Тема
Сочетания
Цели урока
- Образовательная
цель:
дать специальное название одному из видов комбинаций – Сочетания,
рассмотреть формулу для вычисления числа сочетаний, закрепить понятия
факториала, числа перестановок, числа размещений.
- Развивающая
цель:
способствовать формированию логического мышления учащихся при решении
задач и развитию монологической речи обучающихся с использованием новых
терминов.
- Воспитательная
цель:
приучать школьников к доброжелательному общению в паре.
Оборудование: учебник
(1), дидактические материалы (2), Рисунок 1, Рисунок 2. Продолжительность
занятия: 2 академических часа
План занятия:
I.
Организационный
момент
II.
Повторение
III.
Новый
материал
IV.
Решение
задач на нахождение числа сочетаний
V.
Проверочная
работа по теме «сочетания»
Методическая
разработка
I.
Организационный
момент
Проверка
готовности класса к уроку. Постановка целей урока.
II.
Повторение
Вычислить
устно: 2! 3! 4! 5! 6!
На
предыдущих занятиях мы рассмотрели такие комбинации как: Перестановки-комбинации
в которых n элементов расположены
в определенном порядке(попросить сформулировать определение)
Н-р, сколькими способами
можно расставить на книжной полке собрание сочинений Диккенса, включающее 30
томов?
Каждый
такой способ- это перестановка из 30 элементов
Размещения- комбинации в которых k из n элементов расположены в определенном порядке(попросить сформулировать
определение)
Н-р, на книжную полку влезает
только восемь любых томов из 30-томного собрания Диккенса. Сколькими способами
можно заполнить томами такую полку?
Каждый
такой способ- это размещения из 30 элементов по 8.
III.
Новый материал
Теперь
рассмотрим такую задачу:
Из
класса, в котором учится 25 человек, нужно выбрать троих для участия в школьной
олимпиаде. Сколькими способами это можно сделать?
Решение:
первого можно выбрать 25 способами, второго- 24 способами, 3-го 23 способами.
Получаем , что всего по правилу умножения . (Возможно воспользоваться формулой размещений 3 элементов
из 25). Но это еще не ответ! Дело в том, что при таком подсчете мы считали
каждый искомый вариант по несколько раз: скажем, вариант, в котором на
олимпиаду отправляются Иванов, Петров, Сидоров встречался в виде комбинаций:
· Иванов-Петров-Сидоров
· Иванов-Сидоров-Петров
· Петров-Иванов-Сидоров
· Петров-Сидоров- Иванов
· Сидоров- Иванов-Петров
· Сидоров-Петров-Иванов
Т.е. в виде шести различных комбинаций (перестановок). Легко
понять, что любой другой такой вариант считался тоже шесть раз (именно столько перестановок
можно составить из 3 выбранных учеников). Чтобы получить правильный ответ,
воспользуемся правилом деления: разделим найденное количество вариантов на 6:
13800:6=2300- столько способов выбрать трех учеников из 25.
В
этом примере мы столкнулись еще с одним важнейшим типом комбинаций, часто
используемых в комбинаторике- сочетаниями.
Итак,
сочетанием из n элементов по k, называется комбинация , в которой
из этих n элементов выбраны
любые k без учета их порядка в
комбинации. Таким образом, для сочетания имеет значение только состав выбранных
элементов, а не их порядок.
Запишем
формулу для числа сочетаний
При
подсчете размещений к элементов из n , мы получали число способов с учетом порядка элементов. Каждое
сочетание учитывалось при этом столько раз, сколько существует способов
упорядочить k предметов, т.е. k!
Найденное
число сочетаний имеет специальное обозначение , формула запишется так
VI.
Решение
задач на нахождение числа сочетаний
1. Сколькими
способами можно выбрать дежурных из класса, в котором 25 учеников? Как
называется такая комбинация в комбинаторике?
2. В
магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных
спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?
3. Сколькими
способами в карточке лотереи «Спортлото» можно зачеркнуть 5 номеров из 36? Как
называется такая комбинация в комбинаторике?
4. Замок на
подъезде имеет десять кнопок и открывается одновременным нажатием на
определенные три кнопки. За сколько минут (в худшем случае) можно открыть такой
замок, если перебирать все возможные комбинации со скоростью 1 комбинация в
секунду?
5. Из колоды,
в которой 36 карт, выбирают по 6 карт. Сколько существует способов это сделать?
А теперь рассмотрим такую задачу:
Из колоды, в которой 36 карт,
выбирают по 6 карт. Сколько способов сделать это так, чтобы среди них оказалось
2 туза?
Для получения любой интересующей
нас комбинации нужно сначала выбрать 2 туза из 4, после чего выбрать любые 4
карты ( не тузы) из 32
Первое действие
Второе действие
По правилу умножения общее число
способов будет:
6. Группу из
20 туристов нужно распределить по трем маршрутам так, чтобы по первому маршруту
шли 8 человек, по второму-7, по третьему-5. Сколькими способами это можно
сделать?
7. В классе
учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить
четырех мальчиков и трех девочек. Сколькими способами это можно сделать?
8. В
школьной столовой на обед приготовили в качестве вторых блюд мясо, котлеты и
рыбу. На сладкое — мороженое, фрукты и пирог. Можно выбрать одно второе блюдо
и одно блюдо на десерт. Сколько существует различных вариантов обеда?
9. Сколькими
способами можно расположить в один ряд 3 белых и 4 черных шара?
Чтобы было понятно о каких
комбинациях идет речь, выпишем несколько из них.
БББЧЧЧЧ, ББЧБЧЧЧ,ББЧЧБЧЧ,..
Нужно сказать, что полученные комбинации
не совпадают ни с одним из рассмотренных ранее типов (перестановка, размещение,
сочетание), но наших знаний вполне достаточно, чтобы их найти. Каждая
комбинация состоит из 7 букв и однозначно определяется выбором 3 мест, на
которых будут буквы Б.
Задачу можно решать и по-другому,
выбирая 4 места из 7
Обнаруживается свойство сочетаний
Перестановки
|
Размещения
|
Сочетания
|
n элементов
n клеток
|
n элементов
k клеток
|
n элементов
k клеток
|
Порядок имеет значение
|
Порядок имеет значение
|
Порядок не имеет значения
|
|
|
|
Итак, подведем итоги: Простейшие
комбинации
V. Проверочная
работа по теме «сочетания»
Самостоятельная работа
Уровень А
1. Сколькими
способами можно составить дозор из трех солдат и одного офицера, если всего 25 солдат
и 4 офицера?
2. Патруль надо
составить из одного офицера и двух солдат. Каким количеством способов это можно
сделать, если есть выбор из 10 офицеров и 100 солдат.?
Уровень В
·
На
одной из скрещивающихся прямых отмечено 5 точек, на другой-6. Сколько
тетраэдров можно построить с вершинами в этих точках?
Уровень С
·
Из
группы в 20 человек надо выбрать две команды по четыре человека. Каким
количеством способов это можно сделать?
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.