Материал к мастер-классу по теме: "метод "математическое моделирование текстовых задач"

• 1 слайд

  ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРИ РЕШЕНИИ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ
  
  
  
  Смелянец М.К.
  21.12.2016 г.
  
  

• 2 слайд

  
  
  .
  
  ЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ?
  
  Модель (от лат. modulus-мера, образец, норма) это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные черты.
  Математическая модель- математическое описание любой ситуации.
  

• 3 слайд

  Р= 2*ЦБ+3*ЦМ+...
  
  
  

• 4 слайд

  ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
  

• 5 слайд

  ФРАГМЕНТ УРОКА
  
  

• 6 слайд

  КАК ПОСТРОИТЬ МАТЕМАТИЧЕСКУЮ МОДЕЛЬ?
  1. Задача-текст, содержащий явную и скрытую информацию (реальная ситуация).
  2. Текст переводится на математический язык- создается вспомогательная математическая модель математическая модель.
  3.Математическая модель исследуется.
  4. Результат исследования интерпретируется.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 7 слайд

  СХЕМАТИЗИРОВАННЫЕ:
  вещественные(предметные) -пуговицы, бумага, полоски...
  графические- рисунок, чертеж, схема
  ЗНАКОВЫЕ:
  краткая запись задачи,
  таблица
  ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ МОДЕЛИ
  

• 8 слайд

  ЗАДАЧА№ 1
  В школьном математическом кружке занимаются 18 учеников. В танцевальном кружке на 12 человек больше, чем в математическом, а в спортивном на 5 учеников меньше, чем в танцевальном. Сколько учеников в спортивном кружке?.
  в мат. кр. – 18 уч;
  в танц. кр. - ?, на 12 учеников больше, чем в мат;
  в спор. кр. - ?, на 5 учеников меньше, чем в танц.
  

• 9 слайд

  ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ:
  
  В математическом:
  
  В танцевальном:
  
  В спортивном:
  
  
  
  
  
  
  
  

• 10 слайд

  Задача № 2
  Катер, собственная скорость которого 14,8 км/ч, шел 3 ч. по течению реки и 4 ч. против течения. Какой путь проделал катер за все это время, если скорость течения 2,3 км/ч?
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 11 слайд

  ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ:
  
  

• 12 слайд

  ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ:
  
  

• 13 слайд

  ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ:
  
  

• 14 слайд

  ЗАДАНИЕ № 2
  
  1ч
  
  48,3 км.
  2 ч
  
  
  
  3 ч
  
  
  
  
  
  ? км.
  24,3 км
  
  1ч + 2ч
  15,8 км
  

• 15 слайд

  ПЛЮСЫ:
  1. Помогает формировать умение решать текстовые задачи.
  2. Повышает интерес обучающихся к изучению математики.
  3. Способствует развитию памяти, логического мышления, внимания, наблюдения.
  4. Помогает выбирать более рациональные способы решения, быстроту и правильность решения.
  5. Активизирует познавательную деятельность обучающихся на уроке.
  

• 16 слайд

  МИНУСЫ:
  
  отсутствие должного внимания на систематическое использование математического моделирования на уроках
  
  

• 17 слайд

Мастер-класс: «Использование математической модели при решении текстовых задач».

                                                                           «Если вы владеете знанием,   дайте другим

                                                                            зажечь от него свои светильники».

                                                                                                                        Томас Фуллер

Цель: рассмотреть математические модели и их роль при решении текстовых задач.

Задачи:

Ø  что такое математическая модель;

Ø  рассмотреть алгоритм построения математической модели;

Ø   рассмотреть различные виды математических моделей;

Ø  проанализировать о плюсах и минусах применения математической модели при решении задач.

Оборудование:

v  презентация «Использование математической модели при решении текстовых задач»- Open Office.org Impress.

v  Фрагмент урока –MP4 VIDRO File

I.                   Добрый  день, уважаемые коллеги, дорогие гости!

Мы рады приветствовать вас на нашем семинаре.

Тема моего мастер-класса «Использование математической модели при решении текстовых задач».

Все присутствующие здесь согласятся со мной, что  решение текстовых задач  всегда вызывают некоторые затруднения у большинства обучающихся.

Это связано с тем, что  они не могут  записать условие задачи в виде уравнений и неравенств, то есть “перевести” описанную в задаче жизненную ситуацию на математический язык. А само понятие «Математическая модель» дается  лишь в 7классе.

Поэтому уже в пятом классе при изучении тем  “Буквенные выражения» и «Формулы и уравнения», я ввожу понятие  «Математическая модель ” и применение математической модели при решении текстовых задач.

Математическая модель - очень простое понятие. И очень важное. Именно математические модели связывают математику и реальную жизнь.

Что такое «Математическая модель?

«Под моделью (от лат. modulus – мера, образец, норма) понимают такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект – оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные черты. Процесс построения и использования модели, называется моделированием».

Говоря простым языком, математическая модель - это математическое описание любой ситуации. И всё. Модель может быть примитивной, может быть и суперсложной. Какая ситуация, такая и модель.

В любом  деле, где нужно чего-нибудь посчитать да рассчитать - мы занимаемся математическим моделированием. Даже если и не подозреваем об этом.

Например, нам нужно посчитать расходы (Р) на покупки в магазине. Надо купить две булки (Б) и три пачки масла (М). Мы знаем цену булки (ЦБ) и цену масла (ЦМ). Легко можно записать:

Р = 2·ЦБ + 3·ЦМ

Вот эта запись и будет математической моделью расходов на наши покупки. Модель не учитывает цвет упаковки, срок годности, вежливость кассиров и т.п. На то она и модель, а не реальная покупка. Но расходы, т.е. то, что нам надо - мы узнаем точно. Если модель правильная, конечно.

 Представлять, что такое математическая модель полезно, но этого мало. Самое главное - уметь эти модели строить.

II.  Фрагмент урока математики в 5-а классе «Задачи на части».

III. Что значит «Построить математическую модель?»

Составить математическую модель - это значит, перевести условия задачи в математическую форму. Т.е. превратить слова в уравнение, формулу, неравенство и т.д. Причём превратить так, чтобы эта математика строго соответствовала исходному тексту. Иначе у нас получится математическая модель какой-то другой, неведомой нам задачи.

Говоря конкретнее, нужно установить математическую связь между всеми данными задачи.

Задач в мире - бесконечное количество. Поэтому предложить чёткую пошаговую инструкцию по составлению математической модели любой задачи - невозможно.

Но можно выделить четыре основных момента, на которые нужно обратить внимание:

1.       Задача формулируется на обычном языке.

2.       Переводиться на математический язык – создается математическая модель задачи.

3.      Математическая модель исследуется (сводится к решению уравнения, выражения…).

4.      Результат исследования интерпретируется, то есть снова переводиться на обычный язык (это ответ на поставленный вопрос задачи).

Наибольшие затруднения в решении текстовых задач вызывает этап перевода условия задачи на математический язык. Одной  из основных причин допускаемых ошибок  решении текстовых задач – неправильная организация первичного восприятия учащимися условия задачи и ее анализа, которые проводятся без должной опоры на жизненную ситуацию, отраженную в задаче, без ее графического моделирования.

Так как любая задача - это текст, а в этом   тексте, как правило, имеется:

      явная, открытая информация (числа, значения и т.п.)

Петрович вернулся с рыбалки и гордо предъявил семье улов. При ближайшем рассмотрении оказалось, что 8 рыбин родом из северных морей, 20% всех рыбин - из южных, а из местной реки, где рыбачил Петрович - нет ни одной. Сколько всего рыбин купил Петрович в магазине "Морепродукты"?

 Какая здесь явная математическая информация? 8 рыбин и 20%.

       скрытая информация (это текст, который предполагает наличие дополнительных знаний в голове. Кроме того, математическая информация частенько скрывается за простыми словами и.... проскакивает мимо внимания).

Ищем скрытую информацию. Она здесь есть. Это слова: "20% всех рыбин". То есть надо знать, что такое проценты и как их найти? Это та информация, которая должна быть у каждого ученика в голове.

В любой задаче должна быть дана связь данных между собой. Эта связь может быть дана открытым текстом (что-то равно чему-то), а может быть и скрыта за простыми словами. Но простые и понятные факты частенько упускаются из виду. И модель никак не составляется.

А значит, задачу приходится читать (и внимательно!) несколько раз.

 Чтобы облегчить поиск математической модели, нужны модели вспомогательные. 

 Вспомогательные модели  могут быть:

      графическими (рисунок, условный рисунок, чертеж, схематический чертеж);

      знаковыми (краткая запись, таблица).

Вспомогательная модель создает предпосылки активной мыслительной деятельности в поисках разных способов решения одной и той же задачи.

Задача: «В школьном математическом кружке занимаются 18 учеников. В танцевальном кружке на 12 человек больше, чем в математическом, а в спортивном на 5 учеников меньше, чем в танцевальном. Сколько учеников в спортивном кружке?»,  обычно записывают ее кратко примерно так:

в математическом кружке – 18 учеников;

в танцевальном кружке - ?, на 12 учеников больше, чем в математическом;

в спортивном кружке - ?, на 5 учеников меньше, чем в танцевальном.

Такая запись при первичном анализе задачи нерациональная, так как не раскрывает наглядно взаимодействия между данными и искомыми, не помогает в выборе действия.

Учащимся предлагается смоделировать условие задачи следующим образом:

в математическом кружке –

в танцевальном кружке –

в спортивном кружке –

Эта модель дает наглядное представление об отношениях между данными и искомыми в задачах.

Анализируя задачу, учащиеся выясняют, что в танцевальном кружке учеников на 12 больше, чем в математическом, то есть их столько же плюс еще 12; поэтому отрезок на схеме, изображающий число учеников в танцевальном кружке, они начертят большей длины, чем отрезок, изображающий число учеников в математическом кружке. А так как число учеников в спортивном кружке на 5 меньше, чем в танцевальном, то есть их столько же, но без пяти, то и отрезок, показывающий число учеников в спортивном кружке должен быть меньше отрезка, показывающего число учеников в танцевальном кружке.

Анализируя эту схему, учащиеся самостоятельно записывают правильное решение.

Внимательно рассматривая модель, можно предложить ученикам найти другой способ решения задачи.

Исходя из графической схемы задачи, учащиеся выясняют, что в спортивном кружке учеников больше, чем в математическом; определяют, на сколько больше 12-5=7(уч.),  а затем отвечают на поставленный вопрос 18+7=25(уч.). Этот способ может служить проверкой ранее рассмотренного способа решения.

При решении задач на движение широко используется метод моделирования, что способствует сознательному и прочному усвоению материала.

Благодаря моделированию математические связи и зависимости приобретают для учеников смысл, а в процессе его использования происходит углубление и развитие математического мышления учащихся.

Модели помогают ученикам в сознательном выявлении скрытых зависимостей между величинами, побуждают активно мыслить, искать наиболее рациональные пути решения задач. Моделирование наглядно представляет соотношения между данными и искомыми величинами.

При решении задач на движение используются разные виды моделей, например: схематический чертеж, схема, таблица. Использование таблицы предполагает уже хорошее знание учениками взаимозависимостей, так как сама таблица этих зависимостей не показывает.

Опираясь на чертеж, учащиеся находят возможный путь решения задачи. Используя визуальную информацию, учатся анализировать задачу и составлять полный план ее решения. Чертеж дает возможность учащимся найти не один, а несколько способов решения.

Метод моделирования позволяет активизировать познавательную деятельность учащихся на уроке.

«Катер, собственная скорость которого 14,8 км/ч, шел 3 ч по течению реки и 4 ч против течения. Какой путь проделал катер за все это время, если скорость течения 2,3 км/ч?»

	Собств. v	V течения	t (ч)	S (км)
по течению реки	14,8	2,3	3	?
против течения	14,8	2,3	4	?

IV. Практическая часть:

Задача № 1.

Реальная ситуация	Вспомогательная  математическая модель
В школе за день съели 3/5 всех фруктов. Сколько кг. фруктов съели в школе, если закуплено было 150 кг.?	Всего: 150 кг. 1.      Что обозначает весь отрезок? 2.      Почему отрезок разбит на 5 частей? 3.      Почему на схеме отмечены три части? 4.      Что найдено первым действием? 5.      Что найдено вторым действием?

Задача № 2.

«Автомашина в первый час прошла 48,3 км, во второй час она прошла на 15,8 км меньше, чем в первый, а в третий час – на 24,3 км меньше, чем за первые два часа вместе. Какой путь прошла автомашина за эти три часа?»

1 ч.                                                    

                                      48,3 км

2 ч.                                                                                                                   ?

                        ?               15,8 км

3 ч.                                                                

                               1ч +2 ч                           24,3 км

1)           48,3 – 15,8 = 32,5 (км) – прошла машина за 2-ой час.

2)           48,3 + 32,5 = 80,8 (км) – прошла машина за 1 и 2 час.

3)           80,8 – 24,3 = 56,5 (км) – прошла машина за 3-ий час.

4)           56,5 + 80,8 = 137,3 (км) – прошла машина за 3 часа.

Ответ: 137,3 км.

V. Плюсы и минусы моделирования.

Плюсы математического моделирования:

Ø  моделирование помогает формировать умение решать текстовые задачи;

Ø  данный метод обучения повышает интерес учащихся к изучению математики.

Главным недостатком использования моделирования является отсутствие должного внимания на систематическое использование моделирования на уроках.