Материал по подготовке к ЕГЭ по теме:"Тригонометрические уравнения"

Методический центр сектора дошкольного, общего и дополнительного образования

Муниципального бюджетного учреждения

«Городское управление народного образования»

ТРИГОНОМЕТРИЯ

ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

10-11 КЛАССОВ

Составитель:

Колобова С.А.,

учитель математики

МБОУ «Гимназия №2»

Инта

2014

     Данная работа может быть использована в качестве учебного материала при подготовке учащихся  к экзамену. В данной работе рассмотрены решения простейших тригонометрических уравнений. Рассмотрены основные методы решения тригонометрических уравнений, показаны способы отбора корней.    

        I.  Важные моменты при решении тригонометрических уравнений.

При решении тригонометрических уравнений необходимо уметь вычислять значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Это возможно вычислять с помощью таблицы или единичной окружности.

Примеры использования единичной окружности.

arcsin =    arccos =    arctg =   arcctg =	arcsin( )=    arccos( )=    arctg (-1) =    arcctg(-1) =
аrcsin(- )=-    arccos( )=    arctg( )= -   arcctg()  =	аrcsin 0 = 0   arccos 0 =    arctg 0 = 0 arcctg 0 = не существует

Тренировку по нахождению значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса можно провести, используя следующую таблицу.

1	2	3	4
arcsin 0			arcsin 1
arccos 1			arcos 0
arctg 0		arctg 1
	arcctg 1		arcctg 0
			arccos (-1)
			arctg ( -1 )
		arcctg ( - 1 )

Для успешного решения тригонометрических уравнений необходимо знать основные формулы.

       При решении тригонометрических уравнений (для упрощения тригонометрических выражений) иногда приходится использовать формулы приведения.

Тренировку можно произвести с помощью следующей таблицы.

Упростить	Вычислить	Упростить	Вычислить
	sin 2400	tg ( 900 + α )	cos ( - 5850 )
sin ( 900 + α )	cos 2400	ctg ( 3600 + α )	tg 13950
cos ( π – α )	sin 2250	sin ( 2π + α )	ctg ( - 6300 )
	cos ( - 1500)		tg 3150
sin ( 1800 – α )	tg ( - 2100 )	cos ( π + α )	cos 4950
cos ( 900 - α )	sin 3300	cos ( 2700 + α )	cos 7650
	cos ( - 4850 )	tg ( 900 – α )	sin ( - 8100 )
tg ( 900 + α )	cos ( - 1350 )	ctg ( 1800 + α )	cos ( - 9000 )

II.   Решение простейших тригонометрических уравнений.

Для удобства запоминания формул можно использовать следующую таблицу.

Частные случаи решения тригонометрических уравнений.

Примеры решения простейших тригонометрических уравнений.

или  х=(-1)пarcsin+ x=(-1)n	или х =arccos+ х =+

III.    Методы решения тригонометрических уравнений.

              Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:  преобразование уравнения для получения его простейшего вида ( см. выше ) и  решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения  тригонометрических уравнений.

1.Приведение к квадратному уравнению.

Ответ: +; =+.

2.Приведение к однородному уравнению.

Уравнение называется однородным относительно  sin  и  cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin  и cos  одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:

   а)  перенести все его члены в левую часть;

   б)  вынести все общие множители за скобки;

   в)  приравнять все множители и скобки нулю;

   г)  скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на   cos ( или sin ) в старшей степени; 

   д)  решить полученное алгебраическое уравнение относительно тангенса или котангенса. 

 3sin² x + 4 sin x · cos x + 5 cos² x = 2.

3sin² x + 4 sin x · cos x + 5 cos² x = 2sin² x + 2cos² x ,

 sin²  x + 4 sin x  · cos x + 3 cos² x = 0 , разделим обе части уравнения на cos²x

tg²x+4tgx+3=0,    пусть  tgx=t, тогда t²+4t+3=0.

Корнями этого уравнения являются числа   -1 и  -3.

Если t=-1, то  tgx=-1, x= х =+.

Если t=-3, то  tgx=-3, x= х =arctg(-3)+.

Ответ:  +; arctg(-3)+.

3. Разложение на множители.

 a)  sin2x-cosx=0,

2sinxcosx-cosx=0,

 cosx(2sinx-1)=0,

cosx=0                       или            2sinx-1=0

x=+                            sinx=

                                                      x=(-1)^karcsin+

                                                     x=(-1)^k   

Ответ: +; (-1)^k   .

b) sinx+cosx=sinxcosx+1,

sinx+cosx-sinxcosx-1=0,

sinx(1- cosx)+( cosx-1)=0,

( cosx-1)( sinx-1)=0

cosx-1=0                     или          sinх-1=0

cosx=1                                        sinx=1

x=2                               x= +    

Ответ: ; + .

4. Введение вспомогательного угла.

sinx+cosx=2 разделим обе части уравнения на 2, получим

       так как cos=   и sin=

sinx cos+ cosx sin=1 воспользуемся формулой sinx cosy+ cosx siny= sin(x+y)

sin(x+)=1, x+= +  ,   x=+ +,  x=+.

Ответ: +.

             IV.  Отбор корней тригонометрического уравнения.

        При выполнении задания С-1 необходимо найти те корни уравнения, которые принадлежат заданному промежутку. Это можно сделать с помощью перебора или решения неравенства.

1.Решить уравнение:   2,5sin2x = 7 cos² x – 1, 

Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку х .

В данном уравнении отбор корней проведем перебором.

Для решения уравнения воспользуемся основным тригонометрическим формулой двойного угла для синуса и основным тригонометрическим тождеством. Получим уравнение

5sinxcosx = 7cos² x – sin² x – cos² x, т.е.  sin² x – 6cos² x+ 5sinxcosx = 0

Разделим обе части уравнения на cos² x. Получим tg² x+ 5tgx – 6 = 0.

Пусть tgx = t, тогда t²+ 5t – 6 = 0, t = 1  или  t = –6.

tgx = 1 или tg = –6;

x=+ или  x=arctg(-6)+.

Проведём отбор корней, принадлежащих отрезку     .

Если n=0, то x=. Этот корень принадлежит рассматриваемому промежутку.

Если n=1, то x=. Этот корень тоже принадлежит рассматриваемому промежутку.

Если n=2, то x=. Ясно, что данный корень не принадлежит промежутку.

Если n = –1, то x= – не принадлежит промежутку .

Если k=0, то x= arctg(-6), x=- arctg6– не принадлежит промежутку .

Если k=1, то x= arctg(-6)+. Этот корень принадлежит рассматриваемому промежутку.

Аналогично предыдущему случаю убедимся, что при k = 0 и k = 2,  а, следовательно, при k = –1, –2,…k = 3,4,… мы получим корни, не принадлежащие промежутку .

Ответ: a) x=+ или  x=arctg(-6)+.

             б); ;   arctg(-6)+.

2. Решить уравнение   sin²x-2 cos2x=2 и указать корни, принадлежащие промежутку  .

Используя формулу двойного угла косинуса и основное тригонометрическое тождеств. Получим уравнение sin²x=1.

Тогда  sinx=1               или      sinx=-1.

х=+                    х=+

Проведём отбор корней, принадлежащих отрезку     .

Составим и решим неравенства:

+

1+

1+

 целых значений m удовлетворяющих неравенству нет.

+

1+

     n=1 удовлетворяет неравенству.

Если n=1, то х=

Ответ: a) +,k   б) .

3.Необходимо обратить внимание на уравнения, содержащие деление.

Решите уравнение: а)  .   б) Найдите все корни этого уравнения принадлежащие отрезку .

a)    ,  ,

 

        . k

б ) Если k=0, то х=. Данный корень не принадлежит промежутку.

      Если k=-1, то х=. Данный корень не принадлежит промежутку.

      Если k=-2, то х=. Данный корень принадлежит промежутку.

      Если k=-3, то х=. Данный корень  принадлежит промежутку.

Ответ: a) k.  б), .

Краткое описание документа:

Данная работа может быть использована в качестве учебного материала при подготовке учащихся к экзамену. В данной работе рассмотрены решения простейших тригонометрических уравнений. Рассмотрены основные методы решения тригонометрических уравнений, показаны способы отбора корней. Представлены тренажёры по определению арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса. показана работа с единичной окружностью