!["Тела вращения на примере конуса" Компьютерная поддержка по теме](https://documents.infourok.ru/5358faef-5b59-4091-8ba1-456ac62e5388/0/slide_01.jpg ""Тела вращения на примере конуса" Компьютерная поддержка по теме")
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Курс повышения квалификации
Курс повышения квалификации
Курс профессиональной переподготовки
1 слайд
"Тела вращения на примере конуса"
Компьютерная поддержка по теме
2 слайд
Нас окружает множество предметов
3 слайд
КОНУС
4 слайд
Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая шишка».
С конусом люди знакомы с глубокой древности.
Много сделала для геометрии школа Платона (428–348 гг. до н. э.).
Школе Платона, в частности, принадлежит: а) исследование свойств призмы, пирамиды, цилиндра и конуса;
б) изучение конических сечений.
меню
ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА О КОНУСЕ
5 слайд
КОНУС
α
Пусть дана некоторая плоскость α.
6 слайд
КОНУС
α
Проведём в плоскости α
замкнутую кривую линию L.
L
7 слайд
КОНУС
α
Соединим точку А, не лежащую в плоскости α,
с замкнутой кривой линией L.
L
А
8 слайд
КОНУС
α
Отрезки, соединяющие точку А с замкнутой кривой линией L, образуют коническую поверхность.
L
А
9 слайд
КОНУС
α
Тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью, пересекающей её по замкнутой кривой, называется конусом.
L
А
10 слайд
Назовите предметы, которые имеют коническую поверхность
11 слайд
КОНУС
α
Рассмотрим окружность О(r) Є α .
О
r
12 слайд
КОНУС
α
Проведем прямую ОР α .
О
r
Р
13 слайд
КОНУС
α
Соединим каждую точку окружности О (r) с точкой Р.
О
r
Р
14 слайд
КОНУС
Поверхность, образованная отрезками, соединяющими каждую точку окружности с точкой, лежащей на прямой перпендикулярной плоскости этой окружности и проходящей через центр этой окружности – это поверхность прямого кругового конуса.
α
О
r
Р
15 слайд
КОНУС
КРУГОВОЙ КОНУС – ТЕЛО, ОГРАНИЧЕННОЕ КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ И КРУГОМ.
α
О
r
Р
16 слайд
F
P
x
Определение: тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом.
меню
L
ПОНЯТИЕ КОНУСА
17 слайд
КОНУС
ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА
Коническая поверхность – боковая поверхность конуса
18 слайд
КОНУС
ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА
Круг – основание конуса
19 слайд
КОНУС
ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА
Точка Р – вершина конуса
Р
20 слайд
КОНУС
ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА
Образующие конической поверхности – образующие конуса
ℓ
21 слайд
КОНУС
ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА
Прямая, проходящая через центр основания и вершину – ось конуса
О
22 слайд
КОНУС
ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА
Перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания – высота конуса
О
Н
У прямого конуса ось и высота совпадают.
У наклонного конуса ось и высота не совпадают
23 слайд
КОНУС
ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА
Радиус основания конуса – радиус конуса
О
r
24 слайд
ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА
Боковая поверхность
(коническая поверхность)
Образующие
Основание (круг)
Вершина
Ось
Высота
Радиус
25 слайд
Прямой круговой конус является объединением всех равных друг другу прямоугольных треугольников, имеющих общий катет. Поэтому можно сказать, что он получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов – оси конуса.
меню
В
А
С
С1
С2
КОНУС ВРАЩЕНИЯ
26 слайд
КОНУС
КОНУС – ТЕЛО ВРАЩЕНИЯ
Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов, причем этот катет будет является высотой конуса, второй катет – радиусом конуса, а гипотенуза образующей конуса.
Н
r
ℓ
27 слайд
СЕЧЕНИЯ КОНУСА
СЕЧЕНИЯ КОНУСА
Сечения, проходящее
через ось(осевые)
Сечения, перпендикулярные оси (поперечные)
Сечение, проходящее через вершину, не содержащее ось конуса
Равнобедренный треугольник: боковые стороны – образующие, основание – диаметр конуса
Если равносторонний треугольник – конус называется равносторонним
Круг радиуса меньшего, радиуса основания
Равнобедренный треугольник: боковые стороны – образующие, основание – хорда окружности основания
28 слайд
Рис.1
Рис.2
Рис.3
эллипс
парабола
гипербола
меню
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ КОНУСА
29 слайд
Конические сечения конуса – линии пересечения секущих плоскостей с боковой поверхностью конуса
Конические сечения широко используются в технике
( эллиптические зубчатые колёса, параболические прожекторы и антенны ); планеты и некоторые кометы движутся по эллиптическим орбитам; некоторые кометы движутся по параболическим и гиперболическим орбитам.
30 слайд
КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ
Касательная плоскость –
плоскость, проходящая
через образующюю
и перпендикулярная
плоскости осевого
сечения
31 слайд
Если плоскостью, параллельной основанию конуса, отсечь от него верхнюю часть,
то оставшаяся часть
(между секущей плоскостью
и основанием),
называется усечённый конус
УСЕЧЕННЫЙ КОНУС
32 слайд
Усеченным конусом называется пересечение конуса с полупространством, содержащим основание конуса и ограниченным плоскостью, которая параллельна плоскости основания конуса и пересекает данный конус.
основания
образующая
радиусы
боковая поверхность
высота
меню
ЭЛЕМЕНТЫ УСЕЧЕННОГО КОНУСА
33 слайд
ВИДЫ КОНУСОВ
НАКЛОННЫЙ
КОНУС
ПРЯМОЙ
КОНУС
УСЕЧЁННЫЙ
КОНУС
34 слайд
Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую. Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания.
Sкон =
π
r (l+r)
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
35 слайд
Так выглядит развертка конуса
Развёрткой конуса является круговой сектор, у которого радиус равен образующей конуса R=ℓ,
а длина дуги равна длине окружности основания конуса L=C=2πR
ℓ
α
С = 2πR
Формулы
для вычисления боковой поверхности
и полной поверхности конуса:
Sбок.= πRℓ
Sосн.= πR²
Sп.п.к. =Sбок.+Sосн.= πR(R+ℓ)
36 слайд
Задача №1
Какова площадь поверхности воронки, образовавшейся при взрыве 122-мм бомбы?
37 слайд
Для решения задачи надо измерить:
Длину окружности основания воронки: С= 12м
и глубину по склону: ℓ=1,5 м
Найти: Sбок.=?
Решение: Sбок.= πRℓ
С= 2πR
R=С:2π
Sбок.= πRℓ= πСℓ:2π=Сℓ:2
Sбок.=12*1,5:2= 9м²
Ответ: 9 м²
ℓ
С
38 слайд
Задача №2
Сколько квадратных метров брезента потребуется для сооружения палатки конической формы высотой 4 метра и диаметром основания 6 метров ?
4
6
39 слайд
Задача №3
Решение:
Sбок.= πRℓ
R=D:2 = 6:2 = 3(м)
ℓ= √ Н² +R² = √4² + 3² = 5
Sбок.≈ 3,14* 3*5 ≈ 45,7(м²)
Ответ: ≈ 46 м²
4
3
3
Дано: Н=4 м
D=6 м
Найти: Sбок.=?
6
40 слайд
Задача №3
F
О
Фонарь установлен на высоте 8 м.
Угол рассеивания фонаря 120°.
Определите, какую поверхность освещает фонарь.
120°
8м
41 слайд
Задача №3
F
О
Поверхность, освещаемая фонарём, это площадь круга с радиусом R=ОА.
S= πR²
120°
8м
А
42 слайд
Задача №3 (решение)
Решение:
_ FАО= 180°-120°/2=30°
FA=8•2=16 (катет, лежащий против угла в 30°)
АО= √ FA²-FO² = √16²-8² = 8√3 (по теореме Пифагора)
S = π (8√3)² =132π ≈ 414,5 м²
Ответ: 414,5 м²
43 слайд
Задача №4
Образующая конуса, равная 12 см, наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите площадь основания конуса.
12 см
А
О
В
45°
44 слайд
Задача №4
Дано: конус
l = 12 см
α = 45°
Найти:
Sосн. = ?
12 см
А
О
В
45°
Решение:
1. Рассмотрим ОАВ – прямоугольный:
ОВА = ОАВ = 45° => ОА = ОВ
по т. Пифагора АВ2 = ОА2 + ОВ2
144 = 2·ОВ2
ОВ = 6
2. Sосн. = r2
r = OB = 6
=> Sосн. = 72π см2 .
Ответ: 72π см2.
45 слайд
ВЫВОД ФОРМУЛЫ
меню
Vконуса =∫S(x)dx.
H
0
S(x)
Sосн
= k =
2
( )
2
=
x
x
H
H
2
2
S(x) = Sосн *
x
H
2
2
Sосн
3
1
=
*
H
3
1
=
π
2
R
H
3
1
=
π
2
R
H
Vконуса
H
x
S(x)
Sосн
x
H
2
2
H
0
Vконуса =∫Sосн * dx =
Sосн
2
H
*
=
Sосн *
2
H *
3
H
3
=
H
3
x
3
0
ОБЪЕМ КОНУСА
46 слайд
ВЫВОД ФОРМУЛЫ ЧЕРЕЗ ИНТЕГРАЛ
меню
Vтела вращ. =
π
∫
H
0
2
f
(x) dx.
3
1
=
π
2
R
H
Vконуса
∫
H
0
∫
H
0
Vконуса =
π
(kx) dx =
2
π
2
k
2
2
x dx
=
π
*( )
H
R
*
H
3
x
3
0
=
2
H *
3
H
3
π
R *
2
=
=
2
H *
3
H
3
π
R *
2
=
3
1
=
π
2
R
H
R
A
C
H
O
x
y
H
y = kx
α
47 слайд
Авиационная бомба среднего калибра дает при взрыве воронку диаметром 6 м и глубиной 2 м. Какое количество земли (по массе) выбрасывает эта бомба, если 1 м3 земли имеет массу 1650 кг?
Решение:
O
A
C
2м
B
3м
* 3 * 2 =6 (м )
2
3
π
P = 1650*6*3,14 31086 кг 31 т.
≈
≈
Ответ: P = 31 т.
3
1
=
π
2
R
H
V
=
3
1
π
Задача №4
48 слайд
Смолу для промышленных нужд собирают, подвешивая конические воронки к соснам. Сколько воронок диаметром 10 см с образующей 13 см нужно собрать, чтобы заполнить 10-литровое ведро?
Дано:Решение.
коническая воронка
D = 10 см
L = 13 см
V – ?
меню
O
A
C
13
B
5
3
1
=
π
2
R
H
V
=
3
1
π
* 25 * 12 =100
π (см )
3
= 100 см = 0,1
3
3
π
π(ДМ )
n = 31,8
10
0,1
π
≈
Ответ: n 32 воронки.
≈
Задача №5
49 слайд
«... Читал я где-то, что царь однажды воинам своим велел снести земли по горсти в кучу. И гордый холм возвысился, и царь мог с высоты с весельем озирать и дол, покрытый белыми шатрами, и море, где бежали корабли.»
А.С. Пушкин «Скупой рыцарь»
меню
Это одна из немногих легенд, в которой при кажущемся правдоподобии нет и зерна правды. Докажите геометрически, что если бы какой-нибудь древний деспот вздумал осуществить такую затею, он был бы обескуражен мизерностью результата. Перед ним высилась бы настолько жалкая куча земли, что никакая фантазия не смогла бы раздуть ее в легендарный «гордый холм».
50 слайд
Войско в 100 000 воинов считалось очень внушительным.
V = 0,2*100 000 = 20 000 дм3 = 20 м3.
Угол откоса 45°, иначе земля начнет осыпаться.
Возьмем угол откоса наибольшим возможным, т. е. 45°
Дано: конус
V = 20 м3
a = 45°
Найти: H конуса
меню
3
1
=
π
2
R
H
Vконуса
1 горсть ≈ литров = 0,2 дм.
5
1
3
45
H = 2,7 м.
√
3
3
π
≈
Решение:
Так как H = R, то:
51 слайд
ПРОВЕРЬ СЕБЯ
52 слайд
Какое из изображённых тел является конусом?
53 слайд
Ответьте на вопрос и запишите ответы в столбик.
Из первых букв составьте слово.
Как называется:
1. Фигура, полученная при поперечном сечении конуса?
2. Отрезок, соединяющий вершину с окружностью основания?
3. Имеет ли конус центр симметрии?
4. Тело, полученное при пересечении конуса плоскостью, параллельной основанию?
5. Фигура, являющаяся боковой поверхностью конуса?
54 слайд
Проверь себя
Задание1: 1; 5; 10.
Задание2:
1. Круг.
2. Образующая.
3. Нет.
4. Усечённый конус.
5. Сектор.
55 слайд
Список литературы:
1. Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. / Геометрия : Учебное пособие для классов с углубленным изучением математики – 3-е издание, перераб. – М.: Просвещение, 1992. – 464с.
2. Геометрия : учеб. для общеобразоват. учреждений / Атанасян Л. С., Бутузов В.Ф., Кадомцев и др. – 14-е изд. – М.: Просвещение,2005. – 206с.
3. Крамор В. С. / Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии. – 3-е изд., испр. И доп. – М.:Мнемозина, 2004. – 336 с.
4. Смирнова И. М. / Геометрия: Учебное пособие для СПО. – М.: Просвещение, 1997. – 159 с.
5. Математика. – репринтное издание «Математического энциклопедического словаря» 1988 г.- М.: Большая Российская энциклопедия, 2003. - с.
6. http://ru.wikipedia.org/wiki/
56 слайд
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
В методической разработке приведены краткие теоретические сведения по геометрии по теме: «Конус», рассматриваются основные понятия, определения, вывод основных формул, примеры практических задач с решениями по данной теме.
Показано, как с помощью презентации формируется пространственное воображение студентов.
Автор надеется, что данное пособие будет способствовать более глубокому изучению материала студентами колледжа.
Методическая разработка предназначена для преподавателей учреждений среднего профессионального образования.
6 806 343 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Тетеркина-Чамина Лариса Михайловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Вы сможете бесплатно проходить любые из 4800 курсов в нашем каталоге.
Перейти в каталог курсов
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.