Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Учебный проект «Фигурные числа»

Учебный проект «Фигурные числа»

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

hello_html_m4847d78a.gifhello_html_7dad8543.gifМУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ БЕЛОЯРОСКОГО РАЙОНА «ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ СРЕДНЯЯ (ПОЛНАЯ) ШКОЛА №3г. БЕЛОЯРСКИЙ»

Проект в номинации № 2 (математика)

Тема проекта:

«Фигурные числа»








Автор:


Панин Илья Игоревич


Класс: 7 б


Научный руководитель проекта:


Товстоног Елена Анатольевна


«Общеобразовательная средняя


(полная) школа № 3


г. Белоярский»


учитель математики












Белоярский

2013 – 2014 учебный год


Содержание


ВВЕДЕНИЕ

3

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

4

1.1. Из истории фигурных чисел

4

1.2. Формулы плоских фигурных чисел

7

1.3. Свойства фигурных чисел

8

1.4. Применение фигурных чисел в жизни человека

13

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

14

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

15

ПРИЛОЖЕНИЯ

16





















ВВЕДЕНИЕ


Давным - давно, помогая себе при счёте камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камушков. Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, получались прямоугольники. Можно выкладывать камни в три ряда: получаются числа, делящиеся на три и т.д. Числа - камушки можно раскладывать в виде правильных геометрических фигур, так возникли числа, которые сегодня называют фигурными.

Во время изучения обыкновенных дробей обратил внимание на то, что в учебнике математики есть небольшая историческая сводка о фигурных числах. Это и подтолкнуло меня к исследованию темы, целью которой, стало изучить свойства фигурных чисел и их использование в повседневной жизни.

В своей исследовательской работе я рассмотрел использование фигурных чисел не только в математике, но и в окружающей жизни.

Чтобы достичь этой цели, я исследовал дополнительную литературу и другие источники.

Цель работы: более глубоко изучить и исследовать одно из понятий математики – фигурное число, выявить его свойства и использование в повседневной жизни.

Задачи:

  1. Собрать по различным научным и учебным источникам материал по данной проблеме и проанализировать его.

  2. Рассмотреть историю возникновения фигурных чисел, их свойства и применение в жизни человека.


ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ



    1. Из истории фигурных чисел.



Фигурные числа — общее название чисел, геометрическое представление которых связано с той или иной геометрической фигурой. Понятие фигурного числа было введено древнегреческими математиками, последователями учения Пифагора (пифагорейцами) в VI—IV вв. до н. э.

Они предпочитали думать о числах, как о геометрических величинах. Произведение ab рассматривалось как площадь прямоугольника со сторонами a и b. В случае, если a и b – натуральные, произведение ab выражало число точек в прямоугольной таблице с a точками в строке и b точками в столбце. Например, число 20 выражает число точек в таблице с пятью строками и четырьмя столбцами (рис. 1).


hello_html_m4f2800d7.png

Рис. 1. Произведение чисел 5 и 4.


Числа, выражающие число точек в квадратной таблице, назывались квадратными. Например, квадратными числами являются 1, 4, 9, 16, 25, 36,…(рис. 2).


hello_html_m130a3217.png

hello_html_2f11b41e.gif

hello_html_55a9ecfa.gif

hello_html_m5f8ab231.gif

hello_html_77c00ce.gif

hello_html_24df3d45.gif

1

4

9

16

25

36

Рис. 2. Квадратные числа.


Таблицы могут быть не только прямоугольными или квадратными, но и иметь форму других геометрических фигур. Например, на рисунке 3 изображены треугольные числа, выражающие числа точек в треугольных таблицах.

hello_html_m130a3217.png

hello_html_m65b2ddd5.png

hello_html_m13f3e2b3.png

hello_html_40c78dda.png

hello_html_54353f6b.png

hello_html_45a60005.png

1

3

6

10

15

21

Рис. 3. Треугольные числа.


