Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Учебный проект «Фигурные числа»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Учебный проект «Фигурные числа»

библиотека
материалов

hello_html_m4847d78a.gifhello_html_7dad8543.gifМУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ БЕЛОЯРОСКОГО РАЙОНА «ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ СРЕДНЯЯ (ПОЛНАЯ) ШКОЛА №3г. БЕЛОЯРСКИЙ»

Проект в номинации № 2 (математика)

Тема проекта:

«Фигурные числа»








Автор:


Панин Илья Игоревич


Класс: 7 б


Научный руководитель проекта:


Товстоног Елена Анатольевна


«Общеобразовательная средняя


(полная) школа № 3


г. Белоярский»


учитель математики












Белоярский

2013 – 2014 учебный год


Содержание


ВВЕДЕНИЕ

3

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

4

1.1. Из истории фигурных чисел

4

1.2. Формулы плоских фигурных чисел

7

1.3. Свойства фигурных чисел

8

1.4. Применение фигурных чисел в жизни человека

13

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

14

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

15

ПРИЛОЖЕНИЯ

16





















ВВЕДЕНИЕ


Давным - давно, помогая себе при счёте камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камушков. Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, получались прямоугольники. Можно выкладывать камни в три ряда: получаются числа, делящиеся на три и т.д. Числа - камушки можно раскладывать в виде правильных геометрических фигур, так возникли числа, которые сегодня называют фигурными.

Во время изучения обыкновенных дробей обратил внимание на то, что в учебнике математики есть небольшая историческая сводка о фигурных числах. Это и подтолкнуло меня к исследованию темы, целью которой, стало изучить свойства фигурных чисел и их использование в повседневной жизни.

В своей исследовательской работе я рассмотрел использование фигурных чисел не только в математике, но и в окружающей жизни.

Чтобы достичь этой цели, я исследовал дополнительную литературу и другие источники.

Цель работы: более глубоко изучить и исследовать одно из понятий математики – фигурное число, выявить его свойства и использование в повседневной жизни.

Задачи:

  1. Собрать по различным научным и учебным источникам материал по данной проблеме и проанализировать его.

  2. Рассмотреть историю возникновения фигурных чисел, их свойства и применение в жизни человека.


ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ



    1. Из истории фигурных чисел.



Фигурные числа — общее название чисел, геометрическое представление которых связано с той или иной геометрической фигурой. Понятие фигурного числа было введено древнегреческими математиками, последователями учения Пифагора (пифагорейцами) в VI—IV вв. до н. э.

Они предпочитали думать о числах, как о геометрических величинах. Произведение ab рассматривалось как площадь прямоугольника со сторонами a и b. В случае, если a и b – натуральные, произведение ab выражало число точек в прямоугольной таблице с a точками в строке и b точками в столбце. Например, число 20 выражает число точек в таблице с пятью строками и четырьмя столбцами (рис. 1).


hello_html_m4f2800d7.png

Рис. 1. Произведение чисел 5 и 4.


Числа, выражающие число точек в квадратной таблице, назывались квадратными. Например, квадратными числами являются 1, 4, 9, 16, 25, 36,…(рис. 2).


hello_html_m130a3217.png

hello_html_2f11b41e.gif

hello_html_55a9ecfa.gif

hello_html_m5f8ab231.gif

hello_html_77c00ce.gif

hello_html_24df3d45.gif

1

4

9

16

25

36

Рис. 2. Квадратные числа.


Таблицы могут быть не только прямоугольными или квадратными, но и иметь форму других геометрических фигур. Например, на рисунке 3 изображены треугольные числа, выражающие числа точек в треугольных таблицах.

hello_html_m130a3217.png

hello_html_m65b2ddd5.png

hello_html_m13f3e2b3.png

hello_html_40c78dda.png

hello_html_54353f6b.png

hello_html_45a60005.png

1

3

6

10

15

21

Рис. 3. Треугольные числа.


На рисунках 4 и 5 изображены пятиугольные и шестиугольные числа. Из этих рисунков видно, что пятиугольными числами являются 1, 5, 12, 22, 35, … , а шестиугольными – 1, 6, 15, 28, 45, 66,…


hello_html_m4c3a1946.png

hello_html_m7cf5df49.png

hello_html_m5a68c2ed.png

hello_html_m7e7c21ae.png

hello_html_353f3c2c.png

hello_html_m7ea977ef.png

1

5

12

22

35

51

Рис. 4. Пятиугольные числа.


hello_html_m4c3a1946.png

hello_html_m495b4371.gif

hello_html_74d1c8fe.gif

hello_html_m6b8677ad.gif

hello_html_m203206dc.gif

hello_html_689f7f84.gif

1

6

15

28

45

66

Рис. 5. Шестиугольные числа.


Уложив камешки в пространственную фигуру можно получить телесные фигурные числа (рис. 6).

Именно от фигурных чисел пошло выражение: «Возвести в квадрат или куб».

Множество закономерностей, возникших при действиях с числами, были обнаружены древнегреческими учёными при изучении чертежей. И долгие века лучшим подтверждением справедливости таких соотношений считался способ геометрический, с прямоугольниками, квадратами, пирамидами и кубами. Древнегреческие учёные, комбинируя натуральные числа, составляли из них затейливые ряды, придавая элементам этих рядов то или иное геометрическое истолкование.


hello_html_558f7701.gif

hello_html_6c52312b.gif

Рис. 6. Кубическое и квадратное пирамидальное числа.



    1. Формулы плоских фигурных чисел.



Рассматривая ряд, образованный треугольными числами легко заметить, что:

T1=1; Т2=3=1+2; T3=6=(1+2)+3,…, Tn=(1+2+…+(n1))+n= Tn-1+n (1), где Tn – значение треугольного числа с номером n, Tn-1. – значение треугольного числа с номером
(
n-1). Т.е. каждое следующее число получаем из предыдущего, увеличивая предыдущее на номер нового числа (таблица 1).


Таблица 1. Зависимость значения треугольного числа от его номера

число

hello_html_m130a3217.png

hello_html_m65b2ddd5.png

hello_html_m13f3e2b3.png

hello_html_40c78dda.png

hello_html_m4849666f.png

hello_html_m24d601cb.gif

Номер (n)

1

2

3

4

5

n

Значение (Тn)

1

3

6

10

15

Tn-1+n


Дополним Тn до квадратного числа (рис. 7).


hello_html_m2034d4fe.png

Рис. 7. Красным цветом обозначено исходное число Tn, зеленым его дополнение до квадратного (Tn-1).


Тогда (согласно рис. 7 и формуле (1)): hello_html_m717a7c94.gif.

Поэтому: hello_html_6e517b93.gif

Тогда: hello_html_m751e19c7.gif (2) – формула треугольного n - го треугольного числа.

Эту формулу открыли еще древние греки, а потом, независимо от них, согласно легенде, Карл Гаусс в возрасте 9 лет.

Для вывода формул других nx многоугольных чисел, древние греки, разбивали их на треугольные.

Рассмотрим вывод формулы для произвольного пятиугольного числа hello_html_58e25938.gif

Если разбить n – е пятиугольное число на три (n–1) треугольных, то останутся еще n камешков (см. таблицу 2).


Таблица 2. Зависимость Pn от Tn1.

Номер (n)

Tn

Pn

1

1

1

2

3

hello_html_m4ad188e8.gif

3

6

hello_html_7e267605.gif

4

10

hello_html_5a3d8c9e.gif

5

15

hello_html_m3c68d14b.gif

6

21

hello_html_m56767c14.gif

n1

hello_html_m6b464fd1.gif

n

hello_html_m3df763bb.gif

hello_html_meb366a2.gif


Т.е.: hello_html_m2b7ebda5.gif.

Аналогичным образом, используя только геометрические соображения можно получить формулы, для:

  • квадратных: hello_html_m12942cd1.gif;

  • пятиугольных: hello_html_699f858e.gif;

  • шестиугольных: hello_html_6749e095.gif

  • семиугольных: hello_html_m6510161a.gif

  • и произвольных k-угольных: hello_html_6201d26e.gif, чисел.

Где, hello_html_2f9b0199.gif- n-e квадратное число, hello_html_7cb20760.gif- n-e пятиугольное число, hello_html_m284f049a.gif- n-e шестиугольное число, hello_html_m6a255660.gif- n-e k-угольное число.


    1. Свойства фигурных чисел



Между фигурными числами имеется много интересных зависимостей. Так, например, древнегреческий математик Диофант (III век до н. э.) нашел зависимость между треугольными (Тn) и квадратными (K2n+1) числами: hello_html_m7db7aae4.gif.

Доказательство Диофанта приведено на рисунке 8, для квадратных чисел K7 и K9.


hello_html_m537add7b.gif

hello_html_fa59f5e.gif

Рис. 8. Связь между треугольными и квадратными числами.


Выделим среди точек каждого квадратного числа центральную, а остальные точки разобьем на группы, образующие восемь треугольных чисел T3 для K7 и T4 для K9.

В результате получаем равенства 8T3+1=K7 и 8T4+1=K9. В общем случае имеет место равенство:

hello_html_m7db7aae4.gif.

Следствие: Если nнечетное число, то hello_html_14252e2a.gif делится на 8.

Пьер Ферма обобщил формулу Диофанта и сформулировал, в 1637, так называемую «золотую теорему»:

  • Всякое натуральное число — либо треугольное, либо сумма двух или трёх треугольных чисел.

  • Всякое натуральное число — либо квадратное, либо сумма двух, трёх или четырёх квадратных чисел.

  • Всякое натуральное число — либо пятиугольное, либо сумма от двух до пяти пятиугольных чисел, и т.д.

Используя геометрический метод, разработанный древнегреческими учеными, можно доказать и формулы сокращенного умножения.

Докажем, чтоhello_html_690618ea.gif Для этого построим квадрат со стороной, и выделим в построенном квадрате, квадраты со стороной a и стороной b (рис. 9).


hello_html_m6c41e6fe.png

Рис. 9. Доказательство тождества hello_html_m19ea2f04.gif.


Тогда (согласно рис. 9): hello_html_m19ea2f04.gif, что и требовалось доказать.


Изучая фигурные числа, греки окрыли очень много свойств числовых последовательностей.

Рассмотрим произвольное квадратное число (рис. 10):

hello_html_35fcc496.png

Рис. 10. Разбиение квадратного числа на сумму нечетных чисел.

«Уголки» выделенные на рисунке одним цветом образуют ряд последовательных нечетных чисел, очевидно: 1+3+5+7+9+11=62.

Обобщив полученную зависимость получим:

hello_html_515f5159.gif (3) – формулу для суммы последовательных нечетных чисел.

Следовательно, квадрат любого натурального числа можно представить в виде суммы последовательных нечетных чисел, начиная с единицы.

Аналогичным образом можно получить формулу для суммы четных чисел. Для этого рассмотрим прямоугольную таблицу (рис. 11):


hello_html_m861b50f.png

Рис. 11. Разбиение прямоугольного числа на сумму четных чисел.


«Уголки» выделенные на рисунке одним цветом образуют ряд последовательных четных чисел, очевидно: hello_html_230a80d0.gif.

Обобщив полученную зависимость получим:

hello_html_m548ea3ed.gif (4) – формулу для суммы последовательных четных чисел.

Следствие: Произведение двух последовательных натуральных чисел можно представить в виде суммы последовательных четных чисел, начиная с двух.

Великие математики затратили немало усилий на изучение свойств фигурных чисел.

Обобщением «золотой теоремы» стала Великая (или Последняя) теорема Ферма:

  • Для любого натурального числа hello_html_m11c8cf80.gif уравнение hello_html_m445ed6a2.gif не имеет решений в целых не нулевых числах a, b, c.

Которая на протяжении более трех веков будоражила умы математиков во всем мире, и только в 1995 году была окончательно доказана английским математиком Эндрю Джоном Уайлсом.

    1. Применение фигурных чисел в жизни человека



Мы не задумываемся о том, что ежедневно встречаемся с фигурными числами. А ведь это так просто и интересно.

  • При изучении формулы площади прямоугольника используется понятие плоского числа, которое представляется виде произведения двух сомножителей – длины и ширины.

  • При вычислении объёма прямоугольного параллелепипеда применяется понятие телесного числа, выражаемого произведением трёх сомножителей – длины, ширины и высоты.40Г КОНФЕТЫ РАФАЭЛЛО, Цена за 16 шт.

  • Упаковка конфет в форме линейного числа

  • На параде солдаты стоят правильными рядами, образуя квадраты или прямоугольники (плоские числа). (Приложение 1)

  • Во время различных праздников мы видим показательные выступления лётчиков. Самолёты в воздухе образуют треугольные или другие фигурные числа. (Приложение 2)

  • Треугольные числа можно встретить в самых обычных местах (Приложение 3)

  • Фигурные числа встречаются при упаковке различных товаров в коробки и другие ёмкости.

  • Телесные числа используются при упаковке конфет, консервных банок, блокнотов, тетрадей, ручек и др. в различные ёмкости. (Приложение 4)

  • Плоские числа тоже часто используются при упаковке конфет, растительного масла, лимонадных бутылок … (Приложение 5)

  • К фигурным числам можно отнести пирамидальные числа, которые получаются, если шарики складывать пирамидкой. Как раньше складывались ядра у около пушки. (Приложение 6)

  • Используя различные фигурные числа как телесные, так и пирамидальные , укладывают товар на прилавке, конфеты в различные упаковки, украшают праздничный стол и т.д. (Приложение 7)


ЗАКЛЮЧЕНИЕ



А зачем все это? И действительно — зачем? Чему автор хотел научить, какие проблемы поднял?

Могу ответить лишь в духе Ноздрева: очень уж интересные подробности открылись! Да и так ли уж обязательно непременно чему-то учить? Нужна ведь и просто «гимнастика ума», а если она может немного развлечь — тем лучше!

В процессе работы по данной проблеме я добился цели, поставленной в начале исследования: изучил и исследовал фигурные числа.

Подводя итог работы, пришёл к выводу об актуальности данной темы. Невозможно представить современную жизнь без фигурных чисел, они вокруг нас, мы живем среди них. Значит - это кому-нибудь нужно.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ



    1. Виленкин Н.Я. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.- М.: Мнемозина, 2008.

    2. Волошинов А.В. Пифагор: Союз истины, добра и красоты. – М.: Просвещение, 1993.

    3. Энциклопедический словарь юного математика/ Составитель А.П.Савин. – М.: Педагогика, 1985


ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

C:\Documents and Settings\Valentina\Мои документы\Мои рисунки\фигурные числа.jpgC:\Documents and Settings\Valentina\Мои документы\Мои рисунки\фигурные числа2.jpg



фигурные числа13фигурные числа14

Приложение 2


Приложение 3

C:\Documents and Settings\Valentina\Мои документы\Мои рисунки\фигурные числа 11.jpgC:\Documents and Settings\Valentina\Мои документы\Мои рисунки\фигурные числа 12.jpg






Приложение 4

Конфеты Ferrero Rocher, 200г










Приложение 5

Набор конфет Птичье молоко 200г












Приложение 6

C:\Documents and Settings\Valentina\Мои документы\Мои рисунки\фигурные числа 5.jpgC:\Documents and Settings\Valentina\Мои документы\Мои рисунки\фигурные числа 3.jpg









Приложение 7

C:\Documents and Settings\Valentina\Мои документы\Мои рисунки\фигурные числа 10.jpgC:\Documents and Settings\Valentina\Мои документы\Мои рисунки\фигурные числа 8.jpgC:\Documents and Settings\Valentina\Мои документы\Мои рисунки\фигурные числа 16.jpg



Краткое описание документа:

Фигурные числа — общее название чисел, геометрическое представление которых связано с той или иной геометрической фигурой. Понятие фигурного числа было введено древнегреческими математиками, последователями учения Пифагора (пифагорейцами) в VI—IV вв. до н. э. Они предпочитали думать о числах, как о геометрических величинах.Таблицы могут быть не только прямоугольными или квадратными, но и иметь форму других геометрических фигур. Множество закономерностей, возникших при действиях с числами, были обнаружены древнегреческими учёными при изучении чертежей. И долгие века лучшим подтверждением справедливости таких соотношений считался способ геометрический, с прямоугольниками, квадратами, пирамидами и кубами. Древнегреческие учёные, комбинируя натуральные числа, составляли из них затейливые ряды, придавая элементам этих рядов то или иное геометрическое истолкование.
Автор
Дата добавления 16.05.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1058
Номер материала 105974051649
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх