Теорема синусов         

 

Теорема косинусов          

 

Периметр и полупериметр треугольника 

Площадь треугольника     

 

Равносторонний треугольник   

 

Прямоугольный треугольник  

 

 

 

 

Площадь параллелограмма.

 

 

Связь между сторонами и диагоналями параллелограмма.

 

Прямоугольник.

 

 

Ромб.

 

 

Квадрат.

 

Трапеция.

 

 

 - длина окружности

 

 

 - длина дуги

 

 

 - площадь круга

 

                                  

 - площадь кругового сектора

 

 

 -  площадь кругового 

                                        сегмента.

 

 

 

Свойства тригонометрических функций:

 

 

Таблица значений тригонометрических функций некоторых углов:

 

функция	аргумент
	0
sin	0				1	0	-1
cos	1				0	-1	0
tg	0		1		-	0	-
ctg	-		1		0	-	0

 

Связь между градусной и радианной мерами измерения угла:

1⁰=рад.

                                           

Формулы, связывающие тригонометрические функции одного и того же аргумента:

 

Формулы двойного угла:

 

Формулы понижения степени:

 

Формулы сложения аргументов:

 

 

 

Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

 

                                         

 

 

 

    1. а+ в=в+а(переместительное)

    2. (а+в)+с=а+(в+с)

                                                                                (сочетательное)

    3. а+0=а                    (свойство нуля)

 

 

           

 

    1.а-(в+с)=а-в-с

                                                          (вычитание суммы чисел из числа)            

      2.(а+в)-с=(а-с)+в=а+(в-с)

                                   (вычитание числа из суммы чисел)

      3. а-0=а        (свойство нуля)

        4. а-а=0

 

 

1. ав=ва (переместительное)

                 2. (ав)с=а (вс)

                                                                          (сочетательное)

3. (а+в)с=а с+в  с        

     

                                                                                               (распределительное)

                           4. (а-в)с=ас-вс

                                                                   (распределительное)

      5. а1=а     (свойство единицы)

               6. а0=0     (свойство нуля)

 

                               7. а=1     (свойство обратных чисел)

 

 

 

1.(ав):с=а(в:с)=(а:с)в

                                               (деление произведения на число)

                 2. (а+в)с=а:с+ в:с

                                                                          (деление суммы на число))

3. (а-в):с=а :с-в : с        

     

                                                                                               (деление разности на число)

                           4. а:(вс)=(а:в):с=(а:с):в

                                                                   (деление числа на произведение)

      5. а:1=а; 0:а=0,если а0   

               6. а:а=1; если а0        

 

                              

2	3	5	7	11	13	17	19	23	29
31	37	41	43	47	53	59	61	67	71
73	79	83	89	97	101	103	107	109	113
127	131	137	139	149	151	157	163	167	173
179	181	191	193	197	199	211	223	227	229
233	239	241	251	257	263	269	271	277	281
283	293	307	311	313	317	331	337	347	349
353	359	367	373	379	383	389	397	401	409
419	421	431	433	439	443	449	457	461	463
467	479	487	491	499	503	509	521	523	541
547	557	563	569	571	577	587	593	599

 

 

    B                          C           1. Прямоугольник имеет все свойства

                                                   параллелограмма.

   A                            D           2. Все углы прямые. A=B=C=D=

3.Диагонали прямоугольника равны. AC=BD.

                                                4. Квадрат диагоналей прямоугольника 

          d       dd          b         равен сумме квадратов двух соседних сторон

                a                             

5. Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме соседних сторон.  P=2(a+b)

6.                              Вокруг любого прямоугольника можно описать               

                                 окружность. =.

 

7. Площадь прямоугольника равна:

·       произведению его сторон  S=ab.

·       полупроизведению квадрата диагоналей на синус угла между ними     

 

 

 

         B                        C    1. Противоположные стороны равны и

                                     b      параллельны. Противоположные углы                               

     A          aa           D          равны.     

 

2. Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

 

 3.Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его четырех  

  сторон:   

 

 4. Площадь параллелограмма равна:

·      произведению его стороны на высоту, опущенную на эту     

               сторону: 

·      произведению двух его соседних сторон на синус угла между ними:

·      полупроизведению его диагоналей на синус угла между ними:   

 

 

                                      B                            1. Все стороны ромба равны.

                                                    2.Диагонали ромба перпендикулярны

       A                               C         3. Диагонали делят углы ромба

                                                пополам.

                           D                        4. Высоты ромба равны.

    5. Площадь ромба равна:

·  произведению стороны и высоты ромба

·      произведению квадрата его стороны на синус угла ромба

·     полупроизведению его диагоналей

·     удвоенному произведению стороны на радиус окружности, вписанной в ромб

                                                            

 

                                                 a

Д Е Й С Т В И Я   С  К О Р Н Я М И

	АРИФМЕТИЧЕСКИМ КОРНЕМ - ой степени из неотрицательного числа  называется неотрицательное число b, для которого
		при       Например:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ

 

 

 

 

 

 

 

 

1.          Вынесение общего множителя за скобки выполняется по распределительному  закону:

               

2.          Группировка. Для этого надо объединить в группы те члены, которые имеют общие множители, и вынести общий множитель за скобки в каждой группе:

              

Применение формул сокращенного умножения позволяет разложить многочлен на множители:

	Разность квадратов
	Квадрат суммы
	Квадрат разности
	Разность кубов
	сумма кубов
	Куб суммы
	Куб разности

              

К В А Д Р А Т Н Ы Е  У Р А В Н Е Н И Я

 

	Уравнение вида  где  - некоторые числа (),- переменная, называется квадратным уравнением.
	Формула корней квадратного уравнения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для решения уравнения следует вычислить дискриминант

 

Значение	Количество решений уравнения
	Одно решение
	Два решения
	Нет решений

 

 

Квадратный трехчлен  можно разложить на множители следующим образом: решим квадратное уравнение  и найдем корни этого уравнения  и . Тогда

Разложение квадратного трехчлена на множители

 

 

 

 

 

 

 

	Пример Разложить на множители выражение		Решаем уравнение		Находим корни уравнения		Ответ:

 

 

 

                               

 

 

 

 

ПРИВЕДЕННОЕ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ

 

	Уравнение вида  где , называется п р и в е д е н н ы м      к в а д р а т н ы м   у р а в н е н и е м.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение приведенного квадратного уравнения можно быстро найти, используя теорему Виета.

 

Теорема Виета

	Сумма корней приведенного квадратного уравнения      равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
			Пример.   Решить уравнение                   подбираем значения:

 

 

 

 

 

 

 

 

                                     

 

 

 

	Квадратный трехчлен     можно разложить на множители
		Если    уравнение примет вид:         Решение:
		Если     уравнение принимает вид   Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д Е Й С Т В И Я   С   Н Е Р А В Е Н С Т В А М И

 

1. Неравенства одинакового смысла можно почленно складывать.	a>b                     +  c>d                 --------                    a+c>b+d
2. Неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать, оставляя знак того неравенства, из которого производится вычитание.	a<b                 +                     c>d                ------------                  a-c>b-d
3. Неравенства одинакового смысла с положительными членами можно почленно умножать.	Если                 a>b>0, c>d>0,           то   ac>bd.
4. Обе части неравенства с положительными членами можно возводить в одну и ту же натуральную степень или извлекать корень одной и той же степени.	Если     a>b, то        ak >bk    и              где a>0, b>0; k,nN

 

 

 

 

 

 

НЕКОТОРЫЕ  ВАЖНЫЕ  НЕРАВЕНСТВА

 

 

	Модуль суммы не превосходит суммы модулей

 

 

                                                                           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                            

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                            

 

 

 

А Р И Ф М Е Т И Ч Е С К А Я    П Р О Г Р Е С С И Я

 

	Арифметической прогрессией называется последовательность чисел   , в которой разность между последующим и предыдущим членами остается неизменной. Это число d  называется разностью арифметической прогрессии.
	При d>0 прогрессия является возрастающей. Пример: . Назвать первые пять членов: 2, 5, 8, 11, 14.			При d<0 прогрессия является убывающей. Пример: . Назвать первые пять членов прогрессии: 12, 9, 6, 3, 0.
		Задача. В арифметической прогрессии  известно, с2=-2, d=3. Найдите с1 и сумму первых пяти членов. Решение. c2=c1+d c1=c2-d=-2-3=-5;c1=-5 c5=c1+d(5-1)=-5+=7; S5 = Ответ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

	1, 2, 3, 4, 5, … - арифметическая прогрессия с d=1. это натуральный ряд чисел

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                  

 

 

 

 

Г Е О М Е Т Р И Ч Е С К А Я    П Р О Г Р Е С С И Я

 

	Геометрической прогрессией называется последовательность чисел , в которой каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же неизменное число, не равное нулю. Это неизменное число q называется знаменателем прогрессии.
		При  прогрессия называется убывающей. Пример. . Назвать первые пять членов геометрической прогрессии: 24; 12; 6; 3; 1,5.

 

 

 

 

 

 

 

 

При  прогрессия называется возрастающей. Пример. Назвать первые пять членов геометрической прогрессии: 1, 2, 4, 8, 16.

                                                       

 

 

 

 

 

 

 

			Задача. Дана геометрическая прогрессия -2; 1; … Найдите частное от деления ее двенадцатого члена на шестой. Ответ. 64.
	Формула n- го члена геометрической прогрессии:
	Формула суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
				Задача. Дана геометрическая прогрессия . Найдите сумму первых десяти членов: Ответ. 5115.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула суммы n членов геометрической прогрессии:

                                                    ЗЗ

Ф

 

 

 

 

 

 

 

Л О Г А Р И Ф М Ы   И   ИХ   С В О Й С Т В А

 

Логарифмом положительного числа b по основанию  , где   называется показатель степени , в которую нужно возвести число , чтобы получить b. Обозначение:

 

 

 

 

 

 

Запись     равносильна  , где  .

	Основное логарифмическое тождество:

 

    

 

 

 

 

                          

Свойства логарифмов  

 

1.  

 

2.  

 

3.  

 

	Формула перехода к новому основанию: ,

 

 

                                                      

 

 

 

	Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут      вместо
		Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию    и пишут    вместо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                            

РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

	Теорема.  Если      и   то
	Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения  ,  что  равносильно

 

 

 

 

 

 

 

Примеры.  Решить уравнения:

                                        

                              Ответ. 
    Ответ.           

Пусть     Данное уравнение

сводится к квадратному   .

Корни уравнения находим по теореме Виета:

  не имеет корней.

                  Ответ.  

 

, - возрастающая функция		- убывающая функция

                                          

ГРАДУСНОЕ И РАДИАННОЕ ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ

Радиус  ОА  называется  начальным радиусом.

y

             В                       

Если повернуть начальный радиус около точки О по часовой стрелке, то угол поворота считается  отрицательным.

               

             +        А

                         x

О           -

	Если повернуть начальный радиус около точки О против часовой стрелки, то угол поворота считается  положительным.

 

               С

 

 

 

Углы и дуги могут измеряться в градусах и радианах.

	Угол в 10 – это угол, который опишет начальный радиус, совершив  часть полного оборота вокруг своей начальной точки против часовой стрелки.		Угол в 1 радиан есть центральный угол, опирающийся на дугу окружности, длина которой равна радиусу этой окружности.

 

 

 

 

 

 

 

 

Радианная мера любого угла АОВ есть отношение длины дуги АВ, описанной произвольным радиусом из центра О и заключенной между сторонами угла, к радиусу ОА этой дуги.

 

углы в градусах	3600	1800	900	600	450	300
Углы в радианах	2

Формула перехода от радианной меры угла к градусной: .

Формула перехода от градусной меры угла в радианы: .

 

 

 

 

 

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

градусы	0	300	450	600	900
	0				1
	1				0
	0		1		-
	-		1		0

 

 

ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

 

 

 

1.      ,   

 

2.     ,  

 

3.           

 

4.              

 

 

 

 

                  Частные случаи решения уравнений   1  и   2.

 

 

уравнение	решение

 

 

 

 

ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

                                                                     

функция	производная
	0
	1

функция	производная
	-

Правила дифференцирования

Пусть k- постоянное число,  и  две функции,  дифференцируемые

на некотором интервале 

Постоянный множитель можно                                                выносить за знак производной.

                                                              

 

 

 

 

 

                 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Правила  дифференцирования

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРОИЗВОДНАЯ  СЛОЖНОЙ  ФУНКЦИИ

	Если    есть функция от    :  , где  ,   то есть если  зависит от   через промежуточный аргумент  ,  то называется функцией от функции или сложной функцией.
	Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному  аргументу на производную этого аргумента по независимой  переменной.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Производные сложных функций 

функция	производная	функция	производная

 

П Е Р В О О Б Р А З Н А Я

 

Функция    называется  первообразной функцией от  на некотором промежутке, если для всех  из этого промежутка выполняется условие:

 

 

 

 

 

 

Операция, обратная дифференцированию, называется  интегрированием. Выполняя интегрирование, мы находим первообразную функцию, используя формулы интегрирования.

 

Таблица  первообразных

 

функция	первообразная
1

 

 

 

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

 

Пусть точка движется прямолинейно по закону   S=S(t), где S – перемещение точки за время t.

      S                           

                                 S(t)             

S₂(t₂)

 

Средняя скорость точки за промежуток времени

S₁(t₁)

 

                            

 O                   t₁             t₂     t

 

 

Мгновенная скорость точки в данный момент времени t₁  равна значению производной от закона движения.    .

 

Такие величины как перемещение, скорость и ускорение  при движении точки связаны между собой.

Производную от производной называют второй производной или производной второго порядка.

                                                                                                      

 

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

 

  Y                                    

                                     

 

f(x₀)                                                 Производная функции в точке  

                                                      равна тангенсу угла наклона касательной,

                                                      проведенной к графику функции в точке 

                                                   с координатами       

   О                   x₀             x

,

                              -  угловой коэффициент касательной.

 

Уравнение касательной к графику  , проведенной в точке с координатами   имеет вид:

 

 

СВЯЗЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ОДНОГО АРГУМЕНТА

 

                                                Теорема Пифагора  : 

              y

                                                                  

                   1  

                                                                     Основное тригонометрическое

              О        x                                            тождество:

        

                                                    

 

Основные формулы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знаки тригонометрических функций

 

y                                     y                                      y                                   y

                                

2      1                         +      +                             -       +                           -        +

 

3      4           x                O                 x                 O                  x                O                                                                         

                                     -        -                             -       +                           +        -

 

 

          

Нумерация                   знаки синуса                       знаки косинуса                 знаки тангенса

координатных                                                                                                      и котангенса   

четвертей

 

ПРИМЕРЫ  ПРИМЕНЕНИЯ  ФОРМУЛ

	Если известна одна из тригонометрических функций, то , используя формулы, можно вычислить все остальные тригонометрические функции угла, учитывая в какой четверти лежит заданный угол.
			так как синус в 4 четверти отрицателен.
	Угол  лежит в 4 четверти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф О Р М У Л Ы   П Р И В Е Д Е Н И Я

 

Тригонометрические функции углов вида   могут быть выражены через функции угла с помощью формул приведения.

 

 

 

 

 

 

 

Правило формул приведения:

 

Для углов   и   название исходной функции сохраняется. Для углов  и   название исходной функции заменяется на кофункцию.

Функция в правой части равенства берется с тем же знаком, какой имеет исходная функция.

Угол  считать острым.

 

 

Примеры:

 

 

 

                                                         y

                                                              

                                                                      

                                                 2          1

                                                             

                                                                               x

                                                  3         4