МУНИЦИПАЛЬНОЕ
АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ БЕЛОЯРОСКОГО РАЙОНА
«ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ СРЕДНЯЯ (ПОЛНАЯ) ШКОЛА №3г. БЕЛОЯРСКИЙ»
|
Проект в номинации № 2
(математика)
|
Тема проекта:
|
«Фигурные числа»
|
|
|
|
|
|
|
|
Автор:
|
|
Панин Илья Игоревич
|
|
Класс:
7 б
|
|
Научный
руководитель проекта:
|
|
Товстоног Елена Анатольевна
|
|
«Общеобразовательная
средняя
|
|
(полная)
школа № 3
|
|
г.
Белоярский»
|
|
учитель
математики
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Белоярский
|
2013 – 2014 учебный год
|
Содержание
ВВЕДЕНИЕ
|
3
|
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
|
4
|
1.1. Из истории фигурных чисел
|
4
|
1.2. Формулы плоских фигурных чисел
|
7
|
1.3. Свойства фигурных чисел
|
8
|
1.4. Применение фигурных чисел в
жизни человека
|
13
|
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
|
14
|
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
|
15
|
ПРИЛОЖЕНИЯ
|
16
|
Давным - давно, помогая себе при
счёте камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно
выложить из камушков. Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если
класть их в два ряда, получались прямоугольники. Можно выкладывать камни в три
ряда: получаются числа, делящиеся на три и т.д. Числа - камушки можно
раскладывать в виде правильных геометрических фигур, так возникли числа,
которые сегодня называют фигурными.
Во время изучения обыкновенных дробей
обратил внимание на то, что в учебнике математики есть небольшая историческая
сводка о фигурных числах. Это и подтолкнуло меня к исследованию темы, целью
которой, стало изучить свойства фигурных чисел и их использование в
повседневной жизни.
В своей исследовательской работе я
рассмотрел использование фигурных чисел не только в математике, но и в
окружающей жизни.
Чтобы достичь этой цели, я исследовал
дополнительную литературу и другие источники.
Цель работы: более глубоко изучить и
исследовать одно из понятий математики – фигурное число, выявить его свойства
и использование в повседневной жизни.
Задачи:
1.
Собрать по различным научным и учебным
источникам материал по данной проблеме и проанализировать его.
2.
Рассмотреть историю возникновения фигурных
чисел, их свойства и применение в жизни человека.
Фигурные числа — общее название
чисел, геометрическое представление которых связано с той или иной
геометрической фигурой. Понятие фигурного числа было введено древнегреческими
математиками, последователями учения Пифагора (пифагорейцами) в VI—IV вв. до н.
э.
Они предпочитали думать о числах, как
о геометрических величинах. Произведение ab рассматривалось как площадь
прямоугольника со сторонами a и b. В случае, если a и b
– натуральные, произведение ab выражало число точек в прямоугольной
таблице с a точками в строке и b точками в столбце. Например,
число 20 выражает число точек в таблице с пятью строками и четырьмя столбцами
(рис. 1).
Рис. 1. Произведение
чисел 5 и 4.
Числа, выражающие число точек в
квадратной таблице, назывались квадратными. Например, квадратными числами
являются 1, 4, 9, 16, 25, 36,…(рис. 2).
Рис. 2. Квадратные числа.
Таблицы могут быть не только
прямоугольными или квадратными, но и иметь форму других геометрических фигур.
Например, на рисунке 3 изображены треугольные числа, выражающие числа точек в
треугольных таблицах.
Рис. 3. Треугольные
числа.
На рисунках 4 и 5 изображены
пятиугольные и шестиугольные числа. Из этих рисунков видно, что пятиугольными
числами являются 1, 5, 12, 22, 35, … , а шестиугольными – 1, 6, 15, 28, 45, 66,…
Рис. 4. Пятиугольные
числа.
Рис. 5. Шестиугольные
числа.
Уложив камешки в пространственную
фигуру можно получить телесные фигурные числа (рис. 6).
Именно от фигурных чисел пошло
выражение: «Возвести в квадрат или куб».
Множество закономерностей, возникших
при действиях с числами, были обнаружены древнегреческими учёными при изучении
чертежей. И долгие века лучшим подтверждением справедливости таких соотношений
считался способ геометрический, с прямоугольниками, квадратами, пирамидами и
кубами. Древнегреческие учёные, комбинируя натуральные числа, составляли из них
затейливые ряды, придавая элементам этих рядов то или иное геометрическое
истолкование.
Рис. 6. Кубическое и
квадратное пирамидальное числа.
1.2.
Формулы плоских фигурных
чисел.
Рассматривая ряд, образованный
треугольными числами легко заметить, что:
T1=1; Т2=3=1+2;
T3=6=(1+2)+3,…, Tn=(1+2+…+(n-1))+n=
Tn-1+n (1),
где Tn
– значение треугольного числа с номером n,
Tn-1. – значение треугольного числа с номером
(n-1).
Т.е. каждое следующее число получаем из предыдущего, увеличивая предыдущее на
номер нового числа (таблица 1).
Таблица 1. Зависимость значения
треугольного числа от его номера
число
|
|
|
|
|
|
…
|
|
Номер
(n)
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
…
|
n
|
Значение
(Тn)
|
1
|
3
|
6
|
10
|
15
|
…
|
Tn-1+n
|
Дополним Тn
до квадратного числа (рис. 7).
Рис. 7. Красным цветом
обозначено исходное число Tn,
зеленым его дополнение до квадратного (Tn-1).
Тогда (согласно рис. 7 и формуле (1)):
.
Поэтому:
Тогда: (2) – формула
треугольного n - го треугольного числа.
Эту формулу открыли еще древние
греки, а потом, независимо от них, согласно легенде, Карл Гаусс в возрасте 9
лет.
Для вывода формул других n – x
многоугольных чисел, древние греки, разбивали их на треугольные.
Рассмотрим вывод формулы для
произвольного пятиугольного числа
Если разбить n – е
пятиугольное число на три (n–1) треугольных, то останутся еще n камешков
(см. таблицу 2).
Таблица 2. Зависимость Pn
от Tn-1.
Номер (n)
|
Tn
|
Pn
|
1
|
1
|
1
|
2
|
3
|
|
3
|
6
|
|
4
|
10
|
|
5
|
15
|
|
6
|
21
|
|
…
|
…
|
…
|
n-1
|
|
…
|
n
|
|
|
Т.е.: .
Аналогичным образом, используя только
геометрические соображения можно получить формулы, для:
·
квадратных: ;
·
пятиугольных: ;
·
шестиугольных:
·
семиугольных:
·
и произвольных k-угольных: , чисел.
Где, - n-e
квадратное число, - n-e
пятиугольное число, - n-e
шестиугольное число, - n-e k-угольное
число.
1.3.
Свойства фигурных чисел
Между фигурными числами имеется много
интересных зависимостей. Так, например, древнегреческий математик Диофант (III
век до н. э.) нашел зависимость между треугольными (Тn)
и квадратными (K2n+1)
числами: .
Доказательство Диофанта приведено на
рисунке 8, для квадратных чисел K7
и K9.
Рис. 8. Связь между
треугольными и квадратными числами.
Выделим среди точек каждого
квадратного числа центральную, а остальные точки разобьем на группы, образующие
восемь треугольных чисел T3
для K7
и T4
для K9.
В результате получаем равенства 8T3+1=K7
и 8T4+1=K9.
В общем случае имеет место равенство:
.
Следствие: Если n
– нечетное число, то делится на 8.
Пьер Ферма обобщил формулу Диофанта и
сформулировал, в 1637, так называемую
«золотую теорему»:
·
Всякое натуральное число — либо
треугольное, либо сумма двух или трёх треугольных чисел.
·
Всякое натуральное число — либо
квадратное, либо сумма двух, трёх или четырёх квадратных чисел.
·
Всякое натуральное число — либо
пятиугольное, либо сумма от двух до пяти пятиугольных чисел, и т.д.
Используя геометрический метод,
разработанный древнегреческими учеными, можно доказать и формулы сокращенного
умножения.
Докажем, что Для этого построим
квадрат со стороной, и выделим в построенном квадрате, квадраты со стороной a
и стороной b (рис. 9).
Рис. 9. Доказательство
тождества .
Тогда (согласно рис. 9): , что и требовалось
доказать.
Изучая фигурные числа, греки окрыли
очень много свойств числовых последовательностей.
Рассмотрим произвольное квадратное
число (рис. 10):
Рис. 10. Разбиение
квадратного числа на сумму нечетных чисел.
«Уголки» выделенные на рисунке одним
цветом образуют ряд последовательных нечетных чисел, очевидно: 1+3+5+7+9+11=62.
Обобщив полученную зависимость
получим:
(3) – формулу для суммы
последовательных нечетных чисел.
Следовательно, квадрат любого
натурального числа можно представить в виде суммы последовательных нечетных чисел,
начиная с единицы.
Аналогичным образом можно получить
формулу для суммы четных чисел. Для этого рассмотрим прямоугольную таблицу
(рис. 11):
Рис. 11. Разбиение
прямоугольного числа на сумму четных чисел.
«Уголки» выделенные на рисунке одним
цветом образуют ряд последовательных четных чисел, очевидно: .
Обобщив полученную зависимость
получим:
(4) – формулу для
суммы последовательных четных чисел.
Следствие: Произведение двух
последовательных натуральных чисел можно представить в виде суммы
последовательных четных чисел, начиная с двух.
Великие математики затратили немало
усилий на изучение свойств фигурных чисел.
Обобщением «золотой теоремы» стала
Великая (или Последняя) теорема Ферма:
·
Для любого натурального числа уравнение не имеет решений в целых
не нулевых числах a, b, c.
Которая на протяжении более трех
веков будоражила умы математиков во всем мире, и только в 1995 году была
окончательно доказана английским математиком Эндрю Джоном Уайлсом.
Мы не задумываемся о том, что
ежедневно встречаемся с фигурными числами. А ведь это так просто и интересно.
·
При изучении формулы площади
прямоугольника используется понятие плоского числа, которое представляется виде
произведения двух сомножителей – длины и ширины.
·
При
вычислении объёма прямоугольного параллелепипеда применяется понятие телесного
числа, выражаемого произведением трёх сомножителей – длины, ширины и высоты.
·
Упаковка конфет в форме линейного числа
·
На параде солдаты стоят правильными
рядами, образуя квадраты или прямоугольники (плоские числа). (Приложение 1)
·
Во время различных праздников мы видим
показательные выступления лётчиков. Самолёты в воздухе образуют треугольные или
другие фигурные числа. (Приложение 2)
·
Треугольные числа можно встретить в самых
обычных местах (Приложение 3)
·
Фигурные числа встречаются при упаковке
различных товаров в коробки и другие ёмкости.
·
Телесные числа используются при упаковке
конфет, консервных банок, блокнотов, тетрадей, ручек и др. в различные ёмкости.
(Приложение 4)
·
Плоские числа тоже часто используются при
упаковке конфет, растительного масла, лимонадных бутылок … (Приложение 5)
·
К фигурным числам можно отнести
пирамидальные числа, которые получаются, если шарики складывать пирамидкой. Как
раньше складывались ядра у около пушки. (Приложение 6)
·
Используя различные фигурные числа как
телесные, так и пирамидальные , укладывают товар на прилавке, конфеты в
различные упаковки, украшают праздничный стол и т.д. (Приложение 7)
А зачем все это? И действительно —
зачем? Чему автор хотел научить, какие проблемы поднял?
Могу ответить лишь в духе Ноздрева:
очень уж интересные подробности открылись! Да и так ли уж обязательно
непременно чему-то учить? Нужна ведь и просто «гимнастика ума», а если она
может немного развлечь — тем лучше!
В процессе работы по данной проблеме
я добился цели, поставленной в начале исследования: изучил и исследовал
фигурные числа.
Подводя итог работы, пришёл к выводу
об актуальности данной темы. Невозможно представить современную жизнь без
фигурных чисел, они вокруг нас, мы живем среди них. Значит - это кому-нибудь
нужно.
1.
Виленкин Н.Я. Математика. 6 класс: учебник
для общеобразовательных учреждений.- М.: Мнемозина, 2008.
2.
Волошинов А.В. Пифагор: Союз истины, добра
и красоты. – М.: Просвещение, 1993.
3.
Энциклопедический словарь юного
математика/ Составитель А.П.Савин. – М.: Педагогика, 1985
Приложение 1
Приложение
2
Приложение
3
Приложение 4
Приложение 5
Приложение 6
Приложение
7
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.