637845
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 5.520 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1.200 руб.
Престижные документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ ДО 70%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО сейчас!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок")

ИнфоурокМатематикаКонспектыРешение уравнений и неравенств

Решение уравнений и неравенств

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

hello_html_7ba12074.gifРешение уравнений и неравенств методом оценки

Главный вопрос,  на который надо ответить при решении уравнения: когда, при каком значении X, это равенство будет истинным? Поиски  правильного ответа  на этот вопрос при решении сложных уравнений требуют применения нестандартных приёмов. Одним из таких нестандартных методов решения уравнений является метод оценки, илиметод мини-макса, или метод сравнения множеств значений.

Указания к применению метода оценки таковы:

 1)  Часто внешним признаком, побуждающим использовать метод мини-макса, является наличие в одном уравнении функций различной породы: алгебраических, тригонометрических, показательных, логарифмических  и т.п., что затрудняет или делает невозможным использование стандартных методов.

2)  Оценка одной из частей уравнения может быть сделана, исходя из очевидных соображений, или диктуется непосредственным видом этой части; тогда следует получать противоположную оценку для другой части уравнения, используя базовые неравенства.

Эта оценка позволяет определить единственное значение, при котором истинное равенство обеих частей уравнения  возможно, выбрать наиболее простую часть уравнения приравнять   её найденному числу и решить стандартным способом.

1. Найти значение х, при котором 3sinhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img2.gif. (ЕГЭ-2009)

Найду область значений каждой части неравенства.

1) http://festival.1september.ru/articles/588136/img4.gif – квадратичная, ветви вверх, вершина (1,5; 3)
2) Sin x 
http://festival.1september.ru/articles/588136/img6.gif   т.е.  http://festival.1september.ru/articles/588136/img8.gif и неравенство следует рассматривать как уравнение 3sinhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img10.gif. Решаем то, что проще.
x
http://festival.1september.ru/articles/588136/img12.gif
x
http://festival.1september.ru/articles/588136/img14.gif,  D = 0,  x = 1,5.
Можно выделить полный квадрат  x
http://festival.1september.ru/articles/588136/img16.gif т.е. вершина (1,5 3) и х = 1.5.

Ответ: х = 1,5.

2. Найти значение х, при котором 4coshttp://festival.1september.ru/articles/588136/img18.gif. (ЕГЭ-2009).

Найду область значений каждой части неравенства.

1) Cos xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img20.gif[– 1; 1]http://festival.1september.ru/articles/588136/img22.gif 4coshttp://festival.1september.ru/articles/588136/img24.gif[– 4; 4].
2) x
http://festival.1september.ru/articles/588136/img26.gif–3x + http://festival.1september.ru/articles/588136/img28.gif т.е. вершина (1,5; 4), ветви вверх и 
х
http://festival.1september.ru/articles/588136/img26.gif– 3х + http://festival.1september.ru/articles/588136/img31.gif. Данное неравенство выполнимо, если каждая часть равна 4.
Решу уравнение   х
http://festival.1september.ru/articles/588136/img26.gif–3х + http://festival.1september.ru/articles/588136/img34.gif = 4   (х–1,5)http://festival.1september.ru/articles/588136/img26.gif + 4 = 4    х = 1,5.
Ответ: х = 1,5.

3. Решить уравнение:

2http://festival.1september.ru/articles/588136/img37.gif

Найду область значений каждой части уравнения

1) cos x http://festival.1september.ru/articles/588136/img20.gif[–1; 1]http://festival.1september.ru/articles/588136/img40.gif .
2) log
http://festival.1september.ru/articles/588136/img42.gif 
3) 
http://festival.1september.ru/articles/588136/img44.gifСистема верна, если каждое выражение равно 2.
Решу уравнение:  2 + log
http://festival.1september.ru/articles/588136/img46.gif

loghttp://festival.1september.ru/articles/588136/img48.gif
log
http://festival.1september.ru/articles/588136/img50.gif(4xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img26.gif + 4x + 1) = 0
4x
http://festival.1september.ru/articles/588136/img26.gif + 4x + 1 = http://festival.1september.ru/articles/588136/img54.gif       4xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img26.gif + 4x = http://festival.1september.ru/articles/588136/img57.gif0     4x(x + 1) = 0   x = 0    x = –1

Проверка:   

x = 0   2http://festival.1september.ru/articles/588136/img59.gif

2 +  loghttp://festival.1september.ru/articles/588136/img61.gif

x = –1     2http://festival.1september.ru/articles/588136/img65.gif

Ответ: х = 0.

4. Решить уравнение:

1 + http://festival.1september.ru/articles/588136/img67.gif
1) log
http://festival.1september.ru/articles/588136/img69.gif
2) cos x
http://festival.1september.ru/articles/588136/img71.gif
3) 
http://festival.1september.ru/articles/588136/img73.gif  т.е. уравнение  может быть решено, если каждая часть равна 1. 

Решу уравнение:

1 + http://festival.1september.ru/articles/588136/img75.gifhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img77.gif 
http://festival.1september.ru/articles/588136/img79.gif
9x
http://festival.1september.ru/articles/588136/img26.gif–39x + 43 = 4http://festival.1september.ru/articles/588136/img82.gif = 1
3x
http://festival.1september.ru/articles/588136/img26.gif–13x + 14 = 0        D = 169–168 = 1      xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img85.gif = 2      xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img87.gif = 2http://festival.1september.ru/articles/588136/img54.gif.
Проверка:     x = 2     
http://festival.1september.ru/articles/588136/img90.gif.
x = 2
http://festival.1september.ru/articles/588136/img54.gif     http://festival.1september.ru/articles/588136/img93.gif
Ответ:  х = 2.

5. Решить уравнение:

Coshttp://festival.1september.ru/articles/588136/img2_0000.gif

1) Cos xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img4_0000.gif
2) log
http://festival.1september.ru/articles/588136/img6_0000.gif
3) 
http://festival.1september.ru/articles/588136/img8_0000.gif

т.е. уравнение  может быть решено, если каждая часть равна 0. 

Решу уравнение:

http://festival.1september.ru/articles/588136/img10_0000.gif
x
http://festival.1september.ru/articles/588136/img12_0000.gif + 5x + 7 = 1      xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img12_0000.gif + 5x + 6 = 0   xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img15.gif = –3    xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img17.gif =  – 2   (т. Виета)
Проверка:  x =  – 3           cos
http://festival.1september.ru/articles/588136/img19.gif
x =  – 2           
http://festival.1september.ru/articles/588136/img21.gif

Ответ:   х =  – 2.

6. Решить уравнение:

http://festival.1september.ru/articles/588136/img25.gif

1) http://festival.1september.ru/articles/588136/img27.gif
2)  cos x
http://festival.1september.ru/articles/588136/img29.gif
3)
http://festival.1september.ru/articles/588136/img31_0000.gif

т.е. уравнение  может быть решено, если каждая часть равна 0. 

Решу уравнение:

http://festival.1september.ru/articles/588136/img33.gif
4x
2– 5x + 3 = 1        2x2 – 3x + 1 = 0         D = 9 – 8 = 1         x1 = http://festival.1september.ru/articles/588136/img38.gif         x2 = 1.

Проверка:   

x = http://festival.1september.ru/articles/588136/img38.gif       http://festival.1september.ru/articles/588136/img42_0000.gif
x = 1          
http://festival.1september.ru/articles/588136/img44_0000.gif

Ответ:   х = 1.

7. Решить уравнение:

http://festival.1september.ru/articles/588136/img46_0000.gif

1) coshttp://festival.1september.ru/articles/588136/img48_0000.gif
2) log
http://festival.1september.ru/articles/588136/img50_0000.gif
3)
http://festival.1september.ru/articles/588136/img52.gif

т.е. уравнение  может быть решено, если каждая часть равна 1. 

Решу уравнение:

1 + log 
log
http://festival.1september.ru/articles/588136/img56.gif       
log
http://festival.1september.ru/articles/588136/img58.gif 
x
2 – 5x + 6 = 0         x1 = 2        x2 = 3       (т. Виета)

Проверка:    x = 2      http://festival.1september.ru/articles/588136/img63_0000.gif

x = 3       http://festival.1september.ru/articles/588136/img65_0000.gif

Ответ:   х = 3.

8. Решить уравнение:

coshttp://festival.1september.ru/articles/588136/img67_0000.gif

1) cos xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img69_0000.gif
2) log
http://festival.1september.ru/articles/588136/img71_0000.gif
3)
http://festival.1september.ru/articles/588136/img73_0000.gif т.е. уравнение  может быть решено, если каждая часть равна 1.  Решу уравнение:
1 + log
http://festival.1september.ru/articles/588136/img75_0000.gif 
log
http://festival.1september.ru/articles/588136/img77_0000.gif 
log
http://festival.1september.ru/articles/588136/img79_0000.gif 
http://festival.1september.ru/articles/588136/img81.gif        x2 + x + 1 = 1         x(x + 1) = 0          xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img84.gif         xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img86.gif.

Проверка:    x =  – 1    coshttp://festival.1september.ru/articles/588136/img88.gif
x = 0              cos
http://festival.1september.ru/articles/588136/img90_0000.gif
Ответ:    х = 0.

9. Решить уравнение:

coshttp://festival.1september.ru/articles/588136/img92.gif

1) http://festival.1september.ru/articles/588136/img94.gif
2) 
http://festival.1september.ru/articles/588136/img96.gif
3)
http://festival.1september.ru/articles/588136/img98.gif        Равенство возможно, если каждая часть равна 1.

Решу уравнение:    1 + http://festival.1september.ru/articles/588136/img100.gif
http://festival.1september.ru/articles/588136/img102.gif
log
http://festival.1september.ru/articles/588136/img104.gif
x
http://festival.1september.ru/articles/588136/img106.gif         xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img12.gif – 5x + 6 = 0                 xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img15.gif = 2                xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img17.gif = 3      (т. Виета)

Проверка:     x = 2      coshttp://festival.1september.ru/articles/588136/img12.gif((2 – 3)http://festival.1september.ru/articles/588136/img112.gif
x = 3      cos
http://festival.1september.ru/articles/588136/img114.gif.

Ответ:    х = 3.

10. Решить уравнение:

http://festival.1september.ru/articles/588136/img116.gif
1) 
http://festival.1september.ru/articles/588136/img118.gif
2) cos x
http://festival.1september.ru/articles/588136/img120.gif
3) 
http://festival.1september.ru/articles/588136/img122.gif    Равенство возможно, если каждая часть равна 1.

Решу уравнение:    
http://festival.1september.ru/articles/588136/img124.gif
http://festival.1september.ru/articles/588136/img126.gif
log
http://festival.1september.ru/articles/588136/img128.gif   
log
http://festival.1september.ru/articles/588136/img130.gif(xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img12.gif – 3x + 3) = 0
x
http://festival.1september.ru/articles/588136/img12.gif – 3x + 3 = 1               xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img134.gif                  xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img15.gif = 1               xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img17.gif = 2      (т. Виета)

Проверка:     x = 1                 coshttp://festival.1september.ru/articles/588136/img136.gif     

x = 2                 coshttp://festival.1september.ru/articles/588136/img138.gif

Ответ:    х = 2.

11. Решить уравнение:

3 + loghttp://festival.1september.ru/articles/588136/img2_0001.gif

1) loghttp://festival.1september.ru/articles/588136/img4_0001.gif
2) cos x
http://festival.1september.ru/articles/588136/img6_0001.gif
3) 
http://festival.1september.ru/articles/588136/img8_0001.gif

Равенство верно, если каждая часть равна 3. 

Решу уравнение:

http://festival.1september.ru/articles/588136/img10_0001.gif
http://festival.1september.ru/articles/588136/img12_0010.gif
http://festival.1september.ru/articles/588136/img14_0000.gif
x
http://festival.1september.ru/articles/588136/img16_0000.gif              x(x – 1) = 0               xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img18_0000.gif = 0                   xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img20_0001.gif = 1.

Проверка:     x = 0      http://festival.1september.ru/articles/588136/img22_0000.gif
x = 1       3
http://festival.1september.ru/articles/588136/img24_0000.gif
Ответ:    х = 1.

12. Решить уравнение:

http://festival.1september.ru/articles/588136/img1.gif
1)
 http://festival.1september.ru/articles/588136/img28_0000.gif
2)
 http://festival.1september.ru/articles/588136/img30.gifhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img32.gifhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img34_0000.gif
3)
 http://festival.1september.ru/articles/588136/img36.gif    Каждая часть уравнения должна  быть равна 2.
Решу уравнение:        2 + 
http://festival.1september.ru/articles/588136/img38_0001.gif = 2
http://festival.1september.ru/articles/588136/img40_0000.gif
x
http://festival.1september.ru/articles/588136/img42_0001.gif + x – 2 = 0             http://festival.1september.ru/articles/588136/img44_0001.gif           http://festival.1september.ru/articles/588136/img46_0001.gif       (т. Виета)
Проверка:    x =  – 2      
http://festival.1september.ru/articles/588136/img48_0001.gif   не существует.
x = 1        
http://festival.1september.ru/articles/588136/img50_0001.gif
Ответ:  x = 1.

13. Решить уравнение:

http://festival.1september.ru/articles/588136/img52_0000.gif

1) http://festival.1september.ru/articles/588136/img3.gif
2)
 arcsin( – x)http://festival.1september.ru/articles/588136/img56_0000.gif
3)
 http://festival.1september.ru/articles/588136/img58_0000.gif  Каждая часть уравнения должна быть равна http://festival.1september.ru/articles/588136/img60.gif

Решу уравнение:       http://festival.1september.ru/articles/588136/img62.gif  

http://festival.1september.ru/articles/588136/img64.gif
x
http://festival.1september.ru/articles/588136/img66.gif          http://festival.1september.ru/articles/588136/img68.gif         http://festival.1september.ru/articles/588136/img70.gif      xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img72.gif      xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img74.gif
Проверка:   x = 0       
http://festival.1september.ru/articles/588136/img76.gif
x =  – 1        
http://festival.1september.ru/articles/588136/img78.gif

Ответ:   x =  – 1.

14. Решить уравнение:

http://festival.1september.ru/articles/588136/img80.gif

1) arcos(x – 1)http://festival.1september.ru/articles/588136/img82_0000.gif
2) 
http://festival.1september.ru/articles/588136/img84_0000.gif
3) 
http://festival.1september.ru/articles/588136/img86_0000.gif  Равенство верно, если каждая часть равна 3.

Решу уравнение:       3 + http://festival.1september.ru/articles/588136/img88_0000.gif

http://festival.1september.ru/articles/588136/img90_0001.gif   
x
http://festival.1september.ru/articles/588136/img92_0000.gif       http://festival.1september.ru/articles/588136/img94_0000.gif        http://festival.1september.ru/articles/588136/img96_0000.gif       http://festival.1september.ru/articles/588136/img98_0000.gif        http://festival.1september.ru/articles/588136/img100_0000.gif 

Проверка:   x =  – 2         http://festival.1september.ru/articles/588136/img102_0000.gif      не существует

x = 0           http://festival.1september.ru/articles/588136/img104_0000.gif

Ответ: x = 0.

15. Решить уравнение:

http://festival.1september.ru/articles/588136/img106_0000.gif

1) http://festival.1september.ru/articles/588136/img108.gif
2) 
http://festival.1september.ru/articles/588136/img110.gif
3)
http://festival.1september.ru/articles/588136/img112_0000.gif   Уравнение верно, если каждая часть равна 2.

Решу уравнение:   http://festival.1september.ru/articles/588136/img114_0000.gif = 2

http://festival.1september.ru/articles/588136/img116_0000.gif
http://festival.1september.ru/articles/588136/img118_0000.gif      http://festival.1september.ru/articles/588136/img120_0000.gif      http://festival.1september.ru/articles/588136/img122_0000.gif       (т. Виета)

Проверка:    x =  – 1               http://festival.1september.ru/articles/588136/img124_0000.gif
x = 2                 
http://festival.1september.ru/articles/588136/img126_0000.gifhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img128_0000.gif
Ответ:   x = 2.

16. Решить уравнение:

http://festival.1september.ru/articles/588136/img130_0000.gif

  1. arcsin xhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img132.gif

  2. http://festival.1september.ru/articles/588136/img134_0000.gifhttp://festival.1september.ru/articles/588136/img136_0000.gif

  3. http://festival.1september.ru/articles/588136/img138_0000.gif  Уравнение имеет решение, если каждая часть равна http://festival.1september.ru/articles/588136/img140.gif.

Решу уравнение:  http://festival.1september.ru/articles/588136/img142.gif  
http://festival.1september.ru/articles/588136/img144.gif
http://festival.1september.ru/articles/588136/img146.gif
D = 49 – 24 = 25                      
http://festival.1september.ru/articles/588136/img148.gif                        http://festival.1september.ru/articles/588136/img150.gif

Проверка:      x = http://festival.1september.ru/articles/588136/img60.gif             http://festival.1september.ru/articles/588136/img153.gif    не существует

x = 3                http://festival.1september.ru/articles/588136/img155.gif 

Ответ:   x = 3.

17. Решить уравнение:

http://festival.1september.ru/articles/588136/img157.gif.
1) 
http://festival.1september.ru/articles/588136/img159.gif
2)  
http://festival.1september.ru/articles/588136/img161.gif
3) 
http://festival.1september.ru/articles/588136/img163.gif   Уравнение может быть решено, если каждая часть равна http://festival.1september.ru/articles/588136/img140.gif.

Решу уравнение:

http://festival.1september.ru/articles/588136/img166.gif
http://festival.1september.ru/articles/588136/img168.gif
http://festival.1september.ru/articles/588136/img170.gif
http://festival.1september.ru/articles/588136/img172.gif               http://festival.1september.ru/articles/588136/img174.gif                (т. Виета)
Проверка:            x = 5            
http://festival.1september.ru/articles/588136/img176.gif      не существует
x = 1            
http://festival.1september.ru/articles/588136/img178.gif  
Ответ:    x = 1.

18. Решить уравнение:

http://festival.1september.ru/articles/588136/img180.gif    
     1) http://festival.1september.ru/articles/588136/img182.gif
2)  
http://festival.1september.ru/articles/588136/img184.gif
3) 
http://festival.1september.ru/articles/588136/img186.gif  Уравнение можно решить, если каждая часть равна 1.

Решу уравнение:

http://festival.1september.ru/articles/588136/img188.gif
http://festival.1september.ru/articles/588136/img190.gif
http://festival.1september.ru/articles/588136/img192.gif + 3x + 2 = 0                http://festival.1september.ru/articles/588136/img120_0001.gif                   http://festival.1september.ru/articles/588136/img100_0001.gif               (т. Виета)
Проверка:      x =  – 1                    
http://festival.1september.ru/articles/588136/img196.gif        не существует
x =  – 2                     
http://festival.1september.ru/articles/588136/img198.gif    

Ответ:   x =  – 2.




Краткое описание документа:
Данный конспект урока направлен на изучение способа решения уравнений и неравенств.Главный вопрос,  на который надо ответить при решении уравнения: когда, при каком значении X, это равенство будет истинным? Поиски  правильного ответа  на этот вопрос при решении сложных уравнений требуют применения нестандартных приёмов. Одним из таких нестандартных методов решения уравнений является метод оценки, илиметод мини-макса, или метод сравнения множеств значений.Я  думаю что данная разработка поможет вам для изучения данной темы.
Общая информация

Номер материала: 101463051151

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Онлайн-конференция Идет регистрация