Координатный
метод
Уравнение
плоскости по трем точкам
Во
многих стереометрических задачах, связанных с нахождением расстояния
от точки до плоскости или расстояния
между скрещивающимися прямыми, или угла
между плоскостями, требуется найти уравнение
плоскости.
Уравнение
плоскости имеет вид: , где , ,
и – числовые коэффициенты.
Пусть
нам нужно написать уравнение плоскости, которая проходит через точки , и
А)
Так как точки принадлежат плоскости, то при подстановке их координат в
уравнение плоскости, мы получим верные равенства.
Так
как у нас три точки, мы должны получить систему из трех уравнений с четырьмя
неизвестными. Примем коэффициент равным 1. Для этого
разделим уравнение плоскости на . Получим:
Мы
можем переписать это уравнение в виде:
Чтобы
найти коэффициенты А, В и С, подставим координаты точек , и в
уравнение плоскости .
Получим
систему уравнений:
Решив
ее, мы найдем значения коэффициентов А, В и С.
Б)
Определителем.
Решим
задачу.
В
правильной четырехугольной призме со
стороной основания 12 и высотой 21 на ребре взята точка так, что равно 8. на ребре взята точка так, что равно 8. Написать уравнение плоскости : Поскольку для нахождения уравнения плоскости нам понадобятся
координаты точек, мы помещаю призму в систему координат:
Запишем
координаты точек:
Подставим
их в систему уравнений:
Отсюда:
Подставим
найденные коэффициенты в уравнение плоскости:
Чтобы
избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения плоскости на . Получим:
Ответ:
уравнение плоскости
Расстояние
от точки до плоскости.
Рассстояние
от точки до плоскости вычисляется по такой формуле:
Решим
задачу: в единичном кубе найдите
расстояние от точки до
плоскости .
Чтобы
воспользоваться этой формулой, поместим наш куб в систему координат:
В
нашей задаче роль точки играет точка . То есть , ,
Теперь
наша задача найти коэффициенты , , и в
уравнении плоскости .
Плоскость
определяется тремя точками , и . Если мы координаты точек
подставим в уравнение плоскости , то получим
верное равенство.
Коэффициент
в уравнении плоскости мы можем принять равным 1.
Чтобы
найти коэффициенты , и , подставим
координаты точек , и в уравнение плоскости . Получим
систему уравнений:
Отсюда:
, ,
Подставим
координаты точки и значения коэффициентов в формулу
для расстояния:
Ответ:
Расстояние
между двумя скрещивающимися прямыми
Итак,
аналитический способ решения задачи:
В
правильной треугольной призме ,
все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми и :
Как
мы помним из геометрического
метода решения этой задачи, расстояние
между прямыми и есть расстояние от
точки до
плоскости :
Рассстояние
от точки до плоскости вычисляется по такой формуле:
Поместим
нашу призму в систему координат. Если мы решаем задачу с кубом или
прямоугольным параллелепипедом, то выбор системы координат очевиден: мы
помещаем начало координат в одну из вершин куба, а оси направляем вдоль ребер.
В случае призмы это не столь очевидно.
Нам
надо выбрать систему координат таким образом, чтобы координаты точки и точек , и , задающих плоскость вычислялись наиболее простым способом и содержали как можно
больше нулей. Поэтому удобно выбрать систему координат вот таким образом:
Запишем
координаты нужных нам точек:
Чтобы
найти коэффициенты , , и в уравнении плоскости
,
примем коэффициент , и
подставим координаты точек ,
и в уравнение плоскости. Получим систему уравнений:
Отсюда:
,,
Подставим
значения коэффициентов и координаты точки в формулу для расстояния. Получим:
Ответ:
Угол
между прямой и плоскостью.
1.
Уравнение плоскости имеет вид
2.
Важно! В этом уравнении плоскости коэффициенты – координаты вектора нормали к плоскости (то
есть вектора, перпендикулярного плоскости).
3.
Косинус угла между векторами и вычисляется по формуле:
4.
Любой ненулевой вектор , лежащий на прямой , или параллельный прямой , называется направляющим вектором прямой.
5.
Синус угла между прямой и плоскостью равен косинусу угла между нормалью () к
плоскости и направляющим вектором прямой (), поскольку эти
два угла в сумме равны 90°.
То
есть синус угла между прямой,
направляющий вектор которой имеет координаты и плоскостью, заданной
уравнением вычисляется
по формуле:
Решим
задачу:
В
правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите
синус угла между прямой BD и плоскостью SBC.
Введем
систему координат:
Запишем
уравнение плоскости
SBC. Для этого найдем координаты точек S, B и C и подставим их в уравнение
плоскости
Так
как плоскость SBC проходит через начало координат, ,
Получим
систему уравнений:
Отсюда
, .
Уравнение
плоскости имеет вид:
. Разделим обе части
равенства на с, получим:
.
Таким
образом, вектор нормали к плоскости SBC имеет координаты:
Найдем
координаты направляющего вектора прямой BD. Для этого найдем координаты точек B
и D, а затем из координат конца вычтем координаты начала.
D(1;1;0)
B(0;0;0),
Ответ:
Угол
между плоскостями.
Две
пересекающиеся плоскости образуют две пары равных между собой двугранных углов:
Величина
двугранного угла измеряется величиной соответствующего линейного угла.
Чтобы
построить линейный угол двугранного угла, нужно взять на линии пересечения
плоскостей произвольную точку, и в каждой плоскости провести к этой точке луч
перпендикулярно линии пересечения плоскостей. Угол, образованный этими лучами и
есть линейный угол двугранного угла:
Величиной
угла между плоскостями называется величина меньшего
двугранного угла.
Пусть
наши плоскости и заданы
уравнениями:
:
:
Косинус
угла между плоскостями
находится по такой формуле:
В
ответе мы записываем , так как
величиной угла между плоскостями называется величина меньшего двугранного угла.
Решим
задачу, которая была предложена на пробнике для подготовке к ЕГЭ 17
марта 2012 года.
В
правильной четырехугольной призме со
стороной основания 12 и высотой 21 на ребре взята точка М так, что .
На ребре взята точка K так,
что на ребре взята точка М так,
что .
Найдите угол между плоскостью и
плоскостью .
Сделаем
чертеж. Так как мы будем использовать метод координат, сразу введем систему
координат:
Теперь
перед нами стоит задача написать уравнения плоскости и плоскости
.
Подробный
алгоритм нахождения уравнения плоскости по трем точкам я
описывала здесь.
После
того, как мы найдем коэффициенты в уравнениях плоскости и плоскости
, подставим их в формулу для нахождения косинуса угла между
плоскостями, и найдем угол.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.