Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Реферат «Задачный подход в обучении математике».
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Реферат «Задачный подход в обучении математике».

библиотека
материалов

















РЕФЕРАТ


«ЗАДАЧНЫЙ ПОДХОД В ОБУЧЕНИИ

МАТЕМАТИКЕ».








ВВЕДЕНИЕ


Относительно недавно сформировался «задачный» подход, который основной акцент делает на разрешение в ходе обучения различных задач, вопросов, ситуаций и т.д.

Единица такого обучения – интеллектуальное умение (или даже навык), позволяющее разрешать учебные задачи, давать ответ на вопросы.

«Задачный» подход интенсивно развивает интеллектуальную сферу сознания, но в отличие от «знаниевого» - прежде всего, логическое мышление.

Суть «знаниевого» метода заключается в том, чтобы передать учащимся необходимый объём знаний. Единица обучения – порция знаний, т.е. предметной информации, в которой ученики должны осознать значение и смысл.

«Знаниевый» подход развивает почти исключительно интеллектуальную сферу сознания, причём только ту её часть, которая связана с памятью, совершенно не затрагивая волевую, эмоционально – чувственную и мотивационную сферы сознания обучаемых. Преобладание «знаниевой» подготовки над всеми остальными видами обучения приводит к развитию формального уровня образования.

Специально организованное, правильно и систематически осуществляемое обучение в виде разрешения разнообразных учебных задач расширяет возможности обучения.

Развивается ориентированная сторона учебной деятельности, когда ученик активно занимается поиском правильного решения, самостоятельно добывает новые знания. Кроме того, возрастает роль аналитико – поисковой деятельности по определению последствий учебных действий, сокращается набор «проб» и «ошибок», появляется стремление найти все возможные для данной задачи решения, возрастает вариативность действий.

При этом существенно развиваются волевая и мотивационная сферы учебной деятельности и в некоторой степени эмоционально – чувственная.





























  1. Роль задач в обучении математике


Задачи в обучении математике занимают важное место: это и цель, и средство обучения. Умение решать задачи - показатель обученности и развития учащихся.

По мнению Г.И. Саранцева, математические задачи – основное средство формирования знаний, умений и навыков учащихся, развития школьников, средством организации учебной деятельности. Вследствие этого эффективность учебно-воспитательного процесса во многом зависит от выбора задач, от способов организации деятельности учащихся по их решению, т. е. методики решения задач.

Каждая задача сама по себе обычно представляет некоторое изолированное утверждение или требование и предполагает выполнение определенных действий для ее решения. Однако учитель, ставящий задачу перед учащимися, преследует, как правило, более общие цели. Для него конкретная задача является отдельным звеном в системе задач, узкочастным средством для достижения более общих целей – формирования или закрепления нового понятия, получения новых или активизации старых знаний, демонстрации определенного метода рассуждений, активизации методов доказательства теорем, изложенных в курсе, и т.п.

Не только значимость систем задач обусловливает необходимость формирования у будущих учителей математики умения их конструировать. Главная причина – отсутствие готовых систем задач к уроку. Даже в случае, если авторы учебников и предусматривают системы задач по теме, то при отборе задач к уроку учитель их разрушает.

При обучении математике задачи имеют образовательное, развивающее, воспитательное значение. Они развивают логическое и алгоритмическое мышление учащихся, вырабатывают практические навыки применения математики, формируют диалектико-материалистическое мировоззрение, являются основным средством развития пространственного воображения, а также эвристического и творческого начал.

При обучении теоретическим знаниям задачи способствуют мотивации введения понятий, выявлению их существенных свойств, усвоению математической символики и терминологии, раскрывают взаимосвязи одного понятия с другими.

В процессе изучения теоремы задачи выполняют следующие функции: способствуют мотивации ее введения; выявляют закономерности, отраженные в теореме; помогают усвоению содержания теоремы; обеспечивают восприятие идеи доказательства, раскрывают приемы доказательства; обучают применению теоремы; раскрывают взаимосвязи изучаемой теоремы с другими теоремами.

Воспитательное воздействие оказывает общий подход к решению задач: система задач, место, методы и формы ее решения, стиль общения учителя и учащихся, учащихся между собой при решении задач. Решение задач позволяет учащимся воспитывать в себе настойчивость, трудолюбие, активность, самостоятельность, формирует познавательный интерес, помогает вырабатывать и отстаивать свою точку зрения, воспитывать достоинство личности.

Развивающие функции задач заключаются в том, что в деятельности решения задач вырабатываются умения применять теоретические знания на практике, выделять общие способы решения, переносить их на новые задачи, развиваются логическое и творческое мышление, внимание, память, воображение.

С изменением роли и места задач в обучении обновляются и видоизменяются и сами задачи. Раньше они формулировались с помощью слов «найти», «построить», «вычислить», «доказать», в современной школе чаще используются слова «обосновать», «выбрать из различных способов решения наиболее рациональный», «исследовать», «спрогнозировать различные способы решения» и т д.

Решение задач является наиболее эффективной формой развития математической деятельности.


  1. Основные этапы в решении задачи


Процесс решения учебной задачи можно разделить на 4 основные этапы: осмысление условия задачи (анализ условия), поиск и составление плана решения, осуществление плана решения, изучение (исследование) найденного решения.

Осмысление условия задачи (1 этап).

  1. Умение анализировать требование задачи.

Под анализом требования задачи понимается выяснение возможных путей ответа на вопрос задачи. Одним из важнейших компонентов умения анализировать требование задачи является умение преобразовывать требование задачи в ему равносильное.

Формирование этого умения связано с вооружением учащихся как можно большим числом признаков и свойств понятий.

2)Умение анализировать условие задачи.

Под анализом условия задачи можно понимать выявление такой информации, которая непосредственно не задана условием, но присуща ему.

Вся информация может быть разделена на три вида: а) информация, непосредственно заданная в условии; б) информация, полученная непосредственно из условия; в) информация, полученная уже из новой, т.е. выведенной ранее, информации.

Информация первого вида фиксируется чертежом и специальной записью под названием «дано».

Информация второго и третьего видов может быть получена следующими способами: а) получение следствий из непосредственно заданной информации; б) переосмысливания некоторых объектов (фигур, отношений между ними) в плане других понятий; в) замена термина его определением; г) перечисление характеристических свойств понятий; д) интерпретация символических записей; е) перевод содержания задачи на язык специальной теории и наоборот (например, векторной).

Часто внимание учащихся на информации второго и третьего вида не обращается, поэтому дальше выполнения рисунка и записей «дано» и «требуется доказать» самостоятельное решение не двигается.

Нужно учить школьников получать информацию второго и третьего вида. Полезны упражнения вида: 1) в треугольнике АВС двух сумма углов hello_html_m51b42736.gif. Что вы скажете о треугольнике АВС?; 2) АВСD - трапеция. Назовите несколько свойств этой фигуры; 3) Можно ли прямоугольник определить следующим образом: прямоугольником называется параллелограмм, имеющий прямую, содержащую середины его противоположных сторон, своей осью симметрии?; 4). Какой факт выражает эта запись?

Очень важно на уроках выполнять анализ условия задачи всем классом.

Для того чтобы научиться решать задачи, надо приобрести опыт их решения. Редкие ученики самостоятельно приобретают такой опыт. Долг учителя - помочь учащимся приобрести опыт решения задач, научить их решать задачи. Однако помощь учителя не должна быть чрезмерной. Если учитель много будет помогать ученику, на долю последнего ничего не останется или останется слишком мало работы по приобретению опыта решения задач. Так ученик не научится решать задачи. Если же помощь учителя будет мала, ученик также может не научиться решать задача. Учитель должен помогать ученику путем советов, как решать задачу, или вопросов, отвечая на которые ученик успешнее решит задачу. Иногда учитель разыгрывает решение задачи, сам задавая вопросы и сам же отвечая на них. Ученики подражают ему в этом, постепенно приучаясь решать задачи. Но такой вариант обучения требует большей затраты времени и не всегда приводит к хорошим результатам. Можно сказать, что механическое подражание не метод обучения решению задач. Нужны вопросы и советы учителя ученику, вызывающие развивающие мыслительную деятельность школьников, помогающие развивать творческий подход к решению задач.

Такие вопросы и советы должны обладать общностью для различных задач, иначе ученики не научатся решать многие задачи, а будут учиться решать каждую конкретную задачу в отдельности. В то же время вопросы и советы должны быть естественны и просты, должны иметь своим источником простой здравый смысл. Они должны оказывать ученику действенную, но не назойливую помощь. Но одних вопросов и советов учителя ученику недостаточно для обучения решению задач. Нельзя забывать, что "умение решать задачи есть искусство, приобретаемое практикой" .

Вопросы и советы ученику условно можно подразделить на четыре группы. Это подразделение вопросов, вообще говоря, не является категоричным. Может оказаться, что вопросы, рекомендуемые для первого этапа, окажут помощь и на втором этапе, а рекомендуемые для второго этапа - на третьем и т. п. Дело в том, что этапы решения задачи не могут быть строго изолированы один от другого, между ними существует определенная связь, в их единстве заключается процесс решения задачи.

Вопросы и советы для осмысления условия задачи (1-й этап).

Нельзя приступать к решению задачи, не уяснив четко, в чем заключается задание, т. е. не установив, каковы данные и искомые или посылки и заключения.

Первый совет учителя: не спешить начинать решать задачу. Этот совет не означает, что задачу надо решать как можно медленней. Он означает, что решению задачи должна предшествовать подготовка, заключающаяся в следующем: а) сначала следует ознакомиться с задачей, внимательно прочитав ее содержание. При этом схватывается общая ситуация, описанная в задаче; б) ознакомившись с задачей, необходимо вникнуть в ее содержание. При этом нужно следовать такому совету: выделить в задаче данные и искомые, а в задаче на доказательство - посылки и заключения; в) если задача геометрическая или связана с геометрическими фигурами, полезно сделать чертеж к задаче и обозначить на чертеже данные и искомые (это тоже совет, которому должен следовать ученик); г) в том случае, когда данные (или искомые) в задаче не обозначены, надо ввести подходящие обозначения. При решении текстовых задач алгебры и начал анализа вводят обозначения искомых или других переменных, принятых за искомые; д) уже на первой стадии решения задачи, стадии понимания задания, полезно попытаться ответить на вопрос: "Возможно ли удовлетворить условию?" Не всегда сразу удается ответить на этот вопрос, но иногда это можно сделать.

Отвечая на вопрос: "Возможно ли удовлетворить условию?", полезно выяснить, однозначно ли сформулирована задача, не содержит ли она избыточных или противоречивых данных. Одновременно выясняется, достаточно ли данных для решения задачи.

Составление плана решения задачи (2-й этап). Составление плана решения задачи, пожалуй, является главным шагом на пути ее решения. Правильно составленный план решения задачи почти гарантирует правильное ее решение. Но составление плана может оказаться сложным и длительным процессом. Поэтому крайне необходимо предлагать ученику ненавязчивые вопросы, советы, помогающие ему лучше и быстрее составить план решения задачи, "открыть" идею ее решения:

1) Известна ли решающему какая-либо родственная задача? Аналогичная задача? Если такая или родственная задача известна, то составление плана решения задачи не будет затруднительным. Но далеко не всегда известна задача, родственная решаемой. В этом случае может помочь в составлении плана решения совет.

2) Подумайте, известна ли вам задача, к которой можно свести решаемую. Если такая задача известна решающему, то путь составления плана решения данной задачи очевиден: свести решаемую задачу к решенной ранее. Может оказаться, что родственная задача неизвестна решающему и он не может свести данную задачу к какой-либо известной. План же сразу составить не удается.

3) Стоит воспользоваться советом: "Попытайтесь сформулировать задачу иначе". Иными словами, попытайтесь перефразировать задачу, не меняя ее математического содержания.

При переформулировании задачи пользуются либо определениями данных в ней математических понятий (заменяют термины их определениями), либо их признаками (точнее сказать, достаточными условиями). Надо отметить, что способность учащегося переформулировать текст задачи является показателем понимания математического содержания задачи.

Некоторые авторы относят к переформулировке задачи и перевод ее на язык математики, т. е. язык алгебры, геометрии или анализа. Это, скорее, формализация задачи, "математизация" ее. К такому приему и приходится часто прибегать при решении многих текстовых задач.

4) Составляя план решения задачи, всегда следует задавать себе (или решающему задачу ученику) вопрос: "Все ли данные задачи использованы?" Выявление неучтенных данных задачи облегчает составление плана ее решения.

5) При составлении плана решения задачи иногда бывает полезно следовать совету: "Попытайтесь преобразовать искомые или данные". Часто преобразование искомых или данных способствует более быстрому составлению плана решения. При этом искомые преобразуют так, чтобы они приблизились к данным, а данные - так, чтобы они приблизились к искомым. Так, при каждом случае тождественных преобразований данные преобразуются, постепенно приближаясь к результату (искомому). Аналогично уравнение, систему уравнений, неравенство или систему неравенств преобразуют в равносильные, чтобы найти их корни или множество решений.

6) Нередко случается так, что, следуя указанным выше советам, решающий задачу все же не может составить план ее решения. Тогда может помочь еще один совет: "Попробуйте решить лишь часть задачи", т. е. попробуйте сначала удовлетворить лишь части условий, с тем чтобы далее искать способ удовлетворить оставшимся условиям задачи.

7) Нередко в составлении плана решения задачи помогает ответ на вопрос: "Для какого частного случая возможно достаточно быстро решить эту задачу?" Обнаружив такой частный случай, решающий ставит перед собой новую цель - воспользоваться решением задачи в найденном частном случае для более общего (но, может быть, не самого общего) случая. Так можно поступить, постепенно обобщая задачу до исходной, решаемой задачи. Предполагаемый вариант рассуждений - явное применение полной индукции. Итак, совет: "Рассмотрите частные случаи задачной ситуации, решите задачу для какого-нибудь частного случая, примените индуктивные рассуждения".

Осуществление плана решения задачи (3-й этап).

План указывает лишь общий контур решения задачи. При реализации плана решающий задачу рассматривает все детали, которые вписываются в этот контур. Эти детали надо рассматривать тщательно и терпеливо. Но при этом ученику (решающему задачу) полезно следовать некоторым советам:

1) Проверяйте каждый свой шаг, убеждайтесь, что он совершен правильно. Иными словами, нужно доказывать правильность каждого шага ссылками на соответствующие, известные ранее математические факты, предложения.

2) Обратить внимание учащихся на необходимость выбора такого способа оформления решения, чтобы зафиксировать решение в краткой и ясной форме.

Изучение найденного решения задачи (4-й этап).

Заключительный этап является необходимой и существенной частью решения задачи. Основным содержанием его должно быть осмысление выполненного решения, формулирование и решение (если это окажется возможным) других задач, явно связанных с решенной, и извлечение из всей проделанной работы выводов о том, как находятся и выполняются решения.

Таким образом, после оформления решения необходимо выявление идей (главной мысли), положенных в основу решения. Решение задачи несколькими способами является одним из путей проверки правильности полученного результата; важно сопоставление найденных решений, выделение более рациональных и поучительных. Это путь воспитания гибкости математического мышления и находчивости.

Даже очень хорошие ученики, получив ответ и тщательно изложив ход решения, считают задачу решенной. А ведь получение результата не означает еще, что задача решена правильно. Тем более не означает, что для решения выбран лучший, наиболее удачный, изящный, если можно так выразиться, вариант.

По В. М. Брадису, задачу можно считать решенной, если найденное решение: 1) безошибочно, 2) обоснованно, 3) имеет исчерпывающий характер.

Проверка результата может производиться различными способами. Проверяя правильность хода решения, мы тем самым убеждаемся и в правильности результата.

Второй способ проверки результата заключается в получении того же результата применением другого метода решения задачи, поэтому полезно всегда задавать решающему вопрос: "Нельзя ли тот же результат получить иначе?" Иными словами, стоит последовать совету: "Решите задачу другим способом". Если при решении задачи другим способом получен тот же результат, что и в первом случае, задачу можно считать решенной правильно. К тому же получение различных вариантов решения одной и той же задачи имеет важное обучающее значение.

Может оказаться, что общие вопросы не окажут помощи какому-то ученику. Тогда надо обратиться к дополнительным, более частным вопросам, так чтобы дойти до вопросов, соответствующих уровню развития и математической подготовке ученика. Переходить к частным, конкретным вопросам надо постепенно, чтобы на долю ученика досталась наибольшая часть работы по решению задачи. Задавая более частные, дополнительные вопросы, нужно учитывать следующее: вопросы должны быть такими, чтобы они направляли мысль ученика в нужную сторону, заставляя его активно мыслить над решением задачи. Разумеется, предлагая вопросы ученикам, надо предоставить время на обдумывание ответов на эти вопросы.


  1. Общие умения по решению задач



Умение самостоятельно решать задачи - важное умение не только для тех, кто будет в дальнейшей жизни заниматься математикой, но и для всех учащихся. Человеку в повседневной жизни приходится постоянно решать задачи и даже ставить их, правда, они несколько отличаются от школьных задач, иногда своей неопределенностью, иногда неразрешимостью. Умение организовать поиск - черта активной, самостоятельной личности. Умение самостоятельно решать задачи является показателем высокого интеллектуального развития. К сожалению, в школьной практике довольно часто можно наблюдать отсутствие этого умения. Из каких составляющих, из каких отдельных умений складывается общее умение решать задачи?

Это:

  • умение проводить анализ условия задачи;

  • умение применять изученную теорию (определение, теорему, правило) на практике; это умение предполагает узнавание возможности применения теории и собственно применение, поэтому теорема, определение, правило принимают в сознании вид алгоритма или предписания, по которому совершается действие;

  • умение выделять основную идею в решении отдельной задачи, находить общее в решении нескольких задач и переносить эту идею, это общее на новую задачу;

  • умения по самооценке своей деятельности, самоконтролю.





  1. Классификация задач.


В современной методической и психологической литературе принята классификация задач. По характеру требования:

  • - задачи на доказательство;

  • - задачи на построение;

  • - задачи на вычисление.

По функциональному назначению:

  • - задачи с дидактическими функциями;

  • - задачи с познавательными функциями;

  • задачи с развивающими функциями.

По величине проблемности:

  • стандартные;

  • обучающие;

  • поисковые;

  • проблемные.

По методам решения:

  • задачи на геометрические преобразования;

  • задачи на векторы и др.

По числу объектов в условии задачи и связей между ними:

  • простые;

  • сложные.

По компонентам учебной деятельности:

  • организационно-действенные;

  • стимулирующие;

  • контрольно-оценочные.

Кроме того, различают задачи: стандартные и нестандартные; теоретические и практические; устные и письменные; одношаговые, двушаговые и др.; устные, полуустные, письменные и т.д.

При организации процесса обучения учащихся решению математических задач учитель сталкивается с вопросами: задачи какой сложности предложить ученикам, знакомы ли школьники с теми действиями, которые нужно применить при решении задач и т.п.

Если взять за основу следующую классификацию задач: на вычисление, на доказательство, на построение, на исследование, то такое деление не может быть инструментом в обучении школьников решению задач, потому что задачи этих видов не отличаются друг от друга уровнем сложности, характером деятельности человека по их решению. Например, в задачах на вычисление и построение приходится много доказывать, а в задачах на построение и доказательство приходится много исследовать и т.д., поэтому такая классификация задач ничего не дает. Кроме того, задачи делят на правильные, с противоречивыми данными, с лишними данными, теоретические и практические, стандартные и нестандартные и т.д.

В задаче выделяют основные компоненты:

1. Условие - начальное состояние;

2. Базис решения - теоретическое обоснование решения;

3. Решение - преобразование условия задачи для нахождения требуемого заключением искомого;

4. Заключение - конечное состояние.

Математическими считаются все задачи, в которых переход от начального состояния (1) к конечному (4) осуществляется математическими средствами, т.е. математическим характером компонентов: обоснование (2) и решение (3).


  1. Организация обучения решению математических задач


Фронтальное решение задач. Под фронтальным решением задач обычно понимают решение одной и той же задачи всеми учениками класса в одно и то же время. Организация фронтального решения задач может быть различной.

1) Устное фронтальное решение задач наиболее распространено в IV-VII классах, несколько реже, хотя и находит применение, в старших классах средней школы. Это прежде всего выполняемые устно упражнения в вычислениях или тождественных преобразованиях и задачи-вопросы, истинность ответов на которые подтверждается устными доказательствами. В настоящее время учителя математики IV-VII классов почти на каждом уроке проводят "пятиминутки" устных упражнений. К сожалению, часто этим и ограничивается выполнение устных упражнений. А надо отметить, что одной из задач обучения математике является обучение быстрым устным вычислениям. Решения этой задачи надо добиваться на всех этапах обучения, поэтому там, где это возможно (а не только на "пятиминутках" устного счета), вычисления следует выполнять устно. Если ученики научатся устно выполнять вычисления и несложные преобразования, то на уроках математики, физики, химии освободится значительная часть времени, которое сейчас расходуется на нерациональное выполнение вычислений и выкладок.

При организации устных фронтальных упражнений следует учесть, что использование табличек, таблиц, кодоскопа и других средств представления учащимся устной задачи значительно экономит время устных упражнений и оживляет уроки математики.

Таблички изготавливает обычно учитель или отдельные ученики по его заданию. Например, таблички с заданиями для устных вычислений при изучении умножения дробных и целых чисел (удобные размеры табличек 300 х 150мм).

Таблицы для устных упражнений могут иметь различную форм и применяются неоднократно с различными заданиями.

Как таблички, так и таблицы могут быть изображены на пленке и спроецированы на экран или доску через кодоскоп. Изготовление табличек и таблиц - более трудоемкое дело, чем кодопозитивов, а результаты использования практически равноценны.

2) Письменное решение задач с записью на классной доске. В практике обучения немало таких ситуаций, в которых удобнее, чтобы одну и ту же задачу решали все ученики класса одновременно с решением этой же задачи на доске. При этом задачу на доске может решать либо учитель, либо ученик по указанию учителя.

Наиболее часто такую организацию решения задач на уроках математики применяют: а) при решении первых после показа учителем задач по ознакомлению с новыми понятиями и методами; б) при решении задач, самостоятельно с которыми могут справиться не все ученики класса; в) при рассмотрении различных вариантов решения одной и той же задачи - для сравнения и выбора лучшего варианта; г) при разборе ошибок, допущенных несколькими учениками класса при самостоятельном решении задачи и т.д. Во всех этих случаях бывает полезно и коллективное решение (или коллективный разбор решения задач).

Рассмотрим подробнее, как можно провести сравнение различных вариантов решения задачи. Учитель может при фронтальном устном анализе условия задачи наметить вместе с учениками несколько вариантов решения задачи. Некоторые из них как нерациональные могут быть сразу отвергнуты. Другие же не отвергнутые варианты для лучшего рассмотрения, оценки и сравнения стоит записать на доске. В этих целях можно сразу вызвать двух-трех учеников к доске для одновременного решения задачи разными способами (если позволяют размеры доски). Надо только учесть, что руководство решением задачи в этом случае требует некоторого мастерства от учителя: необходимо правильно распределить свое внимание между учащимися, решающими задачу у доски, и остальными учениками класса. Нужно также предусмотреть, чтобы внимание учащихся класса, решающих задачу, не рассеивалось действиями учеников у доски. Можно варианты решения воспроизводить на доске поочередно, но это займет больше времени. Для ускорения работы учитель может сам быстро выполнить на доске необходимые записи некоторых вариантов решения. Возможно также использовать кодоскоп, с помощью которого можно воспроизводить заготовленные заранее записи других решений задачи.

3) Письменное самостоятельное решение задач. Наиболее эффективной является такая организация решения математических задач, при которой ученики обучаются творчески думать, самостоятельно разбираться в различных вопросах теории и приложений математики. Самостоятельное решение учащимися задач на уроках математики имеет многие преимущества.

Во-первых, оно значительно повышает учебную активность учащихся, возбуждает их интерес к решению задач, стимулирует творческую инициативу. Таким образом, повышается эффективность урока. Самостоятельное решение задач развивает мыслительную деятельность учащихся, а в этом заключается одно из основных назначений задач и упражнений на уроках математики.

Во-вторых, не имея возможности копировать решение задачи с доски, ученик вынужден сам разбираться в решении задачи, а потому и лучше готовиться к урокам математики.

В-третьих, самостоятельное решение математических задач часто сокращает время, необходимое для опроса учащихся на уроках математики, так как оценивать успехи учащихся в некоторых случаях можно и по итогам самостоятельного решения задач.

В-четвертых, учитель получает возможность направлять индивидуальную работу учеников по решению задачи, предотвращать ошибки, указывать пути их исправления.

Допустимы различные формы организации самостоятельного решения задач учащимися.

Некоторые учителя так организуют самостоятельные работы по решению задач на уроках математики: учитель подбирает задачи; в процессе работы учитель помогает некоторым ученикам советом, как лучше их решить, другим он советует обратиться к учебнику, третьи справляются с работой без помощи учителя. Учитель все время наблюдает за работой учеников, отмечая, кому из учеников и в чем он помог. Затем самостоятельная работа проверяется и оценивается с учетом степени самостоятельности ученика. При такой организации самостоятельной работы осуществляется и обучение, и контроль знаний по изучаемому разделу математики. Чаще всего учитель заранее предопределяет цели самостоятельных работ по решению задач. Такие работы могут быть обучающими новым знаниям, умениям и навыкам, могут быть предназначены для закрепления изученного и тренировки в применении теоретических сведений, могут быть предложены с целью проверки подготовленности учащихся по изученным вопросам. На обучающих самостоятельных работах по решению математических задач учитель может оказывать помощь отдельным учащимся, а может предложить самостоятельное решение задачи после предварительного ее анализа и составления плана решения.

Существуют и такие формы самостоятельных обучающих работ по математике, при выполнении которых учащиеся самостоятельно изучают небольшой теоретический материал, разбирают образцы решения задач, предложенные учителем, самостоятельно решают аналогичные задачи.

Для лучшего проведения самостоятельных работ учащихся по решению математических задач полезно перед началом такой работы проводить инструктаж, в котором четко указать, что должны выполнить учащиеся в такой работе, каков порядок ее выполнения, сроки и пр. Желательно после проверки правильности самостоятельных решений проанализировать с учащимися результаты такой работы. Это возможно на следующих уроках или на консультациях.

4) Комментирование решения математических задач. Комментирование решения задач заключается в следующем: все ученики самостоятельно решают одну и ту же задачу, а один из них последовательно поясняет (комментирует) решение. Некоторые учителя превращают комментирование в запись под диктовку: один ученик воспроизводит голосом все, что он записывает в тетрадь (без каких-либо пояснений), а все остальные поспешно записывают сказанное им. Ясно, что такое применение комментирования не приносит должной пользы.

Комментирование обозначает объяснение, толкование чего-нибудь. Именно так и следует понимать комментирование при решении математических задач. Ученик-комментатор объясняет, на каком основании он выполняет то или иное преобразование, проводит то или иное рассуждение, построение. При этом каждый шаг в решении задачи должен быть оправдан ссылкой на известные математические предложения. Вот пример комментирования: "Доказать, что сумма трех последовательных натуральных чисел не может быть простым числом.

Обозначим первое из этих чисел буквой n. Тогда два следующих за ним числа запишутся n+1, n+2, так как второе на 1, а третье на 2 больше первого числа. Запишем сумму этих трех чисел и преобразуем ее. Сначала раскрываем скобки, применяя сочетательный закон сложения. Затем приводим подобные члены. Вынося общий множитель (по распределительному закону), получаем результат. Полученное выражение есть произведение двух множителей 3 и n +1, а потому оно не может быть простым числом ни при каких натуральных значениях n."

Такое комментирование приносит явную пользу при решении задач. Учащиеся, даже недостаточно подготовленные по математике, услышав объяснение следующего этапа в задаче, постараются выполнить его самостоятельно. Правда, такое объяснение требует от учеников не только формального решения задачи, но, что очень важно, и понимания существа выполняемого преобразования, активной работы мысли. Но ведь этого и следует добиваться при решении задач.

Индивидуальное решение задач.

Необходимость индивидуального подхода при организации обучения решению задач. Фронтальное решение учебных математических задач не всегда приводит к желаемым результатам в обучении математике. При фронтальной работе все ученики класса решают одну и ту же задачу. Для одних учащихся эта задача может оказаться очень легкой, и они при решении такой задачи практически не почерпнут ничего нового. У других, наоборот, задача может вызвать серьезное затруднение. Поэтому необходим учет индивидуальных особенностей учащихся и в связи с этим индивидуальный подбор задач. Задачи следует подбирать и систематизировать так, чтобы, с одной стороны, учитывались возможности и способности ученика, с другой стороны, его способности развивались бы.

Задача учителя заключается, следовательно, в том, чтобы выяснить подготовку, возможности и способности к изучению математики каждого ученика класса и в соответствии с этим организовать решение математических задач. Важна индивидуализация учебных математических задач по силам и возможностям учащихся. Это позволяет овладеть необходимыми умениями и навыками слабым ученикам и в значительной степени совершенствоваться более сильным.

Индивидуализация самостоятельных работ учащихся по решению задач. В условиях, когда все ученики самостоятельно решают одну и ту же задачу, учитель может учитывать индивидуальные особенности учащихся лишь при оказании им помощи в решении задачи, при проверке выполненной работы. При этом не полностью учитываются возможности учащихся. Для более полного учета способностей и математической подготовки учащихся, использования их возможностей необходимо предлагать для самостоятельного решения учащихся не одинаковые, а различные задачи с учетом индивидуальных особенностей ученика. Но поскольку в классе есть примерно равные по успехам в математике ученики, то можно подбирать задачи не для каждого ученика в отдельности (это было бы затруднительно для учителя), а для отдельных групп школьников класса. В этих целях полезно использовать издающиеся теперь "Дидактические материалы по алгебре", "Дидактические материалы по геометрии" для различных классов. При такой постановке обучения слабые ученики, справившись самостоятельно или при помощи учителя с простейшими задачами, обретают веру в свои силы. Сильные же учащиеся имеют возможность совершенствовать свои способности и познания в математике. Разумеется, подбор индивидуальных заданий преследует цель для каждой выбранной учителем группы учащихся составить систему задач. Эти группы не должны иметь постоянного состава: по мере овладения необходимыми знаниями учащиеся "переводятся" из группы для менее подготовленных в другую - для более подготовленных.

Индивидуализация самостоятельных работ учащихся по устранению пробелов в знаниях математики. Исключительное значение приобретают самостоятельные работы учеников по устранению пробелов в знаниях математики. Такие пробелы могут быть выявлены с помощью проверочных и контрольных работ, а также при решении задач на уроке или дома. Ученикам, работающим над устранением пробелов в своих знаниях по математике, надо указать в тетради допущенные ошибки. При этом сильным ученикам достаточно подчеркнуть неверный результат, а ошибку такой ученик найдет сам.

Одним ученикам полезно подчеркнуть допущенные ошибки, а некоторым, наиболее слабо подготовленным, исправить. В тетрадях указываются разделы учебника, которые ученик обязан восстановить в своей памяти, и выписываются. Задачи (можно указать номера задач из задачников или учебников), которые надлежит ученику решить, чтобы восполнить имеющийся пробел в знаниях и умениях. Конечно, задачи подбираются с учетом причин, вызвавших ошибку. Дело в том, что одна и та же ошибка может быть допущена по различным причинам и устранять надо не ошибку, а причину, ее породившую. Такая организация решения задач по ликвидации пробелов в знаниях школьников приносит большую пользу, чем фронтальные работы над ошибками. При этом учитываются как индивидуальные особенности учащихся, так и характер изучаемого материала.

Домашнее решение задач учащимися.

Содержание задач и упражнений, предлагаемых для домашней работы учащихся, должно быть подготовлено предшествующей работой на уроке. Это не означает, что для домашнего решения должны предлагаться лишь задачи, аналогичные решенным в классе. Такие домашние задания мало помогают усвоению математики. Решая домашние задачи "как в классе", ученики в лучшем случае прибегают к аналогии, а одной аналогии для обучения решению задач недостаточно. При такой работе ученики, как правило, сначала решают задачи (выполняют письменное задание), а затем читают учебник по математике. Порядок же должен быть иной: сначала повторение по учебнику теоретических сведений, затем решение задач.

Домашнее задание имеет целью не только повторение изученного на уроке, но и дальнейшее совершенствование математических знаний, умений и навыков. С учетом этого оно и должно быть составлено. Учитель дает необходимые указания по решению домашних задач, однако не устраняет всех трудностей, которые должны преодолеть учащиеся в процессе решения домашних задач. Ученики, решая задачи самостоятельно дома, обязаны проявлять свою инициативу, смекалку и настойчивость, мобилизовать для решения задач свои знания. Домашние задания по решению задач целесообразно связывать с углублением и уточнением изученного, с открытием каких-то новых его сторон.

Поскольку ученики обычно имеют индивидуальные особенности, различную подготовку по математике, следует индивидуализировать домашние задания по решению математических задач. При этом надо учитывать многие факторы: ученики при решении домашних задач должны устранить пробелы в знаниях (у кого они имеются), закрепить приобретенные на уроке знания, совершенствовать их. Через индивидуальные домашние задания (параллельно с работой на уроке) можно выявить наклонности отдельных учащихся, воспитывать у них увлечение математикой. Посильные же задания для слабых и отстающих учащихся помогут им преодолеть многие трудности в обучении решению задач. Надо заметить, что ученики с особым желанием решают задачи, предложенные им в индивидуальном порядке. Такие задания можно заготовить на специальных карточках.


  1. Системы упражнений и требования к ним


В методике преподавания математики существуют две различные точки зрения на упражнения. Одна из них понятие упражнения рассматривает как синоним понятия задача, и исходя из этого упражнения наделяются различными функциями: мотивационной, организации подготовки к изучению нового материала, усвоения, закрепления и повторения изученного.

Чтобы специально выделить этапы закрепления и применения знаний, выяснить особенности организации деятельности учащихся на этих этапах, рассмотрим упражнения в их традиционном смысле - как многократное выполнение сходных действий с целью овладения умениями и навыками. С точки зрения теории деятельности упражнение - это та задача, для решения которой имеется ориентировочная основа. Упражнение предназначено для усвоения способа действия, отдельных операций действия, доведения действий до свернутой формы - до операции. При таком понимании упражнение - частный случай задачи, используемый при закреплении и применении.

В школьном курсе математики закреплению подлежат определения понятий, теоремы, правила, предписания по выполнению определенных действий.

При закреплении определений необходимо предусмотреть упражнения на выделение существенных свойств понятий, на их запоминание, на установление взаимосвязей между существенными свойствами, на усвоение терминологии, на установление объема понятия, на узнавание понятия, на выделение «зоны поиска» понятия, на получение следствий из имеющихся свойств понятий, раскрытие взаимосвязей с другими понятиями.

При закреплении теорем упражнения способствуют анализу формулировки и ее усвоению, запоминанию, узнаванию, уяснению области применения теоремы, получению следствии из теорем, установлению взаимосвязей с различными теоремами.

При закреплении правил, предписаний отрабатываются отдельные шаги и действие целиком, выясняется область их применения, особые случаи их использования.

Умения и навыки создаются в процессе выполнения упражнений, но не всякая их система приводит к формированию соответствующих умений и навыков.

Вопрос о системах упражнений является объектом внимания методистов, психологов, учителей. Однако он еще не стал традиционным вопросом методики преподавания математики, таким, например, как методика решения задач, изучения понятий. Есть необходимость в специальном рассмотрении вопроса в силу следующего важного обстоятельства.

В ряде школьных учебных пособий системы упражнений страдают различными недостатками, очень часто учителю самому приходится отбирать упражнения из имеющейся системы.

Укажем отдельные закономерности, которых полезно придерживаться при отборе и составлении системы упражнений и при их выполнении.

Принципы отбора и составления систем упражнений.

Рассмотрим вначале реализацию при отборе и составлении системы упражнений одного из основных педагогических принципов - принципа систематичности. Анализируя процесс познания, исходя из этого принципа, можно выделить следующие этапы при изучении нового материала (понятий, теорем, правил): изучение понятия, теоремы, правила как отдельно взятого факта, изолированного от ранее изученного материала, как факта самого по себе; установление связей между вновь изученным фактом и ранее изученным материалом, включение нового в различные системы изученного; систематизация накопленного материала с учетом вновь изученного факта.

Соответственно этим этапам все упражнения можно разделить на три вида: упражнения на изучение отдельных фактов изолированно от ранее изученного; упражнения, связывающий новый факт с ранее изученным, позволяющие рассматривать новый факт как элемент других систем и, наконец, упражнения на систематизацию изученного материала. Остановимся кратко на каждом виде упражнений.

Когда можно считать понятие, теорему, правило усвоенными учеником? Это возможно, если ученик понимает каждое слово в формулировке, запоминает формулировку, узнает и применяет их в стандартных и нестандартных ситуациях, когда факт встроен в имеющуюся систему знаний и умений.

Первый вид упражнений обеспечивает понимание и запоминание, а также узнавание и применение понятия, теоремы, правила в простейших случаях. Первый вид упражнений способствует рассмотрению объекта вне содержащей его системы. При этом объект подвергается всестороннему анализу. Эти упражнения не несут нагрузки в плане создания системы знаний. Упражнения этого вида, как правило, не требуют привлечения дополнительных сведений, кроме изученного факта. При отборе и составлении упражнений на этом этапе необходим детальный анализ формулировки определений, теорем, правил. Каждая составная их часть, каждое существенное свойство и отношения между ними находят свое отражение в упражнениях этого вида. Упражнения первого вида включают в себя отработку всех существенных сторон понятий, теорем, правил.

Например, при изучении понятия гомотетии упражнения первого вида могут выглядеть следующим образом:

1. Укажите, что означает тот факт, что гомотетия является преобразованием фигуры.

2. Укажите порядок действий при построении точки, гомотетичной данной, с центром гомотетии 0 и коэффициентом к.

3. Постройте точки, в которые переходит данная точка при гомотетии с центром 0 и коэффициентом: а) 2; 6) 5; в) ; г) 1.

4. Укажите положение точки А, если известен центр и коэффициент гомотетии и точка , в которую перешла точка А.

5. Найдите коэффициент гомотетии, если известно положение трех точек О, X, , где О - центр гомотетии, X - данная точка, - ей гомотетичная.

Второй вид упражнений предполагает связывание вновь изученного материала с ранее изученным. Происходит многократное взаимодействие различных систем знаний, развитие старых знаний под воздействием новых.

Одновременно этот вид упражнений является препятствием на пути забывания старого, что происходит достаточно интенсивно, это подтверждает график забывания информации

Отдельные авторы считают, что выходом из такого положения является включение упражнений на повторение, сходных по некоторым несущественным признакам с упражнениями на закрепление нового материала, но в существенной части отличных от них.

Например, при решении упражнений на умножение смешанных чисел одновременно выполняются упражнения на сложение смешанных чисел. Такие упражнения одновременно выполняют функцию контр-примеров при изучении нового, что позволяет концентрировать внимание решающих на существенном и формировать устойчивые умения.

Такой подход важен, но не менее важно целенаправленное непрерывное повторение, непосредственно связываемое с изучением нового. Оно актуально также вследствие дефицита времени на организацию специального повторения. Непрерывное повторение позволит организовать рассредоточенное повторение материала, которое, является более эффективным, чем концентрированное. При необходимости любое содержание из изученного ранее может быть повторено при решении задач на применение вновь изученного материала.

Например, в действующих пособиях по планиметрии изучается богатая по своему применению теорема о вписанном угле. Применение этой теоремы может быть значительно расширено за счет установления взаимосвязей названной теоремы с такими разделами, как, например, координаты, векторы и т. д. Примеры таких задач:

ЗАДАЧА 1. Даны три точки А(1;1), В(4;I), С(4;5). Доказать, что центр описанной около треугольника АВС окружности лежит на одной из его сторон.

ЗАДАЧА 2. Найти углы, образованные радиусами АО, ВО и ОС окружности, описанной около треугольника АВС, если А (0;3), В (2;3), С и т. д.

Аналогично можно связать с системой ранее изученного любое вновь изучаемое содержание.

Третий вид упражнений упражнения на систематизацию материала, полученного при выполнении упражнений первого и второго видов. Это могут быть упражнения на классификацию понятий, на установление генетических взаимосвязей между понятиями.

Например, установить зависимость между понятиями «подобие», «движение», «преобразование фигуры» (провести стрелки от более общего понятия к менее общему).

Составление генеалогических деревьев для понятия предполагает связывание в систему нескольких понятий раздела. Например, для понятия «угол» родословная таблица может выглядеть следующим образом:

Упражнениями третьего вида могут быть упражнения: на установление взаимосвязей между теоремами, например, указать взаимосвязь между теоремами Пифагора и косинусов; на построение родословных теорем, выделение свойств и признаков понятия, на группировку задач, теорем по методам их решения, доказательства.

Возможна систематизация материала по различным основаниям: выделение всех известных свойств некоторого понятия, всех полученных признаков, различных инвариантов преобразований, выделение сходного и различного в определениях, теоремах, методах решения, проведение сравнения и обобщения.


Например:

  • - выделить все известные свойства подобных треугольников:

  • - сформулировать все признаки подобных треугольников;

  • - перечислить преобразования фигур, которые сохраняют неподвижной хотя бы одну точку;

  • - указать различие в положении соответствующих при гомотетии точек, если к > I, к = I и к < I;

  • - выделить общие свойства равностороннего треугольника и квадрата;

  • - сравнить свойства равных и подобных треугольников;

  • - сравнить признаки равных и подобных треугольников;

  • - привести примеры понятий, в определении которых используется понятие равных отрезков;

  • - привести возможные различные определения понятия квадрат и т. д.

Систематизации знаний, их гибкости способствует выполнение упражнений, направленных на выявление возможных различий в чем-то сходных ситуаций, требующих использования различных теоретических сведений. Пример такого упражнения: покажите, как следует провести плоскость сечения, чтобы в сечении куба этой плоскостью получить: 1) квадрат; 2) прямоугольник; 3) трапецию; 4) четырехугольник, не имеющий параллельных сторон; 5) равносторонний треугольник; 6) равнобедренный треугольник; 7) разносторонний треугольник; 8) прямоугольный треугольник.

Уровни систематизации материала при этом могут быть различными: локальная систематизация на уровне двух фактов, систематизация внутри одной темы, внутри нескольких тем, внутри всего предмета, между предметами.



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На уроках математики ученик сосредотачивается не только на ее абстрактной сущности, но и на содержательном материале задач.

Надо тщательно продумывать выбираемый материал. Кроме того, уметь рассказать учащимся об исторических фактах так, чтобы пробудить их интерес и извлечь максимальный эффект, как для математического развития, так и для воспитания общекультурных ценностей.

Перед учителем математики стоит нелегкая задача – преодолеть в сознании учеников представление о «сухости», формальном характере, оторванности этой науки от жизни и практики. Работать над реализацией прикладной направленности обучения надо очень серьезно, ведь она влечет за собой развитие познавательной активности учащихся. Перебрать десяток методов и выбрать нужный, перебрать десятки учебников, но думать самому, вечно изобретать, совершенствоваться. И все для того, чтобы разбудить детей, ввести их в царство мысли, подготовить школьников к практической деятельности.
















Краткое описание документа:

Относительно недавно сформировался «задачный» подход, который основной акцент делает на разрешение в ходе обучения различных задач, вопросов, ситуаций и т.д. Единица такого обучения – интеллектуальное умение (или даже навык), позволяющее разрешать учебные задачи, давать ответ на вопросы. «Задачный» подход интенсивно развивает интеллектуальную сферу сознания, но в отличие от «знаниевого» - прежде всего, логическое мышление. Суть «знаниевого» метода заключается в том, чтобы передать учащимся необходимый объём знаний. Единица обучения – порция знаний, т.е. предметной информации, в которой ученики должны осознать значение и смысл. «Знаниевый» подход развивает почти исключительно интеллектуальную сферу сознания, причём только ту её часть, которая связана с памятью, совершенно не затрагивая волевую, эмоционально – чувственную и мотивационную сферы сознания обучаемых. Преобладание «знаниевой» подготовки над всеми остальными видами обучения приводит к развитию формального уровня образования. Специально организованное, правильно и систематически осуществляемое обучение в виде разрешения разнообразных учебных задач расширяет возможности обучения. Развивается ориентированная сторона учебной деятельности, когда ученик активно занимается поиском правильного решения, самостоятельно добывает новые знания. Кроме того, возрастает роль аналитико – поисковой деятельности по определению последствий учебных действий, сокращается набор «проб» и «ошибок», появляется стремление найти все возможные для данной задачи решения, возрастает вариативность действий.
Автор
Дата добавления 18.05.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1500
Номер материала 107519051839
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх