Презентация «Решение задач по теории вероятностей»

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Теория вероятности
  Решение задач
  

• 

  2 слайд

  Классическое определение вероятности
  Вероятность события A равна отношению числа благоприятных исходов (m) к общему числу исходов (n).
  

• 

  3 слайд

  Классическое определение вероятности
  №1. В программе для компьютера, написанной в программе Turbo Pascal, использована функция Random (x), генерирующая целые случайные числа от 1 до x. Какова вероятность того, что при выполнении этой функции появится число кратное пяти, если x=100?
  
  n=100,
  Используем признак делимости на 5 и подсчитаем сколько таких чисел
  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
  всего 2*10 = 20, значит m=20
  P(A) =20/100= 0,2
  
  

• 

  4 слайд

  Классическое определение вероятности
  №2. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
  
  1 день
  17
  2 день
  17
  3 день
  17
  4 день
  12
  5 день
  12
  (75 -3•17) :2 =24:2 = 12 докладов
  m=12, n=75
  P(A)=12/75=0,16
  
  

• 

  5 слайд

  Классическое определение вероятности
  На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 9 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая.
  Вася, Петя, Коля и Лёша бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.
   В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике.
  

• 

  6 слайд

  Классическое определение вероятности
  
  Вероятность события, противоположного событию A, равна разности 1 и вероятности А.
  

• 

  7 слайд

  Классическое определение вероятности
  №3. В среднем из 2000 утюгов, поступивших в продажу, 8 имеют дефект. Найти вероятность того, что случайно выбранный утюг окажется без дефекта.
  
  n=2000, m=8
  тогда вероятность утюга без дефекта
  P(A) =1-8/2000= 0,996
  
  

• 

  8 слайд

  Классическое определение вероятности
  Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
  В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
  

• 

  9 слайд

  Классическое определение вероятности
  
  При вычислении вероятностей пользуются формулами теории соединений.
  - число перестановок
  -число размещений из n элементов по m
  число сочетаний из n
  элементов по m
  

• 

  10 слайд

  Расписание уроков.
  Пример 3.
  В 9 классе в среду 7 уроков: алгебра, геометрия, литература,
  русский язык, английский язык, биология и физкультура.
  Сколько вариантов расписания можно составить?
  Расставляем предметы по порядку
  Алгебра
  7
  Геометрия
  6
  Литература
  5
  Русский язык
  4
  Английский язык
  3
  Биология
  2
  1
  Физкультура
  Всего вариантов расписания
  1•2•3•4•5•6•7=
  =5040
  7!=
  

• 

  11 слайд

  Классическое определение вероятности
  №4. Ребенок играет с буквами разрезной азбуки. Какова вероятность того, что разложив в ряд карточки с буквами К, И, Р, Д, А, Н, З, П, он составит слово ПРАЗДНИК ?
  
  Всего имеем 8 букв, в образовании элемента участвуют все 8 букв. Различные элементы отличаются только порядком букв, значит они являются перестановками => n=8!
  m=1
  тогда P(A) =1/40320
  
  

• 

  12 слайд

  Классическое определение вероятности
  №5. На 10 карточках написаны буквы А, А, А, М, М, Т, Т, Е, И, К. После тщательного перемешивания карточки раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «МАТЕМАТИКА»??
  
  Всего имеем 10 букв, => n=10!
  для буквы А не важно какое из мест (2, 6 или 10) она будет занимать, значит благоприятных событий 3!.
  Для букв М и Т это 2!. Значит m=3!2!2!
  
  

• 

  13 слайд

  Классическое определение вероятности
  №5. На 10 карточках написаны буквы А, А, А, М, М, Т, Т, Е, И, К. После тщательного перемешивания карточки раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «МАТЕМАТИКА»?
  
  n=10! m=3!2!2!
  P(A) =(3!2!2!) /10!= 1/(5*6*7*8*10)= 1/151200
  
  

• 

  14 слайд

  Правило умножения (И)
  Для любых двух независимых событий X и Y вероятность того, что случится и то и другое, определяется по формуле
  
  Два события называются взаимно независимыми, если наступление одного события не влияет на вероятность наступления второго события.
  

• 

  15 слайд

  Правило умножения (И)
  №6. У Максима есть денежные монеты достоинством 1 рубль – 12 штук, 2 рубля – 5 штук, 5 рублей – 3 штуки, 10 рублей – 4 штуки. Наугад он достает монету и подбрасывает ее. Найти вероятность того, что выпадет орел пятирублевой монеты.
  
  
  P(A) вытащили пятирублевку
  Р(В) выпал орел
  События не зависят друг от друга.
  

• 

  16 слайд

  Правило умножения (И)
  №7. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
  
  
  P(A)=0,52 выигрывает белыми
  Р(В) = 0,3 выигрывает черными
  Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга.
  P(A•В) =Р(А) •Р(В)= 0,52•0,3 =0,156
  
  

• 

  17 слайд

  Правило умножения (И)
  Если наступление одного события влияет на вероятность наступления второго события, то события называют взаимно зависимыми.
  Если события А и В взаимно зависимы, то условной вероятностью называют вероятность события В, принимая, что событие А уже наступило.
  

• 

  18 слайд

  Правило умножения (И)
  №8. В ящике 26 лотерейных билетов, из которых 3 с выигрышем. Найти вероятности того, что два взятые подряд билета будут с выигрышем.
  
  
  P(A)= первый билет выигрышный
  РА(В) = второй билет выигрышный после того, как вытащили 1 билет
  Вероятности взаимно зависят друг от друга.
  

• 

  19 слайд

  Правило умножения (И)
  №8. В ящике 26 лотерейных билетов, из которых 3 с выигрышем. Найти вероятности того, что два взятые подряд билета будут с выигрышем.
  
  
  P(A)= 3/26 = 0,115
  РА(В) = 2/25 =0,08
  P(A•В) =Р(А) •РА(В)= 0,115•0,08 =0,092
  
  

• 

  20 слайд

  Правило сложения (ИЛИ)
  Вероятность того, что произойдёт одно из двух взаимно несовместимых событий, равна сумме вероятностей этих событий
  Вероятность того, что наступит одно из совместимых событий, равна сумме вероятностей этих событий, из которой вычтена вероятность общего наступления обоих событий, то есть произведение вероятностей
  

• 

  21 слайд

  Правило сложения
  №9. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
  
  
  События зависят друг от друга, т.к. Р(АВ)=0,3•0,3 ≠ 0,12.
  Р(А) = кофе закончится в первом автомате,
  Р(В) = кофе закончится во втором автомате.
  Р(A·B) = кофе закончится двух автоматах,
  Р(A) + Р(B) = кофе закончится в 1 или 2 автомате.
  

• 

  22 слайд

  Правило сложения
  №9. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
  
  
  P(A)= Р(В) = 0,3
  Р(А•В) = 0,12
  Вероятность того, что к концу дня кофе закончится в 2 автоматах:
  P(A+В) = Р(А)+Р(В)-Р(А•В)= 0,3+0,3-0,12 =0,48
  1-0,48=0,52
  
  

• 

  23 слайд

  Правило сложения и умножения
  №10. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.
  
  
  Команда может получить не меньше 4 очков в двух играх тремя способами: 3 и 1, 1 и 3, 3 и 3.
  Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Каждое из этих событий представляет собой произведение двух независимых событий — результата в первой и во второй игре.
  

• 

  24 слайд

  Правило сложения и умножения
  №10. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.
  
  
  P(3) = 0,4 P(0) = 0,4 Р(1) =1-0,4*2=0,2
  
  
  P(3+1) = Р(1+3)=Р(3) •Р(1)= 0,4•0,2 =0,08
  P(3+3) = 0,4*0,4 =0,16
  
  P(3+1) + Р(1+3) +Р(3+3) = 2*0,08 +0,16 = 0,32
  
  

• 

  25 слайд

  Правило умножения
  №11. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
  
  
  P(A) исправен 1 автомат = 1-0,05 = 0,95
  Р(В) исправен 2 автомат = 0,95
  P(A+В) = Р(А)+Р(В)-Р(А•В)=
  =0,95+0,95-0,95*0,95=0,9975