Итоговое повторение курса планиметрии с привлечением
метода ключевой задачи
Метод составления системы задач, построенной по
принципу – каждая задача системы использует результат решения одной какой-либо
(ключевой) задачи, будем называть методом ключевой задачи.
Существует две точки зрения на понятие ключевой
задачи. Первая из них состоит в рассмотрении ключевой задачи как задачи-факта.
Зачастую такая ключевая задача оказывается дополнительной теоремой школьного
курса. Вторая точка зрения состоит в рассмотрении ключевой задачи как
задачи-метода. При изучении какой-либо темы школьного курса можно отобрать
определенный минимум задач, овладев методами решения которых, учащиеся будут в
состоянии решить любую задачу на уровне программных требований по изучаемой
теме.
«Ключевая»
задача является средством решения других задач, поэтому ее знание учащимися
обязательно. Разворачивающаяся система задач, с одной стороны, способствует
усвоению факта или метода решения, изложенных в «ключевой» задаче, с другой,
позволяет увидеть взаимосвязи
отдельных тем школьного курса математики. Поэтому составленная данным методом система задач является
эффективным средством повторения,
обобщения и систематизации учебного материала.
Свойство биссектрисы
Ключевая задача. Биссектриса треугольника делит противоположную
сторону на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам.
|
Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем CF,
параллельно биссектрисе BD. Тогда по теореме о пропорциональных
отрезках .
Треугольник BCF – равнобедренный.
|
Так как углы и равны
как соответственные при параллельных прямых BD и CF и
секущей AF, углы и равны как накрест лежащие при
параллельных прямых BD и CF и секущей ВС, по
свойству биссектрисы.
Следовательно, BF=BC. Тогда .
Следствие:
|
Если BD – биссектриса внешнего угла треугольника АВС,
то .
Доказательство аналогичное.
|
Задачи системы:
Задача 1. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу
на отрезки 3 и 4. Найдите площадь треугольника.
Задача 2. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса
острого угла. Отрезок, соединяющий ее с основание с точкой пересечения медиан,
перпендикулярен катету. Найдите острые углы треугольника.
|
Р е ш е н и е. Пусть AD – биссектриса прямоугольного треугольника АВС.
Точка О – точка пересечения медиан. Тогда по условию задачи .
По свойству медиан .
По теореме Фалеса .
|
Так как AD –
биссектриса, то . Следовательно, .
Так как гипотенуза АВ в два раза больше катета АС, то . Следовательно, .
О т в е т: 300; 600.
Задача 3. В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС вписана
окружность с центром О. Луч АО пересекает сторону ВС в
точке К, причем , .
Найдите периметр треугольника АВС.
|
Р е ш е н и е. Так как О – центр вписанной окружности, то АК
– биссектриса треугольника АВС. Тогда .
Имеем , .
.
О т в е т: 45.
|
Задача
4. В окружность радиуса см вписан треугольник АВС, в
котором , а сторона АВ в два раза больше
стороны АС. В треугольнике проведена биссектриса АМ. Найдите
длину отрезка С.
|
Р е ш е н и е. АМ – биссектриса треугольника АВС. Тогда
.
Чтобы воспользоваться свойством биссектрисы, необходимо найти длину
стороны ВС. По теореме синусов . Отсюда .
|
Пусть , тогда .
Имеем , откуда .
О т в е т: 4.
Задача 5. В треугольнике АВС проведена биссектриса ВЕ, которую
центр О вписанной окружности делит в отношении .
Найдите АВ, если , .
|
Р е ш е н и е. Так как О – центр вписанной окружности, то АМ
и CD – биссектрисы.
По свойству биссектрисы треугольника ВСЕ , , .
Следовательно, .
|
По свойству биссектрисы треугольника АВЕ , , .
О т в е т: 6.
Задача 6. Найдите стороны треугольника, если медиана и высота, проведенные из
одного угла, делят его на три равные части, а длина медианы равна 10.
|
Р е ш е н и е. Пусть СN – медиана, а СК – высота.
Так как СК – высота и биссектриса, то треугольник CNB
равнобедренный, следовательно, и .
, следовательно, .
|
CN – биссектриса в треугольнике АСК,
следовательно,
Треугольник – прямоугольный, поэтому , , , , .
О т в е т: .
Задача 7. Биссектриса BD внутреннего угла треугольника АВС
равна 6, а биссектриса ВF смежного
с ним угла равна 8. Найдите площадь треугольника АВС, если .
Имеем , .
.
Чтобы найти площадь треугольника АВС необходимо знать длину
высоты ВМ, проведенной к стороне АС. Из треугольника BDF найдем . Тогда ,
.
, .
О т в е т: 10.
Задачи для самостоятельного решения
1. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит
противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5. Найдите площадь треугольника.
О т в е т: 54.
2. В треугольнике ВСЕ , . Отрезок СК – биссектриса
треугольника. Найдите КЕ, если радиус описанной около треугольника
окружности равен .
О т в е т: 18.
3. Дан треугольник АВС. Его высота BD
равна 30. Из основания Е биссектрисы АЕ опущен перпендикуляр EF
на сторону АС. Найдите длину этого перпендикуляра, если .
О т в е т:16.
4. В треугольнике АВС из вершины В проведена высота BD и биссектриса BL. Найдите площадь треугольника BLD,
если известны длины сторон треугольника АВС: см; см; см.
О т в е т: 2,25.
5. В треугольнике АВС биссектриса угла С пересекает
сторону АВ в точке D. Найдите площадь треугольника ADC,
если , , .
О т в е т: .
6. В треугольнике АВС , , .
Найдите отношение, в котором точка пересечения биссектрис делит биссектрису
угла В.
О т в е т: 1:2.
7. Основание равнобедренного треугольника равно 8, а боковая сторона
12. Найдите длину отрезка, соединяющего точки пересечения биссектрис углов при
основании с боковыми сторонами треугольника.
О т в е т: 4,8.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.