Инфоурок / Математика / Конспекты / Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: "Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции".
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

Материал для самостоятельной подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ и другим экзаменам по теме: "Применение производной. Различные способы составления уравнения касательной к графику функции".

библиотека
материалов

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение «Красногвардейская школа №1»











Материал для подготовки к ЕГЭ

по теме:

«Применение производной.

Различные способы составления уравнения касательной к графику функции»









Составили учителя математики

Коваленко И.Н., Строган Л.А.







2015г.





Пояснительная записка

Задания на составление уравнения касательной к графику встречаются на вступительных экзаменах, на централизованном тестировании, в вариантах ЕГЭ. Данный материал содержит теорию и практические задания, поможет учащимся самостоятельно подготовиться по теме: «Применение производной».



Способы составления уравнения касательной

к графику функции

Вспомним геометрический смысл производной: если к графику функции y=f(x) в точкеx_0  проведена касательная, то коэффициент наклона касательной (равный тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси OX) равен производной функции в точке x_0 .

http://ege-ok.ru/wp-content/uploads/2014/02/ar31.jpg

k=tg{alpha}=f^{prime}(x_0)

Возьмем на касательной произвольную точку с координатами( x;y):

http://ege-ok.ru/wp-content/uploads/2014/02/ar32.jpg

И рассмотрим прямоугольный треугольник ABC:

http://ege-ok.ru/wp-content/uploads/2014/02/ar33.jpg

В этом треугольнике tg{alpha}={BC}/{AB}={y-f(x_0)}/{x-x_0}=f{prime}(x_0)

Отсюда {y-f(x_0)}= f{prime}(x_0)(x-x_0)

Или

y=f(x_0)+ f{prime}(x_0)(x-x_0)

Это и есть уравнение касательной, проведенной к графику функции y=f(x) в точке x_0.

Чтобы написать уравнение касательной, нам достаточно знать уравнение функции и точку, в которой проведена касательная. Тогда мы сможем найти f(x_0) и f{prime}(x_0).

Есть три основных типа задач на составление уравнения касательной.

1. Дана точка касания  x_0

2. Дан коэффициент наклона касательной, то есть значение производной функции y=f(x) в точке x_0.

3. Даны координаты точки, через которую проведена касательная, но которая не является точкой касания.

Рассмотрим каждый тип задач.

1. Написать уравнение касательной к графику функции f(x)=x^3-2x^2+3  в точке x_0=1.

а) Найдем значение функции в точке x_0=1.

f(1)=1^3-2*1^2+3=2.

б) Найдем значение производной в точке x_0=1. Сначала найдем производную функции y=f(x)

f{prime}(x)=3x^2-4x

f{prime}(1)=3*1^2-4*1=-1

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

y=2+(-1)(x-1)

Раскроем скобки в правой части уравнения. Получим: y=-x+3

Ответ: y=-x+3.

 

2. Найти абсциссы точек, в которых касательные к графику функции y={1/4}x^4-{8/3}x^3 +{{15}/2}x^2 параллельны оси абсцисс.

Если касательная параллельна оси абсцисс, следовательно угол между касательной и положительным направлением оси OX равен нулю, следовательно тангенс угла наклона касательной равен нулю. Значит, значение производной функции y={1/4}x^4-{8/3}x^3 +{{15}/2}x^2 в точках касания равно нулю.

а) Найдем производную функции y={1/4}x^4-{8/3}x^3 +{{15}/2}x^2.

y{prime}=x^3-8x^2+15x

б) Приравняем производную к нулю и найдем значения x, в которых касательная параллельна оси OX:

x^3-8x^2+15x=0

x(x^2-8x+15)=0

Приравняем каждый множитель к нулю, получим:

x_1=0;~~x_2=3;~~x_3=5

Ответ: 0;3;5

 3. Написать уравнения касательных к графику функции y={3x-4}/{2x-3}, параллельных прямой y=-x+3.

Касательная параллельна прямой y=-x+3. Коэффициент наклона этой прямой равен -1. Так как касательная параллельна этой прямой, следовательно, коэффициент наклона касательной тоже равен -1. То есть мы знаем коэффициент наклона касательной, а, тем самым, значение производной в точке касания.

Это второй тип задач на нахождение уравнения касательной.

Итак, у нас дана функция y={3x-4}/{2x-3} и значение производной в точке касания.

а) Найдем точки, в которых производная функции y={3x-4}/{2x-3} равна -1.

Сначала найдем уравнение производной.

Нам нужно найти производную дроби.

({u/v})^{prime}={u{prime}v-v{prime}u}/{v^2}

y{prime}={(3x-4){prime}(2x-3)-(2x-3){prime}(3x-4)}/{(2x-3)^2}={3(2x-3)-2(3x-4)}/{(2x-3)^2}={-1}/{(2x-3)^2}

Приравняем производную к числу -1.

{-1}/{(2x-3)^2}=-1

(2x-3)^2=1

2x-3=1 или 2x-3=-1

x_0=2 или x_0=1

б) Найдем уравнение касательной к графику функции y={3x-4}/{2x-3} в точке x_0=2.

Найдем значение функции в точке x_0=2.

y(2)={3*2-4}/{2*2-3}=2

y{prime}(2)=-1 (по условию)

Подставим эти значения в уравнение касательной:

y=2+(-1)(x-2)=-x+4.

б) Найдем уравнение касательной к графику функции y={3x-4}/{2x-3} в точке x_0=1.

Найдем значение функции в точке x_0=1.

y(1)={3*1-4}/{2*1-3}=1

y{prime}=-1 (по условию).

Подставим эти значения в уравнение касательной:

y=1+(-1)(x-1)=-x+2.

Ответ: y=-x+4;~~y=-x+2

 4. Написать уравнение касательной к кривой y=sqrt{8-x^2}, проходящей через точку A(3,1)

Сначала проверим, не является ли точка A(3,1) точкой касания. Если точка является точкой касания, то она принадлежит графику функции, и её координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим координаты  точки A(3,1)  в уравнение функции.

1<>sqrt{8-3^2}http://ege-ok.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_1002_aab3238922bcc25a6f606eb525ffdc56.png. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка A(3,1) не принадлежит графику функции и не является точкой касания.

Это последний тип задач на нахождение уравнения касательной. Первым делом нам нужно найти абсциссу точки касания.

Найдем значение x_0.

Пусть x_0 - точка касания. Точка A(3,1) принадлежит касательной к графику функции y=sqrt{8-x^2}. Если мы подставим координаты этой точки в уравнение касательной, то получим верное равенство:

1=f(x_0)+ f{prime}(x_0)(3-x_0).

Значение функции y=sqrt{8-x^2} в точке x_0 равно f(x_0)= sqrt{8-{x_0}^2}.

Найдем значение производной функции y=sqrt{8-x^2} в точке x_0.

Сначала найдем производную функции y=sqrt{8-x^2}. Это сложная функция.

f{prime}(x)={1/{2sqrt{8-x^2}}}*(8-x^2){prime}={{-2x}/{2sqrt{8-x^2}}}

Производная в точке x_0 равна f{prime}(x_0)={-2{x_0}}/{2sqrt{8-{x_0}^2}}.

Подставим выражения для f(x_0) и f{prime}(x_0) в уравнение касательной. Получим уравнение относительно x_0:

1=sqrt{8-{x_0}^2}+{-2{x_0}}/{2sqrt{8-{x_0}^2}}(3-x_0)http://ege-ok.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_1002_aab3238922bcc25a6f606eb525ffdc56.png

Решим это уравнение.

Сократим числитель и знаменатель дроби на 2:

1=sqrt{8-{x_0}^2}+{-{x_0}}/{sqrt{8-{x_0}^2}}(3-x_0)http://ege-ok.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_1002_aab3238922bcc25a6f606eb525ffdc56.png

Приведем правую часть уравнения к общему знаменателю. Получим:

1={8-{x_0}^2-{x_0}(3-x_0)}/{sqrt{8-{x_0}^2}}

Упростим числитель дроби и умножим обе части на {sqrt{8-{x_0}^2}} - это выражение строго больше нуля.

Получим уравнение

{8-3x_0}={sqrt{8-{x_0}^2}}

Это иррациональное уравнение.

Решим его. Для этого возведем обе части в квадрат и перейдем к системе.

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{64-48{x_0}+9{x_0}^2=8-{x_0}^2} {8-3x_0>=0} }}{ }http://ege-ok.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_1002_aab3238922bcc25a6f606eb525ffdc56.png

Решим первое уравнение.

10{x_0}^2-48x_0+56=0

5{x_0}^2-24x_0+28=0

Решим квадратное уравнение, получим

x_0=2 или x_0=2,8

Второй корень не удовлетворяет условию 8-3x_0>=0http://ege-ok.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_1002_aab3238922bcc25a6f606eb525ffdc56.png, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна -2.

Напишем уравнение касательной к кривой y=sqrt{8-x^2} в точке x_0=2. Для этого подставим значение x_0=2 в уравнение y=sqrt{8-{x_0}^2}+{-2{x_0}}/{2sqrt{8-{x_0}^2}}(x_0)(x-x_0)http://ege-ok.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_1002_aab3238922bcc25a6f606eb525ffdc56.png  - мы его уже записывали.

Получим:

y=sqrt{8-{2}^2}-{2*{2}}/{2sqrt{8+{-2}^2}}(x-2)http://ege-ok.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_1002_aab3238922bcc25a6f606eb525ffdc56.png

y=2-(x-2)=-x+4

Ответ: y=-x+4



Общая информация

Номер материала: ДВ-253920

Похожие материалы