Математика в историческом развитии (методические рекомендации по организации и проведении факультативного курса по истории математики в 9 классе)

Математика в историческом развитии

(методические рекомендации по организации и проведении                         факультативного курса по истории математики в 9 классе)

 

№ п/п	Тема  занятия	Кол-во часов
9 класс
Алгебра (9 ч.)
1.	Функция	1 ч.
2.	Степень с рациональным показателем	1 ч.
3.	Уравнения и системы уравнений	5 ч.
4.	Арифметическая и геометрическая прогрессии	2 ч.
Геометрия (5 ч.)
1.	Подобие фигур	2 ч.
2.	Решение треугольников	1 ч.
3.	Многоугольники	2 ч.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9 класс

Алгебра

Тема 1. Функция

Занятие № 1

I

На данном занятии – семинаре целесообразно уделить внимание следующим методам работы: вступительная часть учителя «Что такое функция»;

выступления учащихся: «Развитие понятия функции», «Способы задания функции, история их возникновения»;

решение (или разбор) исторических задач.

II

 На занятии по данной теме необходимо прокомментировать сообщения учеников: уделить внимание происхождению термина «функция», рассказать о роли в этом Г. Лейбница (1694 г.)

Дать обучающимся определение функции Иоганна Бернулли (1718 г.): «функцией переменной величины называется количество, составленное каким угодно способом из этой переменной и постоянных».

Сравнить определение функции И. Бернулли и определение функции, данное его учеником, академиком Л. Эйлером(1748 г.): «Функция переменной величины есть аналитическое выражение, составленное каким-нибудь способом из этой переменной величины и из чисел, либо из постоянных величин». По возможности использовать работы этих математиков.

Учащимся должна быть понятна точка зрения Бернулли и Эйлера: каждая функция должна быть выражена аналитически, т.е. формулой.

Для сравнения разобрать определение функции чешского математика В. Больцано (1817 г., труд «Чисто аналитическое доказательство»), где автор определяет функцию как зависимость, заданную любым законом, лишь бы каждому значению одной из переменных соответствовало значение другой, а также определение функции знаменитого русского математика Н.И. Лобачевского (1834 г.), немецкого математика Лежен-Дирихле (1837 г.)

На этом семинарском занятии ученики должны вспомнить способы задания функции, познакомиться с историей их возникновения.

При перечислении способов задания функции (аналитический – при помощи уравнения или формулы, табличный, графический, словесный), привести примеры.

III

На занятии будет уместно разобрать пример из работы Л. Эйлера «Введение в анализ бесконечных» (Т. I , гл. II, стр. 42-43).

Пусть дана дробная функция. (Учащимся предложить вспомнить, какая функция называется дробной).

Т.к. простыми множителями знаменателя являются Z ,1 - Z, 1 +Z , то имеем следующее разложение функции на три простые дроби:

Нужно определить постоянные числители А, B и C.

Приведем эти дроби к общему знаменателю, который будет Z – Z³  . Сумма числителей должна равняться 1 + Z², откуда появляется уравнение

     А + BZ – AZ²   = 1 + Z² = 1 + 0 Z+ Z² ,

         + С Z + B Z²

                   - С Z²

которое дает столько приравниваний, сколько имеется неизвестных букв А, B, С; именно, будет

I.    А = 1,

II.   B + С = 0,

III. - A + B  - С = 1

Получаем: А = 1, B = 1, C = - 1.

(эти вычисления проделывает один из учеников у доски.)

Разложение данной функции  представится в таком виде:

Следует сделать вывод, что сколько бы знаменатель N  не имел простых, не равных между собою множителей, всегда  дробь M/ N   будет разлагаться на столько же простых дробей. Если несколько множителей будут между собою равны, то разложение следует производить другим способом, который также может быть рассмотрен на данном занятии.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 2. Степень с рациональным показателем

Занятие № 2

                                                         I

 Это занятие предлагается посвятить   в основном сообщениям учащихся. В конце занятия – выполнение упражнений.

II

 На занятии по данной теме при рассмотрении вопроса «О понятии степени с рациональным показателем» следует обратить внимание на следующие моменты:

1. Введение нулевого показателя степени самаркандским ученым ал- Каши.

2. Введение нулевого показателя и отрицательных показателей степени Н. Шюке.

3. Идея дробных показателей у французского математика Н. Орема (XIV в.)

4. М. Штифель и С. Стевин о введении дробных и отрицательных показателей.

5. 1665 г. – английский математик Джон Валлис о целесообразности введения нулевого, отрицательного и дробных показателей и современных символов. Роль в этом Ньютона.

6. Английский математик Дж. Пикок (1830 г.) и немецкий математик Г. Ганкель (1867 г.) о принципе, соблюдаемом при обобщении математических понятий.

В сообщении «Степенная функция и графическое решение уравнений» следует рассмотреть следующие вопросы:

1. Понятие степенной функции.

2. График степенной функции.

3. Решение уравнений. Здесь необходимо рассказать об использовании Декартом и Ферма параболы и, по возможности, окружности для построения корней уравнения. (Уместно сказать, что Декарт и Ферма прибегали к вспомогательным кривым более низкого порядка); о руководстве Ньютоном в таких случаях не степенью уравнения вспомогательной кривой, а легкостью ее вычерчивания; об использовании Г. Монжем(1746 -1818) кубической параболы для построения  действительных корней кубического уравнения; об обобщении понятия параболы Ньютоном.

На этом занятии ребятам можно сообщить исторические факты о приведении знаменателя или числителя дроби к рациональному виду, а также разобрать пример, например, из «Суммы…» Пачоли:

Привести к рациональному виду знаменатель дроби 

/ (++).

 

 

III

 На данном занятии учащимся в качестве самостоятельной работы предложить решить графически уравнение методом Декарта

z⁴ – pz² + q z – r = 0 для  p = - 1,   q = 0,  r = 9, сделав комментарий (если это необходимо): начертить непосредственно параболу Z² = x и окружность x² + z²  = 9 с центром в начале координат и радиусом, равным 3.

Уместно предложить обучающимся несколько упражнений на приведение  к рациональному виду числителя или знаменателя дроби.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 3. Уравнения и системы  уравнений

Занятие № 3

                                                         I

 На данном занятии целесообразно провести краткий обзор исторического развития алгебры, подготовленный несколькими учащимися;

познакомить обучающихся с геометрическим истолкованием уравнений первой степени с одним неизвестным;

разобрать решение систем двух уравнений первой степени с двумя неизвестными;

 решить самостоятельно несколько систем уравнений.

II

 На занятии при проведении краткого обзора исторического развития алгебры уделить внимание следующим вопросам:

1.   «Геометрическая алгебра».

2.   Процесс освобождения алгебры от геометрической формы. Раскрыть этот процесс.

3.   Применение современной алгебры.

4.   Эварист Галуа (1811-1832) – французский математик, заложивший основы современной алгебры, нашедший необходимое и достаточное условие, которому удовлетворяет алгебраическое уравнение, разрешимое в радикалах.

5.   Нильс Абель(1802-1829) – норвежский математик, основатель общей теории алгебраических функций, впервые доказавший неразрешимость в радикалах общего алгебраического уравнения 5-й степени.

6.   Роль выдающихся советских алгебраистов (Н.Г. Чеботаев, О.Ю. Шмидт; академики А.Н. Колмогоров, Александров, Мальцев и Потрягин; профессора МГУ Делож, Курош, Гельфанд и др.). Дать краткую характеристику их деятельности, выпустить математическую газету.

Знакомя учащихся с геометрическим истолкованием уравнений первой степени с одним неизвестным, рассказать о  записи общего вида уравнений               I степени с одним неизвестным до Декарта и со времен Рене Декарта                       (ax +b = 0 , a  0), об установлении между алгеброй и геометрией тесной связи благодаря методу координат, основы которого были впервые опубликованы в «Геометрии» Декарта(1637 г.).

Обратить внимание, что корень уравнения   ax + b = 0 (a  0)                  x = -  можно геометрически изобразить точкой М пересечения прямой          y = ax + bc осью  ox, т.е. с прямой   y = 0; вводя второе неизвестное  (y) Декарт разбивал уравнение на два, каждое из которых представляло некоторое геометрическое место точек

Y = ax

Y = - b

Здесь уместно заметить, что открытие метода координат было сделано французским математиком Пьером Ферма, независимо от Декарта.

Разбирая решение систем двух уравнений первой степени с двумя неизвестными, важно отметить, что общий вид системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными выглядит так:

(1)      a₁x + b₁y = c₁

           a₂x + b₂y = c_{2 ;}

формулы для решения системы (1) имеют следующий вид:

 (2)      x = (c₁b₂ – c₂b₁)/(a₁b₂ – a₂b₁₎

            y = (a₁c₂ –a₂c₁)/ (a₁b₂ – a₂b₁)

Желательно рассмотреть графический метод решения системы уравнений (1).

 В качестве комментария следует коснуться биографий ученых XVII-XVIII вв.: Ферма, Ньютона, Лейбница, Эйлера, Безу, Лагранжа и др., внесших вклад в разработку метода исключения неизвестных из линейных уравнений.

III

  В конце занятия учащимся предложить самостоятельно решить несколько систем уравнений по рассмотренным формулам и графически.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Занятие № 4

I

 В начале занятия – вступительная часть учителя «Из истории задач на составление систем уравнений, содержащих одно уравнение второй степени и одно линейное. Дальше – групповой разбор исторических задач с последующим их решением современными методами. В конце занятия – решение систем уравнений из «Арифметики» Диофанта.

II

 На втором занятии по данной теме следует познакомить учащихся  со старинными задачами на составление систем уравнений, содержащих одно уравнение второй степени и одно линейное.

Необходимо разобрать несколько конкретных задач (например, 2 задачи). Ученики разбиты на 2 группы (по вариантам), каждая группа готовит одну из задач.

Необходимо здесь отметить, что  подготовка задач группами ведется за несколько дней до занятия, учитель помогает решать возникающие вопросы.

На занятии после сообщения учителя слово предоставляется учащимся. От каждой группы отвечает 1 человек.

Задача 1 группы (древневавилонская): «Площади двух своих квадратов я сложил: 25 5/12 . Сторона второго квадрата равна 2/3 стороны первого и еще 5».

Современная запись соответствующей системы уравнений:

         х² + y² = 25 5/12

          у = 2/3 x + 5.

Следует отметить, что вавилонский автор возводит во 2-м  уравнении y в квадрат и согласно формуле квадрата суммы (эта формула ему, видимо, была известна) получает:

Y² =  x² + x + 25.

Далее подставляя это значение y в первое из системы уравнений (*) уравнение, автор приходит к квадратному уравнению:

x² + x = .

Автор находит х по правилу, применяемому нами в настоящее время, после чего определяет y.

После решения задачи следует сделать вывод, что хотя вавилоняне и не имели алгебраической символики, они решали задачи алгебраическим методом.

Задача 2 группы (из «Арифметики» Диофанта).

«Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а сумма их квадратов – 208».

Разбор этой задачи следует начать с вопроса: «Как бы каждый из вас решил такую задачу?» Ответ последует такой: путем составления системы уравнений:   x + y = 20,

           х² + y² = 208.

Диофант же, выбирая в качестве неизвестного половину разности искомых чисел, получает:

(x – y) = z

 ( x + y) = 10.

Далее следует остановиться на методе решения этой системы Диофантом:

1). Складывая эти уравнения, а затем вычитая одно из другого (все это Диофант производит устно), получает:

х = z + 10; y = 10 – z

2) x² + y² = (z +10)² + (10 – z)² = 2z² + 200

3) 2 z² + 200 = 208

4) z = 2; x = 2 + 10 = 12;  y = 10 – 2 = 8

III

 Учащимся предлагается решить задачи 2-х групп современными методами и несколько систем уравнений из «Арифметики» Диофанта.

1)     x + y = 20,

        x² – y² = 80.

2)     x = 3y,

        x² + y² = 5(x + y).

3)     x = 3 y,

        x² + y² = 10 (x – y).

4)     x = 3y,

        (x² – y²) = 12 (x -y ).

5)     x – y = 2,

        x² – y² = (x – y) + 20.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Занятие № 5

I

  Это занятие предлагается посвятить в основном защите рефератов учащихся, их анализу и комментариям к ним.

II

 На третьем занятии по данной теме целесообразно рассмотреть тему «Решение уравнений третьей степени итальянскими математиками 16 столетия».

В начале занятия вступительное слово учителя « XV и XVI столетия – эпоха Возрождения – небывалый взлет науки и искусства». Затем учащиеся защищают рефераты:

1. «Сципион дель Ферро и его ученик Фиоре». Здесь необходимо рассказать о решении кубического уравнения вида x³ + ax = b,  a, b >0 и о причинах утаивания научного открытия.

2. «Величайшее открытие Тартальи». В этом реферате необходимо привести краткую биографическую справку и рассказать о победе Тартальи над Фиоре на математическом поединке.

3. «Кардано – замечательный представитель эпохи Возрождения».

При защите этого реферата необходимо рассказать биографию Кардано механикой, астрономией, естественными науками; раскрыть его изобретения; выявить причины ссоры Тартальи и Кардано. В реферате необходимо раскрыть сущность книги, написанной Кардано, «Великое искусство» как значительного шага в развитии математики.

III

Обучающимся предложить в качестве самостоятельной работы (или домашней работы) вывести формулу Кардано (с последующей проверкой).

На занятии рекомендуется познакомиться с решением уравнений 3-й степени, используя формулу Кардано.

Для самостоятельного решения предложить учащимся несколько уравнений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Занятие № 6

I

  Это занятие – продолжение занятия №4, состоит из 2-х частей: теоретическая часть – защита рефератов учащихся и практическая часть – решение уравнений 4-й степени.

II

  На четвертом занятии по данной теме следует рассмотреть тему «Решение уравнений четвертой степени итальянскими математиками».

На занятии учащиеся защищают рефераты:

1. «Луиджи Феррари – ученик и воспитанник Кардано.» В этом реферате необходимо остановиться на биографических данных Феррари и рассказать о решении уравнений вида:

x⁴ + a x² +b x + c =0.

2. «Значение открытий, сделанных итальянскими математиками для развития науки».

К рефератам учащихся необходимы комментарии учителя.

III

 В практическую часть данного занятия рекомендуется включить следующее:

1. Вывод формулы Феррари – в качестве самостоятельной работы на занятии (или домашней работы) с последующей проверкой.

2. Решить задачу, которую решил Феррари: «Разделить число 10 на три части так, чтобы они составляли геометрическую прогрессию, а произведение первых двух частей равнялось 6».

: x = x : ;   + x +  =10,

х⁴ + 6 x² + 36 = 60 x             (1)

Задачу пояснить, получив уравнение (1). Познакомить учащихся с решением уравнений 4-й степени методом Феррари.

 Для самостоятельного решения предложить учащимся несколько уравнений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Занятие № 7

I

 Это занятие – итоговое по теме «Решение уравнений итальянскими математиками 16 столетия». В начале занятия – защита реферата учащегося «О «неприводимом» случае уравнения 3-й степени».

Затем – решение уравнений 3-й степени с помощью компьютера; самостоятельное решение уравнений 3-й и 4-й степеней.

II

  На пятом занятии по данной теме следует обратить внимание на более детальное рассмотрение «неприводимого» случая уравнения 3-й степени итальянцем Р. Бомбелли, заслушав реферат учащегося «О «неприводимом» случае уравнения третьей степени». Перед рефератом обучающимся предложить вспомнить о числе – мнимой единице i и об операциях над комплексными числами.

После прослушивания реферата учащиеся должны уяснить: почему метод Бомбелли не смог дать общего решения задачи.

III

 При возникновении необходимости рассмотреть вывод формул Кардано и  Феррари.

С помощью компьютера учащиеся должны проверить правильность решения кубических уравнений (сравнить ответы), которые были предложены учителем для самостоятельного решения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 4. Арифметическая  и геометрическая прогрессии

Занятие № 8

I

  На данном занятии учителю необходимо  провести краткий обзор истории прогрессии, учащимся выступить с сообщениями о числовых последовательностях, о «решете Эратосфена», используя компьютер.

II

 На первом занятии по данной теме учителю целесообразно провести краткий обзор развития прогрессий, включая следующее:

1. Древние вавилоняне.

2. Древние египтяне. Задача на геометрическую прогрессию из египетского папируса Райнда.

3. Знаменитый физик и математик древней Греции Архимед, его труд Исчисление песчинок».

4. Эпоха Возрождения.

     а). Представитель Фибоначчи в своей «Книге об абаке»(1202 год) дает подробное учение об арифметических и геометрических прогрессиях.

     б). В XVI веке Штифель использует арифметические и геометрические прогрессии для упрощения вычислительной практики.

5. Переход Валлисом, Лейбницем и Ньютоном  от геометрической прогрессии к рассмотрению степенных рядов.

 6. Задачи на прогрессии, встречающиеся в рукописях XV-XVII веков на Руси (например, в «Арифметике» Л.Ф. Магницкого). Дать характеристику задачам.

В сообщении о числовых последовательностях разобрать, что такое последовательности (последовательности рассматриваются как частные случаи функции); числовая последовательность (числовая последовательность – есть функция натурального аргумента); разобрать примеры, например, арифметическая прогрессия является линейной функцией натурального аргумента, а геометрическая – показательной функцией натурального аргумента.

Необходимо остановиться на возникновении и развитии числовой последовательности.

На этом занятии рекомендуется вспомнить, что такое «решето Эратосфена» (один из учащихся выступает с сообщением). «Решето Эратосфена» - метод нахождения простых чисел в интервале [2; n]  , предложенный греческим математиком Эратосфеном(275-194 гг. до н.э.). Учащимся следует напомнить, что Эратосфен написал на папирусе, натянутом на рамку, все числа от 1 до 1000 и прокалывал составные числа. Папирус стал как решето, которое просеивает составные числа, а простые оставляет.

Далее следует напомнить этот метод нахождения простых чисел. Пусть написаны все числа от 2 до n:

2     3      4      5     6     7     8     9    10     11     12 …

Первое неперечеркнутое число в строке является простым. Т.о., 2 – простое число. Начинаем «просеивание» с него, перечеркивая все числа, которые делятся на 2:   4       6      8       10        12…

Далее берем следующее по порядку неперечеркнутое число и перечеркиваем все числа, кратные ему и т.д. Т.о., неперечеркнутыми остаются только простые числа.

III

Учащимся предложить решить задачу из «Арифметики» Магницкого.

         Некто продал лошадь за 150 рублей. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря: «Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит». Тогда продавец предложил другие условия: «Если по-твоему,  цена лошади высока, то купи только ее подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего ¼ копейки, за второй – половину копейки, за третий – 1 копейку и т.д.». Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условие продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался?

Покупатель действительно проторговался. Он за 24 подковных гвоздя должен был заплатить (1 + 2+ 2² + 2³ + 2⁴ + … +2²³).

В качестве домашней работы учащимся предложить составить программу нахождения этой суммы на компьютере.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Занятие № 9

I

  Форма работы данного занятия – групповая, учащиеся разбиты на 2 группы. Первая группа выступает с сообщением «Арифметические прогрессии в древности», вторая – «Геометрические прогрессии в древности и в средние века».

II

 На втором занятии по данной теме следует разобрать исторические задачи, в которых используются прогрессии.

1. «Арифметические прогрессии в древности» - тема выступления первой группы учащихся, разбор 2- х задач: вавилонской и египетской.

а). Вавилонская задача.

«10 братьев, 1мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимается не знаю. Для восьмого 6 шекелей. Брат над братом – на сколько он выше?»

Необходимо пояснить задачу:1 мины (мина равна 60 шекелям) серебра требуется разделить между 10 братьями так, чтобы доли братьев составляли арифметическую прогрессию. Требуется найти разность прогрессии, зная, что восьмой брат получает 6 шекелей.

Следует отметить, что вавилонский автор начинает с нахождения средней  арифметической (средней  доли), деля 1 шины на 10 и получая  мины, ее умножает затем на два.

 Удвоенная средняя доля есть  мины. Это и есть сумма долей третьего и восьмого братьев, имея в виду, что первого от третьего, как и восьмого от десятого, отделяют две  ступени (интервала).

Третьего же от восьмого отделяют 5 ступеней, а разность между их долями составляет мины.

Находится значение еще одной ступени, т.е. разность прогрессии, равная  от  или   + мины.

б). Египетская задача из папируса Ахмеса.

«Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом  равна 1/8 меры».

При решении этой задачи  египтяне пользовались правилом

(*)  a = (в современной символике).

Следует отметить, что формула (*) эквивалентна формуле:

              S = 

2. «Геометрические прогрессии в древности и в средние века» -  тема выступления второй группы учащихся, разбор задач: вавилонской и индейской.

а). Из одной клинописной таблички можно заключить, что, наблюдая луну от Новолуния до полнолуния, вавилоняне пришли  к такому выводу: в первые 5 дней после новолуния рост освещения лунного диска совершается по закону геометрической прогрессии со знаменателем 2.

 В другой, более поздней табличке речь идет о суммировании геометрической  прогрессии: 1 + 2 + 2² + … +2⁹.

Необходимо отметить, что решение и ответ S =  512 + (512 – 1), данные в табличке, наводят на мысль, что автор задачи пользовался формулой:

S_{n = 2}ⁿ + (2ⁿ – 1).

б). Издавна большой популярностью пользуется задача – легенда, которая, как полагают, относится к началу нашей эры. (Уместно заметить, что в настоящее время известно, что в настоящее время эта задача встречается у   ал-Беруни).

«Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царем, потребовал за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, за вторую – 2 зерна, за третью – 4 зерна и т.д. Оказалось, что царь не был в состоянии выполнить это «скромное» желание Сеты».

После прочтения условия этой задачи желательно с целью развития любознательности обучающихся, глубокого познавательного интереса, более глубокого осмысливания задачи учащимся 2 групп подготовить инсценировку «Легенда о шахматной доске».

Посмотрев инсценировку, учащиеся легко поймут, что в этой задаче речь идет о суммировании геометрической прогрессии 1, 2, 2², 2³,…, 2⁶³.

Учащимся предложить найти сумму этой прогрессии:

S= (b =1,  q =2). Теперь ученики могут дать ответ на вопрос задачи «Почему царь не был в состоянии выполнить «скромное» желание Сеты»: такое количество зерен пшеницы S = 18 446 744 073 709 551 615 можно собрать лишь с урожая планеты, поверхность которой примерно в 2000 раз больше всей поверхности Земли.

III

Учащимся предлагается решить несколько исторических задач, в которых используются прогрессии.

1. одна из самых древних задач на прогрессии, известная сейчас, записана в египетском папирусе Ринда, на русском языке папирус Ринда описан историком математики В.В. Бобыниным. Среди прочих в нём имеется такая задача: «Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в семь раз меньше трёх остальных. Сколько нужно дать каждому?»

Задачу следует пояснить. Очевидно, количества хлеба, полученные участниками раздела, составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть первый ее член x, разность y.

Тогда доля первого - x,

доля второго – x + y ,

доля третьего – x + 2y  ,

доля четвертого – x + 3y ,

доля пятого – x + 4y .

На основании условий задачи получается система, состоящая из двух уравнений:

х + (x + y) + (x + 2y) + (x + 3y) + (x + 4y) = 100

7 * (x + (x + y)) = (x + 2y) + (x + 3y) + (x + 4y).

2. Старинная индийская задача. Путешественник в первый день проходит две единицы пути и в каждый следующий на три единицы больше. Второй путешественник проходит в первый день три единицы пути, а в каждый следующий на две единицы больше. Когда первый догонит второго?

3. Доказать, что формула   a =  для первого члена убывающей арифметической прогрессии, встречаемая в одной из задач папируса Ринда и в египетской задаче из папируса Ахмеса совершенно правильна. (a – первый член арифметической прогрессии,  n – число членов, S – сумма n – членов,             d – разность).

В качестве домашней работы учащимся необходимо разобранные на занятии задачи решить современными методами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Геометрия

Тема 1. Подобие фигур

Занятие № 1

I

  Первая часть занятия может быть проведена в форме тематического занятия, где с сообщениями выступают учащиеся. Особого внимания здесь требует реферат «Г. Галилей – великий итальянский ученый», его следует прокомментировать.

Вторая часть занятия – практическая: доказательство теоремы Пифагора с использованием теории подобия.

II

 На первом занятии по данной теме рекомендуется вступительную часть «Преобразование подобия» подготовить одному из учащихся, раскрывая следующие моменты:

1. Из истории преобразований.

2. Группы преобразований.

3. Частный случай аффинного преобразования – преобразование подобия.

Здесь необходимо раскрыть происхождение, рассказать об обозначениях, познакомить с учением о подобии фигур в Древней Греции:

 а) V - IV    вв. до н.э.: Гиппократ, Хиосский,  Архит Тарентский, Евдокс Книдский и др.

б) «Начала Евклида» (VI книга)

В сообщении «О построении подобных фигур» необходимо раскрыть историю методов построения подобных фигур и значение пропорционального циркуля (для уменьшения или увеличения чертежа в произвольном отношении).

Центральное место на занятии – реферат учащегося «Галилео Галилей (1564-1642) – великий итальянский ученый». Здесь необходимо раскрыть биографические данные Галилея, рассказать о его изобретениях и открытиях, более подробно остановиться на изобретении пропорционального циркуля.

III

Обучающимся предлагается доказать теорему Пифагора, используя теорию подобия. (Из «Элементарной геометрии» профессора А.Ю. Давидова).                  С                    1) Из подобия треугольников ACД и CAB 

                                               AB/AC = AC/AD,   AC² = AB * AD      (1)    

                                      2) Из подобия треугольников ABC и DCB                                                                                                                                                                                       а     А                                              AB/BC = BC/ BD,   BC² = AB * BD

                   D                             3)   (1) + (2), имеем   AC² + BC² = AB* (AD+BD)                              

                                                                                

B

 AC² + BC²  = AB²

Здесь уместно отметить, что  это доказательство берет свое начало  у Бхаскары  (XII  в.), оно находится и в «Практической геометрии» Леонарда Фибоначчи и у Валлиса (XVII в.)

В качестве самостоятельной работы учащимся можно предложить несколько задач на применение теории подобия.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Занятие № 2

I

 Первая часть данного занятия – выступления учащихся «Отношение и пропорциональность отрезков» (исторический экскурс) и «Евдокс Книдский и Аполлоний – математики Древней Греции».

Вторая часть занятия – разбор и решение исторических задач.

II

 На втором занятии по данной теме в сообщении «Отношение и пропорциональность отрезков» следует коснуться древнеегипетских и вавилонских свидетельств о зарождении идеи  отношения и пропорции, рассказать о применении специального знака для понятия «отношение» в «Московском» папирусе, проанализировать учение об отношениях в «Началах» Евклида: VII книга – арифметическая теория, V книга – общая теория отношений и пропорции, разработанная Евдоксом.

Знакомя учащихся с Аполлонием – величайшим геометром Древней Греции, желательно рассказать о знаменитом его произведении «Конические сечения».

Разбор исторических задач могут подготовить  отдельные учащиеся.

На занятии рекомендуется разобрать решение задачи Евклида (VI книга «Начал») о делении отрезка в данном отношении.

Пусть требуется рассечь отрезок AB в отношении, представленном данными тремя отрезками».

C

  

1) Строим угол  BAC  и откладываем на стороне AC  данные три отрезка: AD, DE, EC.

2) Соединив C и B, проводим через точки  E и  D отрезки  EH и DJ, параллельные BC.

3) На основе теоремы о пропорциональности отрезков, образующихся на прямых, пересеченных параллельными прямыми, получаем:

AJ : JH : HB = AD : DE : EC.

На занятии желательно разобрать способ Симона Стевина деления отрезка AB  на равные части.

1). На прямой  MN || AB  откладываем заданное число, допустим шесть равных между собой отрезков:

MD = DF = FH = HK = KZ  = ZN.

2). Соединим   M  с  A,   N  с  B и продолжим до пересечения в точке   P.

3). Соединим точку   P с  D,  F, H,  K,  Z.

4). В пересечении прямых соединения с отрезком  и получим искомые точки деления: D^/, F^/,    H^/,   K^/,  Z^/.

Учащимся в качестве самостоятельной работы рекомендуется решить задачу из произведения «О делении в данном отношении»:

«Прямой, проходящей через данную точку H, требуется отсечь на двух пересекающихся прямых OP и  OR два отрезка  OM и ON, находящихся в данном отношении m:n».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 2. Решение треугольников

Занятие № 3

I

 Данное занятие предлагается посвятить в основном сообщениям учащихся, их анализу и комментариям к ним.

В конце занятия – решение задач на применение теоремы косинусов и теоремы синусов.

II

 На занятии по данной теме учащиеся выступают с сообщениями:

1. «История открытия теоремы косинусов».

В этом сообщении следует уделить внимание «Началам» Евклида(12 и 13 предложение  II книги);

дать словесную формулировку теоремы косинусов французского математика Ф. Виета (XVI  в.);

пояснить связь между французским математиком Л. Карно и современным выводом теоремы косинусов;

познакомить с выводом  теоремы косинусов из теоремы синусов, данным французским математиком О. Коши (1821 г.)

2. «История открытия теоремы синусов».

В этом сообщении необходимо познакомить учащихся с выводом теоремы синусов из теоремы косинусов, данным Ж.Л. Лагранжем (1799 г.);

пояснить доказательство теоремы синусов, данное выдающимся астрономом   ал-Беруни;

рассказать о пользовании теоремой синусов европейскими математиками.

В качестве комментария следует коснуться биографий ученых, о которых шла речь в сообщениях учащихся.

III

 В качестве самостоятельного решения учащимся следует предложить несколько задач на применение теоремы косинусов и теоремы синусов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 3. Многоугольники

Занятие № 4

I

 Это занятие целесообразно провести в форме семинара, где со вступительной частью «О многоугольниках» выступает учитель.

«История правильных многоугольников» и «Правильный девятиугольник» - сообщения учащихся.

Должное внимание следует уделить реферату учащегося «К.Ф. Гаусс – крупнейший математематик первой половины  XIX века». В конце занятия – выполнение задачи на построение правильного  n-угольника.

II

  На первом занятии по данной теме следует рассмотреть историю многоугольников. Вступительную часть «О многоугольниках» готовит учитель. Затем выступают с сообщениями учащиеся.

1. «История правильных многоугольников» - тема выступления первого ученика. Здесь необходимо раскрыть следующие моменты:

- Древнегреческие ученые: пифагорейцы и Евклид (IV книга «Начал»), их интерес к правильным фигурам.

- Рассказать о проблеме построения при помощи циркуля и линейки правильного многоугольника с числом сторон 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23 и т.д.

- Решение данной проблемы К.Ф.Гауссом: «С помощью циркуля и линейки можно разделить окружность на такое простое число N равных частей,

                                                                                                       _n

которое выражается формулой N =2²   + 1 , где n – натуральное число или нуль.

2. «Правильный девятиугольник» - тема выступления второго ученика. В этом сообщении необходимо рассказать о приближённом значении стороны правильного девятиугольника  Героном Александрийским, Разобрать задачу французского математика Н. Биона: «Пусть требуется разделить окружность, например, на 9 равных частей».

  1). На диаметре окружности строится равносторонний  треугольник. 

  2). Диаметр  делится на 9 равных  частей.                                                                                   

  3). Соединяя вторую точку деления с вершиной треугольника, не лежащей на окружности,  продолжаем прямую до  пересечения с окружностью. 

  4). Полученная дуга  является девятой частью окружности, хорда -  стороной правильного  девятиугольника.

Должное внимание следует уделить на занятии реферату учащегося «К.Ф. Гаусс – крупнейший математик первой половины XIX века». В качестве комментария к реферату следует раскрыть общие идеи учёных – современников К.Ф. Гаусса и Н.И. Лобачевского.

III

  Учащимся предложить построить правильный n-угольник, можно использовать приём Н. Биона.

Занятие № 5

I

  Данное занятие целесообразно провести в форме учебной конференции с приглашением учащихся старших классов, используя следующие методы работы:

- сообщения учащихся о длине окружности и площади круга, о вычислении числа , об Архимеде – величайшем математике древнего мира;

- рассмотрение методов вычисления значения  с помощью компьютера;

- решение исторических задач.

II

  На втором занятии по данной теме учащиеся выступают с сообщениями:

1. «Длина окружности и площадь круга». Здесь необходимо рассказать о великом отношении – отношении длины окружности к диаметру, о предпосылках  возникновения великого отношения, о вычислении числа   на основе  строгих теоретических рассуждений Архимедом; познакомить с задачами из произведений Герона «Метрика» и «Геометрика» на вычисление диаметра и длины окружности, площади круга, сегмента и сектора круга.

2. «Вычисление числа ». Здесь необходимо остановиться на различных значениях  (приближенные с недостатком и избытком) в странах Азии, в индийских «сутрах» (VII-V  вв. до н.э.), в книге ал-Каши «Об измерении окружности» (1424 г.), у голландского профессора Адриана Меция (XVI в.); рассказать о  получении 17 верных десятичных знаков с помощью 2³⁰ угольников А. Ван Роменом из Лувена (1597 г., Бельгия), о получении 35 верных десятичных знаков для   с помощью 60 * 20²⁹ угольников голландским вычислителем Л. Ван-Цейленом (1540-1610), о вычислении числа   с точностью до 153 десятичных знаков Эйлером.

Здесь уместно отметить, что    - это Эйлерово обозначение.

В этом сообщении можно рассказать также о роли английского математика У. Джонса, о вычислении   англичанином В. Шенксом (1873г.), об обнаружении ошибок  в вычислениях Шенкса Фергюссоном и Ренчем, их значение для .

3. «Архимед – величайший математик древнего мира». Учащимся интересно будет узнать, что жизнь Архимеда овеяна легендарной славой; познакомить учащихся с этими легендами.

Желательно отдельно выделить сообщение «Вычисление значения   с помощью ЭВМ».

Рекомендуется рассмотреть следующие методы вычисления  с  помощью ЭВМ:

1). Метод прямоугольников. Дать характеристику этого метода.

2). Метод Монте - Карло. Следует отметить, что это фактически метод статистических испытаний. Свое экзотическое название он получил от города Монте – Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игорными домами. Дело в том, что метод требует применения случайных чисел. Важно отметить, что случайные числа можно получить с помощью дождя.

Рекомендуется приготовить кусок картона, нарисовать на нем квадрат и вписать в квадрат четверть круга. Если такой чертеж некоторое время подержать под дождем, то на его поверхности останутся следы капель. Подсчитать число следов внутри квадрата и внутри четверти круга. Очевидно, что их отношение будет приближенно равно отношению площадей этих фигур, так как попадание капель в различные места чертежа равновероятно. Пусть N– число капель в кругу, N  - число капель в квадрате, тогда     4 N_кр. / N_кв.

Сделать пояснение, что ошибка вычислений по этому методу, как правило, пропорциональна , где  D – некоторая постоянная, а   N – число испытаний. В нашем случае   N = N_кв. Из этой формулы видно: для того, чтобы уменьшить ошибку в 10 раз (иначе говоря, чтобы получить в ответе еще один верный десятичный знак), нужно увеличить N, т.е. объем работы в 100 раз. Ясно, что применение метода Монте – Карло стало возможным только благодаря компьютерам.

3. Вычисление   с помощью ряда Тейлора (в ознакомительном плане).

Здесь идет обращение к рассмотрению произвольной функции f(x), предполагается, что для нее в точке  x₀ существуют производные всех порядков до  n – го включительно. Тогда для функции  f(x) можно записать ряд Тейлора:  

f(x) = f (x₀) + (f¹ (x₀)) /1!  (x – x₀) + (f¹¹ (x₀))/2!  (x – x₀)² + (f¹¹¹(x₀))/3! (x – x₀)³ +  …

(Здесь необходимо  кратко остановиться на том, кто такой Тейлор).

Вычисление   с помощью ряда Тейлора подготовить учителю или ученику – старшекласснику, т.к. девятиклассники не знают понятия «производная».

Продолжая сообщение о вычислении числа   с помощью ряда Тейлора, необходимо заметить, что, если f(x) = arctg x при  -1 <x<1 и x₀ = 0, то   arctg  x = x – x³/3 + x⁵/5 – x⁷/7 + x⁹/9 – …

Если x = 1,  arctg 1 =   /4 и, значит,

     = 4 (1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – 1/11 + 1/13 – 1/15 +…)

В качестве комментария следует сказать, что вычисления с помощью этого ряда будут тем точнее, чем больше членов ряда будет задействовано. Реализовать данный способ лучше всего на компьютере.

III

 В качестве домашнего задания учащимся следует порекомендовать литературу, где описаны методы вычисления значения .

В конце занятия уместно решить следующие задачи с последующей проверкой:

1. Об одной ошибке древних египтян. В Акмимском папирусе площадь круга, окружность которого есть среднее арифметическое двух данных окружностей (с радиусом r = 5,  R = 10), принимается за среднее арифметическое их площадей. Показать, что это неправильно.

2. За длину окружности вавилоняне на практике принимали периметр вписанного в эту окружность правильного шестиугольника. Найти приближенное значение для , которым пользовались вавилоняне.

3. Египтяне, заменяя площадь круга площадью равновеликого  квадрата брали за сторону квадрата 8/9 диаметра круга. Найти приближенное значение для .

 

         

                                                                                            

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                            

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                              

Литература

1.   Глейзер Г.И. История математики в школе./ Пособие для учите-

      лей (в 3-х книгах: IV – VI, VII – VIII, IX – X классы). -  М.: Про-

      свещение, 1981 – 1983.

2.   Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике.–

      Минск, 1978.

3.   Малыгин К.А. Элементы историзма в преподавании математики

      в средней школе. – Учпедгиз, 1958.

4.   Рыбников К.А.  История  математики.– Изд.  Московского  уни -

      верситета, 1994.

5.   Эйлер Л. Введение в анализ бесконечных/ Перевод с лат. Т.1,2.- 

        М.: Государств. изд-во физико-математической литературы,1961.

6.   Болгарский Б.В. Очерки по истории математики.- Минск, 1974.

7.   Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической нау-

ки. – М.: Просвещение, 1987.

8.   Чистяков В.Д. Исторические экскурсы на уроках математики в

средней школе. – Минск: Народная асвета, 1969.

9.   Никифоровский В.А. Из истории алгебры XVI-XVII вв. – Моск-

ва: Наука, 1979.

10. Депман И.Л. История арифметики. – М.: Просвещение, 1965.

11. Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. – М.:

Наука, 1967.