Инфоурок Математика Другие методич. материалыМетод ключевой задачи

Метод ключевой задачи

Скачать материал

Итоговое повторение курса планиметрии с привлечением метода ключевой задачи

 

Метод составления системы задач, построенной по принципу – каждая задача системы использует результат решения одной какой-либо (ключевой) задачи, будем называть методом ключевой задачи.

Существует две точки зрения на понятие ключевой задачи. Первая из них состоит в рассмотрении ключевой задачи как задачи-факта. Зачастую такая ключевая задача оказывается дополнительной теоремой школьного курса. Вторая точка зрения состоит в рассмотрении ключевой задачи как задачи-метода. При изучении какой-либо темы школьного курса можно отобрать определенный минимум задач, овладев методами решения которых, учащиеся будут в состоянии решить любую задачу на уровне программных требований по изучаемой теме.

«Ключевая» задача является средством решения других задач, поэтому ее знание учащимися обязательно. Разворачивающаяся система задач, с одной стороны, способствует усвоению факта или метода решения, изложенных в «ключевой» задаче, с другой, позволяет увидеть взаимосвязи отдельных тем школьного курса математики. Поэтому составленная данным методом система задач является эффективным средством повторения, обобщения и систематизации учебного материала.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойство биссектрисы

 

Ключевая задача. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам.

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем CF, параллельно биссектрисе BD. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках .

Треугольник BCF – равнобедренный.

 

 

Так как углы  и  равны как соответственные при параллельных прямых BD и CF и секущей AF, углы  и  равны как накрест лежащие при параллельных прямых BD и CF и секущей ВС,  по свойству биссектрисы.

Следовательно, BF=BC. Тогда .

Следствие:

Если BD – биссектриса внешнего угла треугольника АВС, то .

Доказательство аналогичное.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи системы:

Задача 1. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки 3 и 4. Найдите площадь треугольника.

Р е ш е н и е. Пусть , . Тогда по свойству биссектрисы , а по теореме Пифагора . Решая систему получим: , . Вычисляя площадь треугольника по формуле , получим .

О т в е т: 11,76.

 

Задача 2. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса острого угла. Отрезок, соединяющий ее с основание с точкой пересечения медиан, перпендикулярен катету. Найдите острые углы треугольника.

Р е ш е н и е. Пусть AD – биссектриса прямоугольного треугольника АВС.

Точка О – точка пересечения медиан. Тогда по условию задачи .

По свойству медиан .

По теореме Фалеса .

Так как AD – биссектриса, то . Следовательно, .

Так как гипотенуза АВ в два раза больше катета АС, то . Следовательно, .

О т в е т: 300; 600.

Задача 3. В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС вписана окружность с центром О. Луч АО пересекает сторону ВС в точке К, причем , . Найдите периметр треугольника АВС.

Р е ш е н и е. Так как О – центр вписанной окружности, то АК – биссектриса треугольника АВС. Тогда . Имеем , .

.

 

О т в е т: 45.

 

 

Задача 4. В окружность радиуса см вписан треугольник АВС, в котором , а сторона АВ в два раза больше стороны АС. В треугольнике проведена биссектриса АМ. Найдите длину отрезка С.

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е. АМ – биссектриса треугольника АВС. Тогда .

Чтобы воспользоваться свойством биссектрисы, необходимо найти длину стороны ВС. По теореме синусов . Отсюда .

Пусть , тогда . Имеем , откуда .

О т в е т: 4.

Задача 5. В треугольнике АВС проведена биссектриса ВЕ, которую центр О вписанной окружности делит в отношении . Найдите АВ, если , .

Р е ш е н и е. Так как О – центр вписанной окружности, то АМ и CD – биссектрисы.

По свойству биссектрисы треугольника ВСЕ , , .

Следовательно, .

По свойству биссектрисы треугольника АВЕ , , .

О т в е т: 6.

Задача 6. Найдите стороны треугольника, если медиана и высота, проведенные из одного угла, делят его на три равные части, а длина медианы равна 10.

Р е ш е н и е. Пусть СN – медиана, а СК – высота.

Так как СК – высота и биссектриса, то треугольник CNB равнобедренный, следовательно,  и .

, следовательно, .

 

 

 

CN – биссектриса в треугольнике АСК, следовательно,

Треугольник  – прямоугольный, поэтому , , , , .

О т в е т: .

Задача 7. Биссектриса BD внутреннего угла треугольника АВС равна 6, а биссектриса ВF смежного с ним угла равна 8. Найдите площадь треугольника АВС, если .

Р е ш е н и е. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны, поэтому .

 по теореме Пифагора.

По свойству биссектрисы .

Пусть , тогда , , .

Имеем , .

.

Чтобы найти площадь треугольника АВС необходимо знать длину высоты ВМ, проведенной к стороне АС. Из треугольника BDF найдем . Тогда , .

, .

О т в е т: 10.

Задачи для самостоятельного решения

1. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5. Найдите площадь треугольника.

О т в е т: 54.

2. В треугольнике ВСЕ , . Отрезок СК – биссектриса треугольника. Найдите КЕ, если радиус описанной около треугольника окружности равен .

О т в е т: 18.

3. Дан треугольник АВС. Его высота BD равна 30. Из основания Е биссектрисы АЕ опущен перпендикуляр EF на сторону АС. Найдите длину этого перпендикуляра, если .

О т в е т:16.

4. В треугольнике АВС из вершины В проведена высота BD и биссектриса BL. Найдите площадь треугольника BLD, если известны длины сторон треугольника АВС: см; см; см.

О т в е т: 2,25.

5. В треугольнике АВС биссектриса угла С пересекает сторону АВ в точке D. Найдите площадь треугольника ADC, если , , .

О т в е т: .

6. В треугольнике АВС , , . Найдите отношение, в котором точка пересечения биссектрис делит биссектрису угла В.

О т в е т: 1:2.

7. Основание равнобедренного треугольника равно 8, а боковая сторона 12. Найдите длину отрезка, соединяющего точки пересечения биссектрис углов при основании с боковыми сторонами треугольника.

О т в е т: 4,8.

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Метод ключевой задачи"

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 2 месяца

Специалист сварочного производства

Получите профессию

Копирайтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

Метод составления системы задач, построенной по принципу – каждая задача системы использует результат решения одной какой-либо (ключевой) задачи, будем называть методом ключевой задачи.Ключевая задача является средством решения других задач, поэтому ее знание учащимися обязательно. Такая система задач, с одной стороны, способствует усвоению факта или метода решения, изложенных в ключевой задаче, с другой, позволяет увидеть взаимосвязи отдельных тем школьного курса математики. Поэтому составленная данным методом система задач является эффективным средством повторения, обобщения и систематизации учебного материала.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 609 896 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 18.05.2014 4223
    • DOCX 246.3 кбайт
    • 19 скачиваний
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Савченко Ирина Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Савченко Ирина Владимировна
    Савченко Ирина Владимировна
    • На сайте: 9 лет и 2 месяца
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 15559
    • Всего материалов: 6

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Фитнес-тренер

Фитнес-тренер

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания с применением дистанционных технологий

Учитель математики

300 ч. — 1200 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 38 человек из 19 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в сфере начального общего образования

Учитель математики в начальной школе

300/600 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 125 человек из 43 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в профессиональном образовании

Преподаватель математики

300/600 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 32 человека из 19 регионов

Мини-курс

Развитие детей: сенсорика, самостоятельность и моторика

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

ИТ-инструменты в управлении документооборотом

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Социальные и правовые аспекты эпохи Просвещения: влияние на образование сегодня

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе