-
Курсы
-
Другое
|
МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ БЕЛОЯРОСКОГО РАЙОНА «ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ СРЕДНЯЯ (ПОЛНАЯ) ШКОЛА №3г. БЕЛОЯРСКИЙ» |
|
|
Проект в номинации № 2 (математика) |
|
|
Тема проекта: |
|
|
«Фигурные числа» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Автор: |
|
|
Панин Илья Игоревич |
|
|
Класс: 7 б |
|
|
Научный руководитель проекта: |
|
|
Товстоног Елена Анатольевна |
|
|
«Общеобразовательная средняя |
|
|
(полная) школа № 3 |
|
|
г. Белоярский» |
|
|
учитель математики |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Белоярский |
|
|
2013 – 2014 учебный год |
|
Содержание
|
ВВЕДЕНИЕ |
|
|
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ |
4 |
|
1.1. Из истории фигурных чисел |
4 |
|
1.2. Формулы плоских фигурных чисел |
7 |
|
1.3. Свойства фигурных чисел |
8 |
|
1.4. Применение фигурных чисел в жизни человека |
13 |
|
ЗАКЛЮЧЕНИЕ |
14 |
|
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ |
15 |
|
ПРИЛОЖЕНИЯ |
16 |
Давным - давно, помогая себе при счёте камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камушков. Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, получались прямоугольники. Можно выкладывать камни в три ряда: получаются числа, делящиеся на три и т.д. Числа - камушки можно раскладывать в виде правильных геометрических фигур, так возникли числа, которые сегодня называют фигурными.
Во время изучения обыкновенных дробей обратил внимание на то, что в учебнике математики есть небольшая историческая сводка о фигурных числах. Это и подтолкнуло меня к исследованию темы, целью которой, стало изучить свойства фигурных чисел и их использование в повседневной жизни.
В своей исследовательской работе я рассмотрел использование фигурных чисел не только в математике, но и в окружающей жизни.
Чтобы достичь этой цели, я исследовал дополнительную литературу и другие источники.
Цель работы: более глубоко изучить и исследовать одно из понятий математики – фигурное число, выявить его свойства и использование в повседневной жизни.
Задачи:
1. Собрать по различным научным и учебным источникам материал по данной проблеме и проанализировать его.
2. Рассмотреть историю возникновения фигурных чисел, их свойства и применение в жизни человека.
Фигурные числа — общее название чисел, геометрическое представление которых связано с той или иной геометрической фигурой. Понятие фигурного числа было введено древнегреческими математиками, последователями учения Пифагора (пифагорейцами) в VI—IV вв. до н. э.
Они предпочитали думать о числах, как о геометрических величинах. Произведение ab рассматривалось как площадь прямоугольника со сторонами a и b. В случае, если a и b – натуральные, произведение ab выражало число точек в прямоугольной таблице с a точками в строке и b точками в столбце. Например, число 20 выражает число точек в таблице с пятью строками и четырьмя столбцами (рис. 1).
Рис. 1. Произведение чисел 5 и 4.
Числа, выражающие число точек в квадратной таблице, назывались квадратными. Например, квадратными числами являются 1, 4, 9, 16, 25, 36,…(рис. 2).
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
36 |
Рис. 2. Квадратные числа.
Таблицы могут быть не только прямоугольными или квадратными, но и иметь форму других геометрических фигур. Например, на рисунке 3 изображены треугольные числа, выражающие числа точек в треугольных таблицах.
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
6 |
10 |
15 |
21 |
Рис. 3. Треугольные числа.
На рисунках 4 и 5 изображены пятиугольные и шестиугольные числа. Из этих рисунков видно, что пятиугольными числами являются 1, 5, 12, 22, 35, … , а шестиугольными – 1, 6, 15, 28, 45, 66,…
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
5 |
12 |
22 |
35 |
51 |
Рис. 4. Пятиугольные числа.
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
6 |
15 |
28 |
45 |
66 |
Рис. 5. Шестиугольные числа.
Уложив камешки в пространственную фигуру можно получить телесные фигурные числа (рис. 6).
Именно от фигурных чисел пошло выражение: «Возвести в квадрат или куб».
Множество закономерностей, возникших при действиях с числами, были обнаружены древнегреческими учёными при изучении чертежей. И долгие века лучшим подтверждением справедливости таких соотношений считался способ геометрический, с прямоугольниками, квадратами, пирамидами и кубами. Древнегреческие учёные, комбинируя натуральные числа, составляли из них затейливые ряды, придавая элементам этих рядов то или иное геометрическое истолкование.
|
|
|
Рис. 6. Кубическое и квадратное пирамидальное числа.
Рассматривая ряд, образованный треугольными числами легко заметить, что:
T1=1; Т2=3=1+2;
T3=6=(1+2)+3,…, Tn=(1+2+…+(n-1))+n=
Tn-1+n (1),
где Tn
– значение треугольного числа с номером n,
Tn-1. – значение треугольного числа с номером
(n-1).
Т.е. каждое следующее число получаем из предыдущего, увеличивая предыдущее на
номер нового числа (таблица 1).
Таблица 1. Зависимость значения треугольного числа от его номера
|
число |
|
|
|
|
|
… |
|
|
Номер (n) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
… |
n |
|
Значение (Тn) |
1 |
3 |
6 |
10 |
15 |
… |
Tn-1+n |
Дополним Тn до квадратного числа (рис. 7).
Рис. 7. Красным цветом обозначено исходное число Tn, зеленым его дополнение до квадратного (Tn-1).
Тогда (согласно рис. 7 и формуле (1)):
.
Поэтому: 
Тогда: 
(2) – формула
треугольного n - го треугольного числа.
Эту формулу открыли еще древние греки, а потом, независимо от них, согласно легенде, Карл Гаусс в возрасте 9 лет.
Для вывода формул других n – x многоугольных чисел, древние греки, разбивали их на треугольные.
Рассмотрим вывод формулы для
произвольного пятиугольного числа 
Если разбить n – е пятиугольное число на три (n–1) треугольных, то останутся еще n камешков (см. таблицу 2).
Таблица 2. Зависимость Pn от Tn-1.
|
Номер (n) |
Tn |
Pn |
|
1 |
1 |
1 |
|
2 |
3 |
|
|
3 |
6 |
|
|
4 |
10 |
|
|
5 |
15 |
|
|
6 |
21 |
|
|
… |
… |
… |
|
n-1 |
|
… |
|
n |
|
|
Т.е.: 
.
Аналогичным образом, используя только геометрические соображения можно получить формулы, для:
·
квадратных: 
;
·
пятиугольных: 
;
·
шестиугольных: 
·
семиугольных: 
·
и произвольных k-угольных: 
, чисел.
Где, 
- n-e
квадратное число, 
- n-e
пятиугольное число, 
- n-e
шестиугольное число, 
- n-e k-угольное
число.
Между фигурными числами имеется много
интересных зависимостей. Так, например, древнегреческий математик Диофант (III
век до н. э.) нашел зависимость между треугольными (Тn)
и квадратными (K2n+1)
числами: 
.
Доказательство Диофанта приведено на рисунке 8, для квадратных чисел K7 и K9.
|
|
|
Рис. 8. Связь между треугольными и квадратными числами.
Выделим среди точек каждого квадратного числа центральную, а остальные точки разобьем на группы, образующие восемь треугольных чисел T3 для K7 и T4 для K9.
В результате получаем равенства 8T3+1=K7 и 8T4+1=K9. В общем случае имеет место равенство:
.
Следствие: Если n
– нечетное число, то 
делится на 8.
Пьер Ферма обобщил формулу Диофанта и сформулировал, в 1637, так называемую «золотую теорему»:
· Всякое натуральное число — либо треугольное, либо сумма двух или трёх треугольных чисел.
· Всякое натуральное число — либо квадратное, либо сумма двух, трёх или четырёх квадратных чисел.
· Всякое натуральное число — либо пятиугольное, либо сумма от двух до пяти пятиугольных чисел, и т.д.
Используя геометрический метод, разработанный древнегреческими учеными, можно доказать и формулы сокращенного умножения.
Докажем, что
Для этого построим
квадрат со стороной, и выделим в построенном квадрате, квадраты со стороной a
и стороной b (рис. 9).
Рис. 9. Доказательство
тождества 
.
Тогда (согласно рис. 9): , что и требовалось
доказать.
Изучая фигурные числа, греки окрыли очень много свойств числовых последовательностей.
Рассмотрим произвольное квадратное число (рис. 10):
Рис. 10. Разбиение квадратного числа на сумму нечетных чисел.
«Уголки» выделенные на рисунке одним цветом образуют ряд последовательных нечетных чисел, очевидно: 1+3+5+7+9+11=62.
Обобщив полученную зависимость получим:
(3) – формулу для суммы
последовательных нечетных чисел.
Следовательно, квадрат любого натурального числа можно представить в виде суммы последовательных нечетных чисел, начиная с единицы.
Аналогичным образом можно получить формулу для суммы четных чисел. Для этого рассмотрим прямоугольную таблицу (рис. 11):
Рис. 11. Разбиение прямоугольного числа на сумму четных чисел.
«Уголки» выделенные на рисунке одним
цветом образуют ряд последовательных четных чисел, очевидно: 
.
Обобщив полученную зависимость получим:
(4) – формулу для
суммы последовательных четных чисел.
Следствие: Произведение двух последовательных натуральных чисел можно представить в виде суммы последовательных четных чисел, начиная с двух.
Великие математики затратили немало усилий на изучение свойств фигурных чисел.
Обобщением «золотой теоремы» стала Великая (или Последняя) теорема Ферма:
·
Для любого натурального числа 
уравнение 
не имеет решений в целых
не нулевых числах a, b, c.
Которая на протяжении более трех веков будоражила умы математиков во всем мире, и только в 1995 году была окончательно доказана английским математиком Эндрю Джоном Уайлсом.
Мы не задумываемся о том, что ежедневно встречаемся с фигурными числами. А ведь это так просто и интересно.
· При изучении формулы площади прямоугольника используется понятие плоского числа, которое представляется виде произведения двух сомножителей – длины и ширины.
·
При
вычислении объёма прямоугольного параллелепипеда применяется понятие телесного
числа, выражаемого произведением трёх сомножителей – длины, ширины и высоты.
· Упаковка конфет в форме линейного числа
· На параде солдаты стоят правильными рядами, образуя квадраты или прямоугольники (плоские числа). (Приложение 1)
· Во время различных праздников мы видим показательные выступления лётчиков. Самолёты в воздухе образуют треугольные или другие фигурные числа. (Приложение 2)
· Треугольные числа можно встретить в самых обычных местах (Приложение 3)
· Фигурные числа встречаются при упаковке различных товаров в коробки и другие ёмкости.
· Телесные числа используются при упаковке конфет, консервных банок, блокнотов, тетрадей, ручек и др. в различные ёмкости. (Приложение 4)
· Плоские числа тоже часто используются при упаковке конфет, растительного масла, лимонадных бутылок … (Приложение 5)
· К фигурным числам можно отнести пирамидальные числа, которые получаются, если шарики складывать пирамидкой. Как раньше складывались ядра у около пушки. (Приложение 6)
· Используя различные фигурные числа как телесные, так и пирамидальные , укладывают товар на прилавке, конфеты в различные упаковки, украшают праздничный стол и т.д. (Приложение 7)
А зачем все это? И действительно — зачем? Чему автор хотел научить, какие проблемы поднял?
Могу ответить лишь в духе Ноздрева: очень уж интересные подробности открылись! Да и так ли уж обязательно непременно чему-то учить? Нужна ведь и просто «гимнастика ума», а если она может немного развлечь — тем лучше!
В процессе работы по данной проблеме я добился цели, поставленной в начале исследования: изучил и исследовал фигурные числа.
Подводя итог работы, пришёл к выводу об актуальности данной темы. Невозможно представить современную жизнь без фигурных чисел, они вокруг нас, мы живем среди них. Значит - это кому-нибудь нужно.
1. Виленкин Н.Я. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.- М.: Мнемозина, 2008.
2. Волошинов А.В. Пифагор: Союз истины, добра и красоты. – М.: Просвещение, 1993.
3. Энциклопедический словарь юного математика/ Составитель А.П.Савин. – М.: Педагогика, 1985
Приложение 1
Приложение 2
Приложение 3
Приложение 4
Приложение 5
Приложение 6
Приложение 7
Настоящий материал опубликован пользователем Товстоног Елена Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
