Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Материал по алгебре на тему "Решение уравнений высших степеней" (10 класс)

Материал по алгебре на тему "Решение уравнений высших степеней" (10 класс)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

СОДЕРЖАНИЕ

1.Введение

2. История

Глава 1. Решение уравнений высших степеней методом разложения на множители.

    1. Разложение на множители методом группировки.

    2. Теорема Безу, теорема Виета и следствия из них, схема Горнера.

Глава 2. Уравнения высших степеней, решение которых приводится

к решению квадратных уравнений.

2.1. Биквадратные уравнения.

2.2. Уравнения, содержащие взаимно обратные выражения.

2.3. Уравнения четвертой степени, решение которых приводится к решению

квадратных уравнений путем выделения полного квадрата.

2.4. Возвратные уравнения.

2.5. Уравнения вида hello_html_m3e262974.gif.

2.6. Уравнения вида hello_html_m89ec8b9.gif.

Глава 3. Решение уравнений высших степеней методом введения новой переменной.

Глава 4. Нестандартные способы решения уравнений высших степеней.

Литература.





















Цели и задачи:

Цель работы:

рассмотреть различные способы решения алгебраических уравнений;

проанализировать существующие способы решения уравнений высших

степеней.



Задачи работы:

изучить алгоритм решения алгебраических уравнений высших степеней, используя:

  • Общий способ,

  • Формулу Кардано,

  • Схему Горнера;

рассмотреть различные способы и методы решения уравнений высших степеней:

  • Разложение на множители. Способ группировки;

  • Замена переменной;

  • Метод деления на многочлен, содержащий переменную;

  • Метод выделения полного квадрата.



    • показать некоторые нетрадиционные способы решений уравнений









Глава 1. Решение уравнений высших степеней

методом разложения на множители.

Один из способов решения уравнения hello_html_485dd26b.gif состоит в разложении многочлена hello_html_m331a812c.gif на множители, что позволяет свести решение исходного уравнения к решению нескольких уравнений более низких степеней.

    1. Разложение на множители методом группировки.

Решение уравнений высших степеней является трудной задачей, и нельзя указать универсального способа нахождения корней. Рассмотрим некоторые из них на примерах.

Пример 1. Решите уравнение (х +1)(хhello_html_3046c012.gif+2) + (х +2)(хhello_html_3046c012.gif+1) = 2

Решение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

hello_html_246091c0.gif;

hello_html_5739a1b0.gif;

hello_html_m926a258.gif;

hello_html_m2fba1d18.gif;

hello_html_mb49dfb1.gif;

hello_html_6ff32e9a.gif;

hello_html_m4ac2c84a.gif; или hello_html_m5a226157.gif;

х = -1. D = 1 – 16 = -15, D < 0, значит квадратное уравнение

действительных корней не имеет.

Ответ: х = -1.

Пример 2. Решите уравнение hello_html_m2f9af54.gif

Методом группировки левую часть уравнения разложим на множители.

hello_html_m43fb8c7e.gif;

hello_html_mcd2af00.gif;

hello_html_m5a14a847.gif;

hello_html_1c97e651.gif; или hello_html_m9865835.gif;

х = 2; х= -2. hello_html_56424dd1.gif

Ответ: х = 2; х= -2; hello_html_56424dd1.gif.

Пример 3. Решите уравнение hello_html_m39dced68.gif

Методом группировки левую часть уравнения разложим на множители.

hello_html_37b51008.gif;

hello_html_290c541b.gif;

hello_html_64234545.gif;

hello_html_m6e518b5d.gif;

2х - 1 = 0; х – 1 = 0; х + 1 = 0;

х = 0,5. х = 1. х = -1.

Ответ: х = 0,5; х = 1; х = -1.

Пример 4. Решите уравнение hello_html_m654833ed.gif

Методом группировки левую часть уравнения разложим на множители.

hello_html_m1f9efb77.gif;

hello_html_m52229789.gif;

hello_html_m3858820a.gif;

hello_html_5e18ff63.gif; или hello_html_m72efc9af.gif;

х = hello_html_59305994.gif; Сумма коэффициентов квадратного уравнения равна нулю,

х = -hello_html_59305994.gif. следовательно, корни уравнения х = 1; х = 3.

Ответ: х = hello_html_59305994.gif; х = -hello_html_59305994.gif; х = 1; х = 3.

Пример 5. Решите уравнение hello_html_m11d6c8d2.gif

Так как х = 1 не является корнем, поэтому домножим обе части уравнения на (х – 1)hello_html_3046c012.gif. Получаем:

hello_html_m195ddb2b.gif;

Тогда hello_html_5fe5da45.gif;

hello_html_m7d7ad67b.gif;

hello_html_118866c6.gif;

hello_html_5a26306c.gif;

hello_html_70e7e671.gif; x = 0; х = 1 - не является корнем. Ответ: х = 0.

Пример 6. Решите уравнение

hello_html_m6d70a6a9.gif

Так как х = 1 не является корнем, поэтому домножим обе части уравнения на (х – 1)hello_html_3046c012.gif. Получаем:

(х – 1)hello_html_3046c012.gifhello_html_m6d70a6a9.gif (х – 1)hello_html_3046c012.gif;

hello_html_m5ae3d4a5.gif;

hello_html_m6def3973.gif;

hello_html_m21faff40.gif;

hello_html_m4c65822a.gif;

hello_html_24310ae.gif;

Х = 0; или hello_html_28045a1b.gif

х = -1; х = 1 - не является корнем.

Ответ: Х = 0; х = -1.

Пример 7. Решите уравнение hello_html_m3fd812fc.gif

Решение. Используя формулы сокращенного умножения

hello_html_75957b56.gif, представив левую часть уравнения в виде произведения, а правую часть перенести влево. Получим: hello_html_4ae6392.gif

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

  1. hello_html_m1bcb3604.gif2) hello_html_59ee8298.gif

Ответ: hello_html_3bee059b.gif

    1. . Теорема Безу, теорема Виета и следствия из них, схема Горнера.

Для изучения уравнений высших степеней

hello_html_7be4c938.gif(1)

первостепенное значение имеет теорема Безу и ее следствия.

Теорема Безу:

Остаток от деления многочлена относительно x на двучлен х – а равен значению этого многочлена при х , равном а.

Следствие:

1)Для того чтобы многочлен f(x) делился на х – а необходимо и достаточно, чтобы f(a) = 0.

2) Для того чтобы многочлен f(x) делился на х + а необходимо и достаточно, чтобы f(-a)=0.

3) Таким образом, если число hello_html_m1a94f315.gif - корень уравнения, то левую часть уравнения (1) можно записать в виде: hello_html_750db361.gif, где многочлен степени n-1.

Как же найти корень hello_html_m1a94f315.gif? Вспомним теорема Виета.

Теорема Виета:

Корни уравнения hello_html_7be4c938.gif, hello_html_m7035bdff.gif

с его коэффициентами связаны следующими соотношениями:

hello_html_4f8eeac.gif

  1. Таким образом, для того чтобы несократимая дробь hello_html_258580a.gif была корнем уравнения с целыми коэффициентами hello_html_7be4c938.gif,

Необходимо и достаточно, чтобы p было делителем свободного члена

hello_html_ad0dd72.gif, а q – делителем коэффициента hello_html_m4622b767.gif.

  1. Если уравнение hello_html_7be4c938.gif имеет целые коэффициенты и коэффициент при hello_html_m721a646b.gif равен 1, то рациональными корнями могут быть только целыми числами.

  2. Целые корни уравнения с целыми коэффициентами hello_html_7be4c938.gif

являются делителями свободного члена. (Это свойство позволяет легко найти корни уравнения с целыми коэффициентами.)

  1. Число 1 является корнем уравнения hello_html_7be4c938.gif с целыми коэффициентами, если сумма всех коэффициентов равна нулю.

  2. Число -1 является корнем уравнения hello_html_7be4c938.gif с целыми коэффициентами, если суммы коэффициентов при слагаемых с четными показателями степени равна сумме коэффициентов слагаемых с нечетными показателями степени.

Пример 1. Решите уравнение hello_html_3fa1cd2e.gif.

Решение. Так как уравнение имеет целые коэффициенты и коэффициент при hello_html_m721a646b.gif равен 1 , то целыми корнями могут быть только делители свободного члена, то есть 1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6.

Число 1 является ли корнем уравнения, так как сумму коэффициентов: 1 – 6 +11 - 6 = 0. Тогда на основании теоремы Безу многочлен, стоящий в левой части уравнения делится на двучлен х – 1. Используя схему Горнера разделим левую часть на х – 1:


1

-6

11

-6

1

1

-5

6

0

hello_html_m79f40517.gif

Квадратный трехчлен легко разложит на множители, используя теорему Виета: hello_html_48e85db7.gif корни hello_html_m7c65fd01.gif

Таким образом, левую часть уравнения мы разложили на множители:

hello_html_7d0e84ea.gif

Ответ: hello_html_15b45634.gif

Пример 2. Решите уравнение hello_html_m134a47dc.gif.

Решение. Делителями числа 18 будут числа 1, 2, 3, 6, 9, а делителями числа 3 – числа 1 и 3. Среди чисел ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±hello_html_m79282da9.gif

Число 1 не является корнем уравнения, так как сумма 3 – 4 + 5 - 18 ≠ 0.

Число -1 не является корнем уравнения , так как сумма 3 + 5 ≠ -4 – 18.

По схеме Горнера найдем среди этих чисел корень уравнения.


3

-4

5

-18

2

3

2

9

0

Используя следствие из теоремы Безу, запишем уравнение в виде:hello_html_2b02c6d8.gif.

Уравнение hello_html_7d70bc7e.gif корней не имеет, так как D = 4 – 108 = -104, D<0.

Ответ : х = 2

Пример 3. Решите уравнение hello_html_m1a35f4bc.gif.

Решение . Делителями числа 3 будут числа 1, 3, а делителями числа 8 – числа 1 ,2, 4, 8. Среди чисел ±1, ±hello_html_6f374983.gifhello_html_26f2cac6.gif.

Число 1 не является корнем уравнения, так как сумма 8 – 13 + 6 – 1 + 3 ≠ 0.

Число -1 не является корнем уравнения , так как сумма 8 – 13 + 3 ≠ 6 – 1.

По схеме Горнера найдем среди этих чисел корень уравнения.


8

6

-13

-1

3

hello_html_m3cbd5b10.gif

8

-4+6=2

-1-13=-14

7-1=6

-3+3=0



Число -0,5 является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде: hello_html_6cdf7bf5.gif

Найдем корни уравнения hello_html_m7a0626f5.gif,

среди чисел ±1, ±2, ±3,±6, hello_html_6d942795.gif

Число 1 не является корнем уравнения, так как сумма 8 – 14 + 6 +2 ≠ 0.

Число -1 не является корнем уравнения , так как сумма 8 – 14 ≠ 6 + 2.

По схеме Горнера найдем среди этих чисел корень уравнения.


8

2

-14

6

hello_html_m36eb93da.gif

8

6+2=8

6-14=-8

-6+6=0

Число hello_html_m36eb93da.gif является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде:



hello_html_m32549b4.gifДанное уравнение равносильно совокупности уравнений: 1) hello_html_md38220c.gif 2) hello_html_1fa57f2.gif 3) hello_html_m541b54a.gif

Ответ : hello_html_m37230bed.gif

Пример 4. Решите уравнение hello_html_66504094.gif

Решение. Среди делителей числа 3 - ±1, ±3 будем искать корни уравнения. Число 1 не является корнем уравнения, так как сумма

1+ 4 +6 + 3 ≠ 0. Число -1 является корнем уравнения , так как сумма

6 + 1 = 4 + 3. По схеме Горнера найдем частное от деления левой части уравнения на двучлен х + 1.


1

4

6

3

-1

1

-1 + 4 =3

-3 +6 = 3

-3 + 3 = 0



Число -1 является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде:

hello_html_m2e798451.gif

Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:

  1. hello_html_3e578037.gifи 2) hello_html_3cd3102c.gif

Ответ: х₁ = -1.

Пример 5. Решите уравнение hello_html_4f448057.gif.

Решение. Среди чисел ±1, ±2, ±5, ±hello_html_3c0ad42.gif найдем корень уравнения .

Число 1 является корнем уравнения, так как сумма

2 – 1 - 9 + 13 - 5 = 0. По схеме Горнера найдем частное от деления левой части уравнения на двучлен х - 1.


2

-1

-9

13

-5

1

2

1

-8

5

0

Число 1 является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде:

hello_html_m7c683bf1.gif.

Найдем корни уравнения hello_html_m1caa37a1.gif среди чисел ±1, ±5, hello_html_3f926374.gif

Число 1 является корнем уравнения, так как сумма

2 + 1 - 8 + 5 = 0. По схеме Горнера найдем частное от деления левой части уравнения на двучлен х - 1.


2

1

-8

5

1

2

3

-5

0

Число 1 является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде: hello_html_1f689187.gif. Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:

  1. hello_html_7d79a0cd.gif2)hello_html_m20436950.gifтак как сумма коэффициентов равна

нулю.

Ответ: hello_html_m72ca3d0c.gif

Пример 6. Решите уравнения hello_html_46e41bf.gif.

Решение. Корни уравнения будем искать среди делителей числа -120.

Число 1 не является корнем уравнения, так как сумма

1 – 4 – 19 + 106 - 120 ≠ 0. Число -1 является корнем уравнения , так как сумма 1 - 19 - 120 ≠ - 4 + 106.

По схеме Горнера найдем корни уравнения.


1

-4

-19

106

-120

2

1

-2

-4-19=-23

-46+106=60

120-120=0

Число 2 является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде:

hello_html_m660347a7.gif

Найдем корни уравнения hello_html_713db3ba.gif среди делителей числа 60.

По схеме Горнера найдем корни уравнения.


1

-2

-23

60

4

1

2

8-23=-15

-60+60=0

Число 4 является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде:

hello_html_m2ab89b4f.gif

Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:

  1. hello_html_m56f5705b.gif2) hello_html_m2a45e770.gif 3) hello_html_m7d5063e8.gif

Ответ: hello_html_m280a6d26.gif











Глава 2. Уравнения высших степеней, решение которых приводится к решению квадратных уравнений.

Рассмотрим частные случаи, в которых решение уравнений высших степеней приводится к решению квадратных уравнений.

2.1 Биквадратные уравнения;

2.2. Сравнения, содержащие взаимно обратные выражения;







































2.3. Уравнения четвертой степени, решение которых приводится к решению квадратных уравнений путем выделения полного квадрата.

Уравнения четвертой степени, решение которых приводится к решению квадратных уравнений путем выделения полного квадрата, рассмотрим на следующих примерах.

Пример 1. Решить уравнение hello_html_m19943b1b.gif

Решение. В левой части уравнения выделим полный квадрат; получим

hello_html_22668d37.gifили hello_html_6f9a8efc.gif

hello_html_m7da7d26b.gif

Обозначим hello_html_m415604d.gif; тогда уравнение примет вид hello_html_m5bb87a60.gif, так как сумма коэффициентов равна нулю, то hello_html_61bf9d43.gif и hello_html_46fe508a.gif Так как hello_html_m415604d.gif, то

hello_html_m2b65caa7.gifили hello_html_m4be216c9.gif

D=bhello_html_3046c012.gif - 4ac; D=9 + 4 = 13. D=bhello_html_3046c012.gif - 4ac; D= 9 + 12 = 21.

hello_html_6ee19e13.gifhello_html_m73d9dae3.gif

Ответ: hello_html_6ee19e13.gif ; hello_html_m73d9dae3.gif.

Пример 2. Решите уравнение hello_html_m360fe1f0.gif.

Решение. В левой части уравнения выделим полный квадрат; получим

hello_html_m3f6c2f3b.gifили hello_html_48781302.gif

hello_html_m363cae47.gif

Раскладывая левую часть уравнения на множители, как разность квадратов, получаем hello_html_6cf7bb0a.gif

Произведение двух действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем два уравнения:

1) hello_html_1a89bce2.gif

D=bhello_html_3046c012.gif - 4ac;

D=1 – 4 = -3 - уравнение действительных корней не имеет,

и уравнение

2) hello_html_5be5187.gif

D=bhello_html_3046c012.gif - 4ac; D=9 + 4 = 13 – два действительных корня,

hello_html_294712ee.gif; hello_html_b5e0f14.gif

Ответ: hello_html_294712ee.gif ; hello_html_b5e0f14.gif

2.4. Возвратные уравнения.

Целое алгебраическое уравнение

hello_html_m1756df87.gif

называется возвратным, если совпадают коэффициенты при слагаемых, сумма степеней которых равна степени многочлена, т.е. hello_html_m35e283aa.gifhello_html_63b492da.gif….

Алгебраическое уравнение четвертой степени вида hello_html_m1018e838.gif,

е ≠ 0, называется возвратным, если коэффициенты связаны равенствами hello_html_m79db0d63.gif hello_html_m7f3ca9e6.gif- некоторое число.

Легко показать, что если hello_html_2e7982d1.gif- корень возвратного уравнения, то и hello_html_m5a8ee1df.gif - также корень этого уравнения.

Для решения этих уравнений используют метод замены переменной

hello_html_m12527482.gifили hello_html_m5dfbfc60.gif.

Пример 1. Решите уравнение hello_html_m3d5ed1b4.gif

Решение. Разделив обе части уравнения на хhello_html_3046c012.gif≠ 0, получим

hello_html_4addd090.gif, или hello_html_68c8ce89.gif

Обозначим hello_html_maded3be.gif, тогда hello_html_1472c8b3.gif или hello_html_m2063eda0.gif, тогда уравнение примет вид hello_html_4faad51f.gif, или hello_html_70d2732c.gif

D=bhello_html_3046c012.gif - 4ac; D=9 + 160 = 169 – два действительных корня

hello_html_m56761f5a.gif, hello_html_m116c84f.gif.

Так как hello_html_maded3be.gif, получим два уравнения.

1) hello_html_m7925fb1d.gif

Умножим уравнение на 2х , получим квадратные уравнения

hello_html_m1053cab9.gif

D=bhello_html_3046c012.gif - 4ac; D = (-5)hello_html_3046c012.gif - 16 = 9 – два действительных корня.

hello_html_a61e0ff.gif; hello_html_46f6c432.gif.

2) hello_html_60241bd.gif

Умножим уравнение на х , получим уравнение

hello_html_m7154a710.gif

k = b : 2 , k=2

D = khello_html_3046c012.gif - ac; D₁ = 2hello_html_3046c012.gif - 1 = 3 – два действительных корня

hello_html_2fcf8b00.gif, hello_html_4beac18a.gif.

Ответ: hello_html_m5c838d07.gif, х₂ = 0,5, hello_html_2fcf8b00.gif, hello_html_4beac18a.gif.

Пример 2. Решите уравнение hello_html_40813c55.gif

Решение. Сгруппируем слагаемые:hello_html_1273eb3e.gif

Сделаем подстановку hello_html_41ad74ef.gif, тогда hello_html_m6fb6abe7.gif. Отсюда hello_html_m572bc64e.gif.

В результате приходим к уравнению:

hello_html_34193227.gif

Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений.

  1. hello_html_49c798f8.gifи 2) hello_html_m3bb1647a.gif

Ответ: hello_html_m420db9ea.gif



Пример 3. Решите уравнение hello_html_39f96c85.gif

Решение. Обозначим hello_html_11f52dfe.gif, тогда hello_html_1da464d7.gif, тогда hello_html_m5e6fb843.gif. Запишем исходное уравнение в новых обозначениях

hello_html_63aa2f79.gif- по теореме Виета.

Так как hello_html_11f52dfe.gif, то получим 2 уравнения:

  1. hello_html_m4c6943a3.gif2) hello_html_508d72d0.gif

Ответ: hello_html_69c97e51.gif



Пример 4. Решите уравнение hello_html_39f96c85.gif

Решение. Обозначим hello_html_11f52dfe.gif, тогда hello_html_1da464d7.gif, тогда hello_html_m5e6fb843.gif. Запишем исходное уравнение в новых обозначениях

hello_html_63aa2f79.gif- по теореме Виета.

Так как hello_html_11f52dfe.gif, то получим 2 уравнения:

  1. hello_html_m4c6943a3.gif2) hello_html_508d72d0.gif

Ответ: hello_html_69c97e51.gif

2.5. Решение уравнений вида hello_html_m1018e838.gif

Решение уравнений вида hello_html_m1018e838.gif (hello_html_5fb66ad8.gif hello_html_m21a23888.gif) приводится к решению квадратного уравнения делением на хhello_html_3046c012.gif (как возвратного), если

hello_html_5e7ea305.gif. Поэтому такое уравнение иногда называют возвратным.

Пример. Решите уравнение hello_html_5a47860.gif.

Решение. Так как условие hello_html_5e7ea305.gif выполняется, т.е. hello_html_m19b586a5.gif или 25 = 25,

то обе части уравнения делим на хhello_html_3046c012.gif; получим

hello_html_390590bd.gif, или hello_html_m31d20928.gif

Обозначим hello_html_m236beaec.gif; тогда hello_html_5258b6ca.gif , тогда уравнение примет вид

hello_html_m3bb82ffb.gifили hello_html_39b9b37d.gif

D=bhello_html_3046c012.gif - 4ac; D = (-21)hello_html_3046c012.gif - 432 = 441- 432 = 9 – два действительных корня.

hello_html_m6505a2a9.gif, hello_html_bc0ffe6.gif.

Так как hello_html_m236beaec.gif получим два уравнения:

  1. hello_html_762c736e.gifпо теореме Виета 2) hello_html_m783491a4.gif

Ответ: hello_html_m5c838d07.gif; hello_html_m4c525bbd.gif; hello_html_e86d7c7.gif; hello_html_305c20c1.gif

2.6. Решение уравнения вида hello_html_m3e262974.gif.

Уравнения вида hello_html_m3e262974.gif приводится к биквадратному уравнению заменой

hello_html_d8ee39a.gifзаменим hello_html_10ad4fd.gif

Вычитая, получим hello_html_m36f42d87.gif или hello_html_62442125.gif, тогда hello_html_m29a80463.gif

Или hello_html_3dee0747.gif

Относительно t уравнение примет вид: hello_html_m20826feb.gif

или, после упрощений, hello_html_29776a21.gif.

Заметим, что решение будет аналогичным, если степень двучленов будет и другой. В работе рассмотрены примеры с показателем степени 3; 4; 5.

Пример 1. Решите уравнение (7 - хhello_html_3046c012.gif)hello_html_4f6f198b.gif + (9 - хhello_html_3046c012.gif)hello_html_4f6f198b.gif = 16.

Решение. Введем новую переменную у = 8 – хhello_html_3046c012.gif.

После замены выражения хhello_html_3046c012.gif на 8 – у , исходное уравнение приводим к виду

(у - 1)hello_html_4f6f198b.gif + (у + 1)hello_html_4f6f198b.gif = 16.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

hello_html_m37e541a9.gif;

hello_html_7c22e29.gif;

hello_html_4da5e49.gif;

Пусть hello_html_7f398e86.gif, тогда получим квадратное уравнение hello_html_37735c52.gif.

Сумма коэффициентов этого квадратного уравнения равна нулю,

значит t= 1; t = -7.

hello_html_mff99821.gif= 1; или hello_html_mff99821.gif= -7 - данное уравнение корней не имеет.

y = 1; y= -1.

Так как у = 8 - хhello_html_3046c012.gif, то 8 - хhello_html_3046c012.gif= 1; или 8 - хhello_html_3046c012.gif= -1;

хhello_html_3046c012.gif = 7; хhello_html_3046c012.gif= 9;

х = hello_html_3e743dab.gif; х= - hello_html_3e743dab.gif. х = 3; х= -3.

Ответ: х = hello_html_3e743dab.gif; х= - hello_html_3e743dab.gif; х = 3; х= -3.

Пример 2. Решите уравнение (х +3)hello_html_m5a7d0236.gif - (х +1) hello_html_m5a7d0236.gif = 56 .

Решение. Введем новую переменную у = х +2.

После замены переменной х на выражение у - 2 , исходное уравнение приводим к виду (у +1)hello_html_m5a7d0236.gif - (у - 1) hello_html_m5a7d0236.gif = 56. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

hello_html_m4ddda6e3.gif;

2 (hello_html_m63e06ba6.gif;

2 ∙ (3hello_html_m56ee5686.gif;

hello_html_m642c007f.gif;

hello_html_m63190c8c.gif;

hello_html_m3335885c.gif; y = 3; y= -3.

Так как у = х +2 , то х +2 =3; или х +2 = -3;

х₁ = 1 ; х= -5. Ответ: х₁ = 1 ; х= -5.

Пример 3. Решите уравнение hello_html_m5f44a79e.gif

Решение. Введем новую переменную у = х + 1. После замены переменной х на выражение у - 1 , исходное уравнение приводим к виду

(у - 2)hello_html_m2554dbad.gif + (у + 2) hello_html_m2554dbad.gif = 242 у Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

hello_html_591f7169.gif;

hello_html_m6814fe8a.gif;

hello_html_7cd08be7.gif;

hello_html_169db4bb.gif;

у = 0; или hello_html_6c53b966.gif - это биквадратное уравнение.

Пусть t = hello_html_mff99821.gif, тогда получим квадратное уравнение

hello_html_m7cb7d68f.gif, сумма коэффициентов этого уравнения

равна нулю, следовательно hello_html_61bf9d43.gif ; hello_html_m7467f87f.gif.

Так как t = hello_html_mff99821.gif, то hello_html_mff99821.gif= 1; или hello_html_mff99821.gif= - 41

y = 1; y= -1. Уравнение корней не имеет.

Так как у = х + 1, то х + 1 = 1; х + 1 = -1; х + 1 = 0;

х = 0. х = -2. х = -1.

Ответ: х = 0; х= -2; х = -1.

2.7. Решение уравнения вида hello_html_m89ec8b9.gif.



Уравнение вида hello_html_m89ec8b9.gif приводится к решению квадратного уравнения, если a + b = c + d или a + c = b + d или

a + d = b + c.

Пример 1. Решите уравнение hello_html_5bd37f94.gif.

Решение. Раскроем скобки, группируя их следующим образом, получим

hello_html_68495e16.gif

Сделаем замену у = hello_html_m630142c9.gif. Тогда получаем:

hello_html_m3c0c7547.gif

Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений:

hello_html_m630142c9.gif=41 и hello_html_m630142c9.gif= - 41

hello_html_67b2bfec.gifhello_html_89025d3.gif

По теореме Виета: D=25 – 184 = -159, D < 0

hello_html_m284b289b.gifуравнение действительных корней не имеет.

Ответ : х =-9; х = 4.

Пример 2. Решите уравнение hello_html_b26ceec.gif

Решение. С группируем скобки следующим образом: hello_html_m4effd8c8.gif

раскроем скобки и приведем подобные слагаемые

hello_html_m12ceab04.gif

Сделаем замену hello_html_m224ae4f9.gif. Тогда получим:

hello_html_868cd68.gif

hello_html_5af20b8e.gifили hello_html_3f71a882.gif

Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений:

  1. hello_html_4e041eee.gif2) hello_html_m6d1d4e35.gif

Ответ: hello_html_m65edcd51.gif



Пример 3. Решите уравнение hello_html_m3a44b110.gif

Решение. Сгруппируем множители следующим образом: hello_html_57f731f6.gif

Обозначим hello_html_m224ae4f9.gif. Тогда получим :

hello_html_495811e9.gif

hello_html_m7d348100.gif

Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений.

  1. hello_html_58120334.gifи 2)hello_html_f94e751.gif

Ответ: hello_html_1d54f12f.gif

Пример 4. Решите уравнение hello_html_3068592.gif

Решение. Так как 2 + 1 =-3 + 6, то можно сгруппировать множители левой части уравнения так: hello_html_2da35bbc.gif,

или hello_html_43a3c7c3.gif

Обозначимhello_html_m4c7113ee.gif, тогда относительно hello_html_6d17e568.gif получим:

hello_html_m330c475.gifПо теореме Виета.

Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений.

  1. hello_html_m26abda89.gifПо теореме Виета. 2) hello_html_4f7956c2.gif

Ответ: hello_html_m371efa16.gifhello_html_55bf4ae4.gif



































Глава 3. Решение уравнений методом замены неизвестного.

Решение многих уравнений заключается в сведении их к уравнениям видов рассмотренных в главе 2, способом введения вспомогательной неизвестной.

Пример 1. Решите уравнение hello_html_1790cdab.gif

Решение. Введем новую переменную hello_html_534ea46a.gif , получим:

hello_html_m494dde9a.gifили разделив на hello_html_m24d254eb.gif, hello_html_9a82e40.gif

Решением данного уравнения является число -1, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степеней равна сумме коэффициентов слагаемых с нечетными показателями степеней. (2+1=3)

Используя схему Горнера , получим:

хhello_html_50cf2af7.gif

2

0

1

3

-1

2

-2

3

0

Левую часть уравнения можно разложить на множители:

hello_html_70357401.gif

Произведение двух действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем два уравнения:

hello_html_a515c83.gifданное уравнение действительных корней не имеет.

у + 2 = 0,

у = -2.

Ответ: у = - 2.

Пример2. Решите уравнение hello_html_m5eb525bd.gif

Введем новую переменную hello_html_ca8769e.gif, тогда уравнение примет вид: hello_html_327edd18.gif Пусть hello_html_5a2e5a5b.gif, получим уравнение: hello_html_m13fac626.gif

Сумма коэффициентов квадратного уравнения равна нулю, значит

t = 1, t =32. Таким образом: hello_html_m58d6e5be.gif или hello_html_3f7d55a.gif

Так как hello_html_ca8769e.gif, получим два уравнения: hello_html_m4454f09f.gif или hello_html_m7ae1cbf6.gif

Ответ: х= 1; х =4.



Пример 3. Решите уравнение hello_html_3d55c67e.gif

Решение. Введем новую переменную hello_html_m70968753.gif, тогда уравнение примет вид:

hello_html_m7132c2e9.gif



По теореме Виета: hello_html_m47887932.gif hello_html_237a4040.gif

Так как hello_html_m70968753.gif, то получим два уравнения:

  1. hello_html_6dcef49d.gif2)hello_html_m715288ef.gif

Ответ: х =-3; х = -2; х =1; х =2.



































Глава 4. Нестандартные способы решения уравнений высших

степеней.

Пример 1. Найдите действительные корни уравнения

hello_html_2a5eb890.gif

Решение. Поскольку в левой части уравнения стоит выражение все слагаемые, которого неотрицательные, а по условию их сумма равна нулю, то это возможно лишь при условии, что каждое слагаемое равно нулю: hello_html_m2edaa730.gif или

hello_html_70f62a11.gif

Ответ: х = 1,8.

Пример 2. Решите уравнение hello_html_267a0e7a.gif.

Рассмотрим два способа решения данного уравнения . Решение. 1 способ. Заметим, что х = 1 не является корнем данного уравнение, поэтому разделим левую и правую части уравнения на выражение (х – 1)hello_html_3046c012.gif, получим

hello_html_5ff34c29.gif, так как hello_html_392af018.gif

Далее заменим hello_html_1a071060.gif и уравнение примет вид hello_html_14a6f6a.gif. Сумма коэффициентов данного уравнения равна нулю ( 1 - 5 + 4 = 0), значит корни уравнения hello_html_4b92e13a.gif; hello_html_m4f6e5922.gif

Так как hello_html_1a071060.gif, то получим два уравнения:

  1. hello_html_m316dec84.gif2)hello_html_2531f734.gif

D < 0 – данное уравнение х = 2.

корней не имеет. Ответ: х = 2.



2 способ. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Получим уравнение четвертой степени: hello_html_7fd2eb64.gif

1. Используя схему Горнера, находим, среди делителей свободного члена

±1; 2; ± 4, целые корни уравнения.

Заметим, что сумма коэффициентов не равна нулю, то хhello_html_50cf2af7.gif=1 не является корнем уравнения. (1 – 5 + 9 – 8 + 4 0)

Число -1 так же не является корнем, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степени не равна сумме коэффициентов слагаемых с не четными показателями степени.

(1+ 9 +4 - 5 – 8). Составим таблицу:



хhello_html_50cf2af7.gif

1

- 5

9

- 8

4

2

1

- 3

3

- 2

0



Из таблицы видно, что х = 2 корень уравнения, и уравнение можно записать в виде: hello_html_2d11f59b.gif.

Решим уравнение hello_html_5d47ff5a.gif

Используя схему Горнера, находим, среди делителей свободного члена

±1; 2, целые корни уравнения.

Заметим, что сумма коэффициентов не равна нулю, то хhello_html_50cf2af7.gif=1 не является корнем уравнения. (1 – 3 + 3 – 2 0)

Число -1 так же не является корнем, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степени не равна сумме коэффициентов слагаемых с не четными показателями степени.

(1+ 3 - 3 – 2). Составим таблицу:



хhello_html_50cf2af7.gif

1

-3

3

-2

2

1

- 1

1

0



Из таблицы видно, что х = 2 корень уравнения, и уравнение можно записать в виде: hello_html_38a0ba9b.gif.

Таким образом, левую часть уравнения hello_html_7fd2eb64.gif

можно разложить на множители следующим образом: hello_html_2a2d499b.gif Произведение двух действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем два уравнения:

  1. hello_html_m7a83c25d.gif2) hello_html_75baee1b.gif

данное уравнение

действительных корней не имеет.

Ответ: х = 2.

Я привела два способа решения уравнения hello_html_267a0e7a.gif,

чтобы показать, насколько первый способ проще и необходимость поиска рациональных способов решения.



Пример 3. Решим уравнение hello_html_m2974739a.gif.

Решение. Заметим, что х = 1 не является корнем данного уравнение, поэтому умножим левую и правую части уравнения на выражение (х – 1)hello_html_3046c012.gif, получимhello_html_m5b700a5b.gif,

hello_html_20beb5e9.gif

Так как х1, то уравнение имеет один корень х = 0.

Ответ: х = 0.

Пример 4. Решите уравнение hello_html_mc87ec17.gif.

Решение. Запишем уравнение в виде hello_html_m62e619de.gif

или hello_html_m52dd23d1.gif

откуда hello_html_3bfc3108.gif

Решим два уравнения:

1)hello_html_4b0ebfef.gif 2) hello_html_7ab50278.gif

D= 6 - 4(3 + hello_html_42e2850b.gif)= - 6 - 4hello_html_42e2850b.gif D = 6 – 4 (3 - hello_html_42e2850b.gif)= - 6 + 4hello_html_42e2850b.gif

D < 0, действительных корней нет. hello_html_69c2ce3d.gif

hello_html_m73785731.gif.

Ответ: hello_html_69c2ce3d.gifhello_html_m73785731.gif.

Пример 5. Решите уравнение hello_html_m65d7892a.gif

Решение. Заметим, что х = -1 не является корнем данного уравнение, поэтому умножим левую и правую части уравнения на выражение (х +1)hello_html_3046c012.gif, получим:

hello_html_m5db60136.gifили hello_html_mafe6554.gif



Пусть hello_html_652f02e8.gif hello_html_613659e5.gif , hello_html_m12bcd445.gif, hello_html_3ccf2ea2.gif



Сумма чисел равна 4, а произведение 3 - это числа 1 и 3. Проверим:

х = 1, получим hello_html_1dccd49a.gif и hello_html_m6d300fb.gif

х = 3, получим hello_html_m726e56a0.gif и hello_html_8ef485d.gif

Ответ: х = 1, х = 3.



2 способ: Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получим:

hello_html_282a6a2.gif

Сумма коэффициентов многочлена стоящего в левой части уравнения равна нулю (1 - 7 + 19 - 25 +12 = 0), значит х =1 корень уравнения.

По теореме Безу многочлен hello_html_m53741b48.gif делится на х – 1. Выполним деление и получим:

hello_html_m53741b48.gif: (х – 1) =hello_html_210ca5ec.gif.

Найдем корни уравнения hello_html_210ca5ec.gif=0 среди делителей свободного члена, ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±12.

Сумма коэффициентов 1 – 6 + 13 – 12 0, значит, число 1 не является корнем уравнения.

Так же число -1 так же не является корнем, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степени не равна сумме коэффициентов слагаемых с не четными показателями степени (1 + 13 -6 – 12)

Составим таблицу и проверим по схеме Горнера:

hello_html_69468f47.gif

1

-6

13

-12

2

1

-4

5

-2

3

1

-3

4

0



Число 3 является корнем уравнения, значит, многочлен hello_html_210ca5ec.gif делится на х – 3. Запишем многочлен в виде :

hello_html_210ca5ec.gif= (х – 3)(hello_html_3eaa642b.gif .

Учитывая предыдущие рассуждения, запишем уравнение hello_html_282a6a2.gif в виде hello_html_m62a00377.gifhello_html_5d59f709.gif

Произведение действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем три уравнения: х – 1 = 0, или х – 3 = 0, или hello_html_4c98d60a.gif,

х =1. х = 3. D = 9 – 16 = -7

D < 0 , корней нет.

Ответ: х =1, х = 3.



Пример 6. Решите уравнение hello_html_16a8d096.gif

Решение. Разделим обе части уравнения на 4hello_html_me751f46.gif, получим:

hello_html_be3baf5.gif;

hello_html_64efc2ae.gif;

hello_html_bec9222.gif;

hello_html_20ea6f2.gif;

hello_html_6b015060.gif.

Произведение действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем два уравнения:

  1. hello_html_6fd0e29a.gif2) hello_html_m17dfd49f.gif

hello_html_5b88e89d.gif

Произведение действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем два уравнения:

hello_html_m42eaa2ff.gifили hello_html_m60d56043.gif

Ответ: hello_html_6d3caad7.gif; hello_html_271a528.gif; hello_html_1a4e79fc.gif; hello_html_m7bd57060.gif.



Пример 7. Решите уравнение hello_html_m7e352dc2.gif

Решение. Используя, равенство hello_html_20f1c6b8.gif преобразуем уравнениеhello_html_m53ded0f6.gif.

Раскроем скобки и преобразуем выражение:

hello_html_m7360c9b4.gif

Произведение действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем два уравнения:

  1. hello_html_70f1e1a7.gif,

D=1 - 4= -3, D < 0, действительных корней нет.

  1. hello_html_e37c8bd.gif

hello_html_7523725f.gif

Ответ: hello_html_3877c6a3.gif

Пример 8. Решите уравнениеhello_html_m701ab924.gif

Решение. Сумма коэффициентов не равна нулю 1 - 1 + 1 – 1+1 0, число 1 не является корнем уравнения. Число -1 так же не является корнем, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степени не равна сумме коэффициентов слагаемых с не четными показателями степени

(1 + 1 + 1 - 1 – 1)

Умножим обе части уравнения на (х + 1), получим:

hello_html_35e71113.gif

Уравнение hello_html_m2948f40d.gif, является следствием исходного уравнения hello_html_m701ab924.gif, имеет единственный корень х = -1, который не является корнем исходного, значит, уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример 9. Решите уравнениеhello_html_m7f745e20.gif

Решение. Перепишем уравнение в виде

hello_html_153350af.gifПоскольку для любого х имеемhello_html_m67ea53cb.gif и hello_html_m1a67ebec.gif, то данное уравнение равносильно уравнению hello_html_b60ee01.gif Решением этого уравнения х =-1, а следовательно и решение исходного.

Ответ: х = -1

2 способ. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

hello_html_595fdf11.gif

Число -1 является корнем, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степени равна сумме коэффициентов слагаемых с не четными показателями степени (2 + 2 – 9 + 7 = 4 – 8 + 6)

По теореме Безу многочлен, стоящий в левой части уравнения делится на

(х + 1). Выполним деление по схеме Горнера:




2

4

2

-8

-9

6

7

-1

2

2

0

-8

-1

7

0



hello_html_4d67fc55.gif=0

Рассмотрим уравнение hello_html_2e792374.gif

Так как сумма коэффициентов уравнения не равна нулю, то число 1 не является корнем уравнения, число -1 является корнем, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степени равна сумме коэффициентов слагаемых с не четными показателями степени

(2 - 1 = 2 – 8 + 7). Выполним деление по схеме Горнера:




2

2

0

-8

-1

7

-1

2

0

0

-8

7

0



hello_html_c2101cc.gifhello_html_37bd0ea2.gif=0,

Рассмотрим уравнение hello_html_m537c0c5d.gif.

Среди чисел ±7 , ±1, hello_html_2c9a3647.gifнет корней уравнения , значит корнем уравнения является только число -1.

Ответ: х = -1.



























Литература

  1. Э.Н. Балаян «750 лучших олимпиадных и занимательных задач

по математике» Ростов-на-Дону «Феникс», 2014

  1. «Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы» под редакцией М.И.Сканави, М. «Высшая школа», 1982.

  2. Довбыш Р.И., Потемкина Л.Л., Трегуб Н.Л., Лиманский В.В., Оридорога Л.Л., Кулеско Н.А. «Сборник материалов математических олимпиад: 906 самых интересных задач и примеров с решениями» , Донецк: ООО ПКФ «БАО», 2002.

  3. А.М. Назаренко, Л.Д. Назаренко «Тысяча и один пример. Равенства и неравенства», Сумы «Слобожанщина», 1994.

  4. Ф.П. Яремчук, П.А. Рудченко «Алгебра и элементарные функции» , Х. «Полиграфкнига», 1975.

Автор
Дата добавления 04.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров568
Номер материала ДВ-028874
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх