Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Метод ключевой задачи
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Метод ключевой задачи

библиотека
материалов

Итоговое повторение курса планиметрии с привлечением метода ключевой задачи


Метод составления системы задач, построенной по принципу – каждая задача системы использует результат решения одной какой-либо (ключевой) задачи, будем называть методом ключевой задачи.

Существует две точки зрения на понятие ключевой задачи. Первая из них состоит в рассмотрении ключевой задачи как задачи-факта. Зачастую такая ключевая задача оказывается дополнительной теоремой школьного курса. Вторая точка зрения состоит в рассмотрении ключевой задачи как задачи-метода. При изучении какой-либо темы школьного курса можно отобрать определенный минимум задач, овладев методами решения которых, учащиеся будут в состоянии решить любую задачу на уровне программных требований по изучаемой теме.

«Ключевая» задача является средством решения других задач, поэтому ее знание учащимися обязательно. Разворачивающаяся система задач, с одной стороны, способствует усвоению факта или метода решения, изложенных в «ключевой» задаче, с другой, позволяет увидеть взаимосвязи отдельных тем школьного курса математики. Поэтому составленная данным методом система задач является эффективным средством повторения, обобщения и систематизации учебного материала.

























Свойство биссектрисы


Ключевая задача. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам.


F

B

C

D

А



Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем CF, параллельно биссектрисе BD. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках hello_html_6eb3e1c.gif.

Треугольник BCF – равнобедренный.



Так как углы hello_html_e6ec241.gif и hello_html_m4003149d.gif равны как соответственные при параллельных прямых BD и CF и секущей AF, углы hello_html_2b344c85.gif и hello_html_m2248f977.gif равны как накрест лежащие при параллельных прямых BD и CF и секущей ВС, hello_html_50322c81.gif по свойству биссектрисы.

Следовательно, BF=BC. Тогда hello_html_m2f73d7e7.gif.

Следствие:

F

В

D

С

А


Если BD – биссектриса внешнего угла треугольника АВС, то hello_html_m2f73d7e7.gif.

Доказательство аналогичное.



















Задачи системы:

Задача 1. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки 3 и 4. Найдите площадь треугольника.

a

b

4

3

B

С

A

D


Р е ш е н и е. Пусть hello_html_4e618bf3.gif, hello_html_2a78e641.gif. Тогда по свойству биссектрисы hello_html_284ca5fa.gif, а по теореме Пифагора hello_html_m3087e6e1.gif. Решая систему получим: hello_html_m4e5996da.gif, hello_html_m5d9b2e0d.gif. Вычисляя площадь треугольника по формуле hello_html_167221b3.gif, получим hello_html_m7f313ded.gif.

О т в е т: 11,76.


Задача 2. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса острого угла. Отрезок, соединяющий ее с основание с точкой пересечения медиан, перпендикулярен катету. Найдите острые углы треугольника.

O

B

D

С

M

A


Р е ш е н и е. Пусть AD – биссектриса прямоугольного треугольника АВС.

Точка О – точка пересечения медиан. Тогда по условию задачи hello_html_m53b3d739.gif.

По свойству медиан hello_html_598f41aa.gif.

По теореме Фалеса hello_html_43104350.gif.

Так как AD – биссектриса, то hello_html_78081e49.gif. Следовательно, hello_html_3095c8d7.gif.

Так как гипотенуза АВ в два раза больше катета АС, то hello_html_m74cfe6a3.gif. Следовательно, hello_html_m5b5d5009.gif.

О т в е т: 300; 600.

Задача 3. В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС вписана окружность с центром О. Луч АО пересекает сторону ВС в точке К, причем hello_html_m50272c92.gif, hello_html_4716bb57.gif. Найдите периметр треугольника АВС.

18

12

6

К

В

С

А

О


Р е ш е н и е. Так как О – центр вписанной окружности, то АК – биссектриса треугольника АВС. Тогда hello_html_m35d6fecf.gif. Имеем hello_html_69f411e8.gif, hello_html_m7feaacce.gif.

hello_html_m4974ff50.gif.


О т в е т: 45.



Задача 4. В окружность радиуса hello_html_m1889539e.gifсм вписан треугольник АВС, в котором hello_html_m5b5d5009.gif, а сторона АВ в два раза больше стороны АС. В треугольнике проведена биссектриса АМ. Найдите длину отрезка С.






12-х

х

М

С

А

В


Р е ш е н и е. АМ – биссектриса треугольника АВС. Тогда hello_html_m75dafb85.gif.

Чтобы воспользоваться свойством биссектрисы, необходимо найти длину стороны ВС. По теореме синусов hello_html_395543b4.gif. Отсюда hello_html_63f4620e.gif.

Пусть hello_html_m2d62c646.gif, тогда hello_html_m4e8272ef.gif. Имеем hello_html_m50a53f7.gif, откуда hello_html_5caa619a.gif.

О т в е т: 4.

Задача 5. В треугольнике АВС проведена биссектриса ВЕ, которую центр О вписанной окружности делит в отношении hello_html_mcefb73a.gif. Найдите АВ, если hello_html_m77baf06f.gif, hello_html_5b9aa13f.gif.

3

D

M

О

4

8

k

2k

A

В

C

Е


Р е ш е н и е. Так как О – центр вписанной окружности, то АМ и CD – биссектрисы.

По свойству биссектрисы треугольника ВСЕ hello_html_38a53eb9.gif, hello_html_16d0ebb1.gif, hello_html_m12f98cd.gif.

Следовательно, hello_html_2f9bbcbc.gif.

По свойству биссектрисы треугольника АВЕ hello_html_m14337368.gif, hello_html_m3dec915b.gif, hello_html_761f252b.gif.

О т в е т: 6.

Задача 6. Найдите стороны треугольника, если медиана и высота, проведенные из одного угла, делят его на три равные части, а длина медианы равна 10.

x

x

2x

A

B

K

N

С


Р е ш е н и е. Пусть СN – медиана, а СК – высота.

Так как СК – высота и биссектриса, то треугольник CNB равнобедренный, следовательно, hello_html_1c9c9629.gif и hello_html_6409de8c.gif.

hello_html_18752d2e.gif, следовательно, hello_html_6f407d4e.gif.




CN – биссектриса в треугольнике АСК, следовательно, hello_html_702108b7.gif

Треугольник hello_html_10a20c16.gif – прямоугольный, поэтому hello_html_127fc840.gif, hello_html_mb07a2ce.gif, hello_html_m10f92aa.gif, hello_html_62f63fab.gif, hello_html_2f473256.gif.

О т в е т: hello_html_2ef54cca.gif.

Задача 7. Биссектриса BD внутреннего угла треугольника АВС равна 6, а биссектриса ВF смежного с ним угла равна 8. Найдите площадь треугольника АВС, если hello_html_m6dc4ba3a.gif.

10

6

8

F

M

C

A

D

В


Р е ш е н и е. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны, поэтому hello_html_m16cf8f5a.gif.

hello_html_m7e08839e.gifпо теореме Пифагора.

По свойству биссектрисы hello_html_m2a59e1f.gif.

Пусть hello_html_765956c8.gif, тогда hello_html_4a7a03dd.gif, hello_html_1f1ec31a.gif, hello_html_3794a6f6.gif.

Имеем hello_html_63bdab72.gif, hello_html_4dfb3e3f.gif.

hello_html_4828c20d.gif.

Чтобы найти площадь треугольника АВС необходимо знать длину высоты ВМ, проведенной к стороне АС. Из треугольника BDF найдем hello_html_443e15b7.gif. Тогда hello_html_7f3f6e2c.gif, hello_html_m74d126da.gif.

hello_html_m27ac976e.gif, hello_html_m2abb9f00.gif.

О т в е т: 10.

Задачи для самостоятельного решения

1. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5. Найдите площадь треугольника.

О т в е т: 54.

2. В треугольнике ВСЕ hello_html_52cc9014.gif, hello_html_m32a4ee8.gif. Отрезок СК – биссектриса треугольника. Найдите КЕ, если радиус описанной около треугольника окружности равен hello_html_325f57cd.gif.

О т в е т: 18.

3. Дан треугольник АВС. Его высота BD равна 30. Из основания Е биссектрисы АЕ опущен перпендикуляр EF на сторону АС. Найдите длину этого перпендикуляра, если hello_html_ma2ed215.gif.

О т в е т:16.

4. В треугольнике АВС из вершины В проведена высота BD и биссектриса BL. Найдите площадь треугольника BLD, если известны длины сторон треугольника АВС: hello_html_58ffc26c.gifсм; hello_html_m7eaf2582.gifсм; hello_html_m77baf06f.gifсм.

О т в е т: 2,25.

5. В треугольнике АВС биссектриса угла С пересекает сторону АВ в точке D. Найдите площадь треугольника ADC, если hello_html_6b5d0b90.gif, hello_html_761f252b.gif, hello_html_51ff550.gif.

О т в е т: hello_html_656368e4.gif.

6. В треугольнике АВС hello_html_4e444fb0.gif, hello_html_1ef927c1.gif, hello_html_ec9dc01.gif. Найдите отношение, в котором точка пересечения биссектрис делит биссектрису угла В.

О т в е т: 1:2.

7. Основание равнобедренного треугольника равно 8, а боковая сторона 12. Найдите длину отрезка, соединяющего точки пересечения биссектрис углов при основании с боковыми сторонами треугольника.

О т в е т: 4,8.



Краткое описание документа:

Метод составления системы задач, построенной по принципу – каждая задача системы использует результат решения одной какой-либо (ключевой) задачи, будем называть методом ключевой задачи.Ключевая задача является средством решения других задач, поэтому ее знание учащимися обязательно. Такая система задач, с одной стороны, способствует усвоению факта или метода решения, изложенных в ключевой задаче, с другой, позволяет увидеть взаимосвязи отдельных тем школьного курса математики. Поэтому составленная данным методом система задач является эффективным средством повторения, обобщения и систематизации учебного материала.
Автор
Дата добавления 18.05.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров964
Номер материала 107394051850
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх