС та січній АМ. Трикутник АВМ – прямокутний рівнобедрений, hello_html_m1f4ca093.png МАhello_html_66e6724f.gif = hello_html_m1f4ca093.pngАМВ =hello_html_m1f4ca093.png ВАМ = 45о. hello_html_m43e4ec08.png

АВ=ВМ = АМ соs45о= 10hello_html_39f1b7ec.gifhello_html_m41f3a28f.gif =10 (см).

Проведемо перпендикуляри з середин сторін прямокутника до протилежних сторін. Точка О перетину перпендикулярів – центр описаного кола. Розглянемо прямокутник ОКВL. В ньому ОК= 0,5 ·ВС = 12 см, КВ =0,5· АВ=5 см. З трикутника ОКВ (hello_html_m1f4ca093.pngК= 90о) за теоремою Піфагора знайдемо радіус ОВ описаного навколо прямокутника кола: ОВ2=ОК2+КВ2, ОВ= hello_html_m39e2e502.gif =hello_html_m39942004.gif =13 (см)

Відповідь. 13.


ІІ варіант. Бісектриса кута А прямокутника АВСhello_html_66e6724f.gif перетинає його більшу сторону ВС в точці М. Визначте радіус кола ( у см), описаного навколо прямокутника, якщо ВС=24 см, АМ=7hello_html_39f1b7ec.gifсм.

Розв’язання.

АВСhello_html_66e6724f.gif – даний прямокутник, АМ – бісектриса прямого кута. Тоді кут МАhello_html_66e6724f.gif дорівнює куту АМВ як внутрішні різносторонні при паралельних прямих Аhello_html_66e6724f.gif і ВС та січній АМ. Трикутник АВМ – прямокутний рівнобедрений, hello_html_m1f4ca093.png МАhello_html_66e6724f.gif = hello_html_m1f4ca093.pngАМВ =hello_html_m1f4ca093.png ВАМ = 45о. hello_html_m43e4ec08.png

АВ=ВМ = АМ соs45о= 7hello_html_39f1b7ec.gifhello_html_m41f3a28f.gif =7 (см).

Проведемо перпендикуляри з середин сторін прямокутника до протилежних сторін. Точка О перетину перпендикулярів – центр описаного кола. Розглянемо прямокутник ОКВL. В ньому ОК= 0,5 ·ВС = 12 см, КВ =0,5· АВ=3,5 см. З трикутника ОКВ (hello_html_m1f4ca093.pngК= 90о) за теоремою Піфагора знайдемо радіус ОВ описаного навколо прямокутника кола: ОВ2=ОК2+КВ2, ОВ= hello_html_m2edb2ec0.gif =hello_html_1d121776.gif =12,5 (см)

Відповідь. 12,5.


ІІ варіант. Бісектриса кута А прямокутника АВСhello_html_66e6724f.gif перетинає його більшу сторону ВС в точці М. Визначте радіус кола ( у см), описаного навколо прямокутника, якщо ВС=24 см, АМ=18hello_html_39f1b7ec.gifсм.

Розв’язання.

АВСhello_html_66e6724f.gif – даний прямокутник, АМ – бісектриса прямого кута. Тоді кут МАhello_html_66e6724f.gif дорівнює куту АМВ як внутрішні різносторонні при паралельних прямих Аhello_html_66e6724f.gif і ВС та січній АМ. Трикутник АВМ – прямокутний рівнобедрений, hello_html_m1f4ca093.png МАhello_html_66e6724f.gif = hello_html_m1f4ca093.pngАМВ =hello_html_m1f4ca093.png ВАМ = 45о. hello_html_m43e4ec08.png

АВ=ВМ = АМ соs45о= 18hello_html_39f1b7ec.gifhello_html_m41f3a28f.gif =18 (см).

Проведемо перпендикуляри з середин сторін прямокутника до протилежних сторін. Точка О перетину перпендикулярів – центр описаного кола. Розглянемо прямокутник ОКВL. В ньому ОК= 0,5 ·ВС = 12 см, КВ =0,5· АВ=9 см. З трикутника ОКВ (hello_html_m1f4ca093.pngК= 90о) за теоремою Піфагора знайдемо радіус ОВ описаного навколо прямокутника кола: ОВ2=ОК2+КВ2, ОВ= hello_html_2b9a90cb.gif =hello_html_69dd6aa7.gif =15 (см)

Відповідь. 15.

Повторити: «Прямокутник та його властивості», «Коло, описане навколо чотирикутника», «Співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника», «Теорема Піфагора».


  1. Обчисліть (hello_html_372de20.gif)2+ log2016

Розв’язання. (hello_html_372de20.gif)2+ log2016 = (hello_html_372de20.gif)2(hello_html_372de20.gif) log2016 = 20·200,5 log2016 = 20· 20 log204 = 20· 4= 80.

ІІ спосіб. (hello_html_372de20.gif)2+ log2016 = 200,5(2+ log2016) = 201+ 0,5 log2016 = 20 · 20 log204= 20· 4 = 80.

Відповідь. 80.

ІІ варіант. Обчисліть (hello_html_372de20.gif)2+ log209

Розв’язання. (hello_html_372de20.gif)2+ log209 = (hello_html_372de20.gif)2(hello_html_372de20.gif) log209 = 20· 200,5 log209 = 20· 20 log203 = 20· 3 = 60.

Відповідь. 60.

ІІІ варіант. Обчисліть (hello_html_372de20.gif)2+ log2025

Розв’язання. (hello_html_372de20.gif)2+ log2025 = (hello_html_372de20.gif)2(hello_html_372de20.gif) log2025 = 20· 200,5 log2025 = 20· 20 log205 = 20· 5 = 100.

Відповідь. 100.

Повторити: «Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їхні перетворення. Означення та властивості логарифма, десятковий і натуральний логарифми».


  1. Обчисліть hello_html_6e9c583b.gif, використовуючи зображений на рисунку графік лінійної функції

у = hello_html_m2d31b3ff.gif

Розв’язання. Визначений інтеграл застосовується для обчислення площ криволінійних трапецій. Дана криволінійна трапеція - фігура, обмежена зверху графіком лінійної функції у = hello_html_213eee80.gif зліва і справа – прямими х = 0 та х = 7, знизу – прямою у = 0. Оскільки межі інтегрування - від 0 до 7, то, користуючись рисунком, знайдемо площу hello_html_m717d20c4.gifтрапеції з основами а = 8 і в = 3 та висотою h = 7: hello_html_m1d830ede.gif

hello_html_m717d20c4.gif = hello_html_5df04366.gif h = hello_html_m5d6234c2.gif·7 = hello_html_1e9bd21d.gif·7 = 5,5 · 7 = 38,5.

ІІ спосіб. Інтеграл дорівнює різниці площ прямокутника і його частини - трикутника. Площа S1 прямокутника: S1= 78=56. Площа S2 трикутника: S2 = hello_html_6eec8aff.gif57=17,5. Тоді інтеграл :

hello_html_6e9c583b.gif= S1 - S2 =56 – 17,5 = 38,5.

Відповідь. 38,5.

ІІ варіант. Обчисліть hello_html_m6910ecc3.gif, використовуючи зображений на рисунку графік лінійної функції у = hello_html_m2d31b3ff.gif


Розв’язання. Визначений інтеграл застосовується для обчислення площ криволінійних трапецій. Дана криволінійна трапеція - фігура, обмежена зверху графіком лінійної функції у = hello_html_213eee80.gif зліва і справа – прямими х = 0 та х = 9, знизу – прямою у = 0. Оскільки межі інтегрування - від 0 до 9, то, користуючись рисунком, знайдемо площу hello_html_m717d20c4.gifтрапеції з основами а = 8 і в = 3 та висотою h = 5: hello_html_m1d830ede.gif

hello_html_m717d20c4.gif = hello_html_5df04366.gif h = hello_html_m5d6234c2.gif·9 = hello_html_1e9bd21d.gif·9 = 5,5 · 9 = 49,5.

Відповідь. 49,5.

ІІІ варіант. Обчисліть hello_html_e2a41fa.gif, використовуючи зображений на рисунку графік лінійної функції у = hello_html_m2d31b3ff.gif

Розв’язання. Визначений інтеграл застосовується для обчислення площ криволінійних трапецій. Дана криволінійна трапеція - фігура, обмежена зверху графіком лінійної функції у = hello_html_213eee80.gif зліва і справа – прямими х = 0 та х = 5, знизу – прямою у = 0. Оскільки межі інтегрування - від 0 до 5, то, користуючись рисунком, знайдемо площу hello_html_m717d20c4.gifтрапеції з основами а = 8 і в = 3 та висотою h = 5: hello_html_m1d830ede.gif

hello_html_m717d20c4.gif= hello_html_5df04366.gif h = hello_html_m5d6234c2.gif·5 = hello_html_1e9bd21d.gif·5 = 5,5 · 5 = 27,5.

Відповідь. 27,5.

Повторити: «Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ криволінійних трапецій».


  1. Основою прямої трикутної призми АВСА1В1С1 є рівнобедрений трикутник АВС, де АВ=ВС= 25 см, АС = 30 см. Через бічне ребро АА1 призми проведено площину, перпендикулярну до ребра ВС. Визначте об’єм призми ( у см3), якщо площа утвореного перерізу дорівнює 72 см2.

Розв’язання. Проведемо АКhello_html_m8262b6d.png ВС і А1К1hello_html_m8262b6d.pngВ1С1. АКК1А1 даний переріз. Об’єм призми дорівнює добутку площі її основи на висоту. Для даної задачі: V=SH = SАВС АА1= hello_html_6eec8aff.gif ВС АК АА1 . АК – висота трикутника АВС і сторона прямокутника перерізу. Площа прямокутника АКК1А1 : hello_html_4496da70.png

SАКК1 = АА1 АК. Тоді V= hello_html_6eec8aff.gif ВС SАКК1. За умовою SАКК1 =72 см2,, ВС = 25 см. Маємо: V = hello_html_6eec8aff.gif 25 ⋅ 72 = 25 ⋅ 36 = 900 (см3).

Відповідь. 900.


ІІ варіант. Основою прямої трикутної призми АВСА1В1С1 є рівнобедрений трикутник АВС, де АВ=ВС= 25 см, АС = 30 см. Через бічне ребро АА1 призми проведено площину, перпендикулярну до ребра ВС. Визначте об’єм призми ( у см3), якщо площа утвореного перерізу дорівнює 96 см.3

Розв’язання. Проведемо АКhello_html_m8262b6d.png ВС і А1К1hello_html_m8262b6d.pngВ1С1. АКК1А1 даний переріз. Об’єм призми дорівнює добутку площі її основи на висоту. Для даної задачі: V=SH = SАВС АА1= hello_html_6eec8aff.gif ВС АК АА1 . АК – висота трикутника АВС і сторона прямокутника перерізу. Площа прямокутника АКК1А1 :

SАКК1 = АА1 АК. Тоді V= hello_html_6eec8aff.gif ВС SАКК1. За умовою SАКК1 = 96 см2,, ВС = 25 см.

Маємо: V = hello_html_6eec8aff.gif 25 ⋅ 96 = 25 ⋅ 48 = 1200 (см3).

Відповідь. 1200.


ІІІ варіант. Основою прямої трикутної призми АВСА1В1С1 є рівнобедрений трикутник АВС, де АВ=ВС= 25 см, АС = 30 см. Через бічне ребро АА1 призми проведено площину, перпендикулярну до ребра ВС. Визначте об’єм призми ( у см3), якщо площа утвореного перерізу дорівнює 48 см.3

Розв’язання. Проведемо АКhello_html_m8262b6d.png ВС і А1К1hello_html_m8262b6d.pngВ1С1. АКК1А1 даний переріз. Об’єм призми дорівнює добутку площі її основи на висоту. Для даної задачі: V=SH = SАВС АА1= hello_html_6eec8aff.gif ВС АК АА1 . АК – висота трикутника АВС і сторона прямокутника перерізу. Площа прямокутника АКК1А1 :

SАКК1 = АА1 АК. Тоді V= hello_html_6eec8aff.gif ВС SАКК1. За умовою SАКК1 = 48 см2,, ВС = 25 см.

Маємо: V = hello_html_6eec8aff.gif 25 ⋅ 48= 25 ⋅ 24 = 600 (см3).

Відповідь. 600.

Повторити: «Многогранники, тіла і поверхні обертання. Перерізи многогранників та тіл обертання площиною».



  1. При якому найменшому значенні а рівняння

hello_html_5a53b02.gif+ (14 – 2а) · hello_html_351f3d5d.gif + 32 = 6а має хоча б один корінь?

Розв’язання. ОДЗ: hello_html_m29da6390.gif hello_html_m4fc9174b.gif hello_html_537db38e.gif

Виконаємо рівносильні перетворення:hello_html_5a53b02.gif + (14 – 2а) · hello_html_351f3d5d.gif + 32 = 6а;

hello_html_645b4f8e.gifhello_html_6e8c7f5d.gifдля будь-яких значень х, як сума додатних чисел. Маємо:hello_html_m93d5df7.gif

hello_html_m652d4d30.gifВведемо нову змінну: hello_html_351f3d5d.gif= t, thello_html_1f36da72.gif 0. Маємо:

t2hello_html_m55e5536c.gif thello_html_m250a8eb5.gif; дискримінант

D = hello_html_1b67215d.gif 2 - 4hello_html_m2d9e9130.gif = 196 - 56а + 4а2- 132 +24а = 4а2 – 32а + 64 = 4 (а2 – 8а + 16) =

= 4 (а – 4) 2hello_html_1f36da72.gif 0 для будь-яких значень а. hello_html_6df9428c.gif = hello_html_35dda275.gif = 2 hello_html_m3a75689d.gif.

Рівняння має хоча б один корінь, якщо дискримінант невід’ємний.

  1. D = 0, 4 (а – 4) 2=0 при а = 4, тоді t = hello_html_m102c5fa6.gif: 2 = а – 7 = 4 -7 = - 3 hello_html_m7c48e444.gif 0 – сторонній корінь.

  2. D hello_html_m1b8a79e4.gif 4 (а – 4) 2hello_html_11852162.gif hello_html_m7c48e444.gif 0, аhello_html_m2bc03806.gif 4; t1,2 = (а – 7) hello_html_m7f2fa074.gif. При а hello_html_m7c48e444.gif 4 t1 = а – 7 + а – 4 = 2а – 11,

t2 = а – 7 - .а + 4 = -3 – сторонній корінь.

При а hello_html_m7c48e444.gif 4 t1 = а – 7 + 4 – а = -3 – сторонній корінь, t2 = а – 7 – 4 + а = 2а - 11.

Отже, t = 2a 11 0 при a5.5. Звідси найменше значення а = 5,5. При а = 5,5 х=3, що задовольняє ОДЗ.

Відповідь. 5,5.


ІІ варіант. При якому найменшому значенні а рівняння

hello_html_5a53b02.gif+ (15 – 2а) · hello_html_351f3d5d.gif + 25 = 4а має хоча б один корінь?

Розв’язання. ОДЗ: hello_html_m29da6390.gif hello_html_m4fc9174b.gif hello_html_537db38e.gif

Виконаємо рівносильні перетворення:hello_html_5a53b02.gif + (15 – 2а) · hello_html_351f3d5d.gif + 25 = 4а;

hello_html_m6935f168.gifhello_html_6e8c7f5d.gifдля будь-яких значень х, як сума додатних чисел. Маємо:hello_html_m6a19e7bb.gif

hello_html_m40f3e745.gifВведемо нову змінну: hello_html_351f3d5d.gif= t, thello_html_1f36da72.gif 0. Маємо:

t2hello_html_m2f2fc245.gif thello_html_m7b6bf128.gif; дискримінант

D = hello_html_m48bc2342.gif 2 - 4hello_html_m4ab00572.gif = 225 - 60а + 4а2- 104 +16а = 4а2 – 44а + 121 = (2а – 11) 2hello_html_1f36da72.gif 0 для будь-яких значень а. hello_html_6df9428c.gif = hello_html_6cf8e5e1.gif = hello_html_m4b03ab6.gif.

Рівняння має хоча б один корінь, якщо дискримінант невід’ємний.

  1. D = 0, hello_html_m513d6bbd.gif = 0 при а = 5,5, тоді t = hello_html_m4bd3afef.gif: 2 = а – 7,5 = 5,5 -7,5 = - 2 hello_html_m7c48e444.gif 0 – сторонній корінь.

  2. D hello_html_m1b8a79e4.gif hello_html_m513d6bbd.gif hello_html_m7c48e444.gif 0, аhello_html_m2bc03806.gif 5,5; t1,2 = (а – 7,5) hello_html_m30962496.gif.

При а hello_html_m7c48e444.gif 5,5 t1 = а – 7,5 + а – 5,5 = 2а – 13, t2 = а – 7,5 - .а + 5,5 = -2 – сторонній корінь.

При а hello_html_m7c48e444.gif 5,5 t1 = а – 7,5 + 5,5 – а = -2 – сторонній корінь, t2 = а – 7,5 – 5,5 + а = 2а - 13.

Отже, t = 2a 13 0 при a 6,5. Звідси найменше значення а = 6,5. При а = 6,5 х=3, що задовольняє ОДЗ.


Відповідь. 6,5.


ІІІ варіант. При якому найменшому значенні а рівняння

hello_html_5a53b02.gif+ (13 – 2а) · hello_html_351f3d5d.gif + 35 = 8а має хоча б один корінь?

Розв’язання. ОДЗ: hello_html_m29da6390.gif hello_html_m4fc9174b.gif hello_html_537db38e.gif

Виконаємо рівносильні перетворення:hello_html_5a53b02.gif + (13 – 2а) · hello_html_351f3d5d.gif + 35 = 8а;

hello_html_66b892ce.gifhello_html_6e8c7f5d.gifдля будь-яких значень х, як сума додатних чисел. Маємо:hello_html_5dd24c92.gif

hello_html_m6a65c81c.gifВведемо нову змінну: hello_html_351f3d5d.gif= t, thello_html_1f36da72.gif 0. Маємо:

t2hello_html_m41fa7099.gif thello_html_1f439fec.gif; дискримінант

D = hello_html_102d436.gif 2 - 4hello_html_m2a10b175.gif = 169 - 52а + 4а2- 144 +32а = 4а2 – 20а + 25 = (2а – 5) 2hello_html_1f36da72.gif 0 для будь-яких значень а. hello_html_6df9428c.gif = hello_html_f79e96a.gif = hello_html_m73873960.gif.

Рівняння має хоча б один корінь, якщо дискримінант невід’ємний.

  1. D = 0, hello_html_m2df5ac2a.gif = 0 при а = 2,5, тоді t = hello_html_m1e9df958.gif: 2 = а – 6,5 = 2,5 - 6,5 = - 4 hello_html_m7c48e444.gif 0 – сторонній корінь.

  2. D hello_html_m1b8a79e4.gif hello_html_m2df5ac2a.gif hello_html_m7c48e444.gif 0, аhello_html_m2bc03806.gif 2,5; t1,2 = (а – 6,5) hello_html_m66ebceee.gif.

При а hello_html_m7c48e444.gif 2,5 t1 = а – 6,5 + а – 2,5 = 2а – 9, t2 = а – 6,5 - .а + 2,5 = -4 – сторонній корінь.

При а hello_html_m7c48e444.gif 2,5 t1 = а – 6,5 + 2,5 – а = -4 – сторонній корінь, t2 = а – 6,5 – 2,5 + а = 2а - 9.

Отже, t = 2a 9 0 при a 4,5. Звідси найменше значення а = 4,5. При а = 4,5 х=3, що задовольняє ОДЗ.

Відповідь. 4,5.

Повторити: «Ірраціональні рівняння», «Формули скороченого множення», «Квадратні рівняння».



Торохтій Л.І., Барвінківська ЗОШ І-ІІІ ст. №3

PS. Буду вдячна за зауваження.

Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Краткое описание документа:

В материале представлены условия и решения всех заданий второй сессии ЗНО (ВНО) по математике 2012 года в формате Word, удобном для скачивания и использования на уроках, в презентациях. Будет полезным для преподавателей и учеников старших классов при подготовке к экзаменам, олимпиадам. На украинском языке.

Автор
Дата добавления 02.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Тесты
Просмотров538
Номер материала ДВ-115220
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх