Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Материал по алгебре на тему "Решение уравнений высших степеней" (10 класс)
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Материал по алгебре на тему "Решение уравнений высших степеней" (10 класс)

библиотека
материалов

СОДЕРЖАНИЕ

1.Введение

2. История

Глава 1. Решение уравнений высших степеней методом разложения на множители.

    1. Разложение на множители методом группировки.

    2. Теорема Безу, теорема Виета и следствия из них, схема Горнера.

Глава 2. Уравнения высших степеней, решение которых приводится

к решению квадратных уравнений.

2.1. Биквадратные уравнения.

2.2. Уравнения, содержащие взаимно обратные выражения.

2.3. Уравнения четвертой степени, решение которых приводится к решению

квадратных уравнений путем выделения полного квадрата.

2.4. Возвратные уравнения.

2.5. Уравнения вида hello_html_m3e262974.gif.

2.6. Уравнения вида hello_html_m89ec8b9.gif.

Глава 3. Решение уравнений высших степеней методом введения новой переменной.

Глава 4. Нестандартные способы решения уравнений высших степеней.

Литература.





















Цели и задачи:

Цель работы:

рассмотреть различные способы решения алгебраических уравнений;

проанализировать существующие способы решения уравнений высших

степеней.



Задачи работы:

изучить алгоритм решения алгебраических уравнений высших степеней, используя:

  • Общий способ,

  • Формулу Кардано,

  • Схему Горнера;

рассмотреть различные способы и методы решения уравнений высших степеней:

  • Разложение на множители. Способ группировки;

  • Замена переменной;

  • Метод деления на многочлен, содержащий переменную;

  • Метод выделения полного квадрата.



    • показать некоторые нетрадиционные способы решений уравнений









Глава 1. Решение уравнений высших степеней

методом разложения на множители.

Один из способов решения уравнения hello_html_485dd26b.gif состоит в разложении многочлена hello_html_m331a812c.gif на множители, что позволяет свести решение исходного уравнения к решению нескольких уравнений более низких степеней.

    1. Разложение на множители методом группировки.

Решение уравнений высших степеней является трудной задачей, и нельзя указать универсального способа нахождения корней. Рассмотрим некоторые из них на примерах.

Пример 1. Решите уравнение (х +1)(хhello_html_3046c012.gif+2) + (х +2)(хhello_html_3046c012.gif+1) = 2

Решение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

hello_html_246091c0.gif;

hello_html_5739a1b0.gif;

hello_html_m926a258.gif;

hello_html_m2fba1d18.gif;

hello_html_mb49dfb1.gif;

hello_html_6ff32e9a.gif;

hello_html_m4ac2c84a.gif; или hello_html_m5a226157.gif;

х = -1. D = 1 – 16 = -15, D < 0, значит квадратное уравнение

действительных корней не имеет.

Ответ: х = -1.

Пример 2. Решите уравнение hello_html_m2f9af54.gif

Методом группировки левую часть уравнения разложим на множители.

hello_html_m43fb8c7e.gif;

hello_html_mcd2af00.gif;

hello_html_m5a14a847.gif;

hello_html_1c97e651.gif; или hello_html_m9865835.gif;

х = 2; х= -2. hello_html_56424dd1.gif

Ответ: х = 2; х= -2; hello_html_56424dd1.gif.

Пример 3. Решите уравнение hello_html_m39dced68.gif

Методом группировки левую часть уравнения разложим на множители.

hello_html_37b51008.gif;

hello_html_290c541b.gif;

hello_html_64234545.gif;

hello_html_m6e518b5d.gif;

2х - 1 = 0; х – 1 = 0; х + 1 = 0;

х = 0,5. х = 1. х = -1.

Ответ: х = 0,5; х = 1; х = -1.

Пример 4. Решите уравнение hello_html_m654833ed.gif

Методом группировки левую часть уравнения разложим на множители.

hello_html_m1f9efb77.gif;

hello_html_m52229789.gif;

hello_html_m3858820a.gif;

hello_html_5e18ff63.gif; или hello_html_m72efc9af.gif;

х = hello_html_59305994.gif; Сумма коэффициентов квадратного уравнения равна нулю,

х = -hello_html_59305994.gif. следовательно, корни уравнения х = 1; х = 3.

Ответ: х = hello_html_59305994.gif; х = -hello_html_59305994.gif; х = 1; х = 3.

Пример 5. Решите уравнение hello_html_m11d6c8d2.gif

Так как х = 1 не является корнем, поэтому домножим обе части уравнения на (х – 1)hello_html_3046c012.gif. Получаем:

hello_html_m195ddb2b.gif;

Тогда hello_html_5fe5da45.gif;

hello_html_m7d7ad67b.gif;

hello_html_118866c6.gif;

hello_html_5a26306c.gif;

hello_html_70e7e671.gif; x = 0; х = 1 - не является корнем. Ответ: х = 0.

Пример 6. Решите уравнение

hello_html_m6d70a6a9.gif

Так как х = 1 не является корнем, поэтому домножим обе части уравнения на (х – 1)hello_html_3046c012.gif. Получаем:

(х – 1)hello_html_3046c012.gifhello_html_m6d70a6a9.gif (х – 1)hello_html_3046c012.gif;

hello_html_m5ae3d4a5.gif;

hello_html_m6def3973.gif;

hello_html_m21faff40.gif;

hello_html_m4c65822a.gif;

hello_html_24310ae.gif;

Х = 0; или hello_html_28045a1b.gif

х = -1; х = 1 - не является корнем.

Ответ: Х = 0; х = -1.

Пример 7. Решите уравнение hello_html_m3fd812fc.gif

Решение. Используя формулы сокращенного умножения

hello_html_75957b56.gif, представив левую часть уравнения в виде произведения, а правую часть перенести влево. Получим: hello_html_4ae6392.gif

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

  1. hello_html_m1bcb3604.gif2) hello_html_59ee8298.gif

Ответ: hello_html_3bee059b.gif

    1. . Теорема Безу, теорема Виета и следствия из них, схема Горнера.

Для изучения уравнений высших степеней

hello_html_7be4c938.gif(1)

первостепенное значение имеет теорема Безу и ее следствия.

Теорема Безу:

Остаток от деления многочлена относительно x на двучлен х – а равен значению этого многочлена при х , равном а.

Следствие:

1)Для того чтобы многочлен f(x) делился на х – а необходимо и достаточно, чтобы f(a) = 0.

2) Для того чтобы многочлен f(x) делился на х + а необходимо и достаточно, чтобы f(-a)=0.

3) Таким образом, если число hello_html_m1a94f315.gif - корень уравнения, то левую часть уравнения (1) можно записать в виде: hello_html_750db361.gif, где многочлен степени n-1.

Как же найти корень hello_html_m1a94f315.gif? Вспомним теорема Виета.

Теорема Виета:

Корни уравнения hello_html_7be4c938.gif, hello_html_m7035bdff.gif

с его коэффициентами связаны следующими соотношениями:

hello_html_4f8eeac.gif

  1. Таким образом, для того чтобы несократимая дробь hello_html_258580a.gif была корнем уравнения с целыми коэффициентами hello_html_7be4c938.gif,

Необходимо и достаточно, чтобы p было делителем свободного члена

hello_html_ad0dd72.gif, а q – делителем коэффициента hello_html_m4622b767.gif.

  1. Если уравнение hello_html_7be4c938.gif имеет целые коэффициенты и коэффициент при hello_html_m721a646b.gif равен 1, то рациональными корнями могут быть только целыми числами.

  2. Целые корни уравнения с целыми коэффициентами hello_html_7be4c938.gif

являются делителями свободного члена. (Это свойство позволяет легко найти корни уравнения с целыми коэффициентами.)

  1. Число 1 является корнем уравнения hello_html_7be4c938.gif с целыми коэффициентами, если сумма всех коэффициентов равна нулю.

  2. Число -1 является корнем уравнения hello_html_7be4c938.gif с целыми коэффициентами, если суммы коэффициентов при слагаемых с четными показателями степени равна сумме коэффициентов слагаемых с нечетными показателями степени.

Пример 1. Решите уравнение hello_html_3fa1cd2e.gif.

Решение. Так как уравнение имеет целые коэффициенты и коэффициент при hello_html_m721a646b.gif равен 1 , то целыми корнями могут быть только делители свободного члена, то есть 1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6.

Число 1 является ли корнем уравнения, так как сумму коэффициентов: 1 – 6 +11 - 6 = 0. Тогда на основании теоремы Безу многочлен, стоящий в левой части уравнения делится на двучлен х – 1. Используя схему Горнера разделим левую часть на х – 1:


1

-6

11

-6

1

1

-5

6

0

hello_html_m79f40517.gif

Квадратный трехчлен легко разложит на множители, используя теорему Виета: hello_html_48e85db7.gif корни hello_html_m7c65fd01.gif

Таким образом, левую часть уравнения мы разложили на множители:

hello_html_7d0e84ea.gif

Ответ: hello_html_15b45634.gif

Пример 2. Решите уравнение hello_html_m134a47dc.gif.

Решение. Делителями числа 18 будут числа 1, 2, 3, 6, 9, а делителями числа 3 – числа 1 и 3. Среди чисел ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±hello_html_m79282da9.gif

Число 1 не является корнем уравнения, так как сумма 3 – 4 + 5 - 18 ≠ 0.

Число -1 не является корнем уравнения , так как сумма 3 + 5 ≠ -4 – 18.

По схеме Горнера найдем среди этих чисел корень уравнения.


3

-4

5

-18

2

3

2

9

0

Используя следствие из теоремы Безу, запишем уравнение в виде:hello_html_2b02c6d8.gif.

Уравнение hello_html_7d70bc7e.gif корней не имеет, так как D = 4 – 108 = -104, D<0.

Ответ : х = 2

Пример 3. Решите уравнение hello_html_m1a35f4bc.gif.

Решение . Делителями числа 3 будут числа 1, 3, а делителями числа 8 – числа 1 ,2, 4, 8. Среди чисел ±1, ±hello_html_6f374983.gifhello_html_26f2cac6.gif.

Число 1 не является корнем уравнения, так как сумма 8 – 13 + 6 – 1 + 3 ≠ 0.

Число -1 не является корнем уравнения , так как сумма 8 – 13 + 3 ≠ 6 – 1.

По схеме Горнера найдем среди этих чисел корень уравнения.


8

6

-13

-1

3

hello_html_m3cbd5b10.gif

8

-4+6=2

-1-13=-14

7-1=6

-3+3=0



Число -0,5 является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде: hello_html_6cdf7bf5.gif

Найдем корни уравнения hello_html_m7a0626f5.gif,

среди чисел ±1, ±2, ±3,±6, hello_html_6d942795.gif

Число 1 не является корнем уравнения, так как сумма 8 – 14 + 6 +2 ≠ 0.

Число -1 не является корнем уравнения , так как сумма 8 – 14 ≠ 6 + 2.

По схеме Горнера найдем среди этих чисел корень уравнения.


8

2

-14

6

hello_html_m36eb93da.gif

8

6+2=8

6-14=-8

-6+6=0

Число hello_html_m36eb93da.gif является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде:



hello_html_m32549b4.gifДанное уравнение равносильно совокупности уравнений: 1) hello_html_md38220c.gif 2) hello_html_1fa57f2.gif 3) hello_html_m541b54a.gif

Ответ : hello_html_m37230bed.gif

Пример 4. Решите уравнение hello_html_66504094.gif

Решение. Среди делителей числа 3 - ±1, ±3 будем искать корни уравнения. Число 1 не является корнем уравнения, так как сумма

1+ 4 +6 + 3 ≠ 0. Число -1 является корнем уравнения , так как сумма

6 + 1 = 4 + 3. По схеме Горнера найдем частное от деления левой части уравнения на двучлен х + 1.


1

4

6

3

-1

1

-1 + 4 =3

-3 +6 = 3

-3 + 3 = 0



Число -1 является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде:

hello_html_m2e798451.gif

Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:

  1. hello_html_3e578037.gifи 2) hello_html_3cd3102c.gif

Ответ: х₁ = -1.

Пример 5. Решите уравнение hello_html_4f448057.gif.

Решение. Среди чисел ±1, ±2, ±5, ±hello_html_3c0ad42.gif найдем корень уравнения .

Число 1 является корнем уравнения, так как сумма

2 – 1 - 9 + 13 - 5 = 0. По схеме Горнера найдем частное от деления левой части уравнения на двучлен х - 1.


2

-1

-9

13

-5

1

2

1

-8

5

0

Число 1 является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде:

hello_html_m7c683bf1.gif.

Найдем корни уравнения hello_html_m1caa37a1.gif среди чисел ±1, ±5, hello_html_3f926374.gif

Число 1 является корнем уравнения, так как сумма

2 + 1 - 8 + 5 = 0. По схеме Горнера найдем частное от деления левой части уравнения на двучлен х - 1.


2

1

-8

5

1

2

3

-5

0

Число 1 является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде: hello_html_1f689187.gif. Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:

  1. hello_html_7d79a0cd.gif2)hello_html_m20436950.gifтак как сумма коэффициентов равна

нулю.

Ответ: hello_html_m72ca3d0c.gif

Пример 6. Решите уравнения hello_html_46e41bf.gif.

Решение. Корни уравнения будем искать среди делителей числа -120.

Число 1 не является корнем уравнения, так как сумма

1 – 4 – 19 + 106 - 120 ≠ 0. Число -1 является корнем уравнения , так как сумма 1 - 19 - 120 ≠ - 4 + 106.

По схеме Горнера найдем корни уравнения.


1

-4

-19

106

-120

2

1

-2

-4-19=-23

-46+106=60

120-120=0

Число 2 является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде:

hello_html_m660347a7.gif

Найдем корни уравнения hello_html_713db3ba.gif среди делителей числа 60.

По схеме Горнера найдем корни уравнения.


1

-2

-23

60

4

1

2

8-23=-15

-60+60=0

Число 4 является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде:

hello_html_m2ab89b4f.gif

Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:

  1. hello_html_m56f5705b.gif2) hello_html_m2a45e770.gif 3) hello_html_m7d5063e8.gif

Ответ: hello_html_m280a6d26.gif











Глава 2. Уравнения высших степеней, решение которых приводится к решению квадратных уравнений.

Рассмотрим частные случаи, в которых решение уравнений высших степеней приводится к решению квадратных уравнений.

2.1 Биквадратные уравнения;

2.2. Сравнения, содержащие взаимно обратные выражения;







































2.3. Уравнения четвертой степени, решение которых приводится к решению квадратных уравнений путем выделения полного квадрата.

Уравнения четвертой степени, решение которых приводится к решению квадратных уравнений путем выделения полного квадрата, рассмотрим на следующих примерах.

Пример 1. Решить уравнение hello_html_m19943b1b.gif

Решение. В левой части уравнения выделим полный квадрат; получим

hello_html_22668d37.gifили hello_html_6f9a8efc.gif

hello_html_m7da7d26b.gif

Обозначим hello_html_m415604d.gif; тогда уравнение примет вид hello_html_m5bb87a60.gif, так как сумма коэффициентов равна нулю, то hello_html_61bf9d43.gif и hello_html_46fe508a.gif Так как hello_html_m415604d.gif, то

hello_html_m2b65caa7.gifили hello_html_m4be216c9.gif

D=bhello_html_3046c012.gif - 4ac; D=9 + 4 = 13. D=bhello_html_3046c012.gif - 4ac; D= 9 + 12 = 21.

hello_html_6ee19e13.gifhello_html_m73d9dae3.gif

Ответ: hello_html_6ee19e13.gif ; hello_html_m73d9dae3.gif.

Пример 2. Решите уравнение hello_html_m360fe1f0.gif.

Решение. В левой части уравнения выделим полный квадрат; получим

hello_html_m3f6c2f3b.gifили hello_html_48781302.gif

hello_html_m363cae47.gif

Раскладывая левую часть уравнения на множители, как разность квадратов, получаем hello_html_6cf7bb0a.gif

Произведение двух действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем два уравнения:

1) hello_html_1a89bce2.gif

D=bhello_html_3046c012.gif - 4ac;

D=1 – 4 = -3 - уравнение действительных корней не имеет,

и уравнение

2) hello_html_5be5187.gif

D=bhello_html_3046c012.gif - 4ac; D=9 + 4 = 13 – два действительных корня,

hello_html_294712ee.gif; hello_html_b5e0f14.gif

Ответ: hello_html_294712ee.gif ; hello_html_b5e0f14.gif

2.4. Возвратные уравнения.

Целое алгебраическое уравнение

hello_html_m1756df87.gif

называется возвратным, если совпадают коэффициенты при слагаемых, сумма степеней которых равна степени многочлена, т.е. hello_html_m35e283aa.gifhello_html_63b492da.gif….

Алгебраическое уравнение четвертой степени вида hello_html_m1018e838.gif,

е ≠ 0, называется возвратным, если коэффициенты связаны равенствами hello_html_m79db0d63.gif hello_html_m7f3ca9e6.gif- некоторое число.

Легко показать, что если hello_html_2e7982d1.gif- корень возвратного уравнения, то и hello_html_m5a8ee1df.gif - также корень этого уравнения.

Для решения этих уравнений используют метод замены переменной

hello_html_m12527482.gifили hello_html_m5dfbfc60.gif.

Пример 1. Решите уравнение hello_html_m3d5ed1b4.gif

Решение. Разделив обе части уравнения на хhello_html_3046c012.gif≠ 0, получим

hello_html_4addd090.gif, или hello_html_68c8ce89.gif

Обозначим hello_html_maded3be.gif, тогда hello_html_1472c8b3.gif или hello_html_m2063eda0.gif, тогда уравнение примет вид hello_html_4faad51f.gif, или hello_html_70d2732c.gif

D=bhello_html_3046c012.gif - 4ac; D=9 + 160 = 169 – два действительных корня

hello_html_m56761f5a.gif, hello_html_m116c84f.gif.

Так как hello_html_maded3be.gif, получим два уравнения.

1) hello_html_m7925fb1d.gif

Умножим уравнение на 2х , получим квадратные уравнения

hello_html_m1053cab9.gif

D=bhello_html_3046c012.gif - 4ac; D = (-5)hello_html_3046c012.gif - 16 = 9 – два действительных корня.

hello_html_a61e0ff.gif; hello_html_46f6c432.gif.

2) hello_html_60241bd.gif

Умножим уравнение на х , получим уравнение

hello_html_m7154a710.gif

k = b : 2 , k=2

D = khello_html_3046c012.gif - ac; D₁ = 2hello_html_3046c012.gif - 1 = 3 – два действительных корня

hello_html_2fcf8b00.gif, hello_html_4beac18a.gif.

Ответ: hello_html_m5c838d07.gif, х₂ = 0,5, hello_html_2fcf8b00.gif, hello_html_4beac18a.gif.

Пример 2. Решите уравнение hello_html_40813c55.gif

Решение. Сгруппируем слагаемые:hello_html_1273eb3e.gif

Сделаем подстановку hello_html_41ad74ef.gif, тогда hello_html_m6fb6abe7.gif. Отсюда hello_html_m572bc64e.gif.

В результате приходим к уравнению:

hello_html_34193227.gif

Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений.

  1. hello_html_49c798f8.gifи 2) hello_html_m3bb1647a.gif

Ответ: hello_html_m420db9ea.gif



Пример 3. Решите уравнение hello_html_39f96c85.gif

Решение. Обозначим hello_html_11f52dfe.gif, тогда hello_html_1da464d7.gif, тогда hello_html_m5e6fb843.gif. Запишем исходное уравнение в новых обозначениях

hello_html_63aa2f79.gif- по теореме Виета.

Так как hello_html_11f52dfe.gif, то получим 2 уравнения:

  1. hello_html_m4c6943a3.gif2) hello_html_508d72d0.gif

Ответ: hello_html_69c97e51.gif



Пример 4. Решите уравнение hello_html_39f96c85.gif

Решение. Обозначим hello_html_11f52dfe.gif, тогда hello_html_1da464d7.gif, тогда hello_html_m5e6fb843.gif. Запишем исходное уравнение в новых обозначениях

hello_html_63aa2f79.gif- по теореме Виета.

Так как hello_html_11f52dfe.gif, то получим 2 уравнения:

  1. hello_html_m4c6943a3.gif2) hello_html_508d72d0.gif

Ответ: hello_html_69c97e51.gif

2.5. Решение уравнений вида hello_html_m1018e838.gif

Решение уравнений вида hello_html_m1018e838.gif (hello_html_5fb66ad8.gif hello_html_m21a23888.gif) приводится к решению квадратного уравнения делением на хhello_html_3046c012.gif (как возвратного), если

hello_html_5e7ea305.gif. Поэтому такое уравнение иногда называют возвратным.

Пример. Решите уравнение hello_html_5a47860.gif.

Решение. Так как условие hello_html_5e7ea305.gif выполняется, т.е. hello_html_m19b586a5.gif или 25 = 25,

то обе части уравнения делим на хhello_html_3046c012.gif; получим

hello_html_390590bd.gif, или hello_html_m31d20928.gif

Обозначим hello_html_m236beaec.gif; тогда hello_html_5258b6ca.gif , тогда уравнение примет вид

hello_html_m3bb82ffb.gifили hello_html_39b9b37d.gif

D=bhello_html_3046c012.gif - 4ac; D = (-21)hello_html_3046c012.gif - 432 = 441- 432 = 9 – два действительных корня.

hello_html_m6505a2a9.gif, hello_html_bc0ffe6.gif.

Так как hello_html_m236beaec.gif получим два уравнения:

  1. hello_html_762c736e.gifпо теореме Виета 2) hello_html_m783491a4.gif

Ответ: hello_html_m5c838d07.gif; hello_html_m4c525bbd.gif; hello_html_e86d7c7.gif; hello_html_305c20c1.gif

2.6. Решение уравнения вида hello_html_m3e262974.gif.

Уравнения вида hello_html_m3e262974.gif приводится к биквадратному уравнению заменой

hello_html_d8ee39a.gifзаменим hello_html_10ad4fd.gif

Вычитая, получим hello_html_m36f42d87.gif или hello_html_62442125.gif, тогда hello_html_m29a80463.gif

Или hello_html_3dee0747.gif

Относительно t уравнение примет вид: hello_html_m20826feb.gif

или, после упрощений, hello_html_29776a21.gif.

Заметим, что решение будет аналогичным, если степень двучленов будет и другой. В работе рассмотрены примеры с показателем степени 3; 4; 5.

Пример 1. Решите уравнение (7 - хhello_html_3046c012.gif)hello_html_4f6f198b.gif + (9 - хhello_html_3046c012.gif)hello_html_4f6f198b.gif = 16.

Решение. Введем новую переменную у = 8 – хhello_html_3046c012.gif.

После замены выражения хhello_html_3046c012.gif на 8 – у , исходное уравнение приводим к виду

(у - 1)hello_html_4f6f198b.gif + (у + 1)hello_html_4f6f198b.gif = 16.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

hello_html_m37e541a9.gif;

hello_html_7c22e29.gif;

hello_html_4da5e49.gif;

Пусть hello_html_7f398e86.gif, тогда получим квадратное уравнение hello_html_37735c52.gif.

Сумма коэффициентов этого квадратного уравнения равна нулю,

значит t= 1; t = -7.

hello_html_mff99821.gif= 1; или hello_html_mff99821.gif= -7 - данное уравнение корней не имеет.

y = 1; y= -1.

Так как у = 8 - хhello_html_3046c012.gif, то 8 - хhello_html_3046c012.gif= 1; или 8 - хhello_html_3046c012.gif= -1;

хhello_html_3046c012.gif = 7; хhello_html_3046c012.gif= 9;

х = hello_html_3e743dab.gif; х= - hello_html_3e743dab.gif. х = 3; х= -3.

Ответ: х = hello_html_3e743dab.gif; х= - hello_html_3e743dab.gif; х = 3; х= -3.

Пример 2. Решите уравнение (х +3)hello_html_m5a7d0236.gif - (х +1) hello_html_m5a7d0236.gif = 56 .

Решение. Введем новую переменную у = х +2.

После замены переменной х на выражение у - 2 , исходное уравнение приводим к виду (у +1)hello_html_m5a7d0236.gif - (у - 1) hello_html_m5a7d0236.gif = 56. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

hello_html_m4ddda6e3.gif;

2 (hello_html_m63e06ba6.gif;

2 ∙ (3hello_html_m56ee5686.gif;

hello_html_m642c007f.gif;

hello_html_m63190c8c.gif;

hello_html_m3335885c.gif; y = 3; y= -3.

Так как у = х +2 , то х +2 =3; или х +2 = -3;

х₁ = 1 ; х= -5. Ответ: х₁ = 1 ; х= -5.

Пример 3. Решите уравнение hello_html_m5f44a79e.gif

Решение. Введем новую переменную у = х + 1. После замены переменной х на выражение у - 1 , исходное уравнение приводим к виду

(у - 2)hello_html_m2554dbad.gif + (у + 2) hello_html_m2554dbad.gif = 242 у Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

hello_html_591f7169.gif;

hello_html_m6814fe8a.gif;

hello_html_7cd08be7.gif;

hello_html_169db4bb.gif;

у = 0; или hello_html_6c53b966.gif - это биквадратное уравнение.

Пусть t = hello_html_mff99821.gif, тогда получим квадратное уравнение

hello_html_m7cb7d68f.gif, сумма коэффициентов этого уравнения

равна нулю, следовательно hello_html_61bf9d43.gif ; hello_html_m7467f87f.gif.

Так как t = hello_html_mff99821.gif, то hello_html_mff99821.gif= 1; или hello_html_mff99821.gif= - 41

y = 1; y= -1. Уравнение корней не имеет.

Так как у = х + 1, то х + 1 = 1; х + 1 = -1; х + 1 = 0;

х = 0. х = -2. х = -1.

Ответ: х = 0; х= -2; х = -1.

2.7. Решение уравнения вида hello_html_m89ec8b9.gif.



Уравнение вида hello_html_m89ec8b9.gif приводится к решению квадратного уравнения, если a + b = c + d или a + c = b + d или

a + d = b + c.

Пример 1. Решите уравнение hello_html_5bd37f94.gif.

Решение. Раскроем скобки, группируя их следующим образом, получим

hello_html_68495e16.gif

Сделаем замену у = hello_html_m630142c9.gif. Тогда получаем:

hello_html_m3c0c7547.gif

Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений:

hello_html_m630142c9.gif=41 и hello_html_m630142c9.gif= - 41

hello_html_67b2bfec.gifhello_html_89025d3.gif

По теореме Виета: D=25 – 184 = -159, D < 0

hello_html_m284b289b.gifуравнение действительных корней не имеет.

Ответ : х =-9; х = 4.

Пример 2. Решите уравнение hello_html_b26ceec.gif

Решение. С группируем скобки следующим образом: hello_html_m4effd8c8.gif

раскроем скобки и приведем подобные слагаемые

hello_html_m12ceab04.gif

Сделаем замену hello_html_m224ae4f9.gif. Тогда получим:

hello_html_868cd68.gif

hello_html_5af20b8e.gifили hello_html_3f71a882.gif

Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений:

  1. hello_html_4e041eee.gif2) hello_html_m6d1d4e35.gif

Ответ: hello_html_m65edcd51.gif



Пример 3. Решите уравнение hello_html_m3a44b110.gif

Решение. Сгруппируем множители следующим образом: hello_html_57f731f6.gif

Обозначим hello_html_m224ae4f9.gif. Тогда получим :

hello_html_495811e9.gif

hello_html_m7d348100.gif

Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений.

  1. hello_html_58120334.gifи 2)hello_html_f94e751.gif

Ответ: hello_html_1d54f12f.gif

Пример 4. Решите уравнение hello_html_3068592.gif

Решение. Так как 2 + 1 =-3 + 6, то можно сгруппировать множители левой части уравнения так: hello_html_2da35bbc.gif,

или hello_html_43a3c7c3.gif

Обозначимhello_html_m4c7113ee.gif, тогда относительно hello_html_6d17e568.gif получим:

hello_html_m330c475.gifПо теореме Виета.

Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений.

  1. hello_html_m26abda89.gifПо теореме Виета. 2) hello_html_4f7956c2.gif

Ответ: hello_html_m371efa16.gifhello_html_55bf4ae4.gif



































Глава 3. Решение уравнений методом замены неизвестного.

Решение многих уравнений заключается в сведении их к уравнениям видов рассмотренных в главе 2, способом введения вспомогательной неизвестной.

Пример 1. Решите уравнение hello_html_1790cdab.gif

Решение. Введем новую переменную hello_html_534ea46a.gif , получим:

hello_html_m494dde9a.gifили разделив на hello_html_m24d254eb.gif, hello_html_9a82e40.gif

Решением данного уравнения является число -1, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степеней равна сумме коэффициентов слагаемых с нечетными показателями степеней. (2+1=3)

Используя схему Горнера , получим:

хhello_html_50cf2af7.gif

2

0

1

3

-1

2

-2

3

0

Левую часть уравнения можно разложить на множители:

hello_html_70357401.gif

Произведение двух действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем два уравнения:

hello_html_a515c83.gifданное уравнение действительных корней не имеет.

у + 2 = 0,

у = -2.

Ответ: у = - 2.

Пример2. Решите уравнение hello_html_m5eb525bd.gif

Введем новую переменную hello_html_ca8769e.gif, тогда уравнение примет вид: hello_html_327edd18.gif Пусть hello_html_5a2e5a5b.gif, получим уравнение: hello_html_m13fac626.gif

Сумма коэффициентов квадратного уравнения равна нулю, значит

t = 1, t =32. Таким образом: hello_html_m58d6e5be.gif или hello_html_3f7d55a.gif

Так как hello_html_ca8769e.gif, получим два уравнения: hello_html_m4454f09f.gif или hello_html_m7ae1cbf6.gif

Ответ: х= 1; х =4.



Пример 3. Решите уравнение hello_html_3d55c67e.gif

Решение. Введем новую переменную hello_html_m70968753.gif, тогда уравнение примет вид:

hello_html_m7132c2e9.gif



По теореме Виета: hello_html_m47887932.gif hello_html_237a4040.gif

Так как hello_html_m70968753.gif, то получим два уравнения:

  1. hello_html_6dcef49d.gif2)hello_html_m715288ef.gif

Ответ: х =-3; х = -2; х =1; х =2.



































Глава 4. Нестандартные способы решения уравнений высших

степеней.

Пример 1. Найдите действительные корни уравнения

hello_html_2a5eb890.gif

Решение. Поскольку в левой части уравнения стоит выражение все слагаемые, которого неотрицательные, а по условию их сумма равна нулю, то это возможно лишь при условии, что каждое слагаемое равно нулю: hello_html_m2edaa730.gif или

hello_html_70f62a11.gif

Ответ: х = 1,8.

Пример 2. Решите уравнение hello_html_267a0e7a.gif.

Рассмотрим два способа решения данного уравнения . Решение. 1 способ. Заметим, что х = 1 не является корнем данного уравнение, поэтому разделим левую и правую части уравнения на выражение (х – 1)hello_html_3046c012.gif, получим

hello_html_5ff34c29.gif, так как hello_html_392af018.gif

Далее заменим hello_html_1a071060.gif и уравнение примет вид hello_html_14a6f6a.gif. Сумма коэффициентов данного уравнения равна нулю ( 1 - 5 + 4 = 0), значит корни уравнения hello_html_4b92e13a.gif; hello_html_m4f6e5922.gif

Так как hello_html_1a071060.gif, то получим два уравнения:

  1. hello_html_m316dec84.gif2)hello_html_2531f734.gif

D < 0 – данное уравнение х = 2.

корней не имеет. Ответ: х = 2.



2 способ. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Получим уравнение четвертой степени: hello_html_7fd2eb64.gif

1. Используя схему Горнера, находим, среди делителей свободного члена

±1; 2; ± 4, целые корни уравнения.

Заметим, что сумма коэффициентов не равна нулю, то хhello_html_50cf2af7.gif=1 не является корнем уравнения. (1 – 5 + 9 – 8 + 4 0)

Число -1 так же не является корнем, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степени не равна сумме коэффициентов слагаемых с не четными показателями степени.

(1+ 9 +4 - 5 – 8). Составим таблицу:



хhello_html_50cf2af7.gif

1

- 5

9

- 8

4

2

1

- 3

3

- 2

0



Из таблицы видно, что х = 2 корень уравнения, и уравнение можно записать в виде: hello_html_2d11f59b.gif.

Решим уравнение hello_html_5d47ff5a.gif

Используя схему Горнера, находим, среди делителей свободного члена

±1; 2, целые корни уравнения.

Заметим, что сумма коэффициентов не равна нулю, то хhello_html_50cf2af7.gif=1 не является корнем уравнения. (1 – 3 + 3 – 2 0)

Число -1 так же не является корнем, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степени не равна сумме коэффициентов слагаемых с не четными показателями степени.

(1+ 3 - 3 – 2). Составим таблицу:



хhello_html_50cf2af7.gif

1

-3

3

-2

2

1

- 1

1

0



Из таблицы видно, что х = 2 корень уравнения, и уравнение можно записать в виде: hello_html_38a0ba9b.gif.

Таким образом, левую часть уравнения hello_html_7fd2eb64.gif

можно разложить на множители следующим образом: hello_html_2a2d499b.gif Произведение двух действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем два уравнения:

  1. hello_html_m7a83c25d.gif2) hello_html_75baee1b.gif

данное уравнение

действительных корней не имеет.

Ответ: х = 2.

Я привела два способа решения уравнения hello_html_267a0e7a.gif,

чтобы показать, насколько первый способ проще и необходимость поиска рациональных способов решения.



Пример 3. Решим уравнение hello_html_m2974739a.gif.

Решение. Заметим, что х = 1 не является корнем данного уравнение, поэтому умножим левую и правую части уравнения на выражение (х – 1)hello_html_3046c012.gif, получимhello_html_m5b700a5b.gif,

hello_html_20beb5e9.gif

Так как х1, то уравнение имеет один корень х = 0.

Ответ: х = 0.

Пример 4. Решите уравнение hello_html_mc87ec17.gif.

Решение. Запишем уравнение в виде hello_html_m62e619de.gif

или hello_html_m52dd23d1.gif

откуда hello_html_3bfc3108.gif

Решим два уравнения:

1)hello_html_4b0ebfef.gif 2) hello_html_7ab50278.gif

D= 6 - 4(3 + hello_html_42e2850b.gif)= - 6 - 4hello_html_42e2850b.gif D = 6 – 4 (3 - hello_html_42e2850b.gif)= - 6 + 4hello_html_42e2850b.gif

D < 0, действительных корней нет. hello_html_69c2ce3d.gif

hello_html_m73785731.gif.

Ответ: hello_html_69c2ce3d.gifhello_html_m73785731.gif.

Пример 5. Решите уравнение hello_html_m65d7892a.gif

Решение. Заметим, что х = -1 не является корнем данного уравнение, поэтому умножим левую и правую части уравнения на выражение (х +1)hello_html_3046c012.gif, получим:

hello_html_m5db60136.gifили hello_html_mafe6554.gif



Пусть hello_html_652f02e8.gif hello_html_613659e5.gif , hello_html_m12bcd445.gif, hello_html_3ccf2ea2.gif



Сумма чисел равна 4, а произведение 3 - это числа 1 и 3. Проверим:

х = 1, получим hello_html_1dccd49a.gif и hello_html_m6d300fb.gif

х = 3, получим hello_html_m726e56a0.gif и hello_html_8ef485d.gif

Ответ: х = 1, х = 3.



2 способ: Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получим:

hello_html_282a6a2.gif

Сумма коэффициентов многочлена стоящего в левой части уравнения равна нулю (1 - 7 + 19 - 25 +12 = 0), значит х =1 корень уравнения.

По теореме Безу многочлен hello_html_m53741b48.gif делится на х – 1. Выполним деление и получим:

hello_html_m53741b48.gif: (х – 1) =hello_html_210ca5ec.gif.

Найдем корни уравнения hello_html_210ca5ec.gif=0 среди делителей свободного члена, ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±12.

Сумма коэффициентов 1 – 6 + 13 – 12 0, значит, число 1 не является корнем уравнения.

Так же число -1 так же не является корнем, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степени не равна сумме коэффициентов слагаемых с не четными показателями степени (1 + 13 -6 – 12)

Составим таблицу и проверим по схеме Горнера:

hello_html_69468f47.gif

1

-6

13

-12

2

1

-4

5

-2

3

1

-3

4

0



Число 3 является корнем уравнения, значит, многочлен hello_html_210ca5ec.gif делится на х – 3. Запишем многочлен в виде :

hello_html_210ca5ec.gif= (х – 3)(hello_html_3eaa642b.gif .

Учитывая предыдущие рассуждения, запишем уравнение hello_html_282a6a2.gif в виде hello_html_m62a00377.gifhello_html_5d59f709.gif

Произведение действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем три уравнения: х – 1 = 0, или х – 3 = 0, или hello_html_4c98d60a.gif,

х =1. х = 3. D = 9 – 16 = -7

D < 0 , корней нет.

Ответ: х =1, х = 3.



Пример 6. Решите уравнение hello_html_16a8d096.gif

Решение. Разделим обе части уравнения на 4hello_html_me751f46.gif, получим:

hello_html_be3baf5.gif;

hello_html_64efc2ae.gif;

hello_html_bec9222.gif;

hello_html_20ea6f2.gif;

hello_html_6b015060.gif.

Произведение действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем два уравнения:

  1. hello_html_6fd0e29a.gif2) hello_html_m17dfd49f.gif

hello_html_5b88e89d.gif

Произведение действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем два уравнения:

hello_html_m42eaa2ff.gifили hello_html_m60d56043.gif

Ответ: hello_html_6d3caad7.gif; hello_html_271a528.gif; hello_html_1a4e79fc.gif; hello_html_m7bd57060.gif.



Пример 7. Решите уравнение hello_html_m7e352dc2.gif

Решение. Используя, равенство hello_html_20f1c6b8.gif преобразуем уравнениеhello_html_m53ded0f6.gif.

Раскроем скобки и преобразуем выражение:

hello_html_m7360c9b4.gif

Произведение действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем два уравнения:

  1. hello_html_70f1e1a7.gif,

D=1 - 4= -3, D < 0, действительных корней нет.

  1. hello_html_e37c8bd.gif

hello_html_7523725f.gif

Ответ: hello_html_3877c6a3.gif

Пример 8. Решите уравнениеhello_html_m701ab924.gif

Решение. Сумма коэффициентов не равна нулю 1 - 1 + 1 – 1+1 0, число 1 не является корнем уравнения. Число -1 так же не является корнем, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степени не равна сумме коэффициентов слагаемых с не четными показателями степени

(1 + 1 + 1 - 1 – 1)

Умножим обе части уравнения на (х + 1), получим:

hello_html_35e71113.gif

Уравнение hello_html_m2948f40d.gif, является следствием исходного уравнения hello_html_m701ab924.gif, имеет единственный корень х = -1, который не является корнем исходного, значит, уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример 9. Решите уравнениеhello_html_m7f745e20.gif

Решение. Перепишем уравнение в виде

hello_html_153350af.gifПоскольку для любого х имеемhello_html_m67ea53cb.gif и hello_html_m1a67ebec.gif, то данное уравнение равносильно уравнению hello_html_b60ee01.gif Решением этого уравнения х =-1, а следовательно и решение исходного.

Ответ: х = -1

2 способ. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

hello_html_595fdf11.gif

Число -1 является корнем, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степени равна сумме коэффициентов слагаемых с не четными показателями степени (2 + 2 – 9 + 7 = 4 – 8 + 6)

По теореме Безу многочлен, стоящий в левой части уравнения делится на

(х + 1). Выполним деление по схеме Горнера:




2

4

2

-8

-9

6

7

-1

2

2

0

-8

-1

7

0



hello_html_4d67fc55.gif=0

Рассмотрим уравнение hello_html_2e792374.gif

Так как сумма коэффициентов уравнения не равна нулю, то число 1 не является корнем уравнения, число -1 является корнем, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степени равна сумме коэффициентов слагаемых с не четными показателями степени

(2 - 1 = 2 – 8 + 7). Выполним деление по схеме Горнера:




2

2

0

-8

-1

7

-1

2

0

0

-8

7

0



hello_html_c2101cc.gifhello_html_37bd0ea2.gif=0,

Рассмотрим уравнение hello_html_m537c0c5d.gif.

Среди чисел ±7 , ±1, hello_html_2c9a3647.gifнет корней уравнения , значит корнем уравнения является только число -1.

Ответ: х = -1.



























Литература

  1. Э.Н. Балаян «750 лучших олимпиадных и занимательных задач

по математике» Ростов-на-Дону «Феникс», 2014

  1. «Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы» под редакцией М.И.Сканави, М. «Высшая школа», 1982.

  2. Довбыш Р.И., Потемкина Л.Л., Трегуб Н.Л., Лиманский В.В., Оридорога Л.Л., Кулеско Н.А. «Сборник материалов математических олимпиад: 906 самых интересных задач и примеров с решениями» , Донецк: ООО ПКФ «БАО», 2002.

  3. А.М. Назаренко, Л.Д. Назаренко «Тысяча и один пример. Равенства и неравенства», Сумы «Слобожанщина», 1994.

  4. Ф.П. Яремчук, П.А. Рудченко «Алгебра и элементарные функции» , Х. «Полиграфкнига», 1975.


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 04.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров875
Номер материала ДВ-028874
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх