- 18.05.2014
- 1364
- 0
-
Курсы
-
Другое
Итоговое повторение курса планиметрии с привлечением метода ключевой задачи
Метод составления системы задач, построенной по принципу – каждая задача системы использует результат решения одной какой-либо (ключевой) задачи, будем называть методом ключевой задачи.
Существует две точки зрения на понятие ключевой задачи. Первая из них состоит в рассмотрении ключевой задачи как задачи-факта. Зачастую такая ключевая задача оказывается дополнительной теоремой школьного курса. Вторая точка зрения состоит в рассмотрении ключевой задачи как задачи-метода. При изучении какой-либо темы школьного курса можно отобрать определенный минимум задач, овладев методами решения которых, учащиеся будут в состоянии решить любую задачу на уровне программных требований по изучаемой теме.
«Ключевая» задача является средством решения других задач, поэтому ее знание учащимися обязательно. Разворачивающаяся система задач, с одной стороны, способствует усвоению факта или метода решения, изложенных в «ключевой» задаче, с другой, позволяет увидеть взаимосвязи отдельных тем школьного курса математики. Поэтому составленная данным методом система задач является эффективным средством повторения, обобщения и систематизации учебного материала.
Свойство биссектрисы
Ключевая задача. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам.
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем CF,
параллельно биссектрисе BD. Тогда по теореме о пропорциональных
отрезках Треугольник BCF – равнобедренный.
|
Так как углы 
и 
равны
как соответственные при параллельных прямых BD и CF и
секущей AF, углы 
и 
равны как накрест лежащие при
параллельных прямых BD и CF и секущей ВС, 
по
свойству биссектрисы.
Следовательно, BF=BC. Тогда 
.
Следствие:
|
|
Если BD – биссектриса внешнего угла треугольника АВС,
то Доказательство аналогичное.
|
Задачи системы:
Задача 1. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки 3 и 4. Найдите площадь треугольника.
|
|
Р е ш е н и е. Пусть О т в е т: 11,76.
|
Задача 2. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса острого угла. Отрезок, соединяющий ее с основание с точкой пересечения медиан, перпендикулярен катету. Найдите острые углы треугольника.
|
|
Р е ш е н и е. Пусть AD – биссектриса прямоугольного треугольника АВС. Точка О – точка пересечения медиан. Тогда по условию задачи По свойству медиан По теореме Фалеса |
Так как AD –
биссектриса, то 
. Следовательно, 
.
Так как гипотенуза АВ в два раза больше катета АС, то 
. Следовательно, 
.
О т в е т: 300; 600.
Задача 3. В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС вписана
окружность с центром О. Луч АО пересекает сторону ВС в
точке К, причем 
, 
.
Найдите периметр треугольника АВС.
|
|
Р е ш е н и е. Так как О – центр вписанной окружности, то АК
– биссектриса треугольника АВС. Тогда
О т в е т: 45.
|
Задача
4. В окружность радиуса 
см вписан треугольник АВС, в
котором , а сторона АВ в два раза больше
стороны АС. В треугольнике проведена биссектриса АМ. Найдите
длину отрезка С.
|
|
Р е ш е н и е. АМ – биссектриса треугольника АВС. Тогда
Чтобы воспользоваться свойством биссектрисы, необходимо найти длину
стороны ВС. По теореме синусов |
Пусть 
, тогда 
.
Имеем 
, откуда 
.
О т в е т: 4.
Задача 5. В треугольнике АВС проведена биссектриса ВЕ, которую
центр О вписанной окружности делит в отношении 
.
Найдите АВ, если 
, 
.
|
|
Р е ш е н и е. Так как О – центр вписанной окружности, то АМ и CD – биссектрисы. По свойству биссектрисы треугольника ВСЕ Следовательно, |
По свойству биссектрисы треугольника АВЕ 
, 
, 
.
О т в е т: 6.
Задача 6. Найдите стороны треугольника, если медиана и высота, проведенные из одного угла, делят его на три равные части, а длина медианы равна 10.
|
|
Р е ш е н и е. Пусть СN – медиана, а СК – высота. Так как СК – высота и биссектриса, то треугольник CNB
равнобедренный, следовательно,
|
CN – биссектриса в треугольнике АСК,
следовательно, 
Треугольник 
– прямоугольный, поэтому 
, 
, 
, 
, 
.
О т в е т: 
.
Задача 7. Биссектриса BD внутреннего угла треугольника АВС
равна 6, а биссектриса ВF смежного
с ним угла равна 8. Найдите площадь треугольника АВС, если 
.
|
|
Р е ш е н и е. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны, поэтому
По свойству биссектрисы Пусть |
Имеем 
, 
.
.
Чтобы найти площадь треугольника АВС необходимо знать длину
высоты ВМ, проведенной к стороне АС. Из треугольника BDF найдем 
. Тогда 
,
.
, 
.
О т в е т: 10.
Задачи для самостоятельного решения
1. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5. Найдите площадь треугольника.
О т в е т: 54.
2. В треугольнике ВСЕ 
, 
. Отрезок СК – биссектриса
треугольника. Найдите КЕ, если радиус описанной около треугольника
окружности равен 
.
О т в е т: 18.
3. Дан треугольник АВС. Его высота BD
равна 30. Из основания Е биссектрисы АЕ опущен перпендикуляр EF
на сторону АС. Найдите длину этого перпендикуляра, если 
.
О т в е т:16.
4. В треугольнике АВС из вершины В проведена высота BD и биссектриса BL. Найдите площадь треугольника BLD,
если известны длины сторон треугольника АВС: 
см; 
см; 
см.
О т в е т: 2,25.
5. В треугольнике АВС биссектриса угла С пересекает
сторону АВ в точке D. Найдите площадь треугольника ADC,
если 
, 
, 
.
О т в е т: 
.
6. В треугольнике АВС 
, 
, 
.
Найдите отношение, в котором точка пересечения биссектрис делит биссектрису
угла В.
О т в е т: 1:2.
7. Основание равнобедренного треугольника равно 8, а боковая сторона 12. Найдите длину отрезка, соединяющего точки пересечения биссектрис углов при основании с боковыми сторонами треугольника.
О т в е т: 4,8.
Настоящий материал опубликован пользователем Савченко Ирина Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Курс профессиональной переподготовки
Курс повышения квалификации
Курс повышения квалификации
Курс повышения квалификации
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Метод составления системы задач, построенной по принципу – каждая задача системы использует результат решения одной какой-либо (ключевой) задачи, будем называть методом ключевой задачи.Ключевая задача является средством решения других задач, поэтому ее знание учащимися обязательно. Такая система задач, с одной стороны, способствует усвоению факта или метода решения, изложенных в ключевой задаче, с другой, позволяет увидеть взаимосвязи отдельных тем школьного курса математики. Поэтому составленная данным методом система задач является эффективным средством повторения, обобщения и систематизации учебного материала.
7 365 872 материала в базе
Вам будут доступны для скачивания все 357 731 материал из нашего маркетплейса.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.