- 18.05.2014
- 1202
- 18
Тема урока: Теорема о трёх перпендикулярах.
Цели урока:
Образовательная: изучить и доказать теорему о трех перпендикулярах; Развивающая: развивать пространственное воображение, познавательный интерес, умения обобщать, абстрагировать и конкретизировать свойства изучаемых объектов и отношений, учить делать выводы;
Воспитательная: воспитывать ответственное отношение к учебному труду, эстетический вкус.
Тип урока: урок усвоения новых знаний
Методы обучения: репродуктивный и эвристический.
Оборудование: компьютер, мультимедиа проектор, презентация, набор чертежных инструментов.
Литература:
1. А. С. Атанасян. Геометрия для 10-11 кл./ А. С. Атанасян. - М.: Просвещение, 2010. - 384 с.
2. Н. Ф. Гаврилова. Поурочные разработки по геометрии к учебному комплекту Л.С. Атанасяна и др. для 10 кл. 2010. – 304 с.
3. Ю. М. Колягин. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики. Учеб. Пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов/ Ю. М. Колягин. – М.: Просвещение, 1977. – 480 с.
4. Саранцев Г.И. «Методика обучения математики в средней школе.: учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-в» М.: Просвещение, 2005. – 224 с
План урока
1. Организационный момент (2 мин.).
2. Актуализация знаний (5 мин.).
3. Изучение нового материала (15 мин.).
4. Закрепление изученного материала (20 мин.).
5. Подведение итогов урока и домашнее задание (3 мин.).
Ход урока:
1. Организационный момент (2мин)
Включает в себя приветствие учителем класса, проверку отсутствующих.
(Слайд 1)
Учитель: Сегодня на уроке мы и попытаемся разгадать одну из загадок, о которых говорится в этом отрывке из стихотворения Пифагора. И для этого нам пригодятся те знания, которые вы получили на предыдущих уроках, а именно, о перпендикулярных прямых в пространстве и перпендикулярности прямой и плоскости.
2. Актуализация знаний (5 мин)
Теоретический опрос (фронтальная работа с классом).
Учитель: Угол между прямыми равен 900. Как называются эти прямые? Как они могут располагаться в пространстве?
(Слайд 2)
Ученик: Перпендикулярные. Пересекаться, скрещиваться.
Учитель: Верно ли утверждение: «Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости?»
(Слайд 3)
Ученик: Да
Учитель: Продолжите предложение: «Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то…»
(Слайд 4)
Ученик: то она перпендикулярна к этой плоскости.
Учитель: Что можно сказать о двух (3 – х, 4 – х) прямых, перпендикулярных к одной плоскости?
(Слайд 5)
Ученик: Они параллельны.
Учитель: Две прямые перпендикулярные третьей прямой, …
(Слайд 6)
Ученик: параллельны.
Учитель: Как определяется расстояние от точки до прямой? (вспомнить как называются отрезки АН, АМ, т. Н ). Почему отрезок АН < АМ?
(Слайд 7)
Ученик: АН-перпендикуляр, проведенный к плоскости основания, АМ- наклонная, проведенная из точки А к плоскости основания, точка Н- основание перпендикуляра. АН катет, АМ гипотенуза в прямоугольном треугольнике АМН.
Учитель: А как же определить расстояние от точки до плоскости? (Дать определение отрезка МН, т. М)
Ученик: Это длина перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости основания, т.е. длина АН. МН- проекция наклонной на плоскость, точка М- основание наклонной.
Учитель: В пространстве нужно уметь находить расстояние не только от точки до плоскости, но и между параллельными плоскостями, прямой и параллельной ей плоскостью, скрещивающимися прямыми. Посмотрим, как же это сделать.
(Запись на доске и в тетрадях учащихся) (Слайд 8)
Учитель: Решите задачу.
(Слайд 9)
Учитель: Посчитаем, сколько и какие перпендикуляры участвуют в этой задаче?
Ученик: 3 - НС, МС, РК.
Учитель: Причём все перпендикуляры пересекаются в одной точке и два из них лежат в одной плоскости, а третий ей не принадлежит. Оказывается, что это не случайно и эта закономерность не что иное как теорема, о которой мы с вами будем говорить на уроке и которую мы практически доказали не зная её формулировки. Записываем тему урока.
(Слайд 10)
(Запись на доске и в тетрадях) Теорема о трех перпендикулярах.
3. Изучение нового материала (15 мин)
(Запись на доске и в тетрадях)
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
Доказательство.
Учитель: Постройте рисунок, приведенный на доске
(Слайд 11)
Обратимся к данному чертежу. Докажем,
что 
АМ. Для этого рассмотрим плоскость
АМН.
(Запись на доске ): Рассмотрим плоскость АМН.
Учитель: Что можно сказать о прямой а?
Ученик: Прямая а перпендикулярна к этой
плоскости, т.к. она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым АН и МН,
лежащим в плоскости АМН, (
по условию и 
,т.к. АН
).
(Запись на доске )
а
,т.к. а
АН и а
, АН и МН
АМН, АН и МН-скрещивающиеся.
Учитель: А отсюда следует, что прямая
а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости АМН, в частности 
АМ. Теорема доказана.
(Запись на доске)
Следовательно, АМ.
(Запись на доске и в тетрадях)
Рассмотрим плоскость АМН.
а,т.к. аАН и а
, АН и МНАМН, АН и МН-скрещивающиеся.
Следовательно, АМ.
Учитель: Справедлива обратная теорема? (Слайд 12)
Ученик: Да, справедлива.
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной, перпендикулярна и к ее проекции.
Учитель: Эту теорему докажите самостоятельно, по аналогии дома.
4. Закрепление изученного материала (20 мин)
Задача 1. Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Доказать, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника. (Слайд 13)
Учитель: Зарисуйте чертеж, изображенный на слайде.
(Запись на доске и в тетрадях учащихся):
Дано: в треугольник вписана окружность, А,В,С- точки касания сторон треугольника с окружностью, О- центр окружности, S- точка на перпендикуляре
Решение.
Ученик:
1)А,В,С- точки касания сторон треугольника с окружностью, О- центр окружности, S- точка на перпендикуляре.
2) Так как радиус ОА перпендикулярен стороне треугольника, то по теореме о трех перпендикулярах: SА- перпендикуляр к этой стороне.
3)По теореме Пифагора:
где r-радиус вписанной окружности
4)
5)
Т.е. расстояния от S до сторон треугольника равны .
(Слайд 14)
Задача 2. Прямая а перпендикулярна плоскости
АВС. MD = 13. АС = 15, ВС = 20. АС
ВС, МDАВ. Найти MC.
Учитель: Зарисуйте чертеж, изображенный на слайде.
(Запись на доске и в тетрадях учащихся):
(Слайд 14)
Ученик: Рассмотрим треугольник АВС. Угол С-
прямой, АВ – гипотенуза, тогда по теореме Пифагора 
= 
, АВ= 25.
(Запись на доске )
1)по теореме Пифагора 
= 
, АВ= 25.
Ученик: По теореме о трех перпендикулярах CD перпендикулярно AB.
(Запись на доске ):
2)по теореме о трех перпендикулярах CDАВ. Следовательно,
AB:AC = AC:AD. Отсюда AD = 9.
Ученик: Из треугольника ADC найдем катет DC.
(Запись на доске ):
3)
, DC=12.
Ученик: Из треугольника MDC по теореме Пифагора найдем МС.
(Запись на доске)
4)
, MC=5.
(запись на доске и в тетрадях)
1)по теореме Пифагора 
= 
, АВ= 25.
2)по теореме о трех перпендикулярах CD
АВ. Следовательно,
AB:AC = AC:AD. Отсюда AD = 9.
3)
, DC=12.
4)
, MC=5.
5. Подведение итогов урока и домашнее задание (3 мин)
Учитель: Итак, что нового мы узнали на уроке?
Ученик: Сегодня на уроке мы изучили и доказали теорему о трех перпендикулярах, научились решать задачи на применение данной теоремы, сформулировали обратную теорему.
Учитель: Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах.
Ученик: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
Учитель: Сформулируйте обратную теорему.
Ученик: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции.
Учитель: Запишите домашнее задание: п. 19,20 № 145.
Решение домашнего задания №145.
Дано: 
Док-ть: CBD – прямоугольный.
Найти: BD.
Док-во: Если 
то 
, т. е. прямая СВ перпендикулярна к проекции АС прямой DC, следовательно, по теореме о трех
перпендикулярах ВС перпендикулярна самой наклонной DC, т. е. 
, т. е. 
– прямоугольный.
Решение: ВD – гипотенуза
Ответ: 
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Тема урока: Теорема о трёх перпендикулярах. Цели урока: Образовательная: изучить и доказать теорему о трех перпендикулярах; Развивающая: развивать пространственное воображение, познавательный интерес, умения обобщать, абстрагировать и конкретизировать свойства изучаемых объектов и отношений, учить делать выводы; Воспитательная: воспитывать ответственное отношение к учебному труду, эстетический вкус. Тип урока: урок усвоения новых знаний Методы обучения: репродуктивный и эвристический. Оборудование: компьютер, мультимедиа проектор, презентация, набор чертежных инструментов. Литература: 1. А. С. Атанасян. Геометрия для 10-11 кл./ А. С. Атанасян. - М.: Просвещение, 2010. - 384 с. 2. Н. Ф. Гаврилова. Поурочные разработки по геометрии к учебному комплекту Л.С. Атанасяна и др. для 10 кл. 2010. – 304 с. 3. Ю. М. Колягин. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики. Учеб. Пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов/ Ю. М. Колягин. – М.: Просвещение, 1977. – 480 с. 4. Саранцев Г.И. «Методика обучения математики в средней школе.: учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-в» М.: Просвещение, 2005. – 224 с
6 656 290 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Игошкина Валентина Алексеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Мини-курс
6 ч.
Мини-курс
3 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.