Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Материал для подготовки к уроку по теме "Вписанная и описанная окружность"

Материал для подготовки к уроку по теме "Вписанная и описанная окружность"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

УРОК 60.

Тема: Вписанная и описанная окружность.

Прежде чем перейти к теме урока, повторим теоремы о серединном перпендикуляре к отрезку.

Теорема 1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Теорема 2 (Обратная  к теореме 1). Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

  В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности.

hello_html_m5ec21bf1.png

Рис. 1

      Следствие. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.















Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

      Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности, удобно представить в виде следующей таблицы.

Фигура

Рисунок

Формула

Обозначения

Произвольный треугольник

hello_html_m1f617b65.png

hello_html_m42f281a5.gif

Посмотреть вывод формулы

a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь, 
r –  радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

hello_html_m377c8f33.gif.

hello_html_4427022f.gif

Посмотреть вывод формулы

Равнобедренный треугольник

hello_html_m29cff77f.png

hello_html_751993fc.gif

Посмотреть вывод формулы

a – боковая сторона равнобедренного треугольника,
b – основание,   r –  радиус вписанной окружности

Равносторонний треугольник

hello_html_m57d7d99a.png

hello_html_m11081351.gif

Посмотреть вывод формулы

a – сторона равностороннего треугольника,  r  –  радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольник

hello_html_mb6259c8.png

hello_html_d351550.gif

Посмотреть вывод формул

a, b – катеты прямоугольного треугольника,  
c  – гипотенуза
,  r – радиус вписанной окружности

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

      Теорема 3 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

hello_html_4427022f.gif,

где a, b, c – стороны треугольника,  r –  радиус вписанной окружности,hello_html_m377c8f33.gif–  полупериметр (рис. 6).

hello_html_m1f617b65.png

Рис. 2

      Доказательство. Из формулы

hello_html_m78b0d4b2.gif

с помощью формулы Герона получаем:

hello_html_3066cbf5.gif

что и требовалось.

      Теорема 4. Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

hello_html_751993fc.gif,

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание,  r –  радиус вписанной окружности (рис. 3).

hello_html_m29cff77f.png

Рис. 3

      Доказательство. Поскольку для произвольного треугольника справедлива формула

hello_html_4427022f.gif,

где

hello_html_m377c8f33.gif,

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

hello_html_m1bddbee5.gif

получаем

hello_html_m10036866.gif

что и требовалось.

      Теорема 5 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

hello_html_m11081351.gif

где a – сторона равностороннего треугольника,  r –  радиус вписанной окружности (рис. 4).

hello_html_m57d7d99a.png

Рис. 4

      Доказательство. Поскольку для равнобедренного треугольника справедлива формула

hello_html_751993fc.gif,

то, в случае равностороннего треугольника, когда

b = a,

получаем

hello_html_248d51ef.gif

что и требовалось.

      Замечание. Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

      Теорема 6. Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

hello_html_23ede0c9.gif

где a, b – катеты прямоугольного треугольника,   c  –  гипотенуза,  r –  радиус вписанной окружности.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 5.

hello_html_5bb9752.png

Рис. 5

      Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником, у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат. Следовательно,

СВ = СF= r,

      В силу теоремы 3 справедливы равенства

hello_html_1491164b.gif

      Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

hello_html_23ede0c9.gif

что и требовалось.



В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником.

hello_html_76f0657e.png

Рис.6



Свойства описанной около треугольника окружности

Для любого треугольника справедливо равенство:

hello_html_m53cee2cc.gif

где a, b, c  – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.




      Теорема 7. Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

   Доказательство. Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC, и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 7).

hello_html_2aa69a4b.png

Рис. 7

      Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

CO = AO .

      Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

AO = BO .

      Следовательно, справедливо равенство:

CO = BO ,

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

      Следствие. Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

      Доказательство. Рассмотрим точку O, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC(рис. 2).

      При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

AO = OB = OC ,

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA, OB, OC проходит через все три вершины треугольника ABC, что и требовалось доказать.

Выполните задания.

hello_html_38dc200d.gif

hello_html_m636da316.png

Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 10.10.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров31
Номер материала ДБ-249134
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх