Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Решение уравнений и неравенств
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Решение уравнений и неравенств

библиотека
материалов

hello_html_7ba12074.gifРешение уравнений и неравенств методом оценки

Главный вопрос,  на который надо ответить при решении уравнения: когда, при каком значении X, это равенство будет истинным? Поиски  правильного ответа  на этот вопрос при решении сложных уравнений требуют применения нестандартных приёмов. Одним из таких нестандартных методов решения уравнений является метод оценки, илиметод мини-макса, или метод сравнения множеств значений.

Указания к применению метода оценки таковы:

 1)  Часто внешним признаком, побуждающим использовать метод мини-макса, является наличие в одном уравнении функций различной породы: алгебраических, тригонометрических, показательных, логарифмических  и т.п., что затрудняет или делает невозможным использование стандартных методов.

2)  Оценка одной из частей уравнения может быть сделана, исходя из очевидных соображений, или диктуется непосредственным видом этой части; тогда следует получать противоположную оценку для другой части уравнения, используя базовые неравенства.

Эта оценка позволяет определить единственное значение, при котором истинное равенство обеих частей уравнения  возможно, выбрать наиболее простую часть уравнения приравнять   её найденному числу и решить стандартным способом.

1. Найти значение х, при котором 3sinhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img2.gif. (ЕГЭ-2009)

Найду область значений каждой части неравенства.

1) http://festival.1september.ru/articles/588136/img4.gif – квадратичная, ветви вверх, вершина (1,5; 3)
2) Sin x 
http://festival.1september.ru/articles/588136/img6.gif   т.е.  http://festival.1september.ru/articles/588136/img8.gif и неравенство следует рассматривать как уравнение 3sinhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img10.gif. Решаем то, что проще.
x
http://festival.1september.ru/articles/588136/img12.gif
x
http://festival.1september.ru/articles/588136/img14.gif,  D = 0,  x = 1,5.
Можно выделить полный квадрат  x
http://festival.1september.ru/articles/588136/img16.gif т.е. вершина (1,5 3) и х = 1.5.

Ответ: х = 1,5.

2. Найти значение х, при котором 4coshttp://festival.1september.ru/articles/588136/img18.gif. (ЕГЭ-2009).

Найду область значений каждой части неравенства.

1) Cos xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img20.gif[– 1; 1]http://festival.1september.ru/articles/588136/img22.gif 4coshttp://festival.1september.ru/articles/588136/img24.gif[– 4; 4].
2) x
http://festival.1september.ru/articles/588136/img26.gif–3x + http://festival.1september.ru/articles/588136/img28.gif т.е. вершина (1,5; 4), ветви вверх и 
х
http://festival.1september.ru/articles/588136/img26.gif– 3х + http://festival.1september.ru/articles/588136/img31.gif. Данное неравенство выполнимо, если каждая часть равна 4.
Решу уравнение   х
http://festival.1september.ru/articles/588136/img26.gif–3х + http://festival.1september.ru/articles/588136/img34.gif = 4   (х–1,5)http://festival.1september.ru/articles/588136/img26.gif + 4 = 4    х = 1,5.
Ответ: х = 1,5.

3. Решить уравнение:

2http://festival.1september.ru/articles/588136/img37.gif

Найду область значений каждой части уравнения

1) cos x http://festival.1september.ru/articles/588136/img20.gif[–1; 1]http://festival.1september.ru/articles/588136/img40.gif .
2) log
http://festival.1september.ru/articles/588136/img42.gif 
3) 
http://festival.1september.ru/articles/588136/img44.gifСистема верна, если каждое выражение равно 2.
Решу уравнение:  2 + log
http://festival.1september.ru/articles/588136/img46.gif

loghttp://festival.1september.ru/articles/588136/img48.gif
log
http://festival.1september.ru/articles/588136/img50.gif(4xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img26.gif + 4x + 1) = 0
4x
http://festival.1september.ru/articles/588136/img26.gif + 4x + 1 = http://festival.1september.ru/articles/588136/img54.gif       4xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img26.gif + 4x = http://festival.1september.ru/articles/588136/img57.gif0     4x(x + 1) = 0   x = 0    x = –1

Проверка:   

x = 0   2http://festival.1september.ru/articles/588136/img59.gif

2 +  loghttp://festival.1september.ru/articles/588136/img61.gif

x = –1     2http://festival.1september.ru/articles/588136/img65.gif

Ответ: х = 0.

4. Решить уравнение:

1 + http://festival.1september.ru/articles/588136/img67.gif
1) log
http://festival.1september.ru/articles/588136/img69.gif
2) cos x
http://festival.1september.ru/articles/588136/img71.gif
3) 
http://festival.1september.ru/articles/588136/img73.gif  т.е. уравнение  может быть решено, если каждая часть равна 1. 

Решу уравнение:

1 + http://festival.1september.ru/articles/588136/img75.gifhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img77.gif 
http://festival.1september.ru/articles/588136/img79.gif
9x
http://festival.1september.ru/articles/588136/img26.gif–39x + 43 = 4http://festival.1september.ru/articles/588136/img82.gif = 1
3x
http://festival.1september.ru/articles/588136/img26.gif–13x + 14 = 0        D = 169–168 = 1      xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img85.gif = 2      xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img87.gif = 2http://festival.1september.ru/articles/588136/img54.gif.
Проверка:     x = 2     
http://festival.1september.ru/articles/588136/img90.gif.
x = 2
http://festival.1september.ru/articles/588136/img54.gif     http://festival.1september.ru/articles/588136/img93.gif
Ответ:  х = 2.

5. Решить уравнение:

Coshttp://festival.1september.ru/articles/588136/img2_0000.gif

1) Cos xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img4_0000.gif
2) log
http://festival.1september.ru/articles/588136/img6_0000.gif
3) 
http://festival.1september.ru/articles/588136/img8_0000.gif

т.е. уравнение  может быть решено, если каждая часть равна 0. 

Решу уравнение:

http://festival.1september.ru/articles/588136/img10_0000.gif
x
http://festival.1september.ru/articles/588136/img12_0000.gif + 5x + 7 = 1      xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img12_0000.gif + 5x + 6 = 0   xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img15.gif = –3    xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img17.gif =  – 2   (т. Виета)
Проверка:  x =  – 3           cos
http://festival.1september.ru/articles/588136/img19.gif
x =  – 2           
http://festival.1september.ru/articles/588136/img21.gif

Ответ:   х =  – 2.

6. Решить уравнение:

http://festival.1september.ru/articles/588136/img25.gif

1) http://festival.1september.ru/articles/588136/img27.gif
2)  cos x
http://festival.1september.ru/articles/588136/img29.gif
3)
http://festival.1september.ru/articles/588136/img31_0000.gif

т.е. уравнение  может быть решено, если каждая часть равна 0. 

Решу уравнение:

http://festival.1september.ru/articles/588136/img33.gif
4x
2– 5x + 3 = 1        2x2 – 3x + 1 = 0         D = 9 – 8 = 1         x1 = http://festival.1september.ru/articles/588136/img38.gif         x2 = 1.

Проверка:   

x = http://festival.1september.ru/articles/588136/img38.gif       http://festival.1september.ru/articles/588136/img42_0000.gif
x = 1          
http://festival.1september.ru/articles/588136/img44_0000.gif

Ответ:   х = 1.

7. Решить уравнение:

http://festival.1september.ru/articles/588136/img46_0000.gif

1) coshttp://festival.1september.ru/articles/588136/img48_0000.gif
2) log
http://festival.1september.ru/articles/588136/img50_0000.gif
3)
http://festival.1september.ru/articles/588136/img52.gif

т.е. уравнение  может быть решено, если каждая часть равна 1. 

Решу уравнение:

1 + log 
log
http://festival.1september.ru/articles/588136/img56.gif       
log
http://festival.1september.ru/articles/588136/img58.gif 
x
2 – 5x + 6 = 0         x1 = 2        x2 = 3       (т. Виета)

Проверка:    x = 2      http://festival.1september.ru/articles/588136/img63_0000.gif

x = 3       http://festival.1september.ru/articles/588136/img65_0000.gif

Ответ:   х = 3.

8. Решить уравнение:

coshttp://festival.1september.ru/articles/588136/img67_0000.gif

1) cos xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img69_0000.gif
2) log
http://festival.1september.ru/articles/588136/img71_0000.gif
3)
http://festival.1september.ru/articles/588136/img73_0000.gif т.е. уравнение  может быть решено, если каждая часть равна 1.  Решу уравнение:
1 + log
http://festival.1september.ru/articles/588136/img75_0000.gif 
log
http://festival.1september.ru/articles/588136/img77_0000.gif 
log
http://festival.1september.ru/articles/588136/img79_0000.gif 
http://festival.1september.ru/articles/588136/img81.gif        x2 + x + 1 = 1         x(x + 1) = 0          xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img84.gif         xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img86.gif.

Проверка:    x =  – 1    coshttp://festival.1september.ru/articles/588136/img88.gif
x = 0              cos
http://festival.1september.ru/articles/588136/img90_0000.gif
Ответ:    х = 0.

9. Решить уравнение:

coshttp://festival.1september.ru/articles/588136/img92.gif

1) http://festival.1september.ru/articles/588136/img94.gif
2) 
http://festival.1september.ru/articles/588136/img96.gif
3)
http://festival.1september.ru/articles/588136/img98.gif        Равенство возможно, если каждая часть равна 1.

Решу уравнение:    1 + http://festival.1september.ru/articles/588136/img100.gif
http://festival.1september.ru/articles/588136/img102.gif
log
http://festival.1september.ru/articles/588136/img104.gif
x
http://festival.1september.ru/articles/588136/img106.gif         xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img12.gif – 5x + 6 = 0                 xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img15.gif = 2                xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img17.gif = 3      (т. Виета)

Проверка:     x = 2      coshttp://festival.1september.ru/articles/588136/img12.gif((2 – 3)http://festival.1september.ru/articles/588136/img112.gif
x = 3      cos
http://festival.1september.ru/articles/588136/img114.gif.

Ответ:    х = 3.

10. Решить уравнение:

http://festival.1september.ru/articles/588136/img116.gif
1) 
http://festival.1september.ru/articles/588136/img118.gif
2) cos x
http://festival.1september.ru/articles/588136/img120.gif
3) 
http://festival.1september.ru/articles/588136/img122.gif    Равенство возможно, если каждая часть равна 1.

Решу уравнение:    
http://festival.1september.ru/articles/588136/img124.gif
http://festival.1september.ru/articles/588136/img126.gif
log
http://festival.1september.ru/articles/588136/img128.gif   
log
http://festival.1september.ru/articles/588136/img130.gif(xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img12.gif – 3x + 3) = 0
x
http://festival.1september.ru/articles/588136/img12.gif – 3x + 3 = 1               xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img134.gif                  xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img15.gif = 1               xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img17.gif = 2      (т. Виета)

Проверка:     x = 1                 coshttp://festival.1september.ru/articles/588136/img136.gif     

x = 2                 coshttp://festival.1september.ru/articles/588136/img138.gif

Ответ:    х = 2.

11. Решить уравнение:

3 + loghttp://festival.1september.ru/articles/588136/img2_0001.gif

1) loghttp://festival.1september.ru/articles/588136/img4_0001.gif
2) cos x
http://festival.1september.ru/articles/588136/img6_0001.gif
3) 
http://festival.1september.ru/articles/588136/img8_0001.gif

Равенство верно, если каждая часть равна 3. 

Решу уравнение:

http://festival.1september.ru/articles/588136/img10_0001.gif
http://festival.1september.ru/articles/588136/img12_0010.gif
http://festival.1september.ru/articles/588136/img14_0000.gif
x
http://festival.1september.ru/articles/588136/img16_0000.gif              x(x – 1) = 0               xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img18_0000.gif = 0                   xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img20_0001.gif = 1.

Проверка:     x = 0      http://festival.1september.ru/articles/588136/img22_0000.gif
x = 1       3
http://festival.1september.ru/articles/588136/img24_0000.gif
Ответ:    х = 1.

12. Решить уравнение:

http://festival.1september.ru/articles/588136/img1.gif
1)
 http://festival.1september.ru/articles/588136/img28_0000.gif
2)
 http://festival.1september.ru/articles/588136/img30.gifhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img32.gifhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img34_0000.gif
3)
 http://festival.1september.ru/articles/588136/img36.gif    Каждая часть уравнения должна  быть равна 2.
Решу уравнение:        2 + 
http://festival.1september.ru/articles/588136/img38_0001.gif = 2
http://festival.1september.ru/articles/588136/img40_0000.gif
x
http://festival.1september.ru/articles/588136/img42_0001.gif + x – 2 = 0             http://festival.1september.ru/articles/588136/img44_0001.gif           http://festival.1september.ru/articles/588136/img46_0001.gif       (т. Виета)
Проверка:    x =  – 2      
http://festival.1september.ru/articles/588136/img48_0001.gif   не существует.
x = 1        
http://festival.1september.ru/articles/588136/img50_0001.gif
Ответ:  x = 1.

13. Решить уравнение:

http://festival.1september.ru/articles/588136/img52_0000.gif

1) http://festival.1september.ru/articles/588136/img3.gif
2)
 arcsin( – x)http://festival.1september.ru/articles/588136/img56_0000.gif
3)
 http://festival.1september.ru/articles/588136/img58_0000.gif  Каждая часть уравнения должна быть равна http://festival.1september.ru/articles/588136/img60.gif

Решу уравнение:       http://festival.1september.ru/articles/588136/img62.gif  

http://festival.1september.ru/articles/588136/img64.gif
x
http://festival.1september.ru/articles/588136/img66.gif          http://festival.1september.ru/articles/588136/img68.gif         http://festival.1september.ru/articles/588136/img70.gif      xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img72.gif      xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img74.gif
Проверка:   x = 0       
http://festival.1september.ru/articles/588136/img76.gif
x =  – 1        
http://festival.1september.ru/articles/588136/img78.gif

Ответ:   x =  – 1.

14. Решить уравнение:

http://festival.1september.ru/articles/588136/img80.gif

1) arcos(x – 1)http://festival.1september.ru/articles/588136/img82_0000.gif
2) 
http://festival.1september.ru/articles/588136/img84_0000.gif
3) 
http://festival.1september.ru/articles/588136/img86_0000.gif  Равенство верно, если каждая часть равна 3.

Решу уравнение:       3 + http://festival.1september.ru/articles/588136/img88_0000.gif

http://festival.1september.ru/articles/588136/img90_0001.gif   
x
http://festival.1september.ru/articles/588136/img92_0000.gif       http://festival.1september.ru/articles/588136/img94_0000.gif        http://festival.1september.ru/articles/588136/img96_0000.gif       http://festival.1september.ru/articles/588136/img98_0000.gif        http://festival.1september.ru/articles/588136/img100_0000.gif 

Проверка:   x =  – 2         http://festival.1september.ru/articles/588136/img102_0000.gif      не существует

x = 0           http://festival.1september.ru/articles/588136/img104_0000.gif

Ответ: x = 0.

15. Решить уравнение:

http://festival.1september.ru/articles/588136/img106_0000.gif

1) http://festival.1september.ru/articles/588136/img108.gif
2) 
http://festival.1september.ru/articles/588136/img110.gif
3)
http://festival.1september.ru/articles/588136/img112_0000.gif   Уравнение верно, если каждая часть равна 2.

Решу уравнение:   http://festival.1september.ru/articles/588136/img114_0000.gif = 2

http://festival.1september.ru/articles/588136/img116_0000.gif
http://festival.1september.ru/articles/588136/img118_0000.gif      http://festival.1september.ru/articles/588136/img120_0000.gif      http://festival.1september.ru/articles/588136/img122_0000.gif       (т. Виета)

Проверка:    x =  – 1               http://festival.1september.ru/articles/588136/img124_0000.gif
x = 2                 
http://festival.1september.ru/articles/588136/img126_0000.gifhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img128_0000.gif
Ответ:   x = 2.

16. Решить уравнение:

http://festival.1september.ru/articles/588136/img130_0000.gif

  1. arcsin xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img132.gif

  2. http://festival.1september.ru/articles/588136/img134_0000.gifhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img136_0000.gif

  3. http://festival.1september.ru/articles/588136/img138_0000.gif  Уравнение имеет решение, если каждая часть равна http://festival.1september.ru/articles/588136/img140.gif.

Решу уравнение:  http://festival.1september.ru/articles/588136/img142.gif  
http://festival.1september.ru/articles/588136/img144.gif
http://festival.1september.ru/articles/588136/img146.gif
D = 49 – 24 = 25                      
http://festival.1september.ru/articles/588136/img148.gif                        http://festival.1september.ru/articles/588136/img150.gif

Проверка:      x = http://festival.1september.ru/articles/588136/img60.gif             http://festival.1september.ru/articles/588136/img153.gif    не существует

x = 3                http://festival.1september.ru/articles/588136/img155.gif 

Ответ:   x = 3.

17. Решить уравнение:

http://festival.1september.ru/articles/588136/img157.gif.
1) 
http://festival.1september.ru/articles/588136/img159.gif
2)  
http://festival.1september.ru/articles/588136/img161.gif
3) 
http://festival.1september.ru/articles/588136/img163.gif   Уравнение может быть решено, если каждая часть равна http://festival.1september.ru/articles/588136/img140.gif.

Решу уравнение:

http://festival.1september.ru/articles/588136/img166.gif
http://festival.1september.ru/articles/588136/img168.gif
http://festival.1september.ru/articles/588136/img170.gif
http://festival.1september.ru/articles/588136/img172.gif               http://festival.1september.ru/articles/588136/img174.gif                (т. Виета)
Проверка:            x = 5            
http://festival.1september.ru/articles/588136/img176.gif      не существует
x = 1            
http://festival.1september.ru/articles/588136/img178.gif  
Ответ:    x = 1.

18. Решить уравнение:

http://festival.1september.ru/articles/588136/img180.gif    
     1) http://festival.1september.ru/articles/588136/img182.gif
2)  
http://festival.1september.ru/articles/588136/img184.gif
3) 
http://festival.1september.ru/articles/588136/img186.gif  Уравнение можно решить, если каждая часть равна 1.

Решу уравнение:

http://festival.1september.ru/articles/588136/img188.gif
http://festival.1september.ru/articles/588136/img190.gif
http://festival.1september.ru/articles/588136/img192.gif + 3x + 2 = 0                http://festival.1september.ru/articles/588136/img120_0001.gif                   http://festival.1september.ru/articles/588136/img100_0001.gif               (т. Виета)
Проверка:      x =  – 1                    
http://festival.1september.ru/articles/588136/img196.gif        не существует
x =  – 2                     
http://festival.1september.ru/articles/588136/img198.gif    

Ответ:   x =  – 2.




Краткое описание документа:

Данный конспект урока направлен на изучение способа решения уравнений и неравенств.Главный вопрос,  на который надо ответить при решении уравнения: когда, при каком значении X, это равенство будет истинным? Поиски  правильного ответа  на этот вопрос при решении сложных уравнений требуют применения нестандартных приёмов. Одним из таких нестандартных методов решения уравнений является метод оценки, илиметод мини-макса, или метод сравнения множеств значений.Я  думаю что данная разработка поможет вам для изучения данной темы.
Автор
Дата добавления 12.05.2014
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров365
Номер материала 101463051151
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх