Презентация по теме «Общие методы решения уравнений»

Общие методы решения уравнений 11 класс УМК А.Г. Мордкович (профильный уровень) Халфина Елена Анатольевна, учитель математики г. Нижневартовск, 2014 «Правильному применению методов можно научиться только применяя их на разнообразных примерах» Г. Цейтен

Цели урока: Рассмотреть общие методы решения уравнений. Научиться применять эти методы при решении уравнений. Формировать навыки применение наиболее рациональных способов решения уравнений.

Рассмотрим уравнения: 1) х² - 2 х = 0; 2) sin²x + sinx = 0; 3)

Рассмотрим уравнения:

Общие методы решения уравнений: Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x). Метод разложения на множители. Метод введения новой переменной. Функционально-графический метод.

Этот метод мы применяем: при решении показательных уравнений, когда переходили от уравнения (а>0, а≠1) к уравнению f(x) = g(x); при решении логарифмических уравнений, когда переходили от уравнения log f(x) = log g(x) к уравнению f(x) = g(x); при решении иррациональных уравнений, когда переходили от уравнения к уравнению f(x) = g(x). 1. Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x).

Пример 1: Решить уравнение Ответ: 0; 1,5.

Пример 2:

Уравнение f(x)g(x)h(x) = 0 можно заменить совокупностью уравнений: Решив уравнения этой совокупности, нужно взять те их корни, которые принадлежат ОДЗ исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние. 2. Метод разложения на множители.

Пример 3: Решить уравнение

Из найденных корней этой системе неравенств удовлетворяет только х = 9, остальные являются посторонними для данного уравнения. Ответ: 9. Пример 3:

Если уравнение f(x)= 0 удалось преобразовать к виду p(g(x)) = 0, то нужно ввести новую переменную u = g(x), решить уравнение p(u) = 0, а затем решить совокупность уравнений: где и , и ,… и - корни уравнения р(и) = 0. 3. Метод введения новой переменной.

Пример 4: Решить уравнение Введём новую переменную . Получим: Освободившись от знаменателей, получим:

Пример 4: Найдём корни квадратного уравнения: Выполним проверку корней на выполнение условия: 5(у – 3)(у + 1) ≠ 0. Оба корня удовлетворяют данному условию.

Пример 4: Вернёмся к замене переменной и решим два уравнения: и Ответ:

3. Функционально-графический метод. Чтобы графически решить уравнение f(x) = g(x) нужно построить графики функций у = f(x) и у = g(x) и найти точки их пересечения. Корнями уравнения служат абсциссы этих точек.

2 шаг: найти абсциссы точек (или точки) пересечения графиков Ответ: x1 = 1, х2 = 4 Пример 5:

2. x3 – 5 + х = 0 g(x) = 5 - х f(x) = х3 х ≈ 1,5 Решением является абсцисса точки пересечения графиков левой и правой частей уравнения х3 = 5 - х Пример 6:

Графические методы решения уравнений Построение графиков функций левой и правой частей уравнения (решением является абсциссы точек (точки) пересечения графиков) Функционально – графические методы Использование свойств функций левой и правой частей уравнения (монотонность, четность, нечетность) Использование ограниченности функций левой и правой частей уравнения (метод оценки)

Рассмотрим функцию у = х² - 2х + 2. Её графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. В вершине параболы функция достигает своего наименьшего значения. Пример 7: Решить уравнение

Для функции у = х² - 2х + 2 Функция у = cos 2πx обладает свойством: Пример 7: Найдём координаты вершины параболы.

х² - 2х + 2 = 1, cos 2πx = 1. Решив 1 уравнение получили: х = 1. Это значение удовлетворяет и 2 уравнению системы, следовательно, является единственным корнем заданного уравнения. Пример 7: Задача сводится к решению системы уравнений Ответ: 1.

Мы рассмотрели общие методы решения уравнений, примеры применения этих методов. Перейдём к практической работе. Решаем № 27.5 (в), 27.9 (б), 27.12 (б), 27.14 (а), 27.19 (б), 27.21 (а), 27.25 (а,б).

№ 27.25 (а) Ответ: одно решение

1 0 х у x2 + 1 = cos x y = x2 + 1 y = cos x x2 + 1 ≥ 1 cos x ≤ 1 x = 0 y = 1  № 27.25 (б) Ответ: 1 корень.

Общие методы решения уравнений Аналитические Функционально-графические 1 2 3 По графику По свойствам Подведем итоги