Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Материал по теме "Метод координат"

Материал по теме "Метод координат"



Осталось всего 2 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Координатный метод

Уравнение плоскости по трем точкам

Во многих стереометрических задачах, связанных с нахождением расстояния от точки до плоскости или расстояния между скрещивающимися прямыми, или угла между плоскостями, требуется найти уравнение плоскости.

Уравнение плоскости имеет вид: ax+by+cz+d=0, где a, b, cи d– числовые коэффициенты.

Пусть нам нужно написать уравнение плоскости, которая проходит через точки K(x_1;y_1;z_1), L(x_2;y_2;z_2)и M(x_3;y_3;z_3)

А) Так как точки принадлежат плоскости, то при подстановке их координат в уравнение плоскости, мы получим верные равенства.

Так как у нас три точки, мы должны получить систему из трех уравнений с четырьмя неизвестными. Примем коэффициент dравным 1. Для этого разделим уравнение плоскости на d. Получим:

{a/d}x+{b/d}y+{c/d}z+1=0

Мы можем переписать это уравнение в виде: Ax+By+Cz+1=0

Чтобы найти коэффициенты А, В и С, подставим координаты точек K(x_1;y_1;z_1), L(x_2;y_2;z_2)и M(x_3;y_3;z_3)в уравнение плоскости Ax+By+Cz+1=0.

Получим систему уравнений:

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{Ax_1+By_1+Cz_1+1=0} {Ax_2+By_2+Cz_2+1=0} {Ax_3+By_3+Cz_3+1=0}}}{ }

Решив ее, мы найдем значения коэффициентов А, В и С.

Б) Определителем.












Решим задачу.

В правильной четырехугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре AA_1взята точка Mтак, что AMравно 8. на ребре BB_1взята точка Kтак, что B_1Kравно 8. Написать уравнение плоскости D_1MK: Поскольку для нахождения уравнения плоскости нам понадобятся координаты точек, мы помещаю призму в систему координат:

http://ege-ok.ru/wp-content/uploads/2012/03/edkub2.jpeg

Запишем координаты точек:

M(0;0;13)

K(12;0;8)

D_1(0;12;0)

Подставим их в систему уравнений:

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{0*A+0*B+13C+1=0} {12A+0*B+8C+1=0} {0*A+12B+0*C+1=0}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{13C+1=0} {12A+8C+1=0} {12B+1=0}}}{ }

Отсюда:

C=-1/{13}

B=-1/{12}

A={-5}/{12*13}

Подставим найденные коэффициенты в уравнение плоскости:

{-5}/{12*13}x- 1/{12}y-1/{13}z+1=0

Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения плоскости на -{12*13}. Получим:

5x+13y+12z-156=0

Ответ: уравнение плоскости D_1MK5x+13y+12z-156=0

Расстояние от точки до плоскости.

Рассстояние rhoот точки M_0(x_0,y_0,z_0)до плоскости ax+by+cz+d=0вычисляется по такой формуле:

rho=delim{|}{ax_0+by_0+cz_0+d}{|}/{sqrt{a^2+b^2+c^2}}

Решим задачу: в единичном кубе A....D_1найдите расстояние от точки Aдо плоскости CB_1D_1.

Чтобы воспользоваться этой формулой, поместим наш куб в систему координат:

http://ege-ok.ru/wp-content/uploads/2012/03/edkub6-300x269.jpgВ нашей задаче роль точки M_0(x_0,y_0,z_0)играет точка A(0,1,0). То есть x_0=0, y_0=1, z_0=0

Теперь наша задача найти коэффициенты a, b, cи dв уравнении ax+by+cz+d=0плоскости D_1B_1C.

Плоскость D_1B_1Cопределяется тремя точками D_1 (0,0,1), B_1(1,1,1)и C (1,0,0). Если мы координаты точек подставим в уравнение плоскости ax+by+cz+d=0, то получим верное равенство.

Коэффициент dв уравнении плоскости мы можем принять равным 1.

Чтобы найти коэффициенты a, bи c, подставим координаты точек D_1 (0,0,1), B_1(1,1,1)и C (1,0,0)в уравнение плоскости ax+by+cz+d=0. Получим систему уравнений:

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{0*a+0*b+1*c+1=0} {1*a+1*b+1*c+1=0} {1*a+0*b+0*c+1=0}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{c+1=0} {a+b+c+1=0} {a+1=0}}}{ }

Отсюда: a=-1, b=1, c=-1

Подставим координаты точки A(0,1,0)и значения коэффициентов в формулу для расстояния:

rho=delim{|}{(-1)*0+1*1+(-1)0+1}{|}/{sqrt{(-1)^2+1^2+(-1)^2}} =2/{sqrt{3}}={2sqrt{3}}/3

Ответ: {2sqrt{3}}/3

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми

Итак, аналитический способ решения задачи:

В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми ABи CB_1:

http://ege-ok.ru/wp-content/uploads/2012/03/treugprizma12.jpegКак мы помним из геометрического метода решения этой задачи, расстояние между прямыми ABи CB_1есть расстояние от точки M <strong>» title=»M <strong>«/>, </strong></strong>которая является серединой отрезка <img src=до плоскости A_1B_1C:

http://ege-ok.ru/wp-content/uploads/2012/03/treugprizma9.jpeg

Рассстояние rhoот точки M_0(x_0,y_0,z_0)до плоскости ax+by+cz+d=0вычисляется по такой формуле:

rho=delim{|}{ax_0+by_0+cz_0+d}{|}/{sqrt{a^2+b^2+c^2}}

Поместим нашу призму в систему координат. Если мы решаем задачу с кубом или прямоугольным параллелепипедом, то выбор системы координат очевиден: мы помещаем начало координат в одну из вершин куба, а оси направляем вдоль ребер. В случае призмы это не столь очевидно.

Нам надо выбрать систему координат таким образом, чтобы координаты точки Mи точек A_1, B_1и C, задающих плоскость A_1B_1Cвычислялись наиболее простым способом и содержали как можно больше нулей. Поэтому удобно выбрать систему координат вот таким образом:

http://ege-ok.ru/wp-content/uploads/2012/03/treugprizma10.jpegЗапишем координаты нужных нам точек:

A_1(0;-{1/2};1)B_1(0;{1/2};1)C({sqrt{3}}/2;0;0)M(0;0;0)

Чтобы найти коэффициенты a, b, cи dв уравнении ax+by+cz+d=0плоскости A_1B_1C, примем коэффициент d=1, и подставим координаты точек A_1, B_1и Cв уравнение плоскости. Получим систему уравнений:

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{0*a-{1/2}b+c+1=0} {0*a+{1/2}b+c+1=0} {{sqrt{3}}/2{a}+0*b+0*c+1=0}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{-{1/2}b+c+1=0} {{1/2}b+c+1=0} {{sqrt{3}}/2{a}+1=0}}}{ }

Отсюда:

a=-2/{sqrt{3}},b=0,c=-1

Подставим значения коэффициентов и координаты точки M(0;0;0)в формулу для расстояния. Получим:

rho=delim{|}{{-2/{sqrt{3}}}*0+0*0+{-1}*0+1}{|}/{sqrt{{-2/{sqrt{3}}^2+0^2+{-1}^2}}=1/{{4/3}+1}=sqrt{3/7}=sqrt{21}/7

Ответ: sqrt{21}/7

Угол между прямой и плоскостью.

1. Уравнение плоскости имеет вид ax+by+cz+d=0

2. Важно! В этом уравнении плоскости коэффициенты a;b;c– координаты вектора нормали к плоскости (то есть вектора, перпендикулярного плоскости).

vec{n}(a;b;c )

http://ege-ok.ru/wp-content/uploads/2012/03/fr30.jpg

3. Косинус угла между векторами vec{a}(x_1;y_1;z_1)и vec{b}(x_2;y_2;z_2)вычисляется по формуле:

cos{beta}={{x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}+{z_1}{z_2}}/{sqrt{{x_1}^2+{y_1}^2+{z_1}^2}{sqrt{{x_2}^2+{y_2}^2+{z_2}^2}} }

4. Любой ненулевой вектор vec{m}(a_1;b_1;c _1), лежащий на прямой l, или параллельный прямой l, называется направляющим вектором прямой.

5. Синус угла betaмежду прямой lи плоскостью alphaравен косинусу угла gammaмежду нормалью (vec{n}) к плоскости и направляющим вектором прямой (vec{m}), поскольку эти два угла в сумме равны 90°.

sin{beta}=cos{gamma}

http://ege-ok.ru/wp-content/uploads/2012/03/fr115.jpgТо есть синус угла betaмежду прямой, направляющий вектор которой имеет координаты vec{m}(a_1;b_1;c _1)и плоскостью, заданной уравнением ax+by+cz+d=0вычисляется по формуле:

sin{beta}=delim{|}{{{a_1}{a}+{b_1}{b}+{c_1}{c}}/{sqrt{{a_1}^2+{b_1}^2+{c_1}^2}{sqrt{{a}^2+{b}^2+{c}^2}} }}{|}

Решим задачу:

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой BD и плоскостью SBC.

http://ege-ok.ru/wp-content/uploads/2012/03/chetyirehugpiramida1.jpegВведем систему координат:

http://ege-ok.ru/wp-content/uploads/2012/03/chetyirehugpiramida2.jpegЗапишем уравнение плоскости SBC. Для этого найдем координаты точек S, B и C и подставим их в уравнение плоскости ax+by+cz+d=0

B(0;0;0)C(0;1;0)S({1/2};{1/2};{sqrt{2}}/2)

Так как плоскость SBC проходит через начало координат, d=0,

Получим систему уравнений:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{b=0} {{1/2}a+{1/2}b+{sqrt{2}/2}c=0} {x-8y+9z=0}}}{ }

Отсюда b=0, {1/2}a=-{sqrt{2}/2}c.

Уравнение плоскости имеет вид:

-{sqrt{2}}c x+cz=0. Разделим обе части равенства на с, получим:

-{sqrt{2}} x+z=0.

Таким образом, вектор нормали к плоскости SBC имеет координаты:

vec{n}({-sqrt{2}};0;1 )

Найдем координаты направляющего вектора прямой BD. Для этого найдем координаты точек B и D, а затем из координат конца вычтем координаты начала.

D(1;1;0) B(0;0;0), vec{BD}(1;1;0)

sin{beta}=delim{|}{{-{sqrt{2}}*{1}}/{sqrt{{(-{sqrt{2})}^2+1}sqrt{1+1}} }{|}=1/{sqrt{3}}={sqrt{3}}/3

Ответ: {sqrt{3}}/3

Угол между плоскостями.

Две пересекающиеся плоскости образуют две пары равных между собой двугранных углов: http://ege-ok.ru/wp-content/uploads/2012/03/ug.jpg

Величина двугранного угла измеряется величиной соответствующего линейного угла.

Чтобы построить линейный угол двугранного угла, нужно взять на линии пересечения плоскостей произвольную точку, и в каждой плоскости провести к этой точке луч перпендикулярно линии пересечения плоскостей. Угол, образованный этими лучами и есть линейный угол двугранного угла:

http://ege-ok.ru/wp-content/uploads/2012/03/ug1.jpg

Величиной угла между плоскостями называется величина меньшего двугранного угла.

Пусть наши плоскости {alpha}_1и {alpha}_1заданы уравнениями:

{alpha}_1: a_1{x}+b_1{y}+c_1{z}+d_1=0

{alpha}_2: a_2{x}+b_2{y}+c_2{z}+d_2=0

Косинус угла varphiмежду плоскостями находится по такой формуле:

cos{varphi}={a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2}/{sqrt{{a_1}^2+{b_1}^2+{c_1}^2}sqrt{{a_2}^2+{b_2}^2+{c_2}^2}}

В ответе мы записываем delim{|}{cos{varphi}}{|}, так как величиной угла между плоскостями называется величина меньшего двугранного угла.

Решим задачу, которая была предложена на пробнике для подготовке к ЕГЭ 17 марта 2012 года.

В правильной четырехугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре AA_1взята точка М так, что AM=8. На ребре BB_1взята точка K так, что на ребре AA_1взята точка М так, что B_1=8. Найдите угол между плоскостью D_1MKи плоскостью CC_1D_1.

Сделаем чертеж. Так как мы будем использовать метод координат, сразу введем систему координат:http://ege-ok.ru/wp-content/uploads/2012/03/edkub21.jpeg

Теперь перед нами стоит задача написать уравнения плоскости D_1MKи плоскости CC_1D_1.

Подробный алгоритм нахождения уравнения плоскости D_1MKпо трем точкам я описывала здесь.

После того, как мы найдем коэффициенты в уравнениях плоскости D_1MKи плоскости CC_1D_1, подставим их в формулу для нахождения косинуса угла между плоскостями, и найдем угол.




























hello_html_6d86c857.png

hello_html_m35a6580.png

hello_html_m2c093c2c.png

hello_html_7a25737a.png

hello_html_mef75b4f.png

hello_html_2a3b7f89.png

hello_html_c5f066a.png

hello_html_m2ca6c70e.png

hello_html_m480d648.png

hello_html_m3286adbf.png

hello_html_61e325c.png

hello_html_3e468cec.png

hello_html_2e92c277.png

hello_html_6e97894b.png

hello_html_2e19b178.png

hello_html_5b796f13.png

hello_html_34f6b96b.png

hello_html_m75e0365f.png



10




57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 13.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров337
Номер материала ДA-041402
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх