« Производная и её приложения»

План-конспект урока

Тема урока: Производная и её приложение

Тип урока: Комбинированный

Вид урока: Урок-зачет

Цели урока:

1.     Образовательная – воспроизведение и развитие знаний, умений и навыков по теме «  Производная и её приложение»

2.     Воспитательная:

2.1             развитие навыков самоконтроля и коллективной работы;

2.2             воспитание математической культуры;

2.3             воспитание устойчивого интереса к изучению математики.

3.     Развивающая –развитие умений учащихся обобщать полученные знания, проводить анализ и сравнения, делать необходимые выводы, устанавливать причинно-следственные связи.

4.     Оборудование:  мультимедийный  проектор(мультимед.доска).

Ход урока:

I.                   Начало урока

Организационный  момент. Вступительное слово учителя.

Мы закончили изучение темы « Производная и её приложение» (геометрический и физический смысл производной). Проведен текущий контроль по этой теме. Сегодня у нас заключительный урок, который пройдет в форме зачета. Класс разбит на группы, в каждой группе определен «лидер» - условно. Право на лидерство ученик должен подтвердить (составлены карточки, подготовка и ответы проходят у доски) . На каждую группу составлен опросный лист, в котором указаны все виды предстоящих работ . По этим опросным листам «лидеры» в конце урока подобьют результат.

II.                Вызов к доске «лидеров». Работа по карточкам. Подготовка к ответу.

III.             Работа с классом.

«Разминка» - фронтальный опрос учащихся

1.     Дать определение производной  функции f(x).

2.     В чем состоит геометрический смысл производной функции?

/Значение производной в точке х₀ – это угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке касания./ Лейбниц, конец XVII в.

3.     Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x)=2SinxCosx , х₀=п\4 (указать угол)

4.     Будет ли касательная к графику функции у=х⁴-2х в точке х₀=0 параллельна прямой  у=-2х

5.     f(x)=х⁴-2х.  Составить уравнение касательной в точке х₀=0

6.     Вычислить производную функцию у=tg(x+10)

7.     Две материальные точки движутся прямолинейно по закону S₁(t)=t²-6t+1, S₂(t)=2t²-8t+4.В какой момент времени скорости этих точек будут равны?

8.     Вычислить производную функции y=arcctg2x

9.     Известно, что тело массой 6 кг движется прямолинейно по закону S(t)= t²+3. Найдите  кинетическую энергию через 1 сек после начала движения.

10. Что будет производной площади круга как функции от радиуса?

11. Обсуждая успехи своего ученика, учитель так отозвался о нем «Он очень мало знает, но у него положительная производная». Все поняли, что хотел сказать учитель. Скорость приращения знаний у ученика положительная, а это есть залог того, что его знания возрастут. Охарактеризуйте кривую роста знаний.

12. На кривой найти абсциссу точки, в которой касательная перпендикулярна  прямой  .

13. V-объем жидкости, на который  действует  внешнее давление P. Что показывает  / коэффициент сжатия жидкости при данном давлении/

IV. Опрос «лидеров » (1 и 2 групп)

( В это время классу предлагается графическая работа)

V. Графическая работа

Построение уравнения  касательной к графику функции в заданной точке

(таблица выводится на экран)

Таблица

1.    y=  ,  

2.   y=arctg 2x,    

3.   y =     

4.    y=tg3x ,          

5.    y=  ,           

VI.  Математический диктант

Вариант 1

1. Запишите связь между скоростью и перемещением в дифференциалах.

2. Вычислите производную функции  y=

3. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции y= в точке с абсциссой  

4. К кривой y=  проведена касательная параллельная оси абсцисс. Найдите координаты точки касания.

5. Изменение силы тока I в зависимости от времени t задано уравнением I= . Найдите скорость изменения силы тока в момент t=10 c.

Вариант 2

1.Запишите связь между работой и мощностью в дифференциалах.

2. Вычислите производную функции y=

3. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции y=tg3x с абсциссой  

4. В какой точке касательная к графику функции y= параллельна оси абсцисс?

5. Маховик вращается вокруг оси по закону . Найдите его угловую скорость  в момент t=2c

VII. Опрос «лидеров» ( 3 и 4  групп)

VIII. Тест. Опрос «лидерами» учащихся

IX .Подведение итогов.

X. Заключительное слово учителя.

Все приведенные выше примеры были построены по одному и тому же образцу. В каждом примере речь шла о связи между тремя величинами, уже знакомыми нам из курса физики.

Во всех примерах одна из этих величин выступала как коэффициент пропорциональности между дифференциалами 2-х других.

Очевиден способ определения  величин   d y ₌ к(х) dx.

Возможна и обратная постановка вопроса: как найти зависимость  у от х из заданного соотношения? Эту задачу рассмотрим в разделе интегрирование.

ПРИЛОЖЕНИЯ

(раздаточный материал)

Ключ к математическому диктанту

Вариант 1                                         Вариант 2

1.  V(t) =                              1. N(t)=

2. 2х+                                2.

3.                                        3. 4

4. (2; -7)                                       4. (2;1)

5. 35 А/с                                      5. 32 рад/c

Ключ к графической работе

1.    y=  ,

y=

2.   y=arctg 2x,

 y=2x

3.   y =    

          x=1

4.    y=tg3x ,

 y= 3x-

5.    y=  ,

 y=-3x+18

Тест

       Вариант 1

1.   Два тела движутся прямолинейно: одно по закону S=t³+t²-27t, другое S=t²+1. Определите момент, когда скорость этих тел окажется равной.                                        а) 4                        б) 3                        в) 9

2.  Вычислить производную функции , в точке х₀=1                   
а) 0                         б) 5                        в) 5

3.   Составить уравнение касательной к параболе y=x²-4x, в точке х₀=1                     а)y=-2x-1               б) y= -2x+1             в) y=-2x-2

4.   Тело, массой 5 кг движется прямолинейно по закону S=t²-3t+2, (t в сек, S в м). Найдите силу, действующую на тело.                                                                             а) 35 Н          б) 10Н           в) 5Н

5.  Найти угол наклона касательной к кривой у=х³+5 в точке х₀=2

а) 45⁰                        б) 60⁰                        в) 80⁰

Вариант 2

1.     Определить момент t, в котором ускорение прямолинейного движения совершаемого по закону  равно 0. Какова при этом его скорость?                                                                                                                      а)t=3 с, v=13,5 м/c     б) t=6 с, v=18м/c     в) t=9 с, v=12 м/c     

2.    Вычислить производную функцию    в точке х=-1.

а) 1                        б) 4                        в) -1

3.     Составить уравнение касательной к параболе y=x²-3x-1 в точке х₀=3                  а)у=-3х+13                     б)  у=3х+13                                           в) у=3х-13                    

4.     Работа, которую совершает сила при перемещении тела изменяется по закону А= 5х²-3х+6. Определить силу, действующую на тело, если тело переместилось на 5 м.                                                                                                                               а) 53 Н                    б) 47 Н                     в) 116 Н

5.     Под каким углом к оси ОХ наклонена касательная к кривой у=х³-х²-7х+6 в точке х₀=2

а) 45⁰                      б) 30⁰                       в)  60⁰

Вариант 3

1.   Тело, массой 5 кг движется прямолинейно по закону S=, ( t- в сек , S- в м ). Найти силу, действующую на  тело.

а) 35 Н     б) 10 Н     в) 5 Н     

2.   Найти угол наклона касательной к кривой y=  в точке x₀=2

а)     б)          в)    

3.   Два тела движутся прямолинейно : одно по закону S=  , другое по закону S=  . определите момент, когда скорость этих тел окажутся равными.

а) 4         б) 3        в) 9     

4.   Составить уравнение касательной к параболе y=  в точке x₀=1

а)     б) в)

5.   Вычислить производную функциив точке  x₀=1

а) 0     б)  -5     в)  5     

Вариант 4

1.     Работа, которую совершает сила при перемещении тела изменяется по закону A= 5x²-3x+6 . Определить силу, действующую на тело , если тело переместилось на 5 м.

а) 53 Н     б)  47 Н     в)  116 Н     

2.    Вычислить производную функцию  y=  в точке х=-1

а) 1     б)  4     в)  -1   

3.     Определить момент t , в котором ускорение прямолинейного движения, совершаемого по закону  y=-  равно 0, какова при этом скорость?

а) t=3 с, v=13,5 м/c     б) t=6 с, v=18м/c     в) t=9 с, v=12 м/c     

4.     Составить уравнение касательной к параболе y=x²-3x-1  в точке х₀=3

а)     б) в)

5.     Под каким углом к оси OX наклонена касательная к кривой y= x³-x²-7x+6 в точке х₀=2

а)     б)          в)     

ключ к тесту

Карточки «ЛИДЕРОВ»

Карточка №1

1.В какой момент времени ток в цепи равен 0, если количество электричества, протекающего через проводник, задается формулой

q= t-+1

2.Вычислить производную функции f(x)=  ,

Карточка №2

1.Количество теплоты, получаемое некоторым веществом при нагревании от 0⁰ до Т , определяется по формуле Q=0,1054t+0,000002t² (Q-Дж, t- в кельвинах). Найти теплоёмкость этого вещества при 100к.

2.Вычислить производную функции y=  y`(0)-?

Карточка №3

1.Известно, что для любой точке С стержня АВ  длиной 20 см , отстоящей от точки А на расстоянии l  масса куска стержня АС в граммах определяется по формуле m(l)=3l²+5l. Найдите линейную плоскость стержня :

а) в середине отрезка; б)в конце  В отрезка

2.в каких точках касательная к графику функции y=    образует с осью OX угол в 135⁰?

Карточка №4

1.    Тело , массой 5 кг, движется прямолинейно по закону S= -3t+2

(t- в сек, S – в метрах) . Найдите: а) действующую силу

б) кинетическую энергию тела через 10 сек после начала движения.

2. Дана функция f(x)= )

Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х₀=

Опросный лист