Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Научно-исследовательская работа Олимпийское движение и математика
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Научно-исследовательская работа Олимпийское движение и математика

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ проектОлимпийское движение и математика.docx

библиотека
материалов

РЕГИОНАЛЬНЫЙ ЭТАП XI ВСЕРОССИЙСКОГО ДЕТСКОГО КОНКУРСА
НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ И ТВОРЧЕСКИХ РАБОТ
«ПЕРВЫЕ ШАГИ В НАУКЕ»









Секция: информационные технологии, математика


Тема: Олимпийское движение и математика









Автор: Яковлева Мария , ученица 8 «Б» класса



Научный руководитель: Бершанская О.Д.



Место выполнения работы: МБОУ «СОШ№4 г. Новый Оскол Белгородской

области»










2014


Содержание


Введение………………………………………………………………………………...……....................1
Цель исследования.………………………………………………………………………………………..1
Гипотеза……………………………………………....................................................................................1
Задачи исследования………………………………...................................................................................1
Методы исследования……………………………………………………………………...……………..1
Из истории Олимпийских игр…………………………………………………………………..….…….2
Из истории математики……………………………...................................................................................3
Братья Гриттинджер………………………………………………………………………………………4
Применение математики в различных видах спорта…………………………………………….……...5
Математические задания про Олимпийские игры..…………………………………………………….7
Невероятные случаи на Олимпийских Играх…………………………………………………………..8

Выводы……………………………………………………………………………………………….…….9
Литература…………………………………………………………………………………………….….10















Введение

Ни одно человеческое исследование

не может называться истинной

наукой, если оно не прошло через

математические доказательства.

Леонардо да Винчи

Одно из актуальных важных событий нашей страны - 22 зимние олимпийские игры. Мы восхищаемся ярким открытием олимпиады, болеем за наших спортсменов, радуемся их достижениями. Многие учащиеся смотрят Олимпийские игры и изучают математику, но об их взаимосвязи редко кто задумывается, а еще меньше тех, кто пытался найти решение этой непростой загадки.

Я очень люблю математику, и мне интересно знать историю олимпийского движения. Для меня эти данные темы кажутся очень заманчивыми и актуальными. Поэтому тема моего исследования «Олимпийское движение и математика».


Цель исследования: выяснить, как связаны олимпийское движение и математика

Гипотеза: Если знать и правильно применять познания в математике, то можно достичь высот в спорте.

Задачи:

1.Обобщить знания о взаимосвязи математики и олимпийского движения.

2.Привести примеры взаимодействия математики и олимпийского движения.

3.Рассказать о самых интересных событиях олимпийского движения.

4.Придумать ряд задач на материале данной темы.


Методы исследования:

1.изучение литературы;

2.использование информации из Интернет-ресурсов;

3.обобщение найденного материала.











Из истории Олимпийских игр

Олимпийские игры начинались как соревнования местного значения и первые из них состоялись в 776 году до н. э. Притом рабы и варвары на стадионы не допускались, участвовать в соревнованиях могли только граждане Греции. Но со временем в Олимпию стало съезжаться множество атлетов не только из самой Греции, а и из городов-колоний от Средиземного до Черного морей. Это случилось, когда Эллада попала в подчинение к Риму. Во времена могущества Римской империи участниками Игр становились даже ее императоры. Так, например, Нерон выиграл скачки на колесницах, запряженных 10 лошадьми. Правда, эту победу можно назвать лишь условной: вряд ли кто-то рискнул бы опередить всесильного тирана.

Олимпийские игры Древней Греции представляли собой религиозный и спортивный праздник, проводившийся в Олимпии. Сведения о происхождении игр утеряны, но сохранилось несколько мифов, описывающих это событие. Из истории к нам дошло множество документов, строений и скульптур того периода. Если внимательно присмотреться, то заметим, что все статуи того периода показывают тела людей и не просто любые тела, а красивые. В тот период истории был распространен культ красивых форм для строений и культ красивых тел. «В здоровом теле здоровый дух»,—так можно описать одну из идей и причин появления таких красивых скульптур. Занятия спортом и спортивные соревнования начались уже в этом древнем периоде. Победителей на соревнованиях почитали, как героев на войне. Первое документально подтверждённое празднование относится к 776 году до нашей эры. Они были учреждены Гераклом, хотя известно, что игры проводились и раньше. На время проведения игр объявлялось священное перемирие (έκεχειρία), в это время нельзя было вести войну, хотя это неоднократно нарушалось. Олимпийские игры существенно потеряли своё значение с приходом римлян. После того, как христианство стало официальной религией, игры стали рассматриваться как проявление язычества, и в 394 году н. э. они были запрещены императором Феодосием I.

Но, не смотря на то, что на стадион стали допускаться не только граждане Греции, женщины по-прежнему к играм не допускались. Однако гречанка Стамата Ревихти, по прозвищу Мельпомена, захотела участвовать в марафоне. Ей отказали, и тогда она одна пробежала дистанцию на следующий день после официального забега. В завершение пробега она обежала вокруг Мраморного стадиона, так как ей даже запретили вбегать на его территорию. Женщин на олимпийский стадион стали допускать только в Олимпийских играх современности.

Кстати, уже во времена античности определились олимпийские этические нормы. Одним из важнейших принципов была честность спортсмена. На открытии Игр участники давали клятву соблюдать правила (эта традиция сохранилась до наших дней). Чемпиона имели право лишить титула, если он побеждал мошенническим путем. К олимпийским соревнованиям не допускались лица, совершившие преступления или святотатство.

Феодисий I, запретивший Игры

И все, вобщем то, было хорошо, Игры развивались, набирали силу на протяжении 11 веков. Но в 394 году император Феодосий I назвал их «пережитком язычества» и запретил. Тогда государством была поставлена цель, искоренить языческие культы и религии — разрушались храмы богов, библиотеки, было запрещено преподавание математики.

С тех пор прошло ни много ни мало 1500 лет. И только в 1896 году, благодаря французу Пьеру де Кубертену, состоялась первая современная олимпиада. Всего на данный момент олимпиады проводились в 21 стране, рекордсменами из которых являются США (8 раз), Франция (5 раз).

Сейчас Олимпийские игры проводятся каждые четыре года, раньше проходили раз в восемь лет, но из-за сложности организации соревнований (одновременно зимняя и летняя олимпиада) разбили на отдельные части раз в четыре года.

Из истории математики.

Слово «математика» происходит от греч. μάθημα — наука, учение, в свою очередь происходящего, вместе с имеющим одно с ним значение словом μάθησις, от глагола μανθάνω, первоначальное значение которого, «учусь через размышление», устанавливало строгое разграничение между выражаемым им понятием и понятием учения путём опыта. Математика, по обычным, установившимся с давнего времени, взглядам, есть наука о величинах, предмет которой состоит в измерении величин, или, согласно с поправкой, внесённой Огюстом Контом, в непрямом измерении величин. Такое определение если и может считаться удовлетворительным, то только для отдалённого прошлого, когда задачи математики не шли далее практических искусств счёта и измерения протяжений. Но уже с IV века до н.э. практическая арифметика, под именем «логистики», и практическая геометрия, в форме землемерия, потеряли почти всякий интерес в глазах математиков Древней Греции, и на первый план выдвинулись для них изучение свойств протяжений, или теоретическая геометрия, и в меньшей степени изучение свойств чисел, или, по терминологии нашего времени, теория чисел.

