Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / В помощь ученику при обучении математики.
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Я люблю природу», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 15 ДЕКАБРЯ!

Конкурс "Я люблю природу"

В помощь ученику при обучении математики.

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов


Параллелограммhello_html_m2b44b8e3.gif

Определение Параллелограмм - это

четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т е лежат на параллельных прямых


Свойства параллелограмма


  1. В параллелограмме противоположные углы равны.

  2. В параллелограмме противоположные стороны равны.

  3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.


Признаки параллелограмма


  1. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм.

  2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник параллелограмм.

  3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм

Пhello_html_63a55ade.gifрямоугольник





Определение Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые


Свойства прямоугольника


  1. Диагонали прямоугольника равны.


  1. В прямоугольнике противоположные углы равны.

  2. В прямоугольнике противоположные стороны равны.

  3. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.


Признаки прямоугольника


  1. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

  2. Если в параллелограмме один угол прямой, то этот параллелограмм – прямоугольник.



Ромб

hello_html_7b2f8e96.gif




Определение Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны


Свойства ромба


  1. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.

  2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

  3. Высоты ромба равны.


  1. В ромбе противоположные углы равны.

  2. В ромбе противоположные стороны равны.

  3. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.



Признаки ромба


  1. Если диагонали параллелограмма пересекаются под прямым углом, то этот параллелограмм – ромб.

  2. Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то этот параллелограмм – ромб.

  3. Если стороны четырехугольника равны, то это ромб.



Квадрат

hello_html_m24261df8.gif




Определение Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны


Свойства квадрата


  1. Диагонали квадрата равны

  2. В квадрате противоположные углы равны.

  3. В квадрате противоположные стороны равны.

  4. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

  5. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом.

  6. Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов.






Дополнительные свойства четырехугольников


Параллелограмм.

1.Биссектриса угла парал-ма отсекает от него равноб-ный тр-к.

2.Биссектрисы соседних углов парал-ма перпендикулярны, а

биссектрисы противоположных углов параллельны или лежат

на одной прямой.

3.Диагонали парал-ма делят его на 4 равновеликих треуг-ка.

4.Высоты парал-ма, опущенные из одной вершины, образуют

угол, равный углу параллелограмма при соседней вершине.

5.Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме

квадратов его четырех сторон.


Ромб

1.В ромб можно вписать окружность: r = 0,5 h = 0.5 а sinA.


Трапеция

1.Середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка

пересечения продолжения боковых сторон лежат на одной

прямой.

2.В трапеции через точку пересечения диагоналей О проведен

отрезок PQ, параллельно основаниям:

ав 2ав

OQ=OP= --------, PQ = ------- , где а и в основания трапеции.

а + в а + в

3.В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда,

когда сумма оснований равна сумме боковых сторон.

4.Если центр описанной окружности лежит на основании

трапеции, то ее диагональ перпендикулярна боковой стороне.

5.Отрезок FP, параллельный основаниям трапеции и делящий

трапецию на две равновеликие части

а2 + в2

FP = √---------

2

















Площади плоских фигур

hello_html_182a854c.png

Квадрат – равносторонний прямоугольник. Квадрат является правильным многоугольником.



hello_html_1e565bf7.pnghello_html_m6c3a1f0.pnghello_html_41b1813c.png

hello_html_2d4ee19c.png

Прямоугольник – четырехугольник, у которого все углы прямые

hello_html_6bd328.png

hello_html_41b1813c.png

d1 = d2



hello_html_m176d205f.png

Параллелограмм – четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны.



hello_html_m629ed9ad.png hello_html_41b1813c.png

hello_html_42dd700f.png

Ромб – параллелограмм, у которого выполняется одно из условий:
1) все стороны равны
2) диагонали взаимоперпендикулярны
3) диагонали делят углы параллелограмма пополам


hello_html_md926cf5.png hello_html_4aae19a2.png

hello_html_m30d7ce97.png

Трапеция – выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие непараллельны.



hello_html_7805c392.png hello_html_41b1813c.png

hello_html_m2e6ed964.png


Круг – часть плоскости, лежащая внутри окружности

hello_html_m3fac854c.png

hello_html_m13922ad.png

Треугольникмногоугольник с тремя сторонами.

p=(a+b+c)/2

hello_html_m10319687.png hello_html_6d0ff62.pnghello_html_2279bc58.png

S = r*p, p –полупериметр


hello_html_m1d89e480.png


Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две его стороны равны.

hello_html_m574268a4.png hello_html_m54ac9065.png

hello_html_1a045ce3.png

Равносторонний треугольник – треугольник, в котором все стороны равны. В таком треугольнике все углы по 60 градусов.


hello_html_m3c6e9e5f.png






Произвольный четырехугольник

hello_html_41b1813c.png

hello_html_3ad8e6e0.png

Эллипс – коническое сечение, когда секущая плоскость пересекает лишь одну полость кругового конуса и не параллельна ни одной из его образующих.


hello_html_31f90a8e.png







































Треугольники




Прямоугольный треугольник

1. Теорема Пифагора: а2 + в2 = с2.

2. Квадрат катета равен произведению гипотенузы и его проекции на гипотенузу

а2 = с * ас, в2 = с * вс или а = √ с * ас , в = √ с * вс - среднее пропорциональное.

3. Квадрат высоты, опущенной на гипотенузу, равен произведению проекций

катетов на гипотенузу: h2 = ас * вс или h = √ ас * вс

4. Произведение катетов равно произведению гипотенузы и высоты, опущенной на

гипотенузу: а * в = с * h

5. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы: mс = ½ с

6. Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: R = mс = ½ с

7. Сумма катетов равна удвоенной сумме радиусов описанной и вписанной

окружностей: а + в = 2 (R + r), r = p – с.


Произвольный треугольник

в2 + с2 – а2

1. Теорема косинусов: а2 = в2 + с2 – 2вс соsА, соsА = ----------------

2вс

а в с

2. Теорема синусов: ----- = ------ = ------

sinА sinВ sinС

S l2m2h2 а2

3. Для подобных треугольников: ------ = ------- = ------- = ------- = ------- = к2

S1l21m21h21 а21



Свойства медиан

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой

пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.

2. Каждая медиана делит треугольник на два равновеликих.

3. Если известны стороны треугольника, то mа = 1/2 √2в2 + 2с2 – а2.




Свойства биссектрис

1. Три биссектрисы пересекаются в одной точке О, лежащей внутри треугольника.

О – центр вписанной окружности.

2. Биссектриса делит стороны треугольника на отрезки, пропорциональные двум

другим сторонам: а12 = в/с.

3. Если известны стороны треугольника, то lа =√ вс – а1а2.




Свойства высот

1.Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:

ha :hb: hc =1/а : 1/в : 1/с

2S

2. Высота треугольника: ha= ------

а



Свойства равнобедренного треугольника

1. Углы при основании равны.

2. Высота, проведенная из вершины треугольника, является медианой, биссектрисой

3. Высоты, медианы, биссектрисы, проведенные к боковым сторонам, равны.




Свойства правильного треугольника

1. Все углы правильного треугольника равны 60°.

2. Только в правильном треугольнике совпадают точки пересечения медиан,

биссектрис, высот и серединных перпендикуляров. Эта точка называется центром

правильного треугольника и является центром вписанной и описанной

окружностей.

3. Центр правильного треугольника делит его высоты в отношении 2 : 1, считая от

вершины. 2 а

4. Только в правильном треугольнике R = 2r = -- h = ---

3 √ 3









Ф.И. ученика

парал-

лелограмм

прямо-

угольник

ромб

квадрат

Вопрос

1

Противоположные стороны параллельны и равны





2

Все стороны равны





3

Противолежащие углы равны, сумма соседних углов равна 180°





4

Все углы прямые





5

Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам





6

Диагонали равны





7

Диагонали перпендикулярны, являются биссектрисами его углов












Краткое описание документа:

В работе с учащимися над отдельными темами математики применяю справочный материал наполовину заполненный мной. Так  материал «Площади плоских фигур» и «Треугольники» применяю для повторения данных тем. Причем левую часть такого справочного материала  учащиеся заполняют самостоятельно, т.е. к теоретической части, расположенной справа, нужно сделать соответствующий рисунок. Работа выполняется в классе, с показом на доске. Полученный материал учащиеся применяют при решении задач по геометрии в данном классе и на следующих этапах обучения. Теоретический материал учебника по геометрии концентрируется в небольшой конспект и дополняется материалом из справочников по предмету. Как предложено в таблицах «Свойства четырехугольников» и «Дополнительные свойства четырехугольников». Также удобна таблица – тест по теме «Четырехугольники». Учащиеся, после выполнения теста, сохраняют его как справочный материал в своей математической копилке.  

Общая информация

Номер материала: 108475051943

Похожие материалы