Исследовательская работа

по математике

«Инь – Ян»

Выполнили:

Учащиеся 11 «А» класса

Холмогорова Марина и Рева Екатерина

Руководитель:

Учитель математики

Коваленко Светлана Владимировна

Гурьевск, 2014 г.

Оглавление

 Введение………………………………………………………………….….3                                                                                         

 Глава 1                                                                          

            1.1. Движение………………….………...…………………………...4                                 

            1.2. Углы и счет…………………………...……….………………....5                               

            1.3. Фигуры и графики………………………………………………7 

 Глава 2

             2.1. Танец планет и математика …………………………………..11

             2.2. Геометрия танца……………………………….………………12

            2.3  Алгоритм, как составляющая часть математики и танца…...14

Заключение………………………………………………………………….16

Список литературы…………………………………………………………18

Введение

Там где красота, там действуют законы математики.

Г. Х. Харди

Символом Инь-Ян выражается сущность материи, сущность всего живого, которая, по древнекитайским воззрениям, заключалась в единстве противоположностей, в симметрии взаимодополняющих начал. Наука и искусство - два основных начала в человеческой культуре, две дополняющие друг друга формы творческой деятельности человека.

С самого рождения нас окружает мир точных расчетов. Мы настолько сроднились с математикой, что попросту не замечаем ее. Первоначальное значение слова "математика" (от греч. mathema - знание, наука , в частности,  на латыни ars mathematica, означает искусство математики) не утрачено и сегодня, она остается  символом мудрости, царицей всех наук. Красота математики среди наук очень велика, а красота является одним из связующих звеньев науки и искусства. Из многих искусств, с которыми взаимодействует математика, мы решили выбрать хореографию. Мудрый и красивый символ Инь-Ян, составленный из самых совершенных, как считали древние, линий - окружностей, стал символом нашей работы, в которой речь пойдет о математике и танце.

 С самых древнейших веков в жизни человека присутствует танец. У первобытных людей любовь, труд и обряд воплощаются в танцевальных движениях. Каждый из нас хоть однажды танцевал или смотрел на исполнение танца. Какое это завораживающее зрелище! Часто говорят: "Танец — это тайный язык души". Но ведь никто не задумывался, сколько в этом тайном языке математики!

Актуальность:

Математические задачи развивают мышление, логику, комплекс аналитических умений: умение группировать предметы, раскрывать закономерности, определять связи между явлениями, принимать решения.

Так же доказано, что танцы  благотворно влияют не только на физическую форму, но и на умственные способности, пространственное воображение. Таким образом, разумное совмещение занятий танцами и математикой позволяют развивать умственные способности

Цель исследования:

Найти точки соприкосновения математики и хореографии на примере изучения танцев, основанных на построении геометрических фигур и танцевальных движений с точки зрения математической точности.

Задачи:

1.     Изучить танцевальные движения и связать их с математическими определениями

2.     Изучить танцы, основой которых являются геометрические построения.

3.     Проанализировать связь танца с математикой;

4.     Показать применение полученных знаний в хореографии.

Гипотеза: 

Наука математика и танец – две формы деятельности человека, которые имеют прочную связь, используемую на практике

Апробация:

          Ознакомление учеников «с миром математики вокруг нас»  во внеклассных мероприятиях  и при проведении предметных недель. Использование изученной техники «танца рук» в качестве разминки на уроках.

Глава 1.

1.1 Движение

Движения - это изменение плоскости, при котором сохраняются размеры и форма объектов. Примерами движений служат симметрия, вращение и параллельный перенос. Такие геометрические движения можно найти во многих танцевальных постановках, особенно если танец построен на синхронном выполнении движений.       

Симметрия является фундаментальным свойством природы. В древности слово «симметрия» употреблялось в значении «гармония», «красота». Существует осевая и центральная симметрии. Центральная симметрия- это отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М1 относительного данного центра. Осевая симметрия - отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку относительно данной оси.  Симметрия в танце – это спокойный, невозмутимый, логичный и простой элемент хореографии. Принцип симметрии прослеживается во множестве ранних балетов, где танцоры в одинаковом количестве выстраивались в линии и формировали на сцене однородную структуру, имеющую центр и (или) ось симметрии. Также симметрией называется ситуация, при которой все танцоры одновременно исполняют одно и то же движение.  Симметрию составляют уравновешенное расположение тела танцора, местонахождение тела танцора в пространстве. Например, балерина заканчивает свой номер искромётным фуэте, когда она вращается на одной ножке определенное количество раз. Именно повторяемость этих движений (ножка многократно  описывает окружность, имеющую множество осей симметрии -диаметров и центр симметрии) определяет их эстетический эффект.

Параллель в математике - прямая, не пересекающая другой прямой, лежащей с ней в одной плоскости. В танцах по многих позициях и элементах присутствуют параллели. Например : grand plie - полное сгибание коленей до тех пор, пока бёдра не будут параллельны полу.

Поворо́т (враще́ние) — движение, при котором по крайней мере одна точка плоскости (пространства) остаётся неподвижной

Фуэте - это ряд последовательных вращений на месте, во время исполнения которых нога при каждом повороте открывается на 45 градусов.

В лебедином озере есть момент где нужно исполнить ровно 32 фуэте.( самый конец па-де-де Одиллии и Принца, максимальное количество фуэте – 32 штуки, по количеству музыкальных тактов. ) Первой русской балериной, показавшей свои 32 фуэте почтеннейшей публике, была главная звезда Мариинки Матильда Кшесинская.                          

1.2 Углы и счет

Градусные меры

Градусные меры  имеют прямое отношения к балету. Многие движения, связанные с поднятием ноги измеряются в градусах. Конечно же, балерина не должна поднимать ногу на точное количество градусов, о них говорят примерно, чтобы у балерин было понятие – в каких движениях насколько поднимается нога.
 А ля згонд - поза в которой нога через 2-ую позицию поднята в сторону выше 90 градусов.

Арабеск (от фр. arabesque) — поза, когда опорная нога танцовщика стоит либо на полной стопе, либо на полупальцах, либо на пуантах, а рабочая нога поднята с вытянутым коленом на 30, 45, 90 или 120 градусов

Тур  — оборот тела вокруг вертикальной оси на 360 градусов.

Амбуате -  прыжок с поочерёдным выбрасыванием вперёд или назад согнутых в коленях ног на 45° или 90°.

Пируэт – оборот на 360 градусов на одной ноге

Счет

Счет – немаловажное понятие, без которого трудно разобрать танец на составные части. Чтобы просчитать музыку, нужно услышать ритм. Легче всего это сделать, слушая ударные инструменты. Существуют и более точные способы разбить музыку на квадраты (четыре счета) и восьмерки. Но чтобы танцевать «в такт» не обязательно получать академическое музыкальное образование, достаточно следовать ритму.

Мы видим танец, как читатель видит произведение, проникая в его смысл, но, не всегда задумываясь о том, что стоит за искусством. А ведь рождение красоты – процесс всегда сложный, трудоёмкий, задействующий предельные возможности человека. То же можно сказать и о бальных танцах: внешняя невесомость даётся непросто, и порой единственный путь для танцоров к звёздам пролегает через те еще тернии. К примеру, если говорить о ча-ча-ча, то при оценке здесь во внимание принимаются такие показатели, как постановка стопы на удар на счёт 1,2,3,4, и, время, которое требуется на исполнение шага, измеряемое в долях секунды, и т.д. В каждом танце важен счёт, а считать мы учимся только с помощью математики. Когда вы слышите музыку, вы должны правильно рассчитывать свои движения, чтобы попадать в ритм. Именно здесь вам и пригодится математика, правильный подсчет улучшит ваше понимание танца, а сбиваться вы перестанете когда поймете счет танца.

                                                1.3 Фигуры и графики

Фигура в танце — положение, позиция, принимаемая кем-либо при исполнении чего-нибудь в движении; часть танца; в бальном танце и балете — сочетание нескольких танцевальных шагов (па), связанных между собой и расположенных на известное количество тактов музыки.

В танце строятся  разнообразные геометрические  фигуры. Рисунок танца – это расположение и перемещение танцующих по сценической площадке. Например, хоровод – это круг. В хороводе часто можно встретить двойной круг-круг в круге. Иногда танцующие образуют два круга рядом, а иногда эти круги как бы переливаются один в другой и движение их образует рисунок «восьмерка».  Но движение хоровода не ограничивается круговым рисунком. Круг разрывается, образуются новые построения, новые рисунки – зигзаги, линии и т.д. Эти определенные построения называются фигурами хоровода и являются  его составной частью.

Танец

Вальс

Самба

Ча-ча-ча, румба

Венский, квикстеп

        Создать красивый танец невозможно без графиков математических функций. Красивый танец - это красивый график. Если  проанализировать базовую балетную позицию, когда руки находятся над головой, можно заметить, что в ней заложены две кривые – одна справа, другая слева.  Использование балетной позицию эпольман (epaulement), являющейся высшим достижением великих балетных танцовщиков порождает огромное количество противовращений, определенных взаимоотношениями между ногами, руками, головой и даже глазами.  В каждом танцевальном движении можно найти график одной из математических функций

Глава 2

2.1 Танец планет и математика

   Известны британский физиолог и исследователь искусства Х. Эллис считает, что мы совершенно правы, когда рассматриваем не только жизнь, но и всю Вселенную  как танец. Для него танец – это то, что повторяется. Земля  описывает вокруг Солнца орбиту -  это танец. Солнце танцует во Вселенной. Все танцует. И танец и космос действию единых законов жизни во Вселенной.

Планеты в небе двигаются в изящных орбитальных моделях, танцуя под Музыку Космоса. В этих движениях существует больше математической и геометрической гармонии, чем мы думаем.

Возьмите орбиты любых двух планет, и проведите линию между двумя положениями планеты за каждые несколько дней. Поскольку планета, двигающаяся по внутренней орбите, двигается более быстро, чем двигающаяся по внешней орбите, то образуются интересные модели. Каждая планетарная пара имеет свой собственный уникальный ритм танца. Например, танец Земли и Венеры возвращается к первоначальному положению после восьми земных лет. Восемь земных лет равняется тринадцати годам Венеры. Обратите внимание, что 8 и 13 являются числами ряда Фибоначчи.

Земля: 8 лет * 365.256 дней в году = 2 922.05 дня

Венера: 13 лет * 224.701 дня в году = 2 921.11 дня

Наблюдение за танцем Земли и Венеры в течение восьми лет создает этот красивый цветок с пятью лепестками и Солнцем в центре. (5 является другим числом Фибоначчи.)

2.2 Геометрия Танца

В современном мире появился танец, получивший название «Технология Импровизации». Работая в данной технике, танцор рисует в воздухе воображаемые фигуры, а затем протаскивает свои конечности через эту сложную и невидимую геометрию. Чтобы сделать эту геометрию видимой используют  компьютерную анимацию, наложенную на видеозапись движений. Сначала танцоры  представляют линии в пространстве, которые могли бы изгибаться, идти волнами или деформироваться другими способами. Двигаясь от точки к линии, затем к плоскости, затем к объему, они визуализируют геометрическое пространство, составленное из отдельных точек с огромным количеством взаимных связей. Так как эти точки находятся внутри тела танцовщика, никакого относительного перемещения не требуется. В качестве основы для танца используются  очертания, которые напоминают клубки фигур парящих в воздухе, подвешенных и спутанных в небе. Из их конечностей, голов,  плечей , рук, запястий, коленей рисуются довольно сложные векторы: исходя из этих сложных, завязанных узлом, головоломкоподобных конфигураций танцовщики должны  «разрешить» их путем распутывания через векторные траектории. Каждая отдельная страница становилась ключевым кадром. Используя векторы, танцовщики должны были изобретать переходы из одного кадра в другой.

Так же одним из примеров использование геометрии в хореографии является  «Фингер Тат»  (Finger Tutting)- танец, суть которого заключается в построении геометрических фигур при помощи пальцев рук (Именно это направление в танцах, мы использовали в качестве разминки на уроках математики).

Две описанные техники танца, к сожалению, не имеют широкого распространения в мире, но зато  так называемый «Танец – квадрат» очень популярен и известен всему миру.  Сквер-данс возник в давние времена в Ирландии, а широкое распространение получил после Первой Мировой войны. Задача танцующих построить на танцполе «квадрат», поэтому танцующих пар должно быть как минимум восемь. Танец исполняется под четким контролем коллера (от английского «call» — звать, называть), который дает команды на английском языке. Он называет фигуры, которые должны выполнять партнёры по танцу. Количество фигур варьируется от 69 до 300. Со стороны танец напоминает замысловатую шахматную комбинацию. Бывает, что сквер-данс танцуют сразу 350 «восьмерок». Профессиональные танцоры исполняют сквер-данс в специальных для этого костюмах. Атрибут женского костюма — пышная юбка в традициях 19 века. Главный аксессуар мужчин — галстук в традициях техасских ковбоев. Еще один распростораннеый танец так или иначе связанный с геометрией – это «Кинг Тат» (King Tut) — танец, суть которого заключается в построении геометрических фигур при помощи рук и кистей. Данный стиль танца пришел из древнего Египта, ведь именно прямые углы фигур, собранные с многочисленных настенных рисунков пирамид, легли в основу движений данного танцевального направления. В основном кинг-тат задействует руки танцора и сгибание кисти под прямым углом, как это указано на настенных рисунках. Точное возникновение кинг-тата сегодня проследить невозможно, во многих восточных танцах прослеживаются его движения, однако их происхождение различно. Данный стиль стал активно развиваться только в начале восьмидесятых, когда мир впервые увидел серию мультфильмов про приключения кролика Багза Банни. Именно этот веселый зверек сходу выдал несколько движений с завернутыми в углы конечностями, которые и стали вдохновением для первых танцоров кинг-тат Boogaloo Shrimp и Animation. Естественно, эти танцоры копировали движения не только мультяшного кролика, но и рисунки египетских пирамид.

2.3 Алгоритм, как составляющая часть математики и танца.

         В повседневной жизни каждый человек сталкивается с необходимостью решения задач самой разной сложности. Некоторые из них трудны и требуют длительных размышлений для поиска решений, другие же, напротив, столь просты и привычны, что решаются автоматически. При этом выполнение даже самой простой задачи осуществляется в несколько последовательных этапов (шагов). В виде последовательности шагов можно описать процесс решения многих задач, известных из школьного курса математики: приведение дробей к общему знаменателю, решение системы линейных уравнений путем последовательного исключения неизвестных, построение треугольника по трем сторонам с помощью циркуля и линейки и т.д.

Как бы это не казалось странным, но танец можно рассмотреть не только, как последовательность связанных между собой движений,  но и как алгоритм, используемый при программировании. «Технология импровизации», о которой было сказано выше,  была создана на основе рекурсивных алгоритмов. Тем не менее это были фиксированные вариации, которые создавались через долгий и болезненный процесс, что совсем не похоже на компьютерное программирование, где каждый шаг может быть повторен до бесконечности. Задача постановки – создать другую, меньшую сцену внутри настоящей сцены. Это радикальное изменение масштаба, все действо неожиданно переносится на сцену размером в одну восьмую исходной – драматичное сжатие.       Исполнение– как передвижение с уровня на уровень в компьютере. Вы не можете напрямую перейти из начальной точки в конечную, вам нужно сначала опуститься на более низкий уровень, так сказать, и затем через последовательность перемещений снова подняться наверх.

А в одном из университетов Румынии были сняты несколько обучающих роликов об алгоритмах. В качестве основы  использованы народные танцы. Эти видеоролики посвящены разным видам сортировки массивов.

Рекурсивные алгоритмы в математике можно рассмотреть на примере снежинки Коха. Эта фигура — один из первых исследованных учеными фракталов. Она получается из трех копий кривой Коха, которая впервые появилась в статье шведского математика Хельге фон Коха в 1904 году. Эта кривая была придумана как пример непрерывной линии, к которой нельзя провести касательную ни в одной точке. Она непрерывна, но нигде не дифференцируема, имеет бесконечную длину, ограничивает конечную площадь и это при том, что ее периметр бесконечен.  Процесс построения кривой Коха выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломанная, состоящая из четырёх звеньев. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев. Предельная кривая и есть кривой Коха. Три копии кривой Коха, расположенные на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую, называемую снежинкой Коха.

Заключение

В рамках исследования была выявлена математическая составляющая танца. Танец содержит фигуры, дроби, пропорции. Еще один факт, подтверждающий связь танца и математики, - это использование общих терминов: линии, диагонали, в рисунке танца могут располагаться параллельно или перпендикулярно, симметрично или асимметрично. Кроме видимых геометрических фигур и алгебраических форм у танцующего всегда присутствует ощущение равновесия, центра, то есть танцор находится в системе координат. За танцевальной пластикой можно увидеть не только создание поз, геометрических фигур, рисунка, но и точный математический расчет силы прыжка, количество поворотов в туре, длины и ширины шага. Поскольку математическая наука связана с понятием алгоритма («шаг за шагом»), и последовательностью, то получается, что танец и математика связаны общим атрибутом - «шагом». Танцевальный шаг - это и последовательность, и порядок движений. Математическая составляющая танца не только видима, но и ощущаема.

Невозможно одной геометрией измерить красоту и гармонию танца. Вместе с тем именно геометрия помогает танцорам найти новые  совершенные фигуры, разнообразить рисунок танца. А так же по данным физиологов из Гарвардского университета (США), школьники, прошедшие годовой курс обучения танцам, лучше сдают контрольные по геометрии, чем никогда не танцевавшие или получившие лишь несколько уроков танца. Исследование, проведенное в Канаде, показало, что профессиональные танцоры лучше выполняют тесты на внимание, чем танцоры-любители или вовсе неумеющие танцевать.

          Начать заниматься танцами никогда не поздно. В многолетнем исследовании, проводившемся в Медицинском колледже имени Эйнштейна в Нью-Йорке, показано, что пожилые люди, регулярно танцующие, на 76% реже впадают в старческое слабоумие по сравнению с никогда не танцующими. Притом регулярное чтение эффективно для предотвращения слабоумия всего на 35%, решение кроссвордов – на 47%, а занятия спортом не помогают совсем.

         Математик, так же как художник или поэт, создает узоры. И если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что составлены из идей. Узоры математика, так же как и узоры художника или поэта, должны быть прекрасны, идеи, так же как слова или цвета, должны гармонически соответствовать друг другу. Красота есть первое требование: в мире нет места некрасивой математике, ровно как и не найдется места некрасивому танцу. Если есть такая возможность, то математикам нужно больше рисовать, больше танцевать, больше музицировать - для них в этом случае будут раскрываться новые невидимые эстетические горизонты математического творчества.

Список литературы

1.     http://mathemlib.ru/

2.     http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BA%D0%B2%D1%8D%D1%80_%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D1%81

3.     https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BF%D0%BF%D0%B8%D0%BD%D0%B3

4.     http://dancedb.ru/tutting

5.     http://www.ug.ru/archive/39800

6.     http://contemporarydance.ru/ Перевод записи разговора между Уильямом Форсайтом и Паулем Кайзером 

7.     http://www.goethe.de/ins/ru/lp/prj/drj/arc/011/ru7211786.htm

8.     Волошинов А.В «Математика и искусство» - М.: «Просвещение» 2000 г.