На рисунках 4 и 5 изображены пятиугольные и шестиугольные числа. Из этих рисунков видно, что пятиугольными числами являются 1, 5, 12, 22, 35, … , а шестиугольными – 1, 6, 15, 28, 45, 66,…


hello_html_m4c3a1946.png

hello_html_m7cf5df49.png

hello_html_m5a68c2ed.png

hello_html_m7e7c21ae.png

hello_html_353f3c2c.png

hello_html_m7ea977ef.png

1

5

12

22

35

51

Рис. 4. Пятиугольные числа.


hello_html_m4c3a1946.png

hello_html_m495b4371.gif

hello_html_74d1c8fe.gif

hello_html_m6b8677ad.gif

hello_html_m203206dc.gif

hello_html_689f7f84.gif

1

6

15

28

45

66

Рис. 5. Шестиугольные числа.


Уложив камешки в пространственную фигуру можно получить телесные фигурные числа (рис. 6).

Именно от фигурных чисел пошло выражение: «Возвести в квадрат или куб».

Множество закономерностей, возникших при действиях с числами, были обнаружены древнегреческими учёными при изучении чертежей. И долгие века лучшим подтверждением справедливости таких соотношений считался способ геометрический, с прямоугольниками, квадратами, пирамидами и кубами. Древнегреческие учёные, комбинируя натуральные числа, составляли из них затейливые ряды, придавая элементам этих рядов то или иное геометрическое истолкование.


hello_html_558f7701.gif

hello_html_6c52312b.gif

Рис. 6. Кубическое и квадратное пирамидальное числа.



    1. Формулы плоских фигурных чисел.



Рассматривая ряд, образованный треугольными числами легко заметить, что:

T1=1; Т2=3=1+2; T3=6=(1+2)+3,…, Tn=(1+2+…+(n1))+n= Tn-1+n (1), где Tn – значение треугольного числа с номером n, Tn-1. – значение треугольного числа с номером
(
n-1). Т.е. каждое следующее число получаем из предыдущего, увеличивая предыдущее на номер нового числа (таблица 1).


Таблица 1. Зависимость значения треугольного числа от его номера

число

hello_html_m130a3217.png

hello_html_m65b2ddd5.png

hello_html_m13f3e2b3.png

hello_html_40c78dda.png

hello_html_m4849666f.png

hello_html_m24d601cb.gif

Номер (n)

1

2

3

4

5

n

Значение (Тn)

1

3

6

10

15

Tn-1+n


Дополним Тn до квадратного числа (рис. 7).


hello_html_m2034d4fe.png

Рис. 7. Красным цветом обозначено исходное число Tn, зеленым его дополнение до квадратного (Tn-1).


Тогда (согласно рис. 7 и формуле (1)): hello_html_m717a7c94.gif.

Поэтому: hello_html_6e517b93.gif

Тогда: hello_html_m751e19c7.gif (2) – формула треугольного n - го треугольного числа.

Эту формулу открыли еще древние греки, а потом, независимо от них, согласно легенде, Карл Гаусс в возрасте 9 лет.

Для вывода формул других nx многоугольных чисел, древние греки, разбивали их на треугольные.

Рассмотрим вывод формулы для произвольного пятиугольного числа hello_html_58e25938.gif

Если разбить n – е пятиугольное число на три (n–1) треугольных, то останутся еще n камешков (см. таблицу 2).


Таблица 2. Зависимость Pn от Tn1.

Номер (n)

Tn

Pn

1

1

1

2

3

hello_html_m4ad188e8.gif

3

6

hello_html_7e267605.gif

4

10

hello_html_5a3d8c9e.gif

5

15

hello_html_m3c68d14b.gif

6

21

hello_html_m56767c14.gif

n1

hello_html_m6b464fd1.gif

n

hello_html_m3df763bb.gif

hello_html_meb366a2.gif


Т.е.: hello_html_m2b7ebda5.gif.

Аналогичным образом, используя только геометрические соображения можно получить формулы, для:

  • квадратных: hello_html_m12942cd1.gif;

  • пятиугольных: hello_html_699f858e.gif;

  • шестиугольных: hello_html_6749e095.gif

  • семиугольных: hello_html_m6510161a.gif

  • и произвольных k-угольных: hello_html_6201d26e.gif, чисел.

Где, hello_html_2f9b0199.gif- n-e квадратное число, hello_html_7cb20760.gif- n-e пятиугольное число, hello_html_m284f049a.gif- n-e шестиугольное число, hello_html_m6a255660.gif- n-e k-угольное число.


    1. Свойства фигурных чисел



Между фигурными числами имеется много интересных зависимостей. Так, например, древнегреческий математик Диофант (III век до н. э.) нашел зависимость между треугольными (Тn) и квадратными (K2n+1) числами: hello_html_m7db7aae4.gif.

Доказательство Диофанта приведено на рисунке 8, для квадратных чисел K7 и K9.


hello_html_m537add7b.gif

hello_html_fa59f5e.gif

Рис. 8. Связь между треугольными и квадратными числами.


Выделим среди точек каждого квадратного числа центральную, а остальные точки разобьем на группы, образующие восемь треугольных чисел T3 для K7 и T4 для K9.

В результате получаем равенства 8T3+1=K7 и 8T4+1=K9. В общем случае имеет место равенство:

hello_html_m7db7aae4.gif.

Следствие: Если nнечетное число, то hello_html_14252e2a.gif делится на 8.

Пьер Ферма обобщил формулу Диофанта и сформулировал, в 1637, так называемую «золотую теорему»:

  • Всякое натуральное число — либо треугольное, либо сумма двух или трёх треугольных чисел.

  • Всякое натуральное число — либо квадратное, либо сумма двух, трёх или четырёх квадратных чисел.

  • Всякое натуральное число — либо пятиугольное, либо сумма от двух до пяти пятиугольных чисел, и т.д.

Используя геометрический метод, разработанный древнегреческими учеными, можно доказать и формулы сокращенного умножения.

Докажем, чтоhello_html_690618ea.gif Для этого построим квадрат со стороной, и выделим в построенном квадрате, квадраты со стороной a и стороной b (рис. 9).


hello_html_m6c41e6fe.png

Рис. 9. Доказательство тождества hello_html_m19ea2f04.gif.


Тогда (согласно рис. 9): hello_html_m19ea2f04.gif, что и требовалось доказать.


Изучая фигурные числа, греки окрыли очень много свойств числовых последовательностей.

Рассмотрим произвольное квадратное число (рис. 10):

hello_html_35fcc496.png

Рис. 10. Разбиение квадратного числа на сумму нечетных чисел.

«Уголки» выделенные на рисунке одним цветом образуют ряд последовательных нечетных чисел, очевидно: 1+3+5+7+9+11=62.

Обобщив полученную зависимость получим:

hello_html_515f5159.gif (3) – формулу для суммы последовательных нечетных чисел.

Следовательно, квадрат любого натурального числа можно представить в виде суммы последовательных нечетных чисел, начиная с единицы.

Аналогичным образом можно получить формулу для суммы четных чисел. Для этого рассмотрим прямоугольную таблицу (рис. 11):


hello_html_m861b50f.png

Рис. 11. Разбиение прямоугольного числа на сумму четных чисел.


«Уголки» выделенные на рисунке одним цветом образуют ряд последовательных четных чисел, очевидно: hello_html_230a80d0.gif.

Обобщив полученную зависимость получим:

hello_html_m548ea3ed.gif (4) – формулу для суммы последовательных четных чисел.

Следствие: Произведение двух последовательных натуральных чисел можно представить в виде суммы последовательных четных чисел, начиная с двух.

Великие математики затратили немало усилий на изучение свойств фигурных чисел.

Обобщением «золотой теоремы» стала Великая (или Последняя) теорема Ферма:

  • Для любого натурального числа hello_html_m11c8cf80.gif уравнение hello_html_m445ed6a2.gif не имеет решений в целых не нулевых числах a, b, c.

Которая на протяжении более трех веков будоражила умы математиков во всем мире, и только в 1995 году была окончательно доказана английским математиком Эндрю Джоном Уайлсом.

    1. Применение фигурных чисел в жизни человека



Мы не задумываемся о том, что ежедневно встречаемся с фигурными числами. А ведь это так просто и интересно.

  • При изучении формулы площади прямоугольника используется понятие плоского числа, которое представляется виде произведения двух сомножителей – длины и ширины.

  • При вычислении объёма прямоугольного параллелепипеда применяется понятие телесного числа, выражаемого произведением трёх сомножителей – длины, ширины и высоты.40Г КОНФЕТЫ РАФАЭЛЛО, Цена за 16 шт.

  • Упаковка конфет в форме линейного числа

  • На параде солдаты стоят правильными рядами, образуя квадраты или прямоугольники (плоские числа). (Приложение 1)

  • Во время различных праздников мы видим показательные выступления лётчиков. Самолёты в воздухе образуют треугольные или другие фигурные числа. (Приложение 2)

  • Треугольные числа можно встретить в самых обычных местах (Приложение 3)

  • Фигурные числа встречаются при упаковке различных товаров в коробки и другие ёмкости.

  • Телесные числа используются при упаковке конфет, консервных банок, блокнотов, тетрадей, ручек и др. в различные ёмкости. (Приложение 4)

  • Плоские числа тоже часто используются при упаковке конфет, растительного масла, лимонадных бутылок … (Приложение 5)

  • К фигурным числам можно отнести пирамидальные числа, которые получаются, если шарики складывать пирамидкой. Как раньше складывались ядра у около пушки. (Приложение 6)

  • Используя различные фигурные числа как телесные, так и пирамидальные , укладывают товар на прилавке, конфеты в различные упаковки, украшают праздничный стол и т.д. (Приложение 7)


ЗАКЛЮЧЕНИЕ



А зачем все это? И действительно — зачем? Чему автор хотел научить, какие проблемы поднял?

Могу ответить лишь в духе Ноздрева: очень уж интересные подробности открылись! Да и так ли уж обязательно непременно чему-то учить? Нужна ведь и просто «гимнастика ума», а если она может немного развлечь — тем лучше!

В процессе работы по данной проблеме я добился цели, поставленной в начале исследования: изучил и исследовал фигурные числа.

Подводя итог работы, пришёл к выводу об актуальности данной темы. Невозможно представить современную жизнь без фигурных чисел, они вокруг нас, мы живем среди них. Значит - это кому-нибудь нужно.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ



    1. Виленкин Н.Я. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.- М.: Мнемозина, 2008.

    2. Волошинов А.В. Пифагор: Союз истины, добра и красоты. – М.: Просвещение, 1993.

    3. Энциклопедический словарь юного математика/ Составитель А.П.Савин. – М.: Педагогика, 1985


ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

C:\Documents and Settings\Valentina\Мои документы\Мои рисунки\фигурные числа.jpgC:\Documents and Settings\Valentina\Мои документы\Мои рисунки\фигурные числа2.jpg



фигурные числа13фигурные числа14

Приложение 2


Приложение 3

C:\Documents and Settings\Valentina\Мои документы\Мои рисунки\фигурные числа 11.jpgC:\Documents and Settings\Valentina\Мои документы\Мои рисунки\фигурные числа 12.jpg






Приложение 4

Конфеты Ferrero Rocher, 200г










Приложение 5

Набор конфет Птичье молоко 200г












Приложение 6

C:\Documents and Settings\Valentina\Мои документы\Мои рисунки\фигурные числа 5.jpgC:\Documents and Settings\Valentina\Мои документы\Мои рисунки\фигурные числа 3.jpg









Приложение 7

C:\Documents and Settings\Valentina\Мои документы\Мои рисунки\фигурные числа 10.jpgC:\Documents and Settings\Valentina\Мои документы\Мои рисунки\фигурные числа 8.jpgC:\Documents and Settings\Valentina\Мои документы\Мои рисунки\фигурные числа 16.jpg



Краткое описание документа:

Фигурные числа — общее название чисел, геометрическое представление которых связано с той или иной геометрической фигурой. Понятие фигурного числа было введено древнегреческими математиками, последователями учения Пифагора (пифагорейцами) в VI—IV вв. до н. э. Они предпочитали думать о числах, как о геометрических величинах.Таблицы могут быть не только прямоугольными или квадратными, но и иметь форму других геометрических фигур. Множество закономерностей, возникших при действиях с числами, были обнаружены древнегреческими учёными при изучении чертежей. И долгие века лучшим подтверждением справедливости таких соотношений считался способ геометрический, с прямоугольниками, квадратами, пирамидами и кубами. Древнегреческие учёные, комбинируя натуральные числа, составляли из них затейливые ряды, придавая элементам этих рядов то или иное геометрическое истолкование.

Общая информация

Номер материала: 105974051649

Похожие материалы