-
Курсы
-
Другое
Тема Сочетания
Цели урока
Оборудование: учебник (1), дидактические материалы (2), Рисунок 1, Рисунок 2. Продолжительность занятия: 2 академических часа
План занятия:
I. Организационный момент
II. Повторение
III. Новый материал
IV. Решение задач на нахождение числа сочетаний
V. Проверочная работа по теме «сочетания»
Методическая разработка
I. Организационный момент
Проверка готовности класса к уроку. Постановка целей урока.
II. Повторение
Вычислить устно: 2! 3! 4! 5! 6!
На предыдущих занятиях мы рассмотрели такие комбинации как: Перестановки-комбинации в которых n элементов расположены в определенном порядке(попросить сформулировать определение)
Н-р, сколькими способами можно расставить на книжной полке собрание сочинений Диккенса, включающее 30 томов?
Каждый такой способ- это перестановка из 30 элементов
Размещения- комбинации в которых k из n элементов расположены в определенном порядке(попросить сформулировать определение)
Н-р, на книжную полку влезает только восемь любых томов из 30-томного собрания Диккенса. Сколькими способами можно заполнить томами такую полку?
Каждый такой способ- это размещения из 30 элементов по 8.
III. Новый материал
Теперь рассмотрим такую задачу:
Из класса, в котором учится 25 человек, нужно выбрать троих для участия в школьной олимпиаде. Сколькими способами это можно сделать?
Решение:
первого можно выбрать 25 способами, второго- 24 способами, 3-го 23 способами.
Получаем , что всего по правилу умножения 
. (Возможно воспользоваться формулой размещений 3 элементов
из 25). Но это еще не ответ! Дело в том, что при таком подсчете мы считали
каждый искомый вариант по несколько раз: скажем, вариант, в котором на
олимпиаду отправляются Иванов, Петров, Сидоров встречался в виде комбинаций:
· Иванов-Петров-Сидоров
· Иванов-Сидоров-Петров
· Петров-Иванов-Сидоров
· Петров-Сидоров- Иванов
· Сидоров- Иванов-Петров
· Сидоров-Петров-Иванов
Т.е. в виде шести различных комбинаций (перестановок). Легко понять, что любой другой такой вариант считался тоже шесть раз (именно столько перестановок можно составить из 3 выбранных учеников). Чтобы получить правильный ответ, воспользуемся правилом деления: разделим найденное количество вариантов на 6:
13800:6=2300- столько способов выбрать трех учеников из 25.
В этом примере мы столкнулись еще с одним важнейшим типом комбинаций, часто используемых в комбинаторике- сочетаниями.
Итак, сочетанием из n элементов по k, называется комбинация , в которой из этих n элементов выбраны любые k без учета их порядка в комбинации. Таким образом, для сочетания имеет значение только состав выбранных элементов, а не их порядок.
Запишем формулу для числа сочетаний
При подсчете размещений к элементов из n , мы получали число способов с учетом порядка элементов. Каждое сочетание учитывалось при этом столько раз, сколько существует способов упорядочить k предметов, т.е. k!
Найденное
число сочетаний имеет специальное обозначение 
, формула запишется так 
VI. Решение задач на нахождение числа сочетаний
1. Сколькими способами можно выбрать дежурных из класса, в котором 25 учеников? Как называется такая комбинация в комбинаторике?
2. В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?
3. Сколькими способами в карточке лотереи «Спортлото» можно зачеркнуть 5 номеров из 36? Как называется такая комбинация в комбинаторике?
4. Замок на подъезде имеет десять кнопок и открывается одновременным нажатием на определенные три кнопки. За сколько минут (в худшем случае) можно открыть такой замок, если перебирать все возможные комбинации со скоростью 1 комбинация в секунду?
5. Из колоды, в которой 36 карт, выбирают по 6 карт. Сколько существует способов это сделать?
А теперь рассмотрим такую задачу:
Из колоды, в которой 36 карт, выбирают по 6 карт. Сколько способов сделать это так, чтобы среди них оказалось 2 туза?
Для получения любой интересующей нас комбинации нужно сначала выбрать 2 туза из 4, после чего выбрать любые 4 карты ( не тузы) из 32
Первое действие 
Второе действие 
По правилу умножения общее число
способов будет:
6. Группу из 20 туристов нужно распределить по трем маршрутам так, чтобы по первому маршруту шли 8 человек, по второму-7, по третьему-5. Сколькими способами это можно сделать?
7. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить четырех мальчиков и трех девочек. Сколькими способами это можно сделать?
8. В школьной столовой на обед приготовили в качестве вторых блюд мясо, котлеты и рыбу. На сладкое — мороженое, фрукты и пирог. Можно выбрать одно второе блюдо и одно блюдо на десерт. Сколько существует различных вариантов обеда?
9. Сколькими способами можно расположить в один ряд 3 белых и 4 черных шара?
Чтобы было понятно о каких комбинациях идет речь, выпишем несколько из них.
БББЧЧЧЧ, ББЧБЧЧЧ,ББЧЧБЧЧ,..
Нужно сказать, что полученные комбинации не совпадают ни с одним из рассмотренных ранее типов (перестановка, размещение, сочетание), но наших знаний вполне достаточно, чтобы их найти. Каждая комбинация состоит из 7 букв и однозначно определяется выбором 3 мест, на которых будут буквы Б.
Задачу можно решать и по-другому, выбирая 4 места из 7
Обнаруживается свойство сочетаний
|
Перестановки |
Размещения |
Сочетания |
|
n элементов n клеток |
n элементов k клеток |
n элементов k клеток |
|
Порядок имеет значение |
Порядок имеет значение |
Порядок не имеет значения |
|
|
|
|
Итак, подведем итоги: Простейшие комбинации
V. Проверочная работа по теме «сочетания»
Самостоятельная работа
Уровень А
1. Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат и одного офицера, если всего 25 солдат и 4 офицера?
2. Патруль надо составить из одного офицера и двух солдат. Каким количеством способов это можно сделать, если есть выбор из 10 офицеров и 100 солдат.?
Уровень В
· На одной из скрещивающихся прямых отмечено 5 точек, на другой-6. Сколько тетраэдров можно построить с вершинами в этих точках?
Уровень С
· Из группы в 20 человек надо выбрать две команды по четыре человека. Каким количеством способов это можно сделать?
Настоящий материал опубликован пользователем Тумкина Юля Евгеньевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
