Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Материал на тему "Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения"

Материал на тему "Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения"

Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

К ОПЛАТЕ ЗА ОДНОГО УЧЕНИКА: ВСЕГО 28 РУБ.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ОКТЯБРЬСКАЯ ШКОЛА-ГИМНАЗИЯ» КРАСНОГВАРДЕЙСКОГО РАЙОНА РЕСПУБЛИКИ КРЫМ











ТЕМА:

«Решение линейных, квадратных уравнений с параметром.

Решение симметрических уравнений»





Материал для спецкурса

по математике 10-11 класса


подготовила учитель математики

Пашко Наталья Прокофьевна

















пгт. Октябрьское

2015год


I.hello_html_m53d4ecad.gifЛинейные уравнения. Схема решения линейного уравнения. Решение линейного уравнения с параметром

Линейным называется уравнение вида hello_html_5cee93ff.gifгде х - неизвестная переменная, hello_html_6c3463d8.gif- коэффициенты.

1.Если a≠0, то уравнение имеет единственное решение hello_html_1459fce3.gif

2.Если a = b = 0, то уравнение примет вид hello_html_3c070e4.gifкоторое имеет бесконечно много решений.

3.Если a = 0, b ≠ 0, то уравнение примет вид hello_html_m64a07ab1.gifне имеет решений.

Пример 1: Решить уравнение hello_html_54a18c77.gif

Решение: В данном уравнении hello_html_me5cf6c3.gif Найдём те значения k, при которых hello_html_34af2632.gif

1.Если hello_html_m48043efc.gif то

hello_html_m6d537e70.gif

2.Если k = 1, то уравнение примет вид hello_html_d1689d4.gif т.е. 0∙x=0, х- любое действительное число.

3.Если k = -3, то уравнение примет вид

hello_html_6519ce0e.gifуравнение решений не имеет.

Ответ: при hello_html_533281ae.gif

при hello_html_2d250cc0.gifлюбое действительное число;

при hello_html_4622ca21.gif уравнение решений не имеет.

II. Решение квадратных уравнений. Квадратных уравнений с параметром.

Квадратным называется уравнение вида hello_html_6fd6940b.gif

Замечание: Квадратное уравнение всегда имеет решение на множестве комплексных чисел.

Пример 1: Решить уравнение hello_html_48db3bbc.gif

Ответ: D=1, hello_html_m4cd6706b.gif

ЕСЛИ ВТОРОЙ КОЭФФИЦИЕНТ ЧЕТНОЕ ЧИСЛО, то используется формула:

hello_html_672e40cd.gif

Пример 2: Решить уравнение hello_html_m86c028a.gif

Ответ: hello_html_m72834727.gif

Пример 3: Решить уравнение c параметром hello_html_m6c74f81b.gif

Решение:

Если m2 = 0, то уравнение станет линейным x+1 = 0, которое имеет решение hello_html_m39d6c40b.gif

Если hello_html_225a7210.gif то hello_html_35c73d61.gif

hello_html_m6e9d5d67.gif

Исследуем знак дискриминанта:

hello_html_49ac6a6d.gif

Если hello_html_m8f92a35.gif то hello_html_m22eee1cd.gif т. е. уравнение действительных корней не имеет.

Если hello_html_m347efa3f.gif то hello_html_7b234d7.gif, то уравнение имеет действительные корни hello_html_f93706d.gif

Ответ: при hello_html_5a1a4da.gif

При hello_html_m6db78d91.gif действительных корней нет;

При hello_html_2d2e7d99.gif

Пример 4: Решить уравнение hello_html_183fd50f.gif

Решение: hello_html_m45ae858b.gif

Если hello_html_282f2558.gif т.е. hello_html_633c488c.gif то hello_html_m221c3e13.gif если

hello_html_3b3159cb.gifт.е. hello_html_2b18307d.gifто действительных корней нет.

Ответ: при hello_html_7bf8849a.gif

при hello_html_129c42e2.gif действительных корней нет.

Пример 5: Найти все значения параметра a, для которых квадратное уравнение hello_html_m2dd206dc.gif

а) имеет два различных корня;

б) не имеет корней;

в) имеет два равных корня.

Решение: Данное уравнение по условию является квадратным, поэтому hello_html_m795edcc5.gif Рассмотрим дискриминант данного уравнения

hello_html_m70c49461.gif

При hello_html_m3ffb559f.gif данное уравнение имеет два различных корня, так как D>0

При hello_html_m61431c7e.gif уравнение корней не имеет, так как hello_html_448628c8.gif Данное уравнение не может иметь двух равных корней, так как D=0 только при a=-1, а это противоречит условию задачи.

Ответ: а) при hello_html_m3ffb559f.gif

б) при hello_html_61c8928c.gif

в) невозможно.

Пример 6: Решить уравнение hello_html_m125ed51.gif

Решение: При hello_html_m61ab5111.gif получаем линейное уравнение hello_html_3ef1e4f0.gif

которое имеет единственное решение hello_html_57095033.gif

При hello_html_m170a01d8.gif уравнение является квадратным и его дискриминант D=4 – 4a

При hello_html_m6240fa81.gifпоэтому данное уравнение корней не имеет.

При hello_html_684fbccc.gif, hello_html_76a50c8b.gif поэтому данное уравнение имеет два совпадающих корня: hello_html_m466cc8bc.gif

При hello_html_75f7adb3.gif следовательно, данное уравнение имеет два различных корня:

hello_html_3d622b03.gif

Ответ: при hello_html_m6c10409e.gif

при hello_html_m100bb014.gif

при hello_html_6c74165.gif

при hello_html_m20cac80c.gif уравнение не имеет решений.

Пример 7: Найти сумму квадратов и сумму кубов корней квадратного уравнения hello_html_f74d082.gif

Решение: Найдём дискриминант данного уравнения

hello_html_2e7cafa3.gifи поэтому уравнение имеет два различных корня.

По теореме Виета имеем hello_html_40f6a09e.gif Представим сумму квадратов и сумму кубов соответственно в виде

hello_html_m68786c44.gif

Отсюда находим hello_html_m346bfde5.gif

Ответ: hello_html_m738c98fa.gif

Пример 8: Составить квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней которого равен hello_html_m33657a38.gif

Решение: Пусть hello_html_m1f85835f.gif рациональные числа, - искомое уравнение.

Поскольку число hello_html_m54763f83.gif является его корнем,

то hello_html_70fc2f14.gif т.е. hello_html_m75bdce90.gif

По условию числа p, q рациональные; поэтому последнее равенство возможно только в том случае, когда одновременно справедливы равенства hello_html_m4cef77bf.gif

Отсюда получаем hello_html_da2d55b.gif

Итак, примером искомого уравнения служит квадратное уравнение

hello_html_4a9b4297.gif

Ответ: hello_html_4a9b4297.gif

Пример 9: Решить уравнение hello_html_m6c071f3a.gif

Решение: hello_html_4b0f9fc.gif

Ответ: hello_html_2d7b340c.gif

Пример10: Решить уравнение hello_html_m20335146.gif

Решение: hello_html_m3cdcfbf1.gif

Ответ: hello_html_m6d49a339.gif

Пример 11: Решить уравнение hello_html_m26b43ae5.gif

Решение: hello_html_4d26176c.gif

Ответ: hello_html_m78cf14a4.gif

Пример 12: Решить уравнение hello_html_m76eb00d4.gif

Решение: hello_html_m1b3333c5.gif

Ответ: hello_html_2e0ad511.gif

Пример 13: Решить уравнение hello_html_m117f9603.gif

Решение: Пусть hello_html_440c0d6d.gif тогда hello_html_m764ec60a.gif

hello_html_18b5f6f2.gif

Имеем hello_html_mce2d0f9.gif

Ответ: hello_html_49538e42.gif

Пример 14: Решить уравнение hello_html_71ebadbf.gif

Решение: Пусть hello_html_440c0d6d.gif тогда hello_html_58c27c4c.gif

hello_html_677cc14f.gif

Имеем hello_html_776fc211.gif

Ответ: hello_html_4d5a7b8c.gif


III. Симметрические уравнения.

Уравнения вида hello_html_6c90f9e2.gif называются симметрическими уравнениями третьей степени.

Поскольку hello_html_m1190a2ad.gif то уравнение равносильно совокупности hello_html_374d3d89.gif

Уравнения вида hello_html_m1eb8a6b0.gif называются симметрическими уравнениями четвёртой степени.

Разделив обе части на hello_html_6a1d1570.gif не является его корнем), получим эквивалентное ему уравнение

hello_html_m75dcb695.gif

Аналогично для второго уравнения получаем эквивалентное ему уравнение hello_html_4e3d83a0.gif

Для решения полученных уравнений положим соответственно

hello_html_e4324c9.gifПоскольку hello_html_m6e30093.gif

то получаем hello_html_40682658.gif Таким образом, если hello_html_m7c196220.gif корни

уравнения первого, а hello_html_7146888a.gifкорни второго уравнения, то исходные уравнения эквивалентны соответственно совокупностям уравнений

hello_html_11a9d39e.gifhello_html_m59255122.gif

Пример 1: Решить уравнение hello_html_m382169ec.gif

Решение:

Поскольку x = 0 не является решением данного уравнения, то, разделив обе его части на x2, получим hello_html_m4a2fcd97.gif,

откуда hello_html_58674d3d.gif

Положив hello_html_m5457bc68.gif получим уравнение hello_html_m26319465.gif

Отсюда находим hello_html_m2f817795.gif Следовательно, исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений

hello_html_16ebd9a.gif

Второе уравнение этой совокупности решений не имеет. Корнями первого уравнения, а значит и исходного являются числа

hello_html_me61d7b0.gif

Ответ: hello_html_m62c8fa4f.gif

Пример 2: Решить уравнение hello_html_5854856d.gif

Решение: hello_html_7effbbc7.gif

Отсюда hello_html_5814ad49.gifhello_html_m53d4ecad.gifТаким образом, исходное уравнение

эквивалентно совокупности уравнений hello_html_2e83708a.gif

Второе уравнение совокупности решений не имеет. Корнями первого, а значит и исходного являются числа hello_html_m51fbb80d.gif

Ответ: 2 и -3.

Пример 3: Решить уравнение hello_html_m420978d3.gif

Решение: Т.к. 0 не является решением данного уравнения,

Разделим обе части на x2, получим уравнение

hello_html_7db04dd1.gif

Решением этого уравнения являются числа hello_html_m5e12d2ec.gif

Таким образом hello_html_m1779358a.gif

Решив эту совокупность, получим корни

hello_html_41e59502.gif

Ответ: hello_html_m111a0eb9.gif

Уравнения вида

hello_html_25fe15ed.gif

Можно решать, используя замену переменных (симметризацию уравнения)

hello_html_m5222de0e.gif

Пример 4: Решить уравнение hello_html_70d87dbe.gif

Решение: Перепишем данное уравнение в виде

hello_html_m552e40a9.gif

Так как hello_html_m4eaff63a.gif то введём новую переменную

hello_html_25b22d90.gif

Подставляя hello_html_ed45713.gif в исходное уравнение, получим

hello_html_m6ad90ba6.gif

Соответствующие корни исходного уравнения равны hello_html_m7d4a70dc.gif

Ответ: hello_html_m7a2e872b.gif

Уравнение вида

hello_html_4f9228eb.gif

сводится к решению совокупности двух квадратных уравнений при помощи замены hello_html_78e8cfe4.gif

Пример 5: Решить уравнение

hello_html_b21fa17.gif

Решение: Заметим, что hello_html_m49441ae4.gif Перемножив в левой части данного уравнения первую и четвёртую скобки, а также вторую и третью, получим hello_html_m205d9ac.gif

Поскольку 0 не является корнем данного уравнения, поделим обе части этого уравнения на hello_html_7621e3d3.gif Получим уравнение

hello_html_m33b67f68.gifравносильное исходному.

Сделаем замену переменной hello_html_m19ca5fad.gif

Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

hello_html_m766cc4d6.gifт. е. hello_html_239e6542.gif

Решив эту совокупность, получаем

Ответ: hello_html_639b308a.gif

Уравнение вида hello_html_63ca55fd.gif

можно решить также, используя метод симметризации, т. е. делая замену hello_html_3773a66c.gif

Пример 6: Решить уравнение hello_html_m69fb515f.gif

Решение: Данное уравнение после замены переменной примет вид hello_html_m72ef9921.gif

Решая это биквадратное уравнение, получим его корни

hello_html_m4c91a664.gif

Ответ: 8; 6.


Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy



Автор
Дата добавления 17.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров264
Номер материала ДВ-350583
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх