Д Е Й С
Т В И Я С К О Р Н Я М И
|
|
|
|
АРИФМЕТИЧЕСКИМ КОРНЕМ - ой степени из
неотрицательного числа называется
неотрицательное число b, для которого
|
|
|
|
|
|
РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ
1.
Вынесение
общего множителя за скобки
выполняется по распределительному закону:
2.
Группировка.
Для этого надо
объединить в группы те члены, которые имеют общие множители, и вынести общий
множитель за скобки в каждой группе:
Применение формул сокращенного
умножения позволяет
разложить многочлен на множители:
|
Разность квадратов
|
|
Квадрат суммы
|
|
Квадрат разности
|
|
Разность кубов
|
|
сумма кубов
|
|
Куб суммы
|
|
Куб разности
|
К В А Д Р А Т Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я
|
|
|
|
|
|
|
Формула корней квадратного уравнения:
|
|
Для решения уравнения следует вычислить дискриминант
Значение
|
Количество решений
уравнения
|
|
|
Одно решение
|
|
|
Два решения
|
|
|
Нет решений
|
|
Разложение квадратного
трехчлена на множители
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример
Разложить на множители выражение
|
|
|
Решаем уравнение
|
|
|
Находим корни уравнения
|
|
|
Ответ:
|
|
ПРИВЕДЕННОЕ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ
Решение приведенного квадратного
уравнения можно быстро найти, используя теорему Виета.
Теорема
Виета
|
|
|
|
|
Сумма
корней приведенного квадратного уравнения равна
второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение
корней равно свободному члену.
|
|
|
|
|
|
Пример.
Решить
уравнение
подбираем значения:
|
|
|
|
|
|
|
|
Квадратный
трехчлен можно
разложить на множители
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д Е Й С Т В И Я С Н Е Р А В Е Н С Т В А
М И
1. Неравенства
одинакового смысла можно почленно складывать.
|
a>b
+ c>d
--------
a+c>b+d
|
2. Неравенства противоположного
смысла можно почленно вычитать, оставляя знак того неравенства, из которого
производится вычитание.
|
a<b
+
c>d
------------
a-c>b-d
|
3. Неравенства
одинакового смысла с положительными членами можно почленно умножать.
|
Если
a>b>0,
c>d>0,
то ac>bd.
|
4. Обе части неравенства с положительными членами можно
возводить в одну и ту же натуральную степень или извлекать корень одной и той
же степени.
|
Если
a>b, то
ak >bk и
где
a>0, b>0; k,nN
|
НЕКОТОРЫЕ ВАЖНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
|
|
|
|
|
|
|
|
Модуль
суммы не превосходит суммы модулей
|
|
|
А Р И Ф М Е Т И Ч Е С К А Я П Р О Г Р Е С
С И Я
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При d>0 прогрессия является возрастающей.
Пример:
. Назвать первые пять членов: 2, 5, 8,
11, 14.
|
|
|
При d<0 прогрессия является убывающей.
Пример:
. Назвать первые пять членов
прогрессии: 12, 9, 6, 3, 0.
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача.
В арифметической
прогрессии известно, с2=-2,
d=3. Найдите с1 и сумму
первых пяти членов.
Решение.
c2=c1+d
c1=c2-d=-2-3=-5;c1=-5
c5=c1+d(5-1)=-5+=7;
S5
=
Ответ.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, 2, 3, 4, 5, … - арифметическая прогрессия с d=1.
это натуральный ряд чисел
|
|
Г Е О М Е Т Р И Ч Е С К А Я П Р О Г Р Е С
С И Я
|
|
|
|
Геометрической
прогрессией называется
последовательность чисел , в которой каждый
член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно
и то же неизменное число, не равное нулю. Это неизменное число q называется знаменателем
прогрессии.
|
|
|
|
|
При прогрессия называется убывающей.
Пример.
. Назвать первые пять членов
геометрической прогрессии: 24; 12; 6; 3; 1,5.
|
|
При прогрессия называется возрастающей.
Пример.
Назвать
первые пять членов геометрической прогрессии:
1, 2,
4, 8, 16.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача.
Дана геометрическая
прогрессия -2; 1; … Найдите частное от деления ее двенадцатого члена на
шестой.
Ответ. 64.
|
|
|
Формула
n- го члена геометрической прогрессии:
|
|
|
|
Формула
суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
|
|
|
|
|
|
Задача.
Дана
геометрическая прогрессия . Найдите сумму
первых десяти членов:
Ответ. 5115.
|
|
Формула
суммы n членов геометрической
прогрессии:
|
|
ЗЗ
Ф
Л О Г А Р И Ф М Ы И ИХ С В О Й С Т В А
Запись равносильна
, где .
|
|
Основное
логарифмическое тождество:
|
|
Свойства логарифмов
1.
2.
3.
|
|
|
|
|
Формула
перехода к новому основанию:
,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Десятичным
логарифмом числа
называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут вместо
|
|
|
|
|
|
РЕШЕНИЕ
ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
|
|
|
|
|
|
|
Решение
показательных уравнений часто сводится к решению уравнения , что равносильно
|
|
Примеры. Решить уравнения:
Ответ.
Ответ.
Пусть Данное
уравнение
сводится к квадратному .
Корни уравнения находим по теореме Виета:
не
имеет корней.
Ответ.
,
- возрастающая функция
|
- убывающая функция
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ГРАДУСНОЕ И РАДИАННОЕ ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ
Радиус ОА называется начальным радиусом.
|
|
y
В
Если
повернуть начальный радиус около точки О по часовой стрелке, то угол
поворота считается отрицательным.
|
|
+
А
x
О -
|
|
Если
повернуть начальный радиус около точки О против часовой стрелки, то угол
поворота считается положительным.
|
|
С
Углы и дуги могут измеряться в градусах и
радианах.
|
|
|
|
|
Угол в
10 – это угол, который опишет начальный радиус, совершив часть полного оборота вокруг своей
начальной точки против часовой стрелки.
|
|
|
Угол в
1 радиан есть центральный угол, опирающийся на дугу окружности, длина
которой равна радиусу этой окружности.
|
|
Радианная мера любого угла АОВ есть отношение длины дуги АВ,
описанной произвольным радиусом из центра О и заключенной между сторонами угла,
к радиусу ОА этой дуги.
углы
в градусах
|
3600
|
1800
|
900
|
600
|
450
|
300
|
Углы
в радианах
|
2
|
|
|
|
|
|
Формула
перехода от радианной меры угла к градусной:
.
|
|
Формула
перехода от градусной меры угла в радианы:
.
|
|
Значения тригонометрических функций
для некоторых углов
градусы
|
0
|
300
|
450
|
600
|
900
|
|
0
|
|
|
|
1
|
|
1
|
|
|
|
0
|
|
0
|
|
1
|
|
-
|
|
-
|
|
1
|
|
0
|
ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
1. ,
2. ,
3.
4.
Частные случаи решения уравнений
1 и 2.
ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Правила дифференцирования
Пусть k- постоянное число, и две функции, дифференцируемые
на
некотором интервале
Постоянный множитель
можно выносить за знак
производной.
|
|
Правила дифференцирования
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
|
|
|
|
|
|
Производная
сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу
на производную этого аргумента по независимой переменной.
|
|
Производные сложных функций
функция
|
производная
|
функция
|
производная
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П Е Р В О О Б Р А З Н А Я
Операция, обратная
дифференцированию, называется интегрированием. Выполняя интегрирование, мы находим первообразную функцию,
используя формулы интегрирования.
Таблица
первообразных
ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Пусть
точка движется прямолинейно по закону S=S(t), где S – перемещение точки за время t.
|
|
S
S(t)
S2(t2)
Средняя
скорость точки за
промежуток времени
|
|
S1(t1)
O t1
t2 t
Мгновенная скорость точки в данный
момент времени t1 равна значению производной от закона
движения. .
Такие величины как перемещение, скорость
и ускорение при движении точки связаны между собой.
Производную от производной называют
второй производной или производной второго порядка.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Y
f(x0) Производная функции в точке
равна
тангенсу угла наклона касательной,
проведенной к графику функции в точке
с координатами
О x0 x
,
- угловой коэффициент
касательной.
Уравнение
касательной к графику
, проведенной в точке с координатами имеет вид:
СВЯЗЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ОДНОГО
АРГУМЕНТА
Теорема Пифагора
:
y
1
Основное тригонометрическое
О x тождество:
Основные формулы:
Знаки тригонометрических функций
y
y
y y
2 1 +
+ - + - +
3 4 x
O x O
x O
- - - +
+ -
Нумерация знаки
синуса знаки косинуса знаки тангенса
координатных
и котангенса
четвертей
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ФОРМУЛ
|
|
|
|
|
Если
известна одна из тригонометрических функций, то , используя формулы, можно
вычислить все остальные тригонометрические функции угла, учитывая в какой
четверти лежит заданный угол.
|
|
|
|
|
|
|
|
так как синус в 4 четверти отрицателен.
|
|
|
Угол лежит в 4 четверти
|
|
|
Ф О Р М У Л Ы П Р И В Е Д Е Н И Я
Правило формул приведения:
Для углов и
название исходной функции сохраняется.
Для углов и название
исходной функции заменяется на кофункцию.
Функция в правой части равенства
берется с тем же знаком, какой имеет исходная функция.
Угол считать
острым.
Примеры:
y
2 1
x
3 4
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.