• Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
  «Курасовская средняя общеобразовательная школа»

  Ивнянского района Белгородской области

   

   

   

   

   

   

  План-конспект                                                      урока алгебры и начал математического анализа в  10 классе                                                  социально-экономического профиля                  обучения

   

   

   

         

   

  Автор:

  Чупахин Александр Валентинович,

  учитель математики

   

   

   

   

   

   

   

   

  Тема урока: Применение производной к исследованию функций

  Цель урока: организовать деятельность учащихся по самостоятельному применению знаний,  умений и навыков по теме «Производная»,  создать условия для развития творческих способностей и познавательной         активности учащихся,  содействовать развитию у школьников   исследо- вательской  культуры, помочь учащимся  осознать ценность совместной деятельности.

  Урок комплексного применения знаний и способов деятельности          учащихся.

   

  Ход урока

  I.  Постановка цели урока и мотивация учебной деятельности учащихся.

  II. Повторение и проверка ранее изученного материала.

  (осуществляется актуализация комплекса знаний и умений, показ образца применения комплекса знаний).

                        1.  Индивидуальная работа. (Работа по карточкам у доски).    

  К – 1.     Построить график функции у =|(-2 cos (x-) + x)/|.	(-2cos(x-)+ x)/=2sin(x-)+1. После вычисления производной осуществляется  параллельный перенос системы координат  при   построении графика  функции  у=|2 sin (x - ) +1|.
  К – 2.     Решить уравнение	(=x2-6x+9,   .     Получается уравнение |x-3|–|x2-4x+3|=2,  которое решается методом  интервалов.
  К – 3.  Найти  все  значения x,  при  каждом  из которых  расстояние   между  соответствующими  точками   графиков функций  f(x)=log4(1,5x2-14x+5)/ и g(x)=(2,5x-100)/ меньше, чем 0,5.	(1,5x2-14x+5)/=3x-14,  (2,5x -100)/=2,5.     Получается неравенство |log4(3x-14)-2,5|<0,5, которое равносильно системе неравенств        log4(3x-14)>2,      log4(3x-14)<3,  откуда 10 < x<26.
  К – 4.     Решить уравнение     (cos())/.	, (cos())/=sin(). Получается   уравнение = sin(), при решении которого используется метод оценки его левой и правой частей.

                2. Проведение тестирования  по вычислению производных.

  Тест (2 варианта) включает 5 заданий из материалов ЕГЭ                             (исп. мультимедийный проектор)

  (см. приложение № 1).

   Осуществляется самопроверка (на экране компьютера  - слайд с ответами на тесты).

   

  3. Проверка домашнего задания.

   

  №7.083 (А) - из сборника  Сканави.                                                            Решить уравнение       x log4 x – 2= x(23(log4 x –1))/. О.Д.З.:  x>0,  x1. xlog4 x – 2=23(log4 x –1). Логарифмируя обе части уравнения по  основанию 4, имеем:   log4 x log4 x – 2=log42 3(log4 x –1), (log4 x–2)log4 x = 3(log4 x–1)log42, 2 log42x- 7 log4 x +3 =0 (используется метод замены: log4 x=t). x1 =2  ОДЗ,  x2 = 64ОДЗ. №  8. 439(B) - из сборника  Сканави (для «сильных» учащихся).            Решить уравнение 18 cos4 x (tg x)/ + 5 ((3 sin x)/ + ) -  +5 =  0.                  О.Д.З.: cos x ,  хn,  nZ.                                                                                                               18 cos2 x + 5 (3 cos x + ) +  +5 = 0,            18 cos2 x +  + 5(3 cos x + ) +5 = 0, 2 (9 cos2 x + ) + 5(3 cos x + ) +5 = 0. Пусть 3cos x+  = t, тогда (3cos x+)2 = t2,  9 cos2 x+=t2–6.  Уравнение примет вид:  2 (t2- 6) + 5t +5 = 0,  откуда  t1= 1,  t2 = -. cos x = -,  x = (- arсcos) + 2n,   nZ. cos x = -,   x = ,  к,  х=, кZ.

  Учащиеся восстанавливают решения   уравнений   у доски  (без тетрадей)  из   сборника  задач по  математике для поступающих во ВТУЗы под редакцией М.И. Сканави        (с добавленным  условием) –  глава 7  № 7.083  из группы А  и  № 8.439  из группы В. (Задания в этом сборнике распределены на три группы (А, Б, В)  по их нарастающей сложности). (2 человека у  доски). Используется             наглядность кабинета.

   

   

  4. Устный фронтальный опрос.

  (Используется настенный табличный материал кабинета).

  (На доске несколько  функций.)

  1)  у=5x⁶ - +8.     2)  у=        3)  у=(10x+7)²⁰.    

   4)  у= 4sin²3x+3cos.      5)  у= 2^-5x.     6)  у=log₇(2x – 8).    7)  у= x ln3x.  

   8)  у=е^2xcos5x.    9)  у= .    

                  (Отвечают ученики).

  - Что записано на доске? (функции).

  - Что  такое функция?

  - Сформулировать определение производной функции в точке.

  - Как называется функция, имеющая производную?

  - Что называется дифференцированием?

  - Сформулировать  правила  вычисления  производных.          

  -Чему равна производная степенной функции? Вычислить производную

  1^й  функции.  

  -Что можно сказать о дифференцируемости многочленов и                    дробно-рациональных функций? Вычислить производную функции № 2 и № 9.

  - Какая функция  называется  сложной  функцией?      

  - Как находится производная сложной функции?Вычислить производную функции №3.

  -Чему равны производные тригонометрических функций? Вычислить производную функции № 4. (Осуществляется проверка д/з - № 8.439 (В)).                                  

  -Чему равна производная показательной функции? Вычислить                      производную функции № 5 и № 8. (Осуществляется проверка К-4).

  -Чему равна производная логарифмической функции? Вычислить                 производную функции № 6 и № 7. (Осуществляется проверка д/з - № 7.083 (А)).

  -Что называется касательной к графику функции?

  - В чём состоит геометрический смысл производной?

  - Определить угловой коэффициент касательной, если f(x) =log₄(3x-14) (из индивидуального задания К-3), x₀=5. (Осуществляется проверка К-3 и К-2).

  - В чём состоит механический  смысл производной?                          

  - Определить, в какой момент времени скорость точки будет равна 5 м/с, если точка движется по координатной прямой согласно закону  , где  x(t) – координата точки в момент времени t (время     измеряется в секундах,  расстояние – в метрах).

  - Где применяется производная?

  - Как найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной на отрезке функции?

  После фронтального опроса осуществляется  проверка тестирования                (с помощью компьютера).

   

  III.   Организация деятельности учащихся по применению знаний в разнообразных ситуациях.

  1). Найти число корней уравнения  |(-2cos(x -) + x)^/ | = a   в зависимости   от параметра a на отрезке [-2; 2].

  y =|(-2cos(x -) + x)/ | = |2sin(x -) +1|.   Осуществляется параллельный перенос системы координат,       выбирается началом новой системы точка О1(; 1). В системе  O1x1y1 строится  график  функции  y1 = |2 sinx1|.  y = a – прямая, параллельная оси Ox. Ответ: при a < 0 и a > 3 нет общих точек, поэтому данное         уравнение корней не имеет;               при a = 0  -  5 корней;               при 0 < a < 1  - 8 корней;               при a = 1 -  6 корней;               при  1< a < 3 -  4 корня;                при  a = 3 - 2 корня.

  Используется графический  способ решения данного  уравнения. Осуществляется проверка К–1 и результат работы ученика по этой карточке используется при решении  этого уравнения (1 человек у доски).

  2). Дана функция  f(x) = .  Решить уравнение  (f(x))^/ =0.

  О.Д.З.:  1-2x>0, т.е.  x<,               x -5 ()/= .   = 0,     =0.  Полученное уравнение равносильно системе:   (2x -3)(2x+23) = 0,                           x = 1,5,  x = - 11,5,        (x+5)0,                              x -5,  x 0,5,   xD(B), где B(x)=(x+5),    x <,        откуда x = - 11,5.

  При решении  полученного уравнения особо обращается внимание на то, что условию равенства  нулю  дробного  выражения удовлетворяют те и только те значения переменной, для       которых числитель этого выражения обращается в нуль, а знаменатель  определён и не равен нулю. (1 чел. у доски).

  3) Решить уравнение  f ^/ (x)= -2,  если f (x)= sin4x - cos4x.

  f / (x)= 2cos4x + 5sin4x,  f / (x)= -2. Получается уравнение  2cos 4x + 5sin 4x +2 = 0. Пусть tg2x = z, тогда cos 4x =  , sin 4x = , где 4x , nz, т.е.  x, nz. Уравнение примет вид: 2+2 = 0,   = 0, 1+ z 2 > 0 при всех значениях z. 10 z + 4 = 0,   z = - .                                                                  tg2x = - ,   откуда  x = - arctg+ , kz. Проверка убеждает, что числа вида x = , nz – решения данного уравнения.

  При решении уравнения 2cos4x+5sin4x+2= 0  используется  универсальная подстановка для  тригонометрических уравнений. Учащиеся устно обсуждают план решения, а затем самостоятельно записывают решение в тетрадь.                       По окончании работы решение сверяют с помощью слайда компьютера. Используется             наглядность кабинета.

  4) Решить уравнение  (4^x - 2^x+41x)^/=(²+x².

  (4x - 2x+41x)/= 4x-182x+41.        4x-182x+41= ()2+x2.       4x-182x+41=9-x2+x2,      4x-182x+32=0 (исп. метод       9-x20,                               -3x3.              замены: 2x=t) I.      2x=16,               II.     2x=2,                                       -3x3     или          -3x3.          x=4,                          x=1,         -3x3- решений    -3x3,   откуда  x=1.                          нет.

  В ходе использования   коллективной формы деятельности учащихся на уроке данное  уравнение заменяется равносильной      системой, при решении которой рассматриваются           2 случая. (2 человека у доски).

  5) Решить неравенство ()^/ - x >1.

  ()/ =  при x - 7. - x >1,- x -1 >0.  Для решения  иррационального неравенства методом  …    рассматривается функция y = … . 1. О.Д.З.:  x + 7 … 0, т. к. корень чётной   степени   существует на множестве  … чисел.    x   -7.   2. Нули функции: y = … .           - x -1= 0.                                    Полученное иррациональное   …     равносильно системе:  ()2 = (x + 1)2,   x2+ x - …=0,   x = - … ,   x = …,     x + 1 0,                     x  … ,            x  - … ,           откуда   x = … .                   /////////////////////////                 -7        +      2    -  x При  x=9 имеем: - 9 -1 … 0.                           x … -7;2…

  Каждый из обучающихся получает лист с  решением  неравенства -x-1>0      методом  интервалов,  в котором есть пропуски, которые необходимо  заполнить.           Для контроля  1 человек  выполняет задание на закрытой части доски. Осуществляется  взаимопроверка решения.

  Резервное задание (из материалов ЕГЭ)

   

  Решить неравенство

   log_(0,25x²_-1,5x)(log₅(()^/)) 0.

   

  (0,25x2-1,5x)/=0,5x – 1,5. ()/=x2 - 19x + 89. log0,5x–1,5(log5(x2-19x+89)) 0. Логарифмическое неравенство равносильно совокупности   2-х систем:     1).  0,5x– 1,5 > 1,                x>5,             log5(x2-19x+89)1,          (x-7)(x-12) 0.       2).   0< 0,5x– 1,5<1,           3< x<5,        0<log5 (x2-19x+89)1.  -4< (x-7)(x-12)0.         Если x<5, то (x-7)(x-12)>0, т. е. 2я система не             имеет решений.   Решением 1й системы является объединение промежутков (5; и , которое является и решением заданного логарифмического неравенства  log(0,25x2-1,5x)(log5(()/)) 0.

  Логарифмическое               неравенство                          заменяется  равносильной                 совокупностью двух  систем неравенств.

      

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

  IV. Исследовательская работа по решению экономических задач               с использованием производной.

  (Осуществляется контроль и самоконтроль).

   

  Учащимся предлагается решить  одну из    следующих задач: 1).                      На оценку «5».  Фирма «Нежность» работает на                      конкурентном рынке цветочных изделий и      занимается выращиванием и продажей цветов. Функция издержек выращивания цветов имеет вид C(Q) = , где Q – количество цветов. Фирма может продавать не более     2 тыс. шт. ежедневно. Определить, сколько цветов в день следует продавать, чтобы получить максимальную прибыль, если рыночная цена на цветы составляет 50 руб. за шт.?    2).                     На оценку «4».   Общие затраты фирмы – монополиста равны   C(Q) =6 + 4,5Q – 5 при спросе на её продукцию Q = 32 – 4 P. Найти оптимальную цену и выпуск продукции (тыс. руб.), обеспечивающую наибольшую прибыль. Вычислить эту прибыль. 3).                      На оценку «3».  Дана функция спроса на продукцию монополиста     Q = 40 – P  и  известна функция затрат                C(Q) = 100 – 12Q + Q2.   Найти максимальный объем продаж при прибыли не менее 166 у.е. Какую при этом следует           установить цену?

  С помощью компьютера осуществляется показ слайдов. 1 слайд  2 слайд Прибыль –   это  разница между          выручкой и издержками (затратами). П(Q) = R(Q) – С(Q).   3 слайд Выручка  - это сумма денег, полученная от              реализации определенного количества продукции Q по рыночной цене   P,   т. е.    R (Q) = PQ.               4 слайд Любая фирма должна определить какое же количество товара Q ей необходимо производить, чтобы максимизировать свою прибыль.   5 слайд Прибыль  зависит от объёма выпускаемой продукции, т.е. прибыль является  функцией от Q.

   

  
  

     Учитель ставит  проблему: «Как найти максимальный размер прибыли любой фирмы?», затем, осуществляя фронтально работу по изученной   ранее схеме исследования функций и особо обращая внимание на                   исследование функций на экстремум, подводит учащихся к самостоятель- ному формулированию гипотезы «Исследовать функцию  прибыли на наибольшее значение», создаёт условия для исследовательской деятельности учащихся, обеспечивает учебный  процесс дидактическим материалом, акцентируя внимание на плакат «Схема решения задач на  наибольшее и наименьшее значения функции» и материал учебника «Наибольшее и наименьшее значения функции» (п.25 стр. 155-157), организовывает деловое общение учащихся в 3^х созданных группах.

     Учащиеся планируют и проводят исследовательскую деятельность       самостоятельно, без непосредственной помощи учителя. Затем               представители от каждой группы освещают результаты у доски.                 В качестве проверки – компьютерная презентация с решением экономических задач (приложение № 2).

   

  V. Постановка домашнего задания.

  1).  № 228(а) - стр. 339 (гл. VI. Задачи повышенной трудности).

  2).  Найти число корней  уравнения   y = |(cos(2(x + )))^/ – 1| = - a  в зависимости от  параметра a на отрезке [- 2; 2].

  3). Познакомиться   с  зачётными  заданиями  трёх  уровней сложности  (по  выбору учащихся) по теме «Применение производной к исследованию функций» - из материалов ЕГЭ (стенд кабинета  «Готовимся к ЕГЭ»).  

   

  VI. Подведение итогов урока.

  Анализируется весь ход урока и его основные моменты, оценивается          деятельность каждого ученика на уроке. Ученики, получив специальный лист, отвечают на вопросы

  (да  «+»,  нет  «-», не совсем  «»):

  1.   Я понял(а),как выполнять равносильные преобразования при решении уравнений и неравенств ___

  2.   2. Я уяснил(а), в чём состоит  метод интервалов ___

  3.   Я знаю, как применять условие равенства нулю дробного выражения при решении уравнения или неравенства ___

  4.   Я могу решать различные задачи с применением производной ___

  5.   Я умею проводить исследование функций на наибольшее (наименьшее) значение ___

  6.   Я знаю, как решать экономические задачи на нахождение                  максимального  размера прибыли любой фирмы ___

  7.   Я ставлю себе за работу на уроке оценку «5», « 4»,  «3», «2»:  «___»

          - Кто поставил  все плюсы?

          - Какова же главная цель любой фирмы?

          - Как же использовать производную при нахождении максимального размера прибыли фирмы?

   

  VII. Рефлексия.

   

  1). Учащиеся устно продолжают мысль:

  Тема  сегодняшнего урока

  - актуальна, т.к. …

  - не актуальна, т.к. …

   

  2).Учащиеся выбирают поговорку,

  наиболее подходящую эмоциональному

   состоянию на уроке.

  - Дело мастера боится.

  - Через тернии к звёздам.

  - Грамоте учиться всегда пригодится.

  - Где хотенье – там уменье.

  - Терпение и труд – всё перетрут.

  - Без труда не вытащишь и рыбку из пруда.

   

   

   

  Литература

  1. А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др. Алгебра и начала анализа 10-11. – Москва: Просвещение, 2011.

  2. Ю.М. Колягин, М.В. Ткачёва, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин. Алгебра и начала математического анализа 10, 11. (Базовый и профильный уровни). – М.: Просвещение, 2009.

  3. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы под редакцией М.И. Сканави.

  4. Материалы ЕГЭ по математике.

  5. Журнал «Математика в школе».

  6. Газета «Математика».

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

• Приложение №1.

  Тестирование  по вычислению производных.

  Тест (2 варианта) включает 5 заданий из материалов ЕГЭ.

   

   

  Тестирование Вариант - I Вариант - II   1.   Укажите абсциссу точки графика функции ,  в которой угловой коэффициент касательной равен нулю. единице.   1) 0 2) 2 3) – 2 4) 1,5   2.   Найдите производную функции y = (x+5)sin x. y = (x-5)cos x.   1) 2) 3) 4)   3. Найти  f /(-2)  функции f(x)=e0,5x+1+ln(1-2x) . Найти  f /(2) функции          f(x)=e-0,5x+1+ln(2x-3) .                    1) 0,9 2) -0,2 3) 1,5 4) 0,1   4.  Найти f /(ln3), если  f(x)= .    Найти f /(ln2), если  f(x)= .     1) 1,8 2) 2,4 3) 6 4) 3,6   5.   Найти производную функции y=log2(6-2x).     Найти производную функции   y=log3(6-2x).     1) 2) 3) 4)

   

• Описание презентации по слайдам:

  • 

    1 слайд

    
    Исследовательская работа
    
    по решению
    
    экономических задач
    
    с использованием
    
    производной.
    
    
    
    
    
    
    
    
    

  • 

    2 слайд

    На оценку «5».
    Фирма «Нежность» работает на конкурентном рынке цветочных изделий и занимается выращиванием и продажей цветов. Функция издержек выращивания цветов имеет вид
    
    ,
    где Q – количество цветов. Фирма может продавать не более 2 тыс. шт. ежедневно. Определить, сколько цветов в день следует продавать, чтобы получить максимальную прибыль, если рыночная цена на цветы составляет 50 руб. за шт.?
    

  • 

    3 слайд

    1 этап – формализация.
    Выражение для функции прибыли имеет вид:
    П(Q) = R(Q) – С(Q) = PQ – C(Q).
    П(Q) = 50Q – ( ) =
    
    
    
    По смыслу задачи Q 0, поэтому задача сводится к исследованию функции П(Q) на наибольшее значение на отрезке от 0 до 2.
    
    

  • 

    4 слайд

    2 этап – математизация.
    
    П/(Q) =( )/=
    
    = Q4 - 3Q3 + 4Q2 - 3Q +1.
    П/(Q)=0, Q4 - 3Q3 + 4Q2 - 3Q +1 = 0 – возвратное уравнение чётной степени. Т.к. Q=0 не является его решением (1 0), то, разделив обе части уравнения
    Q4 - 3Q3 + 4Q2 - 3Q + 1=0 на Q2 0,
    получается уравнение, ему равносильное:
    Q2 - 3Q + 4 – 3/Q + 1/Q2 =0.
    

  • 

    5 слайд

    (Q2 + 1/Q2) – 3(Q +1/Q)+4=0.
    Пусть Q +1/Q = t, тогда Q2 + 1/Q2 = t2-2. Уравнение примет вид: t2-3t+2=0.
    По свойству коэффициентов квадратного уравнения (a + b + c = 0) t1=1, t2=2.
    1) Q +1/Q = 1 - решений нет.
    2) Q +1/Q = 2, Q=1.
    П(0) =0, П(2)=11/15 , П(1)=17.
    Итак, max П(Q)=П(1)=17, т.е.
    
    наибольшее значение функции равно 17 и достигается при Q=1.
    

  • 

    6 слайд

    3 этап – интерпретация.
    
    Фирме «Нежность» необходимо продавать 1 тыс. шт. цветов ежедневно, чтобы получаемая прибыль была максимальна.
    

  • 

    7 слайд

    
    На оценку «4».
    Общие затраты фирмы – монополиста равны C(Q) =6Q1/2 + 4,5Q – 5 при спросе на её продукцию Q = 32 – 4 P. Найти оптимальную цену и выпуск продукции (тыс. руб.), обеспечивающую наибольшую прибыль. Вычислить эту прибыль.
    
    

  • 

    8 слайд

    1 этап – формализация.
    Выражение для функции прибыли имеет вид:
    П(Q) = R(Q) – С(Q) = PQ – C(Q),
    R(Q)=PQ
    Из уравнения спроса найдем цену:
    P = 8 – 0,25Q.
    П(Q)=(8 – 0,25Q)Q - 6Q1/2 - 4,5Q +5 =
    =8Q - 0,25Q2 – 6Q1/2- 4,5Q + 5=
    =3,5Q – 0,25Q2- 6Q1/2+5.
    
    
    

  • 

    9 слайд

    2 этап – математизация.
    П/(Q)= 3,5 – 0,5Q – 3Q-1/2, где Q >0.
    П/(Q)=0, 3,5 – 0,5Q – 3Q-1/2= 0,
    3Q-1/2 + 0,5Q - 3,5 = 0.
    Пусть Q1/2 = t , тогда Q = t2. Уравнение примет вид:
    3/t+ 0,5t2- 3,5 = 0, 3+0,5t3 – 3,5t = 0.
    t
    Полученное уравнение равносильно системе
    0,5t3- 3,5t + 3 = 0,
    t 0.
    
    
    
    

  • 

    10 слайд

    
    При решении кубического уравнения t3- 7t + 6 = 0 выполняется деление столбиком многочлена t3 + 0t2 - 7t + 6 = 0 на двучлен t – 1, т. к. 1- один из делителей числа 6 и 13 – 7*1 + 6 = 0.
    (t - 1)(t2 + t - 6) = 0.
    t -1 = 0, t =1.
    t2+ t -6 =0, t =2, t = -3.
    

  • 

    11 слайд

    Q1/2 = 1, Q=1.
    Q1/2 = 2, Q= 4.
    Q1/2 = -3 – решений нет.
    При Q=1 П(Q)= 2,25.
    При Q=4 П(Q)=3.
    Т.к. П(1) < П(4), то Q=1 условию задачи не удовлетворяет.
    При Q=4 P = 8 – 0,25 * 4 = 7.
    

  • 

    12 слайд

    3 этап – интерпретация.
    
    Фирма - монополист получит максимальную прибыль в размере 3 тысяч рублей при выпуске 4 единиц продукции по цене 7 рублей.
    

  • 

    13 слайд

    
    На оценку «3».
    Дана функция спроса на продукцию монополиста Q = 40 – P и известна функция затрат C(Q) = 100 – 12Q + Q2.
    Найти максимальный объём продаж при прибыли не менее 166 у.е. Какую при этом следует установить цену?
    
    

  • 

    14 слайд

    1 этап – формализация.
    Выражение для функции прибыли имеет вид:
    П(Q) = R(Q) – С(Q) = PQ – C(Q),
    Q = 40 – P, P = 40 - Q
    П(Q)=(40 – Q)Q – (100 - 12Q + Q2).
    Прибыль П(Q)= -2Q2 + 52Q –100 должна быть не меньше 166, т.е. должно выполняться неравенство
    - 2Q2 +52Q – 100 166,
    Q2 -26Q + 133 0.
    

  • 

    15 слайд

    Корни этого квадратного трехчлена: 7 и 19,
    7 Q 19, поэтому задача сводится к исследованию функции прибыли П(Q) на наибольшее значение на отрезке [7;19].
    

  • 

    16 слайд

    2 этап – математизация.
    
    П/(Q) = -4Q+52
    П/(Q)=0 при Q=13, 13 [7;19].
    П(7)=166, П(13)=238, П(19)=166, следовательно, максимальный объём продаж достигается при Q = 13.
    R(Q) = 40 * 13 -132 = 351, а
    P = 40 – 13 = 27.
    
    

  • 

    17 слайд

    3 этап – интерпретация.
    
    Фирма – монополист получит максимальную прибыль
    при производстве 13 единиц продукции по цене 27 у.е.
    

• Аннотация

  к уроку алгебры и начал математического анализа в 10 классе                                     социально-экономического профиля обучения   

  по теме «Применение производной к исследованию функций».

  Учитель - Чупахин А.В. (высшая квалификационная категория).

   

          Урок алгебры и начал математического анализа по теме «Применение производной к исследованию функций» является уроком комплексного применения знаний и способов деятельности учащихся. Содержание учебного материала соответствует программе профильного обучения и уровню знаний учащихся по предмету. Применение на уроке индивидуальной, фронтальной и коллективной форм деятельности способствует максимальному развитию личности каждого учащегося. Прослеживается отчётливая целенаправленность как всего урока в целом, так и его отдельных этапов. Содержание урока научно, прослеживается связь с жизнью, наблюдается работа по подготовке учащихся к ЕГЭ. Вычисление производных – необходимое условие  выполнения всех предложенных на уроке заданий.

     Проверка ранее изученного материала осуществляется путём выполнения учащимися  индивидуальных  дифференцированных заданий у доски: задание № 1 - построение графика тригонометрической функции                                 у=|(-2cos(x -)+ x)^/|, осуществляется параллельный перенос системы координат; задание № 2 –решение уравнения с модулем , сводящееся к уравнению  |x-3|–|x²-4x+3|=2,  которое решается методом  интервалов; в задании № 3 при нахождении всех значений x,  при  каждом  из которых  расстояние между соответствующими  точками   графиков функций  f(x) и g(x) (f(x)=log₄(1,5x²-14x+5)^/ и g(x)=(2,5x-100)^/) меньше, чем 0,5, получается неравенство |log₄(3x-14)-2,5|<0,5, которое равносильно системе логарифмических неравенств; задание №4 - решение уравнения (cos())^/ с помощью оценки его левой и правой частей. Проводится тестирование  по вычислению производных (групповая форма деятельности). После устного фронтального опроса осуществляется самопроверка (на экране компьютера – слайд с ответами на тесты).

     Индивидуальная работа требует дифференциации заданий по степени сложности не только на уроке, но и в домашних заданиях, поэтому проверка домашнего задания осуществляется восстановлением решений заданий у доски без тетрадей  из  сборника задач по математике для поступающих во ВТУЗы под редакцией М.И. Сканави  (с добавленным  условием) -  глава 7                 № 7.083  из группы А  и № 8.439  из группы В.  (Задания в этом сборнике распределены на три группы (А, Б, В) по их нарастающей сложности).

     Актуализация опорных знаний осуществляется в ходе фронтального опроса, в результате которого учащиеся вспоминают и охарактеризовывают изученные правила вычисления производных как элементарных, так и сложных функций, определяют геометрический и механический смысл производной, разрешают вопрос о нахождении наибольшего и наименьшего значения непрерывной на отрезке функции с помощью производной.

       Ключевые звенья личностно - ориентированного подхода: опора на субъективный опыт учащихся, предпочтение к операциям логического мышления, познавательным стратегиям, совершенствование личных позитивных качеств ученика определяют построение урока. Предложенные учащимся задания на основном этапе урока способствуют развитию их творческих способностей и познавательной активности.

     При нахождении числа корней уравнения  |(-2cos(x -) + x)^/ | = a   в зависимости от параметра a на отрезке [-2; 2] используется графический способ решения полученного уравнения. Осуществляется проверка построения графика тригонометрической функции у = |2sin (х - ) + 1| - индивидуальное задание, выполняемое у доски,  и результат работы ученика по этой карточке используется при решении  этого уравнения.

     При решении уравнения ()^/ =0 особо обращается внимание на то, что условию равенства нулю дробного выражения удовлетворяют те и только те значения переменной, для которых числитель этого выражения обращается в нуль, а знаменатель определён и не равен нулю.

     При решении уравнения 2 cos 4x + 5sin 4x +2 = 0 используется  универсальная  подстановка  для тригонометрических уравнений. Учащиеся устно обсуждают план решения, а затем самостоятельно записывают решение в тетрадь. По окончании работы решение сверяют с помощью слайда компьютера.

     В ходе использования коллективной формы деятельности учащихся на уроке уравнение (4^x - 2^x+41x)^/=(²+x² заменяется равносильной системой, при решении которой после замены переменной  рассматриваются 2 случая. 

     После вычисления производной функции , каждый из обучающихся получает лист с решением неравенства -x-1>0 методом интервалов, в котором есть пропуски, которые необходимо  заполнить.  Для контроля 1 человек выполняет задание на закрытой части доски. Осуществляется  взаимопроверка решения.

     Приступив к выполнению резервного задания – решению неравенства log_(0,25x²_-1,5x)(log₅(()^/)) 0, учащиеся, учитывая свойства логарифмической функции, заменяют логарифмическое неравенство равносильной совокупностью двух систем неравенств.

     При проведении исследовательской работы по решению экономических задач с использованием производной учащимся предлагается выполнить дифференцированные задания – решить задачи на экстремум с экономическим содержанием.

     Учитель ставит  проблему: «Как найти максимальный размер прибыли любой фирмы?», затем, осуществляя фронтально работу по изученной  ранее схеме исследования функций и особо обращая внимание на исследование функций на экстремум, подводит учащихся к самостоятельному формулированию гипотезы «Исследовать функцию прибыли на наибольшее значение», создаёт условия для исследовательской деятельности учащихся, обеспечивает учебный  процесс дидактическим материалом, акцентируя внимание на плакат «Схема решения задач на наибольшее и наименьшее значения функции» и материал учебника «Наибольшее и наименьшее значения функции» (п.25 стр. 155-157), организовывает деловое общение учащихся в 3^х созданных группах. Учащиеся планируют и проводят исследовательскую деятельность самостоятельно, без непосредственной помощи учителя. Затем представители от каждой группы освещают результаты у доски. В качестве проверки учащиеся просматривают компьютерную презентацию с решением экономических задач.

     Использование технологии проблемного обучения  служит одним из эффективных средств развития творческих способностей учащихся и творческого процесса в целом

     В качестве домашнего задания учащимся предлагается познакомиться с  зачётными заданиями трёх уровней сложности (по выбору учащихся) по теме «Применение производной к исследованию функций» - из материалов ЕГЭ (стенд кабинета  «Готовимся к ЕГЭ»), выполнить   № 228(а) - стр. 339     (гл. VI. Задачи повышенной трудности. Учебник:  А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов,   Ю.П. Дудницын и др. Алгебра и начала анализа 10-11. – Москва: Просвещение, 2011) и найти число корней  уравнения y=|(cos(2(x+)))^/–1|=- a  в зависимости от  параметра a на отрезке [- 2; 2].

     Анализируется весь ход урока и его основные моменты, оценивается деятельность каждого ученика на уроке. Ученики, получив специальный лист,  отвечают на вопросы (да,  нет, не совсем). При подведении итогов урока ставится вопрос: «Как же использовать производную при нахождении максимального размера прибыли фирмы?» Рефлексия связана с самооценкой учащихся и их мнением об уроке.

   

   

   

   

   

   

Краткое описание материала