Развитие математики началось с создания практических искусств счёта и измерения линий, поверхностей и объёмов. Началом этого развития можно считать появление у первобытного человека определённого представления о единице и неопределённого представления «множества». Последующее развитие первобытного счисления состояло в последовательном выделении из неопределённого представления множества понятий об отдельных целых числах — до пределов, которые определялись у различных народов самыми разнообразными обстоятельствами. В целом ход первоначального развития счисления долгое время затруднялся неумением первобытного человека отделять числовое представление от конкретного представления о группе предметов. Вследствие этого счёт долгое время оставался только вещественным. На исключительно большую величину промежутка времени, в течение которого выделялось представление числа три, указывает факт существования во многих языках грамматической формы двойственного числа (греческий, иврит). Предполагается, что на момент образования этих форм носители соответствующих языков при счёте оперировали только понятиями «один», «два» и «много». К этому же громадному промежутку времени восходят начало развития счисления дробей и связанное с ним первое образование системы счисления. Первой дробью, с которой познакомилось человечество, была половина. Вслед за ней постепенно выходили на свет сознания и ближайшие к ней другие дроби двоичной системы: половина могла быть, в свою очередь, разделена на две полполовины и т. д., в пределах практического употребления. (Примером подобного образования дробей двоичной системы является древнерусская система земельных мер: землемерные рукописи и официальные акты по землемерию допетровской эпохи доходили в образовании этих дробей до 8, 9 и даже 10 повторений приставки пол- к слову половина).
Разнообразие готовых форм, используемых человеком в качестве орудий для счёта, нашло удобное упрощение в пальцах рук — «группе однородных предметов», постоянно находящейся в его распоряжении. Наблюдения над пальцевым счётом современных дикарей обнаружили трудность перехода от счета на одной руке к операциям с числами больше пяти. Настоящим прорывом стала мысль освобождать занятые выражением числа 5 пальцы одной руки с помощью употребления особого мнемонического знака: камня, щепки, царапины и т.п. Т.е. возникла пятеричная система счисления и положено начало развитию письменности.

Братья Гриттинджеры

Братья Гритинджеры одни из тех, кто смог применить математические знания для подсчета Олимпийских медалей.Американские ученые попытались выяснить распределение олимпийских медалей с помощью математических моделей с учетом параметров стран-участников игр.
Братья Тим и Дэн Греттинджеры, специалисты компании Discovery CorpsInc., взяли в расчет площадь государства, ВВП на душу населения, общая стоимость экспорта, географическая широта. Согласно результатам подсчетов Греттинджеров, первое место в медальном зачете Олимпиады в Сочи займет сборная США с 29 наградами, сообщает Smithsonianmag.com. 
Дэн Греттинджер первым из братьев заинтересовался математическими расчетами медального зачета в период зимних Олимпийских игр в Ванкувере. Настоящую математическую модель браться разработали для Летних Олимпийских игр 2012 года в Лондоне. Греттинджеры собрали показатели стран-участниц Игр: география, история, религия, показатели благосостояния и политическое устройство. Затем братья проанализировали переменные, которые были связаны со статистическими данными о медалях на предыдущих Олимпиадах.В результате Греттинджеры нашли связь с показателями стран-участниц соревнований с распределением медалей по странам во время летних Олимпийских игр в 2004 и 2008 гг. Братьям удалось вычислить страны, победившие в Олимпиаде, но не общее число наград каждого государства.
Для Олимпиады в Сочи Греттинджеры адаптировали свои математические расчеты. Они выявили факторы, с помощью которых вычислили 90% стран, никогда не получавших олимпийские медали. Речь идет о таких факторах: коэффициент миграции, число врачей на душу населения, географическая широта, ВВП и, собственно,  сведения о получении прошлых олимпийских наград. Братья взяли данные прошлой зимней Олимпиады - вышло совпадение на 96,5%.
Греттинджеры предупреждают, что их математическая модель вовсе не совершенна. Они называют свои расчеты “видом с птичьего полета“ и признаются, что есть факторы, объяснить которые они не могут. Несмотря на некоторые сомнения, братья уверены, что их расчеты имеют довольно высокую точность. Согласно методу Греттинджеров, страна-хозяйка Олимпиады собирает больше медалей, чем обычно. 

Ранее математический расчет вероятности без учета данных спортсменов на Олимпиаде предлагал профессор экономики из Колледжа Колорадо Дэниел Джонсон. По результатам Игр в 2000-2008 годах, его прогноз совпал с реальностью на 94%. Для сочинской Олимпиады профессор расчетов не сделал.

Применение математики в различных видах спорта.
Я заметила, что математика широко используется в различных видах спорта и это не только длина

И высота прыжка, скорость и время пробега!

1) Математика и лыжи.  При планировании тренировочного процесса, в обязательном порядке производится математический расчет различных видов тренировок. Не проводя математического моделирования той или иной тренировки, нельзя давать нагрузку спортсмену, так как в процессе учитываются: рост, вес, возраст, частота сердечных сокращений в минуту, показатели артериального давления, степень подготовленности спортсменов и многое другое. Только правильно спланированный и примененный тренировочный план не наносит вреда здоровью спортсмена и позволяет им приобрести хорошую физическую форму и добиться значимых спортивных результатов.

2) Группа исследователей установила, что спринтерские качества спортсмена зависят от длины его пятки. В своей работе ученые показали, что чем меньше расстояние между лодыжкой и ахилловым сухожилием, тем эффективнее используется энергия при беге. Ахиллово сухожилие расположено на задней стороне лодыжки и соединяет мышцы икры с пяткой. Исследователи предположили, что эффективность использования энергии при беге зависит от того, сколько энергии может быть запасено в сухожилии. Когда нога бегуна ударяется об землю, сухожилие сокращается, запасая энергию, которая высвобождается при подъеме ноги от поверхности.
Используя математическую модель ноги, ученые показали, что количество запасаемой энергии в первую очередь зависит не от механических свойств сухожилия, а от расстояния от лодыжки до сухожилия. Чем оно меньше, тем меньше энергии требуется спортсмену для того, чтобы бежать с той же скоростью.

3) Левши имеют преимущество при игре в бейсбол. Такое заключение сделали американские ученые после обработки статистических данных об игроках и анализа правил этой игры. Пресс-релиз их работы опубликован на сайте Университета Вашингтона в Сент-Луисе.
4) Бейсбол издавна привлекал внимание спортивных и деловых кругов. Именно поэтому был накоплен значительный объем статистических данных, который позволил некоторым специалистам сделать заключения о качестве игры команды (среднее число результативных подач в зависимости от мастерства подающего и ловящего игроков, закон распределения попаданий.). Для игры в бейсбол была построена с помощью теоретико-вероятностного метода Монте-Карло имитационная модель.

5)Расчет скорости важен и в беге. На коротких, или спринтерских, дистанциях бег ведется с наивысшей скоростью. Самое слово «спринт» означает скорость. Спринтерские дистанции бывают в 60, 100, 200 и 400 метров. Основой всех видов бега служит стометровая дистанция. Недаром легкоатлеты называют ее труднейшим экзаменом на спортивное мастерство.
6)Скорость бега нарастает с каждой секундой. Наивысшей она становится на двадцатом метре. Если бы с такой скоростью можно было бежать всю дистанцию от старта до самого
финиша, то мировой рекорд был бы 9,4 секунды
на 100.
7) Проблемами судейства и подобными ему, так называемыми экспертными оценками занимается прикладная математика. Обязательная программа требует исполнения трех
определенных фигур из числа предусмотренных чемпионатами. Каждая фигура (петля, скобка, параграф и т.д.) оценивается по шести бальной шкале: от нуля баллов за невыполнение фигуры –до шести баллов за ее безукоризненное выполнение. Оценка обязательных упражнений учитывает не только совершенство рисунка, оставленного на льду коньками фигуриста, но также исполнение фигуры в целом (уверенность скольжения, естественность движений, грациозность и т.д.)
8) Корейские ученые просчитали, каким образом необходимо изменить поверхность шара для игры в гольф, для того что бы он чаще попадал в лунку.
Маятник признали идеальным игроком в гольф Идеальный удар клюшкой по шару для гольфа лучше всего описывается математической моделью маятника. К такому выводу пришел математик, анализировавший характеристики ударов, выполняемых игроками мирового класса
9) Чтобы одержать победу в конькобежном спорте,
необходимо произвести сложный расчет, составить график бега, заранее решить, за сколько секунд следует пройти круг, два круга, когда подойти к финишу. Иногда будет казаться, что ты обманул время. Чувствуя избыток сил, надо пробежать первые сотни метров быстрее, чем было намечено по графику. Но зато на последние десятки метров сил наверняка не хватит.

10) В атлетике крайне важны арифметические расчеты при разбеге прыгуна в длину для максимально четкого попадания «шиповкой» на планку отталкивания. Так же крайне важным арифметическим попаданием является степень упругости шеста у прыгунов в высоту.
Математические задания.

Я составила несколько математических задач связанных с Олимпийскими играми. Для тех, кто любит математику и Олимпийские игры или хочет узнать что-то новое будет интересно решить эти задания!

1.Найдите значение выражения (22*2014-442900):10 и узнайте вес факела Сочи 2014
(1.8кг)
№2.Найдите значение выражения 2014:2*3-2541-479,05 и узнайте высоту факела Сочи 2014 (0.95м)
№3 Из чисел 1, 4 и 3 составьте самое маленькое трёхзначное число и вы узнаете в скольких областях России был факел Сочи 2014. (134)

4 Решите два уравнения, поставьте на первое место меньший ответ, и вы узнаете в коком году проводились первые современные Олимпийские игры: 1)(х-9)*2=(10-7)*6+100*0

2).х-6=(30+20)*1.8(1896год)
№5 Решите этот пример и узнайте сколько комплектов медалей разыгрывалось на Олимпиаде Сочи 2014. 14/3:7/27+(100–10–2:1/5) (98)

6 В каком году были проведены первые современные Олимпийские игры, если известно, что первые игры были проведены в 776 году до нашей эры, а разница между ними 2672 года?
(1896год)
№7 Количество медалей на олимпиаде в Сочи по сравнению с олимпиадой в Ванкувере увеличено на 12 комплектов и достигло 98. На сколько процентов возросло количество медальных комплектов?(примерно14%)
Работая над данной темой я предложила учащимся 5-7 классов решить задачи олимпийской тематики:

Задачи №1.На олимпиаду в Сочи аккредитовано 14 тыс. представителей прессы и фотографов. Сколько самолетов типа ТУ-154 потребуется для их перевозки, если вместимость одного самолета 220 человек?

2Эстафета олимпийского огня продлится 123 дня и будет самой протяжённой в истории олимпиад-65тыс. км. Какова средняя скорость движения факелоносцев?

3Олимпийский огонь должен побывать на космической станции. Средняя высота полёта станции над поверхностью Земли 320 км. Радиус Земли – 6400 км. Период обращения станции вокруг Земли 90 минут. Вычислите линейную скорость станции ( в км/с).

4Количество медалей на олимпиаде в Сочи по сравнению с олимпиадой в Ванкувере увеличено на 12 комплектов и достигло 98. На сколько процентов возросло количество медальных комплектов?

5Олимпийский стадион « Фишт», на арене которого пройдут церемонии открытия и закрытия олимпиады 2014 года, находится на горе Фишт, которая возвышается над уровнем моря на 2857 метров. Склон горы расположен под углом 300 к горизонту. Какой длины могла бы быть трасса фуникулёра для подъёма на вершину горы.

Проанализировав результаты решения задач необходимо отметить: необходимость знаний математики, для того чтобы добиться результатов в спорте.

Невероятные случаи на Олимпийских играх.

Победа легкоатлета из Люксембурга Джози Бертела на дистанции 1500 метров на Олимпийских Играх 1952 года оказалась такой неожиданностью, что власти не позаботились о наличии записи гимна столь крошечного государства. Мелодия была сымпровизирована группой музыкантов – настолько неудачно, что стоящему на пьедестале чемпиону не оставалось ничего, кроме как обхватить голову руками и заплакать Австралийский гребец Генри Пирс проявил гуманность на Олимпиаде 1928 года, пропустив в четвертьфинале стаю птиц, переплывающих водоем. В финале спортсмен все же выиграл заплыв и завоевал золото.
Участники скачек с препятствием в играх 1932 года были вынуждены сделать лишний заезд, так как судья сбился со счёта, Американская гольфистка Маргарет Эббот завоевала золото на Играх 1900 года в Париже при весьма странных обстоятельствах. Вместе с матерью она приехала в Париж на всемирную выставку – по стечению обстоятельств это мероприятие проходило одновременно с Играми. Маргарет приняла участие в турнире по гольфу и одержала победу, искренне считая, что состязание проводилось в рамках выставки. Она отбыла в США, так и не осознав, что стала первой в истории американской золотой медалисткой.
Австралийская пловчиха Дон Фрейзер, выиграла заплыв в трёх Олимпиадах подряд, в 1964 году была дисквалифицирована на 10 лет за попытку переплыть ров и украсть олимпийский флаг из дворца императора Хирохито. Несмотря на то, что спортсменка была в нетрезвом состоянии, у себя на родине она стала человеком года. Итальянский бегун-марафонец Карло Айрольди отправился из Милана на Олимпиаду 1896 года в Афины пешком. Ежедневно он проделывал 70 км пути, преодолевая территории Австро-Венгрии, Турции и Греции. Прибыв в столицу Олимпиады 1896 года через 28 дней тяжёлого путешествия, итальянец узнал, что не может принять участие в соревнованиях, поскольку получил денежное вознаграждение за победу в забеге Милан–Барселона, с тех пор он не может считаться бегуном-любителем.
Выводы.
Пока я делала свою научно-исследовательскую работу, я поняла, что спорт и математика тесно связаны друг с другом от мелочей до более серьезных расчетов.
Мы уже привыкли к тому, что в спорте используются длина и высота прыжка, скорость и время пробега и т.д., но мало кто задумается что это математика. Если даже такие элементарные подсчеты ведутся с помощью математики, то что говорить о расписании нагрузок спортсмена (не проводя математического моделирования той или иной тренировки, нельзя давать нагрузку спортсмену), подсчётах баллов. С помощью математики смогли просчитать, каким образом необходимо изменить поверхность шара для игры в гольф, для того что бы он чаще попадал в лунку, ученые показали, что чем меньше расстояние между лодыжкой и ахилловым сухожилием, тем эффективнее используется энергия при беге. Во многих видах спорта, где требуется не только количественная, но и качественная оценка достижений (художественная и спортивная гимнастика, прыжки в воду, фигурное катание) итоговые результаты непосредственно связаны с математической обработкой данных. Да и количественная оценка проходит обязательную математическую обработку, с тем чтобы исключить неравенство спортсменов (скорость достижения сигнала старта) и влияние посторонних факторов (сила и направление ветра, температура воздуха и влажность).
Так как во время олимпиады присутствует порядок и мера, математика для нее не может быть посторонней наукой. Собранный мною материал может быть использован для занятий математического кружка, тематических декад. Этот материал могут применять учителя физической культуры при выстраивании личной траектории учащихся во время занятий физической культурой и с целью повышения эффективности тренировочного процесса.

Эта работа помогла мне расширить свои знания в исследуемых областях, и я смогла убедиться в том, что все в этом огромном и сложно познаваемом мире тесно взаимосвязано.






Литература.

1. Твой Олимпийский учебник (Отв. Редактор Родиченко В.С.), 3-е допол. Издание. – М.: «Советский спорт», 2010.

2. Агеевец В.У., Поликарпова Г.М. Олимпийские игры – из прошлого в будущее. – С.-

Петербургская гос. Академия физической культуры им. П.Ф. Лесгафта, С.-Петербург,

2006
3. Малов В.И. 100 великих олимпийских чемпионов / В. Малов. – М.: Вече, 2006. – 480 с.

(100 великих).

4. Садовский Л.Е., Садовский А.Л. Математика и спорт. – М.: Наука. Главная редакция

физико-математической литературы, 1985. – 193 с. – (Библиотека «Квант». Вып. 44).

100 великих спортсменов/Берт Рендольф Шугар. – М.: Вече, 2003. – 423 с («100

великих»)

5.http://lenta.ru/news/2008/10/13/heel
6.http://msuathletics.ru/books/sprint/sprint_technique.html

















Краткое описание документа:

                                                                      Одно из актуальных важных событий нашей страны - 22 зимние олимпийские игры. Мы восхищаемся ярким открытием олимпиады, болеем за наших спортсменов, радуемся их достижениями. Многие учащиеся смотрят Олимпийские игры и изучают математику, но об их взаимосвязи редко кто задумывается, а еще меньше тех, кто пытался найти решение этой непростой загадки.       Я очень люблю математику, и мне  интересно знать историю олимпийского движения., поэтому для меня эти данные темы кажутся очень заманчивыми и актуальными. Поэтому тема моего исследования   «Олимпийское движение и математика».             Цель моего исследования – выяснить ,как связаны олимпийское движение и математика.      
Автор
Дата добавления 16.05.2014
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров666
Номер материала 106134051608
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы
КВН
16.05.2014
Просмотров: 286
Комментариев: 0

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх