Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Факультатив по математике «Признаки делимости натуральных чисел»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Факультатив по математике «Признаки делимости натуральных чисел»

библиотека
материалов

Факультативные занятия по математике


«Итоговое повторение школьного курса математики» (10 класс)


Занятие № 1. Признаки делимости натуральных чисел


Основные определения, теоремы, формулы и опорные примеры


В некоторых случаях, не производя деление натурального числа hello_html_17aa43f7.gif на натуральное число hello_html_m601acf03.gif, можно ответить на вопрос, выполнимо ли деление hello_html_17aa43f7.gif на hello_html_m601acf03.gif без остатка или нет. Ответ на этот вопрос получается с помощью различных признаков делимости.

1. Делимость суммы. Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.

Доказательство.hello_html_m412b6b1c.gif

Так, не выполняя сложения, можно установить, что сумма 48+64+96 делится на 16 – ведь каждое слагаемое этой суммы делится на 16.

Не следует считать, однако, что если каждое слагаемое суммы не делится на какое-то число, то и сумма не делится на это число. Например, сумма 37 + 19 делится на 4, хотя ни 37, ни 19 ре являются кратными числа 4. Таким образом, сформулированное условие является достаточным, но не является необходимым, для делимости суммы hello_html_47d79ec3.gif на число hello_html_m12550da.gif.

Делимость произведения. Если в произведении хотя бы один из сомножителей делится нацело на некоторое число, то и произведение делится на это число.

Доказательство.hello_html_38b03d60.gif.

Так, не выполняя умножения, можно утверждать, что произведение hello_html_m57f553e3.gifделится на 5 – ведь 105 делится на 5.

Как и в предыдущем случае, сформулированное условие является достаточным для делимости произведения hello_html_m7f5d79dc.gif на hello_html_m12550da.gif, но не является необходимым. Например, произведение hello_html_m533b7299.gif делится на 36, в то время, как ни 12, ни 18 на 36 не делятся.


2. Признаки делимости на числа, оканчивающиеся цифрами 1, 3, 7, 9. Они удобны для не особо больших чисел.

Делимость данного числа на какое-либо из чисел, оканчивающихся цифрами 1, 3, 7, 9, сведем к делимости на это число некоторой суммы, задаваемой определенным образом. Продемонстрируем это на примерах.

Так, при выяснении вопроса о делимости конкретного целого числа на 19 надо рассмотреть сумму из двух слагаемых, первое из которых будет представлять произведение постоянного множителя 2 на цифру единиц данного числа, а второе – число его десятков. Замечаем: если полученная при этом сумма будет делиться на 19, то и испытываемое число будет делиться на 19; если же полученная при этом сумма не будет делиться на 19, то и испытываемое число не будет делиться на 19. Например, числу 247 соответствует построенная указанным способом сумма 2∙7 + 24 = 38, 38 делится на 19, следовательно, на 19 делится и 247. Условимся это записывать так: hello_html_m591cd1c2.gif Приведем еще несколько примеров.

hello_html_m7dfd8968.gif

hello_html_me407646.gif

hello_html_3d2ed22f.gif

hello_html_818209.gif

Таким образом, есть гипотеза: hello_html_157200d5.gif

В случае выяснения вопроса о делимости чисел на 29 также будем представлять их в виде аналогичной суммы, как и при делимости на 19, но с другим постоянным множителем: теперь он будет равен 3. Например:

hello_html_m62f6b80.gif

Возникает вторая гипотеза: hello_html_7b24456c.gif

Совершенно также можно рассмотреть примеры делимости чисел на 39, 49, 59, … с постоянными множителями соответственно 4, 5, 6, …

Проведем в общем виде рассуждения о делимости чисел на числа, оканчивающиеся на 9, т. е. на числа вида hello_html_76845a14.gif, где hello_html_m4c9eddfe.gif. Сформулируем признак делимости на числа вида hello_html_76845a14.gif в виде теоремы (при этом будем использовать тот факт, что любое целое число можно представить в виде hello_html_m2ea3008c.gif).

Теорема 1. Число hello_html_m2ea3008c.gif делится на hello_html_76845a14.gif, т. е. на число, оканчивающееся цифрой 9, тогда и только тогда, когда на это число делится сумма hello_html_2e54a47c.gif

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Рассмотрим тождество hello_html_m2ea3008c.gif= 10(hello_html_m6a77da4e.gif) – hello_html_559071c1.gif(hello_html_76845a14.gif). Так как hello_html_559071c1.gif(hello_html_76845a14.gif) делится на hello_html_76845a14.gif, то hello_html_m2ea3008c.gif и 10(hello_html_m6a77da4e.gif) одновременно либо делятся, либо не делятся на hello_html_76845a14.gif.

Итак, теорема 1 доказана. Гипотезы верны. Следовательно, чтобы определить, делится ли hello_html_m2ea3008c.gif на hello_html_76845a14.gif, надо рассмотреть число hello_html_m6a77da4e.gif и проверить его делимость на hello_html_76845a14.gif.

Например, пусть hello_html_m5b61486.gif т. е. проверим делимость некоторых чисел на 59:

hello_html_m3acf4b0f.gif

hello_html_75bfeeee.gif

hello_html_m1a9cfe66.gif

178hello_html_726617f0.gif

В этом случае hello_html_3a59b272.gif

Сформулируем теперь признак делимости на числа, оканчивающиеся на цифру 1, т. е. на числа вида hello_html_m4e7e085.gif, где hello_html_4a49d469.gif(hello_html_m2e40887e.gif− множество, состоящее из всех натуральных чисел и нуля).

Теорема 2. Число hello_html_m2ea3008c.gif делится на hello_html_m4e7e085.gif тогда и только тогда, когда на hello_html_m4e7e085.gif делится hello_html_m722322f7.gif.

Доказательство теоремы 2 следует из тождества

hello_html_m2ea3008c.gif= hello_html_559071c1.gif(hello_html_m4e7e085.gif) –10(hello_html_m722322f7.gif).

Действительно, так как hello_html_559071c1.gif(hello_html_m4e7e085.gif) делится на hello_html_m4e7e085.gif, то hello_html_m2ea3008c.gif и 10(hello_html_m722322f7.gif) одновременно либо делятся, либо не делятся на hello_html_76845a14.gif. Теорема 2 доказана.

Итак, чтобы определить, делится ли данное число hello_html_m2ea3008c.gif на число hello_html_m4e7e085.gif, т. е. на число, оканчивающееся на 1, необходимо проверить делимость на него числа hello_html_m722322f7.gif. Приведем примеры.

Пусть hello_html_fdcaf2.gif т. е. рассматриваем признак делимости на 71:

hello_html_1fa7be22.gif

hello_html_m769cfab7.gif

hello_html_5f5ef140.gif

hello_html_m739f7dd0.gif

В этом случае hello_html_ac92906.gif

Аналогично можно доказать признаки делимости на числа, оканчивающиеся на 3 и на 7.

Теорема 3. Число hello_html_m2ea3008c.gif делится на hello_html_5a08ff62.gif, т. е. на число, оканчивающееся на цифру 3, тогда и только тогда, когда hello_html_m560fc754.gif делится на hello_html_5a08ff62.gif, где hello_html_m48d84051.gif.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Так как hello_html_m2ea3008c.gif=10hello_html_m55672d69.gif, то hello_html_m2ea3008c.gif и hello_html_m560fc754.gif одновременно или делятся, или не делятся на hello_html_5a08ff62.gif, что и требовалось доказать.

Обратим внимание, что здесь постоянный множитель hello_html_1be2ab68.gif

Из теоремы 3 можно получить многочисленные следствия. В частности, удобно пользоваться на практике следующим признаком делимости на 13.

Следствие. Число hello_html_m2ea3008c.gif делится на 13 тогда и только тогда, когда hello_html_m63a81369.gif делится на 13. Действительно, при hello_html_7e74c189.gif получаем: ((hello_html_m2ea3008c.gif)hello_html_5b9b3e17.gif Другое доказательство этого следствия основывается на представлении hello_html_m2ea3008c.gif в виде hello_html_m352e0010.gif

Теорема 4. Число hello_html_m2ea3008c.gif делится на hello_html_m55f5f23.gif, т. е. на число, оканчивающееся на цифру 7, тогда и только тогда, когда hello_html_5c1a733b.gif делится на hello_html_m55f5f23.gif, гдеhello_html_mb1a68c2.gif.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Поскольку hello_html_m2ea3008c.gif= hello_html_a415541.gif, то hello_html_m2ea3008c.gif и hello_html_5c1a733b.gif одновременно или делятся, или не делятся на hello_html_m55f5f23.gif, т. е. утверждение доказано.

Заметим, что и здесь постоянный множитель hello_html_m608d50ca.gif

Из теоремы 4 можем получить практические следствия. Так, очень удобно пользоваться следующим признаком делимости на 7.

Следствие. Число hello_html_m2ea3008c.gif делится на 7 тогда и только тогда, когда hello_html_m13cbd7e6.gif делится на 7. Действительно, при hello_html_7e74c189.gif получаем: hello_html_29a0b722.gifДругой способ доказательства этого следствия можно получить так. Запишем данное число по-другому: hello_html_m2ea3008c.gif= hello_html_332e128c.gifhello_html_156201f0.gif Первое из двух полученных слагаемых делится на 7. Сумма будет делиться на 7 тогда и только тогда, когда и второе слагаемое будет делиться на 7. А это возможно тогда и только тогда, когда hello_html_m13cbd7e6.gif делится на 7

Приведем примеры:

hello_html_m9623d68.gif

hello_html_m3dff1074.gif

hello_html_m2464619d.gif

hello_html_m5a034b71.gif

В этом случае hello_html_m9ee6c28.gif

Использование признаков делимости на числа, оканчивающиеся на цифру 1, 3, 7, 9, позволяет последовательно переходить к числам, имеющим на один разряд меньше, к которым снова следует применять тот же признак (например, признак делимости на 7) до тех пор, пока не доберемся до числа, делимость которого (например, на то же число 7) проверяется элементарно. Таким образом, получен вполне определенный алгоритм.


3. Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 18, 24, 25, 125 и общий признак делимости.

Для вывода признаков делимости на 2 («чет-нечет»), 4, 5, 8, 25, 125 воспользуемся десятичной записью чисел. Так, число 7018 = 7∙1000 + 0∙100 + 1∙ 10 + 8 = 7∙ hello_html_m509bca68.gif+ 0∙ hello_html_mc2a472b.gif+ 1∙ 10 + 8. В общем виде в позиционной десятичной записи число а = hello_html_m11372f3a.gif(черта наверху показывает, что мы рассматриваем не произведение чисел hello_html_5dfda50e.gifа десятичную запись числа а).

Лемма. Если hello_html_m2ddf1a1.gif делится на hello_html_416112a7.gif то число hello_html_5703c43a.gif делится на hello_html_559071c1.gif в том и только в том случае, когда на hello_html_559071c1.gif делится число hello_html_521ace41.gif.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Если существует такое натуральное число hello_html_m688ad53b.gif что hello_html_m2ddf1a1.gif делится на hello_html_559071c1.gif, то на hello_html_559071c1.gif делятся все числа hello_html_149becf7.gif, где hello_html_489947ae.gif Поэтому число а имеет при делении на hello_html_559071c1.gif тот же остаток, что и число hello_html_78442c23.gifчто и требовалось доказать.

Так как число 10 делится на 2, то по лемме имеем: число hello_html_5703c43a.gifделится на 2 в том и только в том случае, когда на 2 делится число hello_html_422cb331.gif(т. е. цифра в разряде единиц равна 0, 2, 4, 6 или 8).

Аналогично из того, что 10 делится на 5, из леммы вытекает: число hello_html_5703c43a.gifделится на 5 в том и только в том случае, когда на 5 делится число hello_html_422cb331.gif(т. е. цифра в разряде единиц равна 0 либо 5).

Далее, число 100 делится на 4 и на 25. Согласно лемме: число hello_html_5703c43a.gifделится на 4 в том и только в том случае, когда на 4 делится число hello_html_m51992cb8.gif(т. е. двузначное число, составленное из цифр в разрядах десятков и единиц числа а); число hello_html_5703c43a.gifделится на 25 в том и только в том случае, когда на 25 делится число hello_html_m51992cb8.gif(т. е. двузначное число, составленное из цифр в разрядах десятков и единиц числа а).

Аналогично, так как число 1000 делится на 8 и на 125, то согласно лемме: число hello_html_5703c43a.gifделится на 8 в том и только в том случае, когда на 8 делится число hello_html_1e0a2b24.gif(т. е. трехзначное число, составленное из цифр в разрядах сотен, десятков и единиц числа а); число hello_html_5703c43a.gifделится на 125 в том и только в том случае, когда на 125 делится число hello_html_1e0a2b24.gif(т. е. трехзначное число, составленное из цифр в разрядах сотен, десятков и единиц числа а).

Докажем теперь следующий общий признак делимости, принадлежащий французскому ученому Блезу Паскалю (1623 – 1662 г.г.):

Если остаток от деления hello_html_m2ddf1a1.gif на hello_html_559071c1.gif равен hello_html_1f8c74af.gifгде hello_html_m59a027bf.gif, то остаток от деления числа hello_html_5703c43a.gif на hello_html_559071c1.gifсовпадает с остатком от деления на hello_html_559071c1.gif числа hello_html_4a391cf0.gif(в частности, если hello_html_4a391cf0.gif делится на hello_html_559071c1.gif, то и число а делится на hello_html_559071c1.gif).

Д о к а з а т е л ь с т в о.

В самом деле, так как остаток от деления числа hello_html_m2ddf1a1.gif на hello_html_559071c1.gif равен hello_html_1f8c74af.gif то hello_html_m2ddf1a1.gif можно записать в виде hello_html_m2ddf1a1.gif = hello_html_33e3e5dc.gif Поэтому имеем: а = hello_html_ma6ecf15.gif = hello_html_58e3a98b.gifhello_html_m4b8355c9.gif Слагаемое hello_html_m55f4afe0.gifhello_html_27ff7659.gifделится на hello_html_559071c1.gif. Поэтому числа а и hello_html_m3f2b4ecd.gif имеют одинаковые остатки при делении на hello_html_559071c1.gif. Признак делимости Паскаля доказан.

Заметим, что остатки от деления на 3 чисел 10, 100, 1000, и т. д. равны 1. Поэтому по признаку Паскаля получаем: число hello_html_5703c43a.gif делится на 3 в том и только в том случае, когда на 3 делится сумма hello_html_24c985b9.gif, т. е. сумма цифр десятичной записи этого числа.

Аналогично остатки от деления на 9 чисел 10, 100, 1000, и т. д. равны тоже 1. Поэтому по признаку Паскаля получаем: число hello_html_5703c43a.gif делится на 9 в том и только в том случае, когда на 9 делится сумма hello_html_24c985b9.gif, т. е. сумма цифр десятичной записи этого числа.

Существуют и другие признаки делимости на 7 и на 13. Заметим, что 7∙ 11∙ 13 = 1001. Но 1001 = 1000 + 1, 1 000 000 = 1001∙ 999 + 1, 1 000 000 000 = 1001∙ 999 001 – 1 и т. д. Применяя рассуждения, аналогичные проведенным при выводе признака делимости Паскаля, получаем признаки делимости на 7 и на 13 в таком виде: чтобы узнать, делится ли натуральное число а на 7 или на 13, надо разбить его десятичную запись справа налево на группы по три цифры в каждой (самая левая группа может содержать две или одну цифру) и взять группы с нечетными номерами со знаком минус, а с четными номерами со знаком плюс. Если значение получившегося выражения делится на 7 (соответственно на 13), то и заданное число делится на 7 (соответственно на 13). Например, число 459 348 965 866 делится на 7, но не делится на 13, так как выражение 459 – 348 + 965 – 866 = 210, а 210 делится на 7, но не делится на 13.

Выведем теперь признак делимости на 11. Имеем:

hello_html_7f5b7cc6.gif

и т. д. Следовательно, при hello_html_m6aeaa3e0.gif по признаку делимости Паскаля hello_html_4a391cf0.gif=hello_html_m5c92eb78.gif Таким образом, на 11 делятся все те и только те числа, у которых разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой остальных цифр делится на 11.

Приведем и более строгое обоснование признака делимости на 11 с использованием формулы hello_html_m1124f2b6.gif. Справедливость этой формулы устанавливается непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных членов в ее правой части. А сама формула показывает, что число hello_html_m13afe7aa.gif делится на 11. Но тогда делится на 11 и число hello_html_m3b1df18f.gif, а потому число hello_html_m43d5cd71.gif дает при делении на 11 остаток 10. Далее число hello_html_45a23161.gif можно записать в виде hello_html_2e5d1bd9.gifТак как hello_html_m5dc10644.gifто hello_html_45a23161.gif делится на 11. Но hello_html_m74cf6cf9.gif и поэтому hello_html_164a1498.gifдает при делении на 11 остаток 1. Применяя признак делимости Паскаля, получаем, что числа hello_html_m77a97097.gif и hello_html_mf9fd94d.gifhello_html_2db697fc.gif имеют один и тот же остаток при делении на 11. Заметим, что 10 = 11 – 1, а потому hello_html_mf9fd94d.gifhello_html_2db697fc.gif= hello_html_5e607998.gifhello_html_m7e8574b4.gif Отсюда видно, что число hello_html_m734afb91.gif делится на 11 в том и только в том случае, когда делится на 11 выражение hello_html_m7e8574b4.gif

Из общего признака Паскаля можно вывести и другие частные признаки делимости. Представляется целесообразным установить, например, еще такой признак делимости на 7, 11, 13: на 7, 11 или 13 делятся те и только те числа, у которых разность между числом, выраженным тремя последними цифрами, и числом, выраженным остальными цифрами (или наоборот), делится соответственно на 7, на 11 или на 13. Найдут применение и признаки делимости на 6, 12, 18, 24 и т. д. Например, на 6 делятся те и только те числа, которые делятся на 2 и на 3; на 12 делятся те и только те числа, которые делятся на 3 и на 4; на 18 делятся те и только те числа, которые делятся на 2 и на 9.

Полезно доказать самостоятельно в общем виде следующие признаки.

Для делимости числа а на целый делитель hello_html_m3eb4d443.gif числа hello_html_m2ddf1a1.gif необходимо и достаточно, чтобы на hello_html_m3eb4d443.gif делилась последняя грань числа а из hello_html_m5faf1d98.gif цифр.

Для делимости числа а на целый делитель hello_html_m3eb4d443.gif числа hello_html_61ef6db5.gif необходимо и достаточно, чтобы на hello_html_m3eb4d443.gif делилась сумма hello_html_m5faf1d98.gif-цифирных граней числа а. Например, 999 hello_html_222902f.gif27. Для делимости числа на 27 нужно, чтобы его сумма трехцифирных граней делилась на 27.

Для делимости числа а на целый делитель hello_html_m3eb4d443.gif числа hello_html_m4afc93a7.gif необходимо и достаточно, чтобы на hello_html_m3eb4d443.gif делилась сумма его hello_html_m5faf1d98.gif-цифирных граней, взятых со знаком «плюс», если грань стоит на нечетном месте, и со знаком «минус» − если на четном (т. е. знаки граней чередуются).

Тогда, чтобы вывести признак делимости на заданное число, например, на 11, можно представить 11 как hello_html_m5c4952e9.gif, а можно рассматривать 11 как делитель числа 99 = hello_html_7e02ed5b.gif. Аналогично придется поступать и в случае других чисел. Так, число 13 – делитель числа 1001 = hello_html_m53e3f1f1.gif.

Запомним, что целое число делится:

-на 2, если последняя его цифра делится на 2;

-на 3, если сумма его цифр делится на 3;

-на 4, если число, состоящее из двух его последних цифр, делится на 4;

-на 5, если его последняя цифра либо 0, либо 5;

-на 9, если сумма его цифр делится на 9;

-на 10, если его последняя цифра 0;

-на 11, если разность суммы цифр, стоящих на четных местах, и суммы цифр, стоящих на нечетных местах, делится на 11.

4. Применение признаков делимости при решении задач.

Пример 1. Можно ли представить число 2005! в виде суммы 2005 нечетных натуральных чисел? (Обозначение: hello_html_m601acf03.gif! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙…∙ hello_html_m601acf03.gif)

Нет. Число 2005! четно, а требуемая сумма нечетна.


Пример 2. Найти общие делители чисел: 247247, 612612, 538538, 759759, 173173.

Ясно, что все они делятся на 1. Далее, любое из них можно записать в виде hello_html_1fe5886c.gif. Последнее число можно прочитать как hello_html_m37c99f95.gif тысяч и hello_html_m37c99f95.gif единиц, т. е. hello_html_1fe5886c.gif= hello_html_m37c99f95.gif∙ 1000 + hello_html_m37c99f95.gif = 1001∙ hello_html_m37c99f95.gif = 7 ∙ 11 ∙ 13hello_html_m37c99f95.gif. Значит, числа данного вида делятся не только на 1, но и на 7, на 11, на 13, на 77, на 91, на 143, на 1001. Это – натуральные общие делители данных чисел. Отрицательными общими делителями данных пяти чисел являются соответственно – 1, – 7, – 11, – 13, – 77, – 91, – 143, – 1001.


Пример 3. Найти наименьшее натуральное число, которое при делении на 2 дает остаток 1, при делении на 3 – остаток 2, при делении на 4 – остаток 3, при делении на 5 – остаток 4, при делении на 6 – остаток 5, при делении на 7 – остаток 6, при делении на 8 – остаток 7 и при делении на 9 – остаток 8.

Обратим внимание на то, что делитель каждый раз всего лишь на 1 больше остатка, т. е. искомое число hello_html_m5547f17b.gif можно записать следующими способами: hello_html_m5547f17b.gif = 2hello_html_m2e5efcc2.gifhello_html_60d0c64a.gifhello_html_38667e2c.gif Прибавим теперь к обеим частям каждого из записанных равенств по 1. Получим: hello_html_3b04d78e.gif Тогда натуральное число hello_html_m1089999d.gif по условию задачи является наименьшим из делящихся на 2, 3, …, 9. Но произведение 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 кратно числам 9, 8, 7, 5. Стало быть, наименьшим числом из делящихся на 2, 3, …, 9 будет число, равное произведению 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 5 = 2520. Значит, hello_html_m1089999d.gif = 2520, а hello_html_m5547f17b.gif = 2519.


Пример 4. Найти наименьшее натуральное число, которое при делении на 4, 5, 9, и 11 дает остатки соответственно 3, 4, 8 и 10. Ответ: 1979.

Пример 5. Кузнечик прыгает по прямой, причем в первый раз он прыгнул на 1 см в какую-то сторону, во второй – на 2 см, в третий – на 3 см и т. д. Докажите, что после 125 прыжков он не сможет оказаться в том месте, откуда начинал прыгать в первый раз.

По прямой можно двигаться в двух противоположных направлениях. Ясно, что ответ должен годиться для любого варианта последовательности прыжков. Заметим, что кузнечику за 125 прыжков предстоит преодолеть расстояние 1 + 2 + 3 + … + 124 + 125 = (1 + 125) ∙125/2 = 7875 см. Но на сколько бы ни отдалился кузнечик от начальной точки, возвращаясь, ему придется преодолеть это же самое расстояние. Значит, сумма «пропрыганных» им расстояний туда и обратно должна выражаться четным числом, а число 7875 – нечетное. Поэтому кузнечик не сможет после 125 прыжков вернуться в ту же точку, из которой он начинал прыгать.


Пример 6. Может ли сумма попарных произведений трех последовательных чисел быть равной 3000?

Нет. hello_html_5cc6e4ad.gif не делится на 3.


Пример 7. Докажите, что разность квадрата нечетного числа и единицы кратна 4.

При любом натуральном hello_html_17aa43f7.gif число hello_html_5258fb9a.gif является нечетным. По условию задачи hello_html_m76f429e6.gifт. е. hello_html_6a8798a7.gif кратно 4.


Заметим также, что рассмотренные признаки делимости чисел существенно связаны с представлением чисел именно в десятичной системе исчисления. Эти признаки, вообще говоря, неприменимы при других системах исчисления. Так, если основание системы исчисления обозначить hello_html_m3eb4d443.gif, то любое число N можно записать в виде: N = hello_html_m7f05827a.gif Тогда, рассуждая, как и в случае десятичной системы исчисления, получим теорему: Данное число N делится на число hello_html_2489d00d.gif тогда и только тогда, когда сумма произведений цифр числа N на остатки, полученные от деления соответствующих степеней основания системы исчисления (hello_html_c4319ca.gif) на число hello_html_2489d00d.gif, делится на это число hello_html_2489d00d.gif. Например, на любое данное число, большее единицы, для чисел, записанных в системе исчисления, основанием которой является это же число, делятся те и только те числа, которые оканчиваются цифрой 0.

Литература.

Мазаник А. А. Делимость чисел и сравнения: Учебный материал для факультативных занятий. – Мн.: Народная асвета, 1971. – 64 с.


Упражнения.

1. Установить без калькулятора,

а) делится ли 380023 на 7? б) делится ли 380023 на 233?

Решение. а)380023hello_html_7fe361e7.gif

Попробуйте установить то же самое с помощью рассмотренных выше других признаков делимости на 7.

2. Верно ли, что если а) в трехзначном числе средняя цифра равна сумме крайних, то число кратно 11? б) в пятизначном числе сумма крайних и средней цифр равна сумме остальных цифр, то 11 делит это число?

Поиск решения а) приводит к следующим рассуждениям.

Пусть, например, таким числом будет 385. Убедиться, что это число делится на 11, можно либо непосредственным делением, либо разложением числа на простые множители, либо представлением числа в десятичной системе исчисления. Представим число 385 в виде: 3 ∙ 100 + 8 ∙ 10 + 5. Вспомним об условии задачи и используем его: 3 ∙ 100 + (3 + 5) ∙ 10 + 5 = (3 ∙ 100 + 3 ∙ 10) + (5 ∙ 10 + 5) = 30(10 + 1) + 5(10 + 1) = 30 ∙ 11 + 5 ∙ 11 = 11 ∙ 35, т. е. 385hello_html_2d362457.gifЧастный случай обнажил способ решения задачи в общем виде. При hello_html_14bab3ea.gif для трехзначного числа hello_html_m37c99f95.gif, записанного в общем виде, аналогично имеем: hello_html_m75ad8fa5.gif Другой способ (с использованием теоремы 2 при hello_html_m458a56f7.gif) ведет к рассуждениям сразу в общем виде: hello_html_m68c14486.gif Третий способ: разность между цифрой, стоящей на четном месте, и суммой остальных цифр равна 0, 0hello_html_222902f.gif11, значит, и трехзначное число, обладающее указанным свойством, делится на 11.

3. Докажите, что число hello_html_m66798296.gif делится и на 73, и на 137. (Указание: 73 ∙ 137 = 10001).

4. Назовем шестизначное число «хорошим», если сумма его цифр делится на 7. Быть «хорошими» могут и пары соседних шестизначных чисел. Например, 950 000 и 949 999. Таких пар 12. Найдите остальные пары «хороших» шестизначных чисел.

5. Докажите, что а) число 2006 можно представить в виде частного от деления квадрата некоторого натурального числа на куб некоторого натурального числа; б) любое натуральное число можно представить в таком же виде, как и 2006.

Решение. а) hello_html_1a63c7fa.gif

6. а) На математическом конкурсе было предложено несколько простых и несколько сложных задач. Участнику давали 3 очка за решение сложной и 2 очка за решение простой задачи. Кроме того, за каждую нерешенную простую задачу списывалось 1 очко. Саша решил 10 задач и набрал 14 очков. Сколько было простых задач?

б) Вдоль забора растут 8 кустов малины. Число ягод на соседних кустах отличается на 1. Может ли на всех кустах вместе быть 225 ягод? (Ответ: нет.)

Решение. а) Если бы все задачи на конкурсе были сложными, то Саша набрал бы 3∙10 = 30 очков. На каждой же простой задаче, независимо от того, решил ее Саша или нет, он теряет одно очко (т. е. получает на одно очко меньше, чем в том случае, если бы та же задача считалась сложной). Так как 14 = 30 – 16, то простых задач было 16.

7. а) Билет на транспорте считается «счастливым», если сумма первых трех цифр его шестизначного номера совпадает с суммой последних трех цифр. Докажите, что сумма номеров всех «счастливых» билетов делится на 13.

б) Можно ли из стержней с длинами 1, 2, 3, …, 199 используя их все, изготовить каркас куба? (Ответ: нет.)

Решение. а) Пусть hello_html_m619446d8.gifтрехзначные грани «счастливого» номера. Если hello_html_m74c5cf1f.gif, то номер hello_html_m686123a7.gif (разность трехзначных граней hello_html_m5bf05442.gif должна делиться на 13). Еслиhello_html_a7ebf67.gif, то номер hello_html_m6a5b174f.gifсложим с номером hello_html_m5ef60ebb.gif: hello_html_m6a5b174f.gif+hello_html_m5ef60ebb.gif= hello_html_74816b5e.gif+hello_html_402c72aa.gif, их сумма делится на 13.

8. Запишите любое 10-значное число и определите с помощью признаков деления натуральных чисел, делится ли оно на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,13.

9. Докажите, что hello_html_m74c5cded.gif делится на 3.

10. Докажите, что квадрат нечетного числа есть число нечетное.

11. Докажите, что сумма двух четных (нечетных) чисел есть число четное.

12. Докажите, что произведение двух нечетных чисел нечетно. Верно ли обратное утверждение?

13. Докажите, что разность hello_html_76ea005f.gif делится на 9, если разность hello_html_m40ee536d.gif делится на 3, где hello_html_17aa43f7.gif и hello_html_m3f558a4a.gifнатуральные числа.

Решение 1. При доказательстве делимости какого-либо натурального числа, заданного формулой, часто может помочь разложение его на множители. Попробуем реализовать эту идею. В данном случае имеем:

hello_html_31f4bd6.gif.

Применим свойство делимости суммы: если каждое из слагаемых суммы делится на данное число, то и сумма делится на это число. Так как hello_html_m40ee536d.gif делится на 3, то hello_html_63ab2b0b.gifтоже делится на 3. Следовательно, hello_html_m77cab320.gifhello_html_772e152e.gif также делится на 3.

Далее используем свойство делимости произведения: если каждый из двух множителей произведения делится на данное число, то произведение делится на квадрат данного числа. Значит, hello_html_m535b048a.gifhello_html_m24d68598.gifhello_html_afbeffc.gifделится на 9, т. е. hello_html_76ea005f.gif делится на 9.

Решение 2. Заметим, что число, кратное трем, можно записать в виде hello_html_55044820.gif где hello_html_m29562909.gif Тогда hello_html_4c6b2529.gifа hello_html_63084f9c.gif Подставим полученное представление hello_html_17aa43f7.gif в рассматриваемое выражение:

hello_html_76ea005f.gifhello_html_26e19374.gif

Следовательно, hello_html_76ea005f.gif делится на 9.

Решение 3. Представим разность кубов hello_html_76ea005f.gif в следующем виде:

hello_html_m752c3063.gif

Так как hello_html_29c1a2f9.gifделится на 9 и hello_html_mc772936.gif тоже делится на 9, то число hello_html_76ea005f.gif делится на 9.

Решение 4. Прежде всего, заметим, что если разность двух чисел делится на некоторое данное число, то каждое из этих чисел при делении на данное число дает один и тот же остаток. Поскольку hello_html_m40ee536d.gif делится на 3, то каждое из чисел hello_html_17aa43f7.gif и hello_html_m601acf03.gif при делении на 3 дает один и тот же остаток, скажем, hello_html_3b8aabc6.gifт. е. hello_html_47e25837.gif При этом hello_html_m4df10123.gifможет равняться 0, 1 или 2. Поэтому все натуральные числа можно разбить на три множества – на числа вида hello_html_55044820.gifhello_html_m299f45c3.gifhello_html_5b6dcfaa.gif где hello_html_72f75bff.gifи проверить, верно ли утверждение для каждого случая отдельно.

Если hello_html_m1a615bcf.gifто hello_html_76ea005f.gif=hello_html_m12d6f7d6.gifделится на 9.

Если hello_html_m433e450b.gifто hello_html_76ea005f.gifhello_html_68969699.gif

hello_html_5ae28d95.gif Следовательно, hello_html_76ea005f.gif делится на 9.

Если hello_html_115bdcfa.gifтоhello_html_76ea005f.gifhello_html_421bf9ba.gif

hello_html_484596de.gifЗначит, и в этом последнем случае hello_html_76ea005f.gif делится на 9.

Таким образом, требуемое доказано полностью.

Решение 5. Пустьhello_html_4c6b2529.gif где hello_html_m29562909.gif Тогда hello_html_29c1a2f9.gifhello_html_51b9dcac.gif и hello_html_203432e8.gif

hello_html_678ed4a.gifт. е.hello_html_203432e8.gifhello_html_1989e810.gif Следовательно, hello_html_76ea005f.gif делится на 9.

14. Доказать, что hello_html_2f06007a.gif делится на 6, где hello_html_m5336c0cc.gif

Решение 1. Преобразуем данный двучлен:

hello_html_55abf638.gif

В этой сумме первое слагаемое, т. е. hello_html_m634f0b00.gifпроизведение трех последовательных натуральных чисел, из которых одно делится на 3, и хотя бы одно делится на 2, следовательно, hello_html_58789930.gifделится на 6. Второе слагаемое, т. е. hello_html_9bfc7de.gif при всех hello_html_m728db2f7.gif также делится на 6. Отсюда следует, что hello_html_2f06007a.gif делится на 6 при всех hello_html_m728db2f7.gif.

Первое приведенное решение доступно учащимся, начиная с 7 класса.

Решение 2. При делении числа hello_html_m734afb91.gif на 6 могут получиться остатки 0, 1, 2, 3, 4, 5, поэтому оно может быть представлено в виде hello_html_m7c74e9ce.gif Проверим делимость на 6 данного выражения, т. е. hello_html_m37d4bd3b.gif во всех случаях.

Если hello_html_1a748761.gifто hello_html_m255d16fd.gif делится на 6.

Если hello_html_m2ff571fb.gifто

hello_html_32e9ac8d.gifделится на 6.

Если hello_html_m4c43fea.gifто hello_html_m17e38206.gifделится на 6.

Если hello_html_m2a914b4b.gifтоhello_html_m1d683527.gifделится на 6.

Итак, при любом натуральном hello_html_m734afb91.gif выражение hello_html_2f06007a.gif делится на 6.

Решение 3. Так как 6 = 2·3, где 2 и 3 – взаимно простые числа, то вопрос о делимости выражения hello_html_m37d4bd3b.gifна 6 сводится к вопросу о делимости его на 2 и на 3.

Рассматриваемое произведение hello_html_1c9f4fce.gif при любом hello_html_m728db2f7.gif делится на 2, так как при hello_html_m174bb503.gif первый множитель, а при hello_html_m4e9be8e8.gif второй множитель делится на 2.

Проверим делимость данного выражения на 3.

Пусть hello_html_cf8020a.gifтогда hello_html_m6bdab61e.gifделится на 3.

Пусть hello_html_586b289f.gifтогда

(hello_html_m61db27bc.gifделится на 3.

Значит, выражение hello_html_2f06007a.gif при любом hello_html_m728db2f7.gifделится и на 2 и на 3, следовательно, оно делится на 6.

Второе и третье приведенные решения доступны учащимся, начиная с 8 класса. В 10 – 11 классах доказательство может быть проведено методом математической индукции.

15. Что собой представляют множество натуральных чисел и множество целых чисел?

Ответ: множество натуральных чисел N = hello_html_m65a35f9e.gif, множество целых чисел Z = hello_html_m4532052d.gif.

16. Любое целое число записывается с помощью цифр. Как записывается любое трехзначное число, состоящее из hello_html_m734afb91.gif сотен(hello_html_27ca5b09.gif), hello_html_559071c1.gifдесятков и hello_html_m12550da.gif единиц?

Ответ: hello_html_m16d87fe.gif. Например, 327 = hello_html_mbd20ace.gif.

17. Как записывается формула деления натурального числа А на натуральное число В с остатком hello_html_m4df10123.gif? Как записываются формулы четных и нечетных чисел?

Ответ: если натуральное число А делится на натуральное число В с остатком hello_html_m4df10123.gif, то это значит, что А = Вhello_html_m7afbaf35.gif, где А – делимое, В – делитель, hello_html_m3f558a4a.gifчастное. Остаток hello_html_m4df10123.gif может равняться 0, 1, 2, …, В – 1. Например, при делении на 2 возможны только остатки hello_html_m4df10123.gif= 0 и hello_html_m4df10123.gif= 1. Поэтому все четные числа можно записать так: А = 2hello_html_53245f68.gif, а нечетные – следующим образом: А = 2hello_html_m601acf03.gif + 1.


Д.з. 1) Знать признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11; 2) Уметь выполнять упражнения 1 – 17.


12


Краткое описание документа:

"Признаки делимости натуральных чисел" - это тема первого факультативного занятия по математике «Итоговое повторение школьного курса математики» (10 класс).

Здесь представлены основные определения, теоремы, формулы и опорные примеры по рассматриваемой теме. Изложены вопросы делимости суммы и делимости произведения. Доказаны признаки делимости на числа, оканчивающиеся цифрами 1, 3, 7, 9. Выведены признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 18, 24, 25, 125 и общий признак делимости.

Продемонстрировано применение признаков делимости при решении примеров на основании изложенной теории. Приведены упражнения с решениями, указаниями, ответами, которые могут быть использованы учителем в качестве домашнего задания учащимся.

Представленные материалы могут быть также использованы (частично или полностью) при работе с учащимися 5 - 11 классов как фронтально, так и индивидуально, в частности при подготовке школьников к различным математическим конкурсам и олимпиадам, ЦТ и ЕГЭ.

Автор
Дата добавления 21.06.2013
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1653
Номер материала 10164062126
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх