-
Курсы
-
Другое
Настоящий материал опубликован пользователем Халфина Елена Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Курс повышения квалификации
Курс профессиональной переподготовки
Курс повышения квалификации
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Общие методы решения уравнений
11 класс
УМК А.Г. Мордкович (профильный уровень)
Халфина Елена Анатольевна,
учитель математики
г. Нижневартовск, 2014
«Правильному применению методов можно научиться только применяя их на разнообразных примерах»
Г. Цейтен
2 слайд
Цели урока:
Рассмотреть общие методы решения уравнений.
Научиться применять эти методы при решении уравнений.
Формировать навыки применение наиболее рациональных способов решения уравнений.
3 слайд
Рассмотрим уравнения:
1) х² - 2 х = 0;
2) sin²x + sinx = 0;
3)
4 слайд
Рассмотрим уравнения:
5 слайд
Общие методы решения уравнений:
Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x).
Метод разложения на множители.
Метод введения новой переменной.
Функционально-графический метод.
6 слайд
Этот метод мы применяем:
при решении показательных уравнений, когда переходили от уравнения (а>0, а≠1) к уравнению f(x) = g(x);
при решении логарифмических уравнений, когда переходили от уравнения log f(x) = log g(x) к уравнению f(x) = g(x);
при решении иррациональных уравнений, когда переходили от уравнения к уравнению f(x) = g(x).
1. Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x).
7 слайд
Пример 1:
Решить уравнение
Ответ: 0; 1,5.
8 слайд
Пример 2:
9 слайд
Уравнение f(x)g(x)h(x) = 0 можно заменить совокупностью уравнений:
Решив уравнения этой совокупности, нужно взять те их корни, которые принадлежат ОДЗ исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние.
2. Метод разложения на множители.
10 слайд
Пример 3:
Решить уравнение
11 слайд
Из найденных корней этой системе неравенств удовлетворяет только
х = 9, остальные являются посторонними для данного уравнения.
Ответ: 9.
Пример 3:
12 слайд
Если уравнение f(x)= 0 удалось преобразовать к виду p(g(x)) = 0, то нужно ввести новую переменную u = g(x), решить уравнение p(u) = 0, а затем решить совокупность уравнений:
где и , и ,… и - корни уравнения р(и) = 0.
3. Метод введения новой переменной.
13 слайд
Пример 4:
Решить уравнение
Введём новую переменную .
Получим:
Освободившись от знаменателей, получим:
14 слайд
Пример 4:
Найдём корни квадратного уравнения:
Выполним проверку корней на выполнение условия:
5(у – 3)(у + 1) ≠ 0.
Оба корня удовлетворяют данному условию.
15 слайд
Пример 4:
Вернёмся к замене переменной и решим два уравнения:
и
Ответ:
16 слайд
3. Функционально-графический метод.
Чтобы графически решить уравнение f(x) = g(x) нужно построить графики функций
у = f(x) и у = g(x) и найти точки их пересечения. Корнями уравнения служат абсциссы этих точек.
17 слайд
1) Решить уравнение = | x – 2 |
1 шаг: построить графики функций у = и у = | x – 2 |
2 шаг: найти абсциссы точек (или точки) пересечения графиков
Ответ: x1 = 1, х2 = 4
Пример 5:
18 слайд
2. x3 – 5 + х = 0
g(x) = 5 - х
f(x) = х3
х ≈ 1,5
Решением является абсцисса точки пересечения графиков левой и правой частей уравнения
х3 = 5 - х
Пример 6:
19 слайд
Графические методы решения уравнений
Построение графиков функций левой и правой частей уравнения (решением является абсциссы точек (точки) пересечения графиков)
Функционально – графические методы
Использование свойств функций левой и правой частей уравнения (монотонность, четность, нечетность)
Использование ограниченности функций левой и правой частей уравнения (метод оценки)
20 слайд
Рассмотрим функцию у = х² - 2х + 2. Её графиком является парабола, ветви которой направлены вверх.
В вершине параболы функция достигает своего наименьшего значения.
Пример 7:
Решить уравнение
21 слайд
Для функции у = х² - 2х + 2
Функция у = cos 2πx обладает свойством:
Пример 7:
Найдём координаты вершины параболы.
22 слайд
х² - 2х + 2 = 1,
cos 2πx = 1.
Решив 1 уравнение получили: х = 1. Это значение удовлетворяет и 2 уравнению системы, следовательно, является единственным корнем заданного уравнения.
Пример 7:
Задача сводится к решению системы уравнений
Ответ: 1.
23 слайд
Мы рассмотрели общие методы решения уравнений, примеры применения этих методов.
Перейдём к практической работе.
Решаем № 27.5 (в), 27.9 (б), 27.12 (б), 27.14 (а), 27.19 (б), 27.21 (а), 27.25 (а,б).
24 слайд
№ 27.25 (а)
Ответ: одно решение
25 слайд
1
0
х
у
x2 + 1 = cos x
y = x2 + 1
y = cos x
x2 + 1 ≥ 1
cos x ≤ 1
x = 0
y = 1
x2 + 1 = 1
cos x = 1
№ 27.25 (б)
Ответ: 1 корень.
26 слайд
Общие методы решения
уравнений
Аналитические
Функционально-графические
1
2
3
По графику
По свойствам
Подведем итоги
Презентация по теме «Общие методы решения уравнений» по учебно-методическому комплексу А.Г. Мордковича для 11 класса (профильный уровень). В разработке представлены разные способы решения уравнений: замена уравнения более простым равносильным уравнением с последующей проверкой, метод разложения левой части уравнения на множители, метод введения новой переменной, функционально-графический метод. Презентацию можно использовать как на этапе изучения нового материала, так и для обобщения и систематизации материала.
7 365 726 материалов в базе
Вам будут доступны для скачивания все 357 005 материалов из нашего маркетплейса.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.