1266614
столько раз учителя, ученики и родители
посетили официальный сайт проекта «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
Добавить материал и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015

Скидка 0%

112 курсов профессиональной переподготовки от 3540 руб.

268 курсов повышения квалификации от 840 руб.

МОСКОВСКИЕ ДОКУМЕНТЫ ДЛЯ АТТЕСТАЦИИ

Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана 26 сентября 2017 г. Департаменотом образования города Москвы

Инфоурок Алгебра Другие методич. материалыМатериал для отработки навыков нахождения производной

Материал для отработки навыков нахождения производной

Международный конкурс

Идёт приём заявок

Подать заявку

Для учеников 1-11 классов и дошкольников

16 предметов

библиотека
материалов

ОГБПОУ СмолАПО Гуменникова А.А.

Определение производной

Производная функции − одно из основных понятий математики, а в математическом анализе производная наряду с интегралом занимает центральное место. Процесс нахождения производной называется дифференцированием. Обратная операция − восстановление функции по известной производной − называется интегрированием

Производная функции в некоторой точке характеризует скорость изменения функции в этой точке. Оценку скорости изменения можно получить, вычислив отношение изменения функции Δy к соответствующему изменению аргумента Δx. В определении производной такое отношение рассматривается в пределе при условии Δx→0. Перейдем к более строгой формулировке:

Определение производной

Рассмотрим функцию f(x), область определения которой содержит некоторый открытый интервал вокруг точки x0. Тогда функция f(x) является дифференцируемой  в точке x0, и ее производная определяется формулой


Производная функции f в точке х обозначается (читается «эф штрих от х»).


Опираясь на определение, вычисление производной функции y = f(x) производится в соответствии со следующим алгоритмом:

  1. Зафиксировать значение х, найти f(x);

  2. Даем не нулевое приращение аргументу;

  3. Находим приращение функции (можно использовать обозначение );

  4. Находим отношение . Упростить это выражение и сократить его на

  5. Вычисляем полученное выражение при .

Пример. Найдем производную постоянной функции f(x) = c.

Р е ш е н и е.

  1. х, Δх ≠ 0, х + Δх.

  2. Δf = f (х + Δх) - f(x) = с – с = 0.

  3. .

  4. Получили, что при любом Δх , и, значит, при .

Следовательно, .

Пример. Найдем производную функции f(x) = x2.

Р е ш е н и е.

  1. х, Δх ≠ 0, х + Δх.

  2. Δf = f (х + Δх) - f(x) = (х + Δх)2 – х2 = 2хΔх + (Δх)2.

  3. .

  4. Заметим, что слагаемое 2х постоянно, а при очевидно, второе слагаемое стремится к нулю. Получаем: при .

Задание 1. Воспользовавшись определением, найдите производную функции в точке х.

  1. y = x2+2x; b) y=; c) y= 3x2-4x; d) y=; e) y = .

Следовательно, .

Понятно, что использовать постоянно определение для вычисления производной крайне тяжело. Тут нам приходит на помощь таблица производных элементарных функций, а так же правила дифференцирования.

Таблица производных элементарных функций

,

  1. , где


Основные правила дифференцирования:


(Словесная формулировка: производная суммы равна сумме производных)

(Словесная формулировка: производная разности равна разности производных)

  1. , где

(Словесная формулировка: постоянный множитель выносится за знак производной)




Пример. Найдем , если а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

Р е ш е н и е.

а) . (используем 1 правило дифференцирования)

б) . (используем 2 правило дифференцирования)

в) . (используем 3 правило дифференцирования)

Вычислим и :

;

.

Следовательно, .

(используем правило 4)

д) . (используем 5 правило дифференцирования)

Задание 2. Пользуясь таблицей производных и основными правилами дифференцирования вычислите:

а) ; б) ; в) ; г) .

д) ; е) ; ж) ; з) ; и) ;

к) ; л) ; м) ; о) ; п) ; р) ; с) .

Задание 3. Выясните, при каких значениях х значение производной функции f(x) равно 0:

а) ; б) ; в) ; г) .

Задание 4. Найдите , если:

а) ; б) ; в) ; г) .

Задание 5. Найдите , если:

а) ; б) ; в) ; г) .

Определение: производная -го порядка от функции есть производная от ее производной.

Например:

Задание 6. Вычислите :

а) ; б) ; в) ; г) .

Производная сложной функции.

Определение сложной функции

Пусть функция   определена на множестве X и U - множество значений этой функции. Пусть, множество U (или его подмножество) является областью определения функции . Поставим  в соответствие каждому x из X число . Тем самым на множестве X будет задана функция . Ее называют композицией функций или сложной функцией.

В этом определении, если пользоваться нашей терминологией,   - внешняя функция,   - промежуточный аргумент.

Производная сложной функции находится по такому правилу:



Алгоритм нахождения производной сложной функции

1. Определить, какая функция является внешней и найти по таблице производных соответствующую производную.

2. Определить промежуточный аргумент.

В этой процедуре наибольшие затруднения вызывает нахождение внешней функции. Для этого используется простой алгоритм:

а. Запишите уравнение функции.

б. Представьте, что вам нужно вычислить значение функции при каком-то значении х. Для этого вы подставляете это значение х в уравнение функции и производите арифметические действия. То действие, которое вы делаете последним и есть внешняя функция.

Пример. Найдем производную функции .

Решение. Функцию у можно представить в виде сложной функции y = f(g(x)), где u=g(x)=2x+3, у=f(u)=u100.

Так как и , имеем .

Пример. Найдем производную функции .

Решение. Функцию у можно представить в виде сложной функции y = f(g(x)), где u=g(x)=3х2+1, у=f(u)=. Так как и , имеем.


Задание 7. Найдите производную функции:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

е) ; ж) ; з) .

Задание 8. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0 .

а) ; б) ;

в) ; г) .

Задание 9. Выясните, при каких значениях х значение производной функции f(x) равно 0:

а) ; б) ; в) ;

г) .

Задание 10. Выясните, при каких значениях х значение производной f(x) положительно:

а) ; б); г) ; д) .


Задание 11. Вычислите:

, если .



Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Приглашаем принять участие МЕЖДУНАРОДНЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ «ИНФОФОРУМ» Осталось всего 50 мест на очное участие! Подать заявку Очное участие Дистанционное участие Курс повышения квалификации (36 часов) + Сертификат участника “Инфофорума”

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
17 курсов по пожарно-техническому минимуму
Обучение от 2 дней
дистанционно
Удостоверение
Программы актуальны на 2019 г., согласованы с МЧС РФ
2 500 руб. до 1 500 руб.
Подробнее