Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Квадратная функция
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Квадратная функция

библиотека
материалов

ГУ «Средняя школа №13 города Рудного»













Опорные конспекты

для подготовки к экзаменам

по алгебре.

Квадратная функция





Работу выполнил: Мальцев А.,

ученик 9 «а» класса

Учитель: Колесниченко А.М.









г. Рудный, 2014 год

Квадратное уравнение

ahello_html_m47b10324.gif+bx+c=0 , a≠0

DПрямая соединительная линия 1Прямая соединительная линия 2=hello_html_20c6ec89.gif-4ac

D>0D=0 D<0

hello_html_m5eed94c7.gif=hello_html_3d3ffaa9.gifx=-hello_html_661e6945.gifне имеет решения



Приведённое квадратное уравнение

hello_html_m42a52407.gif+px+q=0

Теорема Виета

hello_html_28070a94.gif

(hello_html_4e6f471d.gif, hello_html_m58a2b6ea.gif – корни уравнения hello_html_5b73e00d.gif+px+q=0)

Квадратный трёхчлен

ahello_html_m47b10324.gif+bx+c,a≠0

Разложение квадратного трёхчлена на множители

ahello_html_m47b10324.gif+bx+c=a(x-hello_html_1d0f8ed0.gif)(x-hello_html_m51af6e6b.gif)

(hello_html_m3de5f80.gif,hello_html_m1b024959.gif-корни квадратного трёхчлена)



Виды квадратного уравнения

Значение дискриминанта

Корни квадратного уравнения

Неполные квадратные уравнения

ahello_html_m47b10324.gif=0

(b=c=0)

-

hello_html_1d0f8ed0.gif=0

hello_html_m51af6e6b.gif=0

ahello_html_m47b10324.gif+bx=0

(c=0)

-

hello_html_1d0f8ed0.gif=0

hello_html_m51af6e6b.gif=–hello_html_7024cd3b.gif

ahello_html_m47b10324.gif+c=0






(b=0)


hello_html_m5eed94c7.gifhello_html_m27e5c10f.gif

При –hello_html_m684ae167.gif<0

Полные квадратные уравнения

Общий случай

ahello_html_m47b10324.gif+bx+c=0

D=hello_html_20c6ec89.gif-4ac

D>0

hello_html_m5eed94c7.gif=–hello_html_3d3ffaa9.gif

D=0

x=–hello_html_661e6945.gif

D<0

Уравнение не имеет решения

b=2n,b-чётное

ahello_html_m47b10324.gif+bx+c=0

D=hello_html_681c8703.gif-ac

D>0

hello_html_m5eed94c7.gif=hello_html_29694b97.gif

D=0

x=–hello_html_790f5cc.gif

D<0

Уравнение не имеет решения

Приведённое квадратное уравнение ,a=1

hello_html_m47b10324.gif+px+q=0,где p=2k

D=hello_html_7e63f5f0.gif-q,p-чётное

D>0

hello_html_m7035e54a.gif=–khello_html_m246a3a21.gif

D=0

x=–k

D<0

Уравнение не имеет решения





Особые случаи решения квадратного уравнения

ahello_html_m47b10324.gif+bx+c=0 , a≠0, D>0

a)a+b+c=0 , hello_html_1d0f8ed0.gif=1,hello_html_m51af6e6b.gif=hello_html_m684ae167.gif

б)a+(–b)+c=0 , hello_html_1d0f8ed0.gif=–1 ,hello_html_m51af6e6b.gif=–hello_html_m684ae167.gif

в)Если c=1,то уравнение hello_html_m47b10324.gif+bx+a=0 имеет корни hello_html_m63928d85.gifи hello_html_m424a8daa.gif

Пример. Решить уравнение

8hello_html_m47b10324.gif–6x+1=0, заменить уравнением

hello_html_m47b10324.gif–6x+8=0 по Теореме Виета hello_html_1d0f8ed0.gif=2,hello_html_m51af6e6b.gif=4

Тогда корни данного уравнения hello_html_m6410cb9.gifи hello_html_m27a81a7c.gif,

Вывод: Корни двух данных уравнений взаимно обратные числа.



aПрямая соединительная линия 4

D

a>0

a<0

D>0

hello_html_15a7e88f.png

hello_html_m40abefdd.png

D=0

hello_html_m5eed94c7.gif=-hello_html_661e6945.gif


hello_html_m144aefc8.png

hello_html_m5eed94c7.gif=-hello_html_661e6945.gif


hello_html_13541c0.png

D<0

Корней нет


hello_html_m10d7e84c.png

Корней нет


hello_html_14b33850.png



Рассмотрим решение квадратных неравенств методом параболы, т.е решаем неравенство, используя график квадратичной функции.

Для решения квадратных неравенств необходимо знать, как изменяется знак квадратного трёхчленаahello_html_m47b10324.gif+bx+c, представляющего левую часть неравенства (правая часть равна нулю).

То есть для решения квадратных неравенств используем геометрические иллюстрации.

Проследим за тем, как изменяется знак трёхчлена ahello_html_m47b10324.gif+bx+c, когда аргумент x принимаетлюбое действительное значение.

Для наглядности и простоты воспользуемся графиками квадратичных функций в зависимости от знаков его первого коэффициента и дискриминанта соответствующего трёхчлена:D=hello_html_20c6ec89.gif-4ac.



СлучайI. 1)a>0 и D>0.

Трёхчлен имеет два действительных и различных корня hello_html_1d0f8ed0.gifиhello_html_m51af6e6b.gif

График квадратичной функции, т.е параболаy=ahello_html_m47b10324.gif+bx+cпересекает ось абсцисс в точках hello_html_1d0f8ed0.gifи hello_html_m51af6e6b.gif, а ветви параболы направлены вверх. Для определённости полагаем, что hello_html_1d0f8ed0.gif<hello_html_m51af6e6b.gif.

По графику устанавливаем, что ahello_html_m47b10324.gif+bx+c>0 при x<hello_html_m51af6e6b.gif (рис.25.1) и ahello_html_m47b10324.gif+bx+c<0 при hello_html_1d0f8ed0.gif<x<hello_html_m51af6e6b.gif(рис.25.2).

hello_html_4d007557.jpgПрямая соединительная линия 12

2)a<0 и D>0.

Здесь так же, как и в первом пункте, квадратный трёхчлен имеет два различных корня, но ветви параболы направленны вниз. По графику видно, что ahello_html_m47b10324.gif+bx+c<0 при x<hello_html_1d0f8ed0.gifи x>hello_html_m51af6e6b.gif (рис.26.1) и ahello_html_m47b10324.gif+bx+c>0 при hello_html_1d0f8ed0.gif<x<hello_html_m51af6e6b.gif(рис.26.2).

hello_html_4d007557.jpg

Итак, если квадратный трёхчлен имеет два действительных и различных корняhello_html_1d0f8ed0.gif и hello_html_m51af6e6b.gif(hello_html_m51af6e6b.gif>hello_html_1d0f8ed0.gif),то при всех значениях х вне промежутка (hello_html_1d0f8ed0.gif;hello_html_m51af6e6b.gif) знак трёхчлена совпадает со знаком первого коэффициента а; при любом х из промежутка (hello_html_1d0f8ed0.gif;hello_html_m51af6e6b.gif) знак трёхчлена противоположен знаку коэффициента а.

Случай II. 1)a>0, D=0

Корни трёхчлена одинаковы:hello_html_1d0f8ed0.gif=hello_html_m51af6e6b.gif=hello_html_21d02b71.gif. Парабола y=ahello_html_m47b10324.gif+bx+cкасается своей вершиной оси абсцисс в точке x=–hello_html_661e6945.gifи расположена выше оси Оx. Следовательно, ahello_html_m47b10324.gif+bx+c>0 при любом значении x, кроме x=–hello_html_661e6945.gif (рис.27).А неравенство , ahello_html_m47b10324.gif+bx+c<0 не имеет решения.

hello_html_4d007557.jpg



2)a<0 и D=0

Парабола y=ahello_html_m47b10324.gif+bx+cкасается своей вершиной оси абсцмсс в точке x=–hello_html_661e6945.gifи расположена ниже оси Ox. Таким образом,ahello_html_m47b10324.gif+bx+c<0 при любом значении x, кроме x=–hello_html_661e6945.gif (рис.28).

hello_html_4d007557.jpg

А неравенство ahello_html_m47b10324.gif+bx+c>0 не имеет решения.

Итак, если корни трёхчлена действительны и равны между собой (hello_html_1d0f8ed0.gif=hello_html_m51af6e6b.gif=hello_html_21d02b71.gif), то при любом x≠–hello_html_661e6945.gif знак трёхчлена совпадает со знаком первого коэффициента a.

СлучайIII. 1)a>0 и D<0.

Трёхчлен не имеет действительных корней и парабола y=ahello_html_m47b10324.gif+bx+cне пересекает ось абсцисс, она расположена выше оси Ox(рис.29),т.е. ahello_html_m47b10324.gif+bx+c>0 при любом значении x. Неравенство ahello_html_m47b10324.gif+bx+c>0 не имеет решений.hello_html_4d007557.jpg



2)a<0 и D<0

Трёхчлен не имеет действительных корней и парабола целиком расположена под осью абсцисс,т.е все её ординатыотрицательны (рис.30).hello_html_4d007557.jpg

ahello_html_m51d2537a.gif+bx+c<0 при любом значении x. Неравенство ahello_html_m51d2537a.gif+bx+c>0

не имеет решений.

DПрямая соединительная линия 17=hello_html_20c6ec89.gif–4ac


Неравенства

D>0

D=0

D<0

ahello_html_m47b10324.gif+bx+c>0

a>0

(-∞;hello_html_3f9d8613.gif)hello_html_m6f73e3e4.gif(hello_html_55d298ec.gif;∞)

(-∞;hello_html_m4d22c271.gif)hello_html_m6f73e3e4.gif(hello_html_m4d22c271.gif;∞)

hello_html_m4d22c271.gif=–hello_html_661e6945.gif

(-∞;∞)

x- любое

ahello_html_m47b10324.gif+bx+c>0

a<0

(hello_html_3f9d8613.gif;hello_html_55d298ec.gif)

Нет решения

Нет решения

ahello_html_m47b10324.gif+bx+c<0

a>0

(hello_html_3f9d8613.gif;hello_html_55d298ec.gif)

Нет решения

Нет решения

ahello_html_m47b10324.gif+bx+c>0

a<0

(-∞;hello_html_3f9d8613.gif)hello_html_m6f73e3e4.gif(hello_html_55d298ec.gif;∞)

(-∞;∞)кроме

x=hello_html_21d02b71.gif

(-∞;∞)

x- любое





Краткое описание документа:

Данная работа,является опорным конспектом не только для систематизации и обобщения знаний,умений и навыков по темам:«Квадратная функция», «Квадратное уравнение», «Квадратное неравенство», для учащихся 8 класса, но и для учащихся 9 классов как систематизированный материал в течении учебного года, так и при подготовке к выпускному экзамену по алгебре за основную школу. Этот же материал используется постоянно и учащимся самостоятельно,представлены ими в форме рефератов. Данный реферат можно использовать как учебный материал.
Автор
Дата добавления 24.05.2014
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров413
Номер материала 111448052440
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх