ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ

«СЕМИЛУКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

методические указания

по выполнению самостоятельной внеаудиторной работы

по дисциплине «Математика»

для студентов 1 курса

специальности 151031 Монтаж и техническая эксплуатация промышленного оборудования (по отраслям)

Семилуки , 2014

Методические указания по выполнению самостоятельной внеаудиторной работы по дисциплине «Математика» для студентов 1 курса специальности 151031 Монтаж и техническая эксплуатация промышленного оборудования (по отраслям)

Составители:

М.Д.Евдокимова, преподаватель математики

Л.В.Матыцина, преподаватель математики

Учебное пособие содержит указания по выполнению внеаудиторных самостоятельных работ по «Математика», являющейся базовой дисциплиной. Методические указания составлены в соответствии с рабочей программой по дисциплине «Математика» и предназначены для студентов 1-го курса, обучающихся по специальности 151031 Монтаж и техническая эксплуатация промышленного оборудования (по отраслям)

.

Оглавление

Введение

5

Самостоятельные работы

Задачи профессиональной направленности

Ответы к задачам

Тесты для самоконтроля

Литература

Введение

Методические указания по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине «Математика» предназначены для студентов, обучающихся по специальности 151031 Монтаж и техническая эксплуатация промышленного оборудования (по отраслям).

Объем самостоятельной работы студентов определяется государственным образовательным стандартом среднего профессионального образования (ФГОС СПО) по специальности 151031 Монтаж и техническая эксплуатация промышленного оборудования (по отраслям).

Выполнение внеаудиторной самостоятельной работы является обязательной для каждого студента, её объём в часах определяется действующим рабочим учебным планом Семилукского государственного технико-экономического колледжа по данной специальности.

Самостоятельная внеаудиторная работа проводится с целью:

- систематизации и закрепления полученных теоретических знаний студентов;

- углубления и расширения теоретических знаний;

- развития познавательных способностей и активности студентов, самостоятельности, ответственности и организованности;

- формирования самостоятельности мышления, способностей к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации.

Внеаудиторная самостоятельная работа выполняется студентом по заданию преподавателя, но без его непосредственного участия. По математике используются следующие виды заданий для внеаудиторной самостоятельной работы:

для овладения знаниями: чтение текста (учебника, дополнительной литературы), работа со словарями и справочниками, учебно-исследовательская работа, использование аудио- и видеозаписей, компьютерной техники и Интернета;

для закрепления и систематизации знаний: повторная работа над учебным материалом (учебника, дополнительной литературы, аудио- и видеозаписей), составление плана и алгоритма решения, составление таблиц для систематизации учебного материала, ответы на контрольные вопросы, подготовка сообщений к выступлению на уроке, конференции, подготовка сообщений, докладов, рефератов, тематических кроссвордов;

для формирования умений: выполнение схем, анализ карт, подготовка к деловым играм.

Требования к результатам освоения дисциплины:

При изучении курса математики на базовом уровне продолжаются и получают развитие содержательные линии: «Алгебра», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Геометрия», «Элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики и логики», вводится линия «Начала математического анализа». В рамках указанных содержательных линий решаются следующие задачи:

систематизация сведений о числах; изучение новых видов числовых выражений и формул; совершенствование практических навыков и вычислительной культуры, расширение и совершенствование алгебраического аппарата, сформированного в основной школе, и его применение к решению математических и нематематических задач;

расширение и систематизация общих сведений о функциях, пополнение класса изучаемых функций, иллюстрация широты применения функций для описания и изучения реальных зависимостей;

изучение свойств пространственных тел, формирование умения применять полученные знания для решения практических задач;

развитие представлений о вероятностно-статистических закономерностях в окружающем мире, совершенствование интеллектуальных и речевых умений путем обогащения математического языка, развития логического мышления;

знакомство с основными идеями и методами математического анализа.

Цели

Изучение математики на базовом уровне направлено на достижение следующих целей:

• формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики;

• развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для обучения в высшей школе по соответствующей специальности, в будущей профессиональной деятельности;

• овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;

• воспитание средствами математики культуры личности: отношения к математике как части общечеловеческой культуры: знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей, понимания значимости математики для общественного прогресса.

Общеучебные умения, навыки и способы деятельности

В ходе освоения содержания математического образования учащиеся овладевают разнообразными способами деятельности, приобретают и совершенствуют опыт:

построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач, задач из смежных дисциплин;

выполнения и самостоятельного составления алгоритмических предписаний и инструкций на математическом материале; выполнения расчетов практического характера; использования математических формул и самостоятельного составления формул на основе обобщения частных случаев и эксперимента;

самостоятельной работы с источниками информации, обобщения и систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт;

проведения доказательных рассуждений, логического обоснования выводов, различения доказанных и недоказанных утверждений, аргументированных и эмоционально убедительных суждений;

самостоятельной и коллективной деятельности, включения своих результатов в результаты работы группы, соотнесение своего мнения с мнением других участников учебного коллектива и мнением авторитетных источников.

ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ ВЫПУСКНИКОВ

В результате изучения математики на базовом уровне ученик должен

знать/понимать

• значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

• значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;

• универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;

• вероятностный характер различных процессов окружающего мира;

Алгебра

уметь

• выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств; находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства; пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах;

• проводить по известным формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции;

• вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

• практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства;

Функции и графики

уметь

• определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;

• строить графики изученных функций;

• описывать по графику и в простейших случаях по формуле поведение и свойства функций, находить по графику функции наибольшие и наименьшие значения;

• решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их графиков;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

• описания с помощью функций различных зависимостей, представления их графически, интерпретации графиков;

Начала математического анализа

уметь

• вычислять производные и первообразные элементарных функций, используя справочные материалы;

• исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций, строить графики многочленов и простейших рациональных функций с использованием аппарата математического анализа;

• вычислять в простейших случаях площади с использованием первообразной;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

• решения прикладных задач, в том числе социально-экономических и физических, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения;

Уравнения и неравенства

уметь

• решать рациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, простейшие иррациональные и тригонометрические уравнения, их системы;

• составлять уравнения и неравенства по условию задачи;

• использовать для приближенного решения уравнений и неравенств графический метод;

• изображать на координатной плоскости множества решений простейших уравнений и их систем;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

• построения и исследования простейших математических моделей;

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей

уметь

• решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул;

• вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

• анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков;

• анализа информации статистического характера;

Геометрия

уметь

• распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями;

• описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении;

• анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве;

• изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач;

• строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды;

• решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

• использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

• проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

• исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур;

• вычисления объемов и площадей поверхностей пространственных тел при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства.

Перед выполнением внеаудиторной самостоятельной работы студент должен внимательно выслушать инструктаж преподавателя по выполнению задания, который включает определение цели задания, его содержание, сроки выполнения, ориентировочный объем работы, основные требования к результатам работы, критерии оценки. В процессе инструктажа преподаватель предупреждает студентов о возможных типичных ошибках, встречающихся при выполнении задания.

В пособии представлены как индивидуальные, так и групповые задания в зависимости от цели, объема, конкретной тематики самостоятельной работы, уровня сложности. В качестве форм и методов контроля внеаудиторной самостоятельной работы студентов используются аудиторные занятия, зачеты, тестирование, самоотчеты, контрольные работы.

Критериями оценки результатов внеаудиторной самостоятельной работы студента являются:

- уровень освоения студентом учебного материала;

- умение студента использовать теоретические знания при выполнении практических задач;

- сформированность общеучебных умений;

- обоснованность и четкость изложения ответа;

- оформление материала в соответствии с требованиями.

В методических указаниях приведены теоретический (справочный) материал в соответствии с темой работы, обращение к которому поможет выполнить задания самостоятельной работы; вопросы для самоконтроля, подготавливающие к выполнению заданий и сами задания.

Самостоятельная работа №1 Подготовка сообщения «История развития понятия функции»

Цель: получить представление о функциях, истории развития понятия функции и ее применении в различных областях науки

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

Самостоятельная работа №2 Подготовка сообщения «История появления алгебры как науки»

Цель: получить представление об истории развития и становления алгебры как науки, о ее достижениях, о связи с другими науками

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

Самостоятельная работа №3 Подготовка сообщения «История развития тригонометрии»

Цель: получить представление об истории развития тригонометрии, о ее достижениях, о связи с другими науками

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

Самостоятельная работа №4 Решение задач на формулы приведения

Цель: закрепить навыки решения тригонометрических задач с помощью формул приведения, выработать навыки их применения при нахождении углов больше , преобразовании тригонометрических выражений.

Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа

Форма контроля: проверка работы

Виды заданий:

1. Вычислить с помощью формул приведения

2. Упростить выражение

3. Доказать тождество

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Знаки тригонометрических функций

Из определения тригонометрических функций следует, что их знаки вчетвертях будут следующими:

Формулы приведения

Это формулы, позволяющие выражать значения тригонометрических функций любого угла через функции угла первой четверти, т.е. α< 90°.

ПРАВИЛО 1. Если угол α откладывают от оси ОX, то функция не меняется.

А если угол α откладывают от оси ОY, то функция меняется на кофункцию.

ПРАВИЛО 2. Знак в правой части формулы определяется по знаку функции в левой части.

Пример: Запишите формулы приведения

Формулы приведения

β

π/2 - α

π/2 + α

π - α

π + α

3π/2 - α

3π/2 + α

2π - α

2π + α

cos

sin α

- sin α

-cos α

-cos α

- sin α

sin α

cos α

cos α

sin

cos α

-cos α

sin α

-sin α

-cos α

cos α

-sin α

sin α

tg

сtg α

-сtg α

-tg α

tg α

-сtg α

-сtg α

-tg α

tg α

ctg

tg α

-tg α

-ctg α

ctg α

tg α

-tg α

-ctg α

ctg α

Пример 1.Выразите тригонометрические функции через угол меньше 45°.

Пример 2. Упростите выражение.

Решение:

Пример 3. Упростите выражение.

Решение:

Перед выполнением внеаудиторной самостоятельной работы, прочитайте еще раз конспект, учебник и ответьте на следующие вопросы:

1. Правило перевода градусной меры в радианную

2. Правило перевода радианной меры в градусную

3. Определение тригонометрических функций на единичной окружности

4. Знаки тригонометрических функций.

5. Четные и нечетные функции.

6. Периодичность тригонометрических функций.

7. Основное тригонометрическое тождество.

Задания.

1 уровень.

Вариант1.

1.Вычислить с помощью формул приведения. а) б)

2.Упростить выражение:

3.Вычислите: если и

4.Найдите значение выражения:

5. Докажите тождество:

2 уровень.

Вариант2.

1.Вычислить с помощью формул приведения. а) б)

2.Упростить выражение:

3.Вычислите: если и

4.Найдите значение выражения:

5. Докажите тождество:

3 уровень

Вариант 3.

1.Вычислить с помощью формул приведения. а) б)

2.Упростить выражение:

3.Вычислите: если и

4.Найдите значение выражения:

5. Докажите тождество:

Самостоятельная работа №5 Подготовка сообщения «Тригонометрические функции в физике»

Цель: получить представление о применении тригонометрических функций в физике

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

Самостоятельная работа №6 Подготовка презентации «Преобразование графиков функций»

Цель: формирование умений и навыков применения преобразования графиков функций для решения задач, развитие навыков работы на компьютере

Самостоятельная работа: создание презентации на компьютере, работа с интернет-ресурсами.

Форма контроля: демонстрация презентации на уроке

Самостоятельная работа №7 Выполнение построения графиков с помощью преобразований

Цель: закрепить навыки построения графиков с помощью преобразований

Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа

Форма контроля: проверка работы

Виды заданий:

1. Построить график функции

2. Описать вид преобразования графика функции

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

1. 1. Построение графика функции y=f(x)+n

Пусть нам известен вид графика функции y=f(x) и надо построить график функции y=f(x)+n. Значения у для второй функции на n больше при n>0 и на n меньше при n<0, это значит, что график в первом случае выше, а во втором ниже, опорного графика f(x).

График функции y=f(x)+n получается из графика y=f(x) сдвигом вдоль оси Оу на n единиц. Направление сдвига определяется знаком числа n (при n>0 график сдвигается вверх, при n<0 – вниз).

На рис.1 изображены графики функций , +3, -2.

На рис.2: y=f(x), y=f(x)-10

Рис.1 Рис.2

1. 2. Построение графика функции y=f(x-m).

Ранее неоднократно строились графики квадратичной функции вида y=a(x-m)² и не раз убеждались в том, что происходит сдвиг параболы y=ax² вдоль оси Ох вправо при m>0 и влево при m<0. Это преобразование справедливо и для графика любой другой функции.

На рис.3 графики функций: , , .

На рис.4 : у = -х³, у = -(х-4)³, у = -(х+3)³.

График функции y=f(x-m) получается из графика функции y=f(x) сдвигом вдоль оси Ох вправо при m>0 и влево при m<0.

1. 3. Построение графика функции y=af(x).

Пусть надо построить график функции y=af(x), и пусть для определенности а=2. Это означает, что значения у функции, которую надо построить в 2 раза больше значений у опорной функции для у>0 и в 2 раза меньше для у <0. И в том и другом случае происходит растяжение графика вдоль оси Оу. В случае, когда |а|<1, происходит сжатие.

График функции y=af(x) получается из графика функции y=f(x) растяжением в а раз по оси Оу ( в случае |а|<1получается сжатие).

На рис.5 изображены графики функций: , , .

На рис.6 : y=f(x), f(x), y=2f(x).

.

Рис.3 Рис.4

. Рис.5 Рис.6

1.4.Построение графика функции y=f(kx).

В одной и той же системе координат построим графики функций:

1), 2), 3) (рис.7)

Рис.7

Заметим: в случае графика 2) происходит сжатие графика 1) в 2 раза, а в случае графика 3) – растяжение графика 1) в 3 раза вдоль оси Ох.

Для построения графика функции y=f(kx) надо подвергнуть график функции y=f(x) сжатию вдоль оси Ох, если |k|>1, и растяжению в 1/|k| раз, если |k|<1.

В нашем случае: 1) y=f(x), 2) y=f(2x), 3) .

Задания:

Вариант 1

1. Используя график функции у=х², построить графики функций: у =х²-1

2. Используя график функции , постройте график функции: .

3. Постройте графики функций:

Вариант 2

1. Используя график функции у=х², построить графики функций: у =(х+1)²

2. Используя график функции , постройте график функции: .

3. Постройте графики функций:

Вариант 3

1. Используя график функции у=х², построить графики функций: у =(х-3)²+2.

2. Используя график функции , постройте график функции:.

3. Постройте графики функций:

Самостоятельная работа №8 Подготовка сообщений «Гармонические колебания»

Цель: получить представление о гармонических колебаниях, их использовании в различных областях науки

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

Самостоятельная работа №9 Подготовка сообщений «Обратные тригонометрические функции»

Цель: получить представление об обратных тригонометрических функциях, их использовании в различных областях науки

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

Самостоятельная работа №10 Решение простейших тригонометрических уравнений

Цель: закрепить навыки решения простейших тригонометрических уравнений

Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа

Форма контроля: проверка работы

Виды заданий:

1. Решить уравнения

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Решение простейших тригонометрических уравнений

Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций.

Уравнения вида sin x = a; cos x = a; tg x = a; ctg x = a, где x - переменная, aЄR, называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

1. sinx = a, |a| ≤1

2. cos x = a , |a| ≤1

3. tg x = a , a Є R ctg x = a , a Є R

Задание: Решить уравнения

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

Самостоятельная работа №11 Подготовка сообщения «История развития геометрии»

Цель: получить представление об истории развития и становления геометрии как науки, о ее достижениях, о связи с другими науками

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

Самостоятельная работа №12 Решение простейших тригонометрических неравенств

Цель: закрепить умения использовать тригонометрический круг при решении простейших неравенств вида sin x > a, sin x <-a , cos x > a, cosx < -a;

Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа

Форма контроля: проверка работы

Виды заданий:

1. Решить неравенства

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности

Определение.

Два тригонометрических выражения, соединённые между собой знаком или >, называются тригонометрическими неравенствами.

Решить тригонометрическое неравенство - это значит, найти множество значений неизвестных, входящих в неравенство, при которых неравенство выполняется.

Тригонометрические неравенства можно решать с помощью графиков функций y = sin x, y = cos x, y = tg x, y= ctg x или с помощью единичной окружности.

Решение тригонометрических неравенств, сводится, как правило, к решению простейших неравенств вида: sin x>a, sin xa, sin xa, sin x<a, cos x<a и т.п

Алгоритм решения тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности.

1) На оси ординат (абсцисс) отметить точку a и провести прямую y = a (x = a), перпендикулярную соответствующей оси.

2) Отметить на окружности дугу, состоящую из точек окружности, удовлетворяющих данному неравенству (эти точки расположены по одну сторону от построенной прямой).

3) Записать числовой промежуток, точки которого заполняют отмеченную дугу, и к обеим частям неравенства прибавить период функции ( для y = sin x и y = cos x ).

Решение простейших неравенств вида sin x>a, sin xa, sin xa, sin x<a

Пример 1. Решите неравенство sin x>

На единичной окружности проводим прямую y = , которая пересекает окружность в точках A и B.

Все значения y на промежутке NM больше , все точки дуги AMB удовлетворяют данному неравенству. При всех углах поворота, больших , но меньших , sin x будет принимать значения больше (но не больше единицы).

Таким образом, решением неравенства будут все значения на интервале , т.е. <x<. Для того, чтобы получить все решения данного неравенства, достаточно к концам этого промежутка прибавить 2, , т.е. + 2<x< + 2, . Заметим, что значения x= и являются корнями уравнения sin,

т.е. =arcsin; .

Ответ:, .

В общем виде:

Ответ: ,.

Пример 2 . Решите неравенство

Все значения y на промежутке MN меньше , но не меньше (-1). Неравенство имеет решение или , отличающееся от предыдущего на минус один период, т.е. , причем . Обобщая, решение неравенства запишем: , .

Ответ: , .

В общем виде:

Ответ: , .

В общем виде:

Ответ:,.

Пример 3: .

Ответ: ,.

В общем виде:

Ответ: ,.

Пример 4: .

Ответ: ,.

В общем виде:

Ответ: и

,.

Решение простейших неравенств вида cos x>a, cos xa, cos xa, cos x<a

В общем виде:

Ответ: ,.

Пример 6: .

Ответ:(),.

В общем виде:

Ответ: ,.

Пример 7: .

Ответ: ,.

В общем виде:

Ответ: ,.

Пример 8: .

Ответ: ,.

В общем виде:

Ответ: ,.

Пример 9 : .

Ответ: ,.

Задания:

1. Решить неравенства:

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

2. Решить неравенства:

; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

Самостоятельная работа №13 Подготовка сообщения «Сущность аксиоматического метода»

Цель: получить представление о сущности аксиоматического метода, его влиянии на развитие геометрии

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

Самостоятельная работа №14 Подготовка сообщения «Геометрия Лобачевского»

Цель: получить представление о вкладе Лобачевского в развитие геометрии

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

Самостоятельная работа №15 Подготовка презентации «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве»

Цель: расширить знания о параллельности прямых и плоскостей в пространстве, развитие навыков работы на компьютере

Самостоятельная работа: создание презентации на компьютере, работа с интернет-ресурсами.

Форма контроля: демонстрация презентации на уроке

Самостоятельная работа №16 Подготовка презентации «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве»

Цель: расширить знания о перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве, развитие навыков работы на компьютере

Самостоятельная работа: создание презентации на компьютере, работа с интернет-ресурсами.

Форма контроля: демонстрация презентации на уроке

Самостоятельная работа №17 Упрощение тригонометрических выражений

Цель: закрепить умения упрощать тригонометрических выражений;

Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа

Форма контроля: проверка работы

Виды заданий:

1. Найдите значение выражения

2. Вычислить значение каждой из тригонометрических функций

3. Упростите выражение

4. Докажите тождество

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Преобразование тригонометрических выражений

1. Основное тригонометрическое тождество и следствия из него:

II. Формулы (теоремы) сложения аргументов:

III. Формулы двойного аргумента:

IV. Формулы половинного аргумента (знак – по функции в левой части):

V. Формулы произведений:

VI. Формулы сумм:

Пример:

Пример: Упростите выражение .

Решение: , так как .

Пример: Вычислите: .

Решение: Воспользуемся формулой .

Имеем: .

Задания:

Вариант 1

А1. Найдите значение выражения

А2. Вычислить значение каждой из тригонометрических функций, если

А3. Упростите выражение: , если .

В1. Упростите выражение

Вариант 2

А1. Найдите значение выражения

А2. Вычислить значение каждой из тригонометрических функций, если

А3. Упростите выражение

В1. Упростите выражение

• Докажите тождество

1 вариант

2 вариант

3 вариант

Самостоятельная работа №18 Изготовление моделей многогранников

Цель: изучить, какие правильные многогранники существуют;

научиться выполнять развертки многогранников;

исследовать, есть ли еще другие правильные многогранники

Самостоятельная работа: изготовление моделей многогранников.

Форма контроля: демонстрация моделей на уроке

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Многогранник - часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников, соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого смежным), причем, вокруг каждой вершины существует ровно один цикл многоугольников. Эти многоугольники называются гранями, их стороны – ребрами, а вершины – вершинами многогранника.

Многогранник называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от плоскости любой его грани, тогда грани его тоже выпуклы. Выпуклый многогранник разрезает пространство на две части — внешнюю и внутреннюю. Внутренняя его часть есть выпуклое тело. Обратно, если поверхность выпуклого тела многогранная, то соответствующий многогранник — выпуклый.[1]

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и к каждой вершине примыкает одно и то же число граней.

1. Виды правильных многогранников

Тетраэдр

Тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 градусов. Таким образом, тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.

Элементы симметрии:

Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.[10]

Куб

Куб составлен из шести квадратов. Каждая его вершина является вершиной трех квадратов. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 градусов. Таким образом, куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер.

Элементы симметрии:

Куб имеет центр симметрии - центр куба, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии[11]

Октаэдр

Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной четырех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240 градусов. Таким образом, октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер.

Элементы симметрии:

Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии. [12]

Икосаэдр

Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной пяти треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 градусов. Таким образом икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер.

Элементы симметрии:

Икосаэдр имеет центр симметрии - центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии. [13]

Додекаэдр

Додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников. Каждая его вершина является вершиной трех пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 градусов. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер.

Развертка многогранника

Развёртка поверхности- , фигура, получающаяся в плоскости при таком совмещении точек данной поверхности с этой плоскостью, при котором длины линий остаются неизменными.

Также близко по смыслу понятие развёртки в оригами.

В технике развёрткой называют плоскую заготовку или чертёж плоской заготовки, из которой получают объёмную форму детали или конструкции путём изгибания. В этом случае развёртка не вполне отвечает математическому определению, из-за необходимости учёта изменения длин изгибаемого материала.

Это развертка куба

Это развертка октаэдра

Это развертка икосаэдра

Это развертка додекаэдра.

Это развертка тетраэдра

Самостоятельная работа №19 Подготовка презентации «Симметрия в нашей жизни»

Цель: расширить знания о симметрии, рассмотреть симметрию, встречающуюся в разных сферах жизни, развитие навыков работы на компьютере

Самостоятельная работа: создание презентации на компьютере, работа с интернет-ресурсами.

Форма контроля: демонстрация презентации на уроке

Самостоятельная работа №20 Подготовка сообщения Звёздчатые многогранники», «Платоновы тела».

Цель: получить представление о звездчатых многогранниках, платоновых телах, проследить историю развития многогранников, расширить знания о звёздчатых многогранниках, исследовать способы изготовления различных моделей звёздчатых многогранников.

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

Самостоятельная работа №21 Подготовка реферата «История развития дифференциального исчисления»

Цель: рассмотреть историю развития дифференциального исчисления; рассмотреть имена, связанные с возникновением и развитием дифференциального исчисления..

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

Самостоятельная работа №22 Выучить формулы дифференцирования и таблицу производных

Цель: познакомиться с правилами дифференцирования на основе определения нахождения производных некоторых элементарных функций, научиться применять формулы дифференцирования и таблицу производных .

Самостоятельная работа: разбор формул дифференцирования и таблицы производных.

Форма контроля: ответ на уроке, проверка работы

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

1. ПРАВИЛА И ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Если С - постоянная, u = u(x), v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. ,

7. ,

8. ,

9. ,

10. ,

11. ,

12. ,

13. ,

14. ,

15. ,

16. ,

17. .

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Определение: Функция называется сложной, если ее аргумент сам является функцией.

Пусть y=y(u) и u=u(x)- дифференцируемые функции. Тогда сложная функция y=y(u(x)) есть также дифференцируемая функция, причем

y^/_x=y^/_{u *}u ^/_x или

Примеры:

1. Найти производные заданных функций

а) ;

Решение. .

б) ;

Решение. Используем формулу .

.

в) ;

Решение. Используем формулу .

.

2. Найти точки, в которых производная функции равна нулю:

Решение.

3. Найти производные функций:

а) ; б) .

Решение. а) Функция – это произведение двух функций и , поэтому по третьему правилу дифференцирования:

.

Из таблицы производных находим, что , и так как , то ; .

Значит, .

б) .

4. Найти производные функций:

а)

Решение.

б)

Решение.

Задания:

Вариант 1

1. Найти производные

1. ,

2. ,

3. ,

Вариант 2

1. Найти производные

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

Вариант 3

1. Найти производные

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

Вариант 4

1. Найти производные

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

Самостоятельная работа №23 Подготовка сообщения «Математик Эйлер и его научные труды»

Цель: познакомиться с математиком Эйлером и его математическими трудами

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

Самостоятельная работа №24 Подготовка сообщения «Математика в моей профессии»

Цель: познакомиться с применением математики в выбранной профессии, сформировать навыки и умения самостоятельного изучения материала и обсуждение на занятиях результатов их познавательной деятельности.

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

Самостоятельная работа №25 Составление кроссворда «Координаты и векторы».

Цель: углубить знания по изученной теме

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: решение кроссворда на уроке в качестве повторения материала

Самостоятельная работа №26 Подготовка сообщения «Декарт и его математические труды»

Цель: познакомиться с математическими работами Декарта.

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

Самостоятельная работа №27 Подготовка презентации «Степенные функции, их свойства и графики»

Цель: расширить знания о степенных функциях, развитие навыков работы на компьютере

Самостоятельная работа: создание презентации на компьютере, работа с интернет-ресурсами.

Форма контроля: демонстрация презентации на уроке

Самостоятельная работа №28 Подготовка сообщения, презентации «Показательная функция в нашей жизни»

Цель: расширить знания о показательных функциях, познакомиться с их применением в нашей жизни, развитие навыков работы на компьютере

Самостоятельная работа: создание презентации на компьютере, работа с интернет-ресурсами.

Форма контроля: демонстрация презентации на уроке

Самостоятельная работа №29 Подготовка сообщения «Функции в нашей жизни»

Цель: расширить знания о функциях, познакомиться с их применением в нашей жизни

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

Самостоятельная работа №30 Подготовка сообщения, презентации «Логарифмическая функция в нашей жизни»

Цель: расширить знания о логарифмической функциях, познакомиться с их применением в нашей жизни, развитие навыков работы на компьютере

Самостоятельная работа: создание презентации на компьютере, работа с интернет-ресурсами.

Форма контроля: демонстрация презентации на уроке

Самостоятельная работа №31 Подготовка сообщения «Логарифмы и музыка»

Цель: познакомиться с их применением логарифмов в музыке

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

Самостоятельная работа №32 Подготовка сообщения «Функции в пословицах и поговорках»

Цель: изобразить графически как некоторую функцию пословицу и описать свойства функции-пословицы.

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

Самостоятельная работа №33 Подготовка сообщения «Современные открытия в области математики»

Цель: познакомиться с современными открытиями в области математики, расширить знания по математике

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

Самостоятельная работа №34 Изготовление моделей тел вращения

Цель: изучить, какие тела вращения существуют; научиться выполнять развертки тел вращения;

Самостоятельная работа: изготовление моделей тел вращения.

Форма контроля: демонстрация моделей на уроке

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Тела вращения

Тела вращения – это объемные тела, которые возникают при вращении некой плоской фигуры, которая, в свою очередь, ограничена кривой и крутится вокруг оси, лежащей в той же плоскости.

Какие же основные тела вращения существуют?

Шар. Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения полукруга вокруг диаметра разреза.

Цилиндр. Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.

Конус. Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из своих катетов.

Тор. Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения окружности вокруг прямой, при этом окружность прямую не пересекает.

Стоит отметить такой интересный факт, что если вращаются контуры фигур, то у нас возникает поверхность вращения. Пример – сфера, которая образовывается в результате вращения окружности. Если же вращаются заполненные контуры, то у нас возникают тела. например, шар, который образовывается в результате вращения круга 9а круг. как всем известно, тело заполненное).

Тела вращения, разумеется, имеют свой объем и свою площадь. И то и другое, можно узнать с помощью теорем Гульдина-Паппа.

Первая теорема гласит о том, что площадь поверхности линии, которая образуется при вращении и лежит целиком в плоскости по одну сторону от оси вращения, равняется произведению длины линии на длину окружности, пробегаемой центром масс этой линии.

Вторая теорема говорит о том, что объем тела, который образуется при вращении фигуры и лежит целиком в плоскости по одну сторону от оси вращения, равняется произведению площади фигуры на длину окружности, пробегаемой центром масс этой фигуры.

Построение разверток тел вращения

Основы и инструмент

Все нижеописанные действия выполняются на бумаге, при помощи линейки, карандаша и циркуля. Рекомендуется комплект лекал, для повышения точности и качества развёрток.

При изготовлении развёрток на металле используется метровая линейка, чертилка, циркуль по металлу, комплект лекал, молоток и керно, для отметки узловых точек.

Построение развёртки цилиндра

Тело вращения с наиболее простой развёрткой, имеющей форму прямоугольника, где две параллельные стороны соответствуют высоте цилиндра, а две другие параллельные стороны — длине окружности оснований цилиндра.

Усечённый цилиндр (рыбина)

Подготовка:

Для создания развёртки, начертим четырёхугольник ACDE в натуральную величину (см.чертёж).

Проведём перпендикуляр BD, из плоскости AC в точку D, отсекая от построения прямую часть цилиндра ABDE, которую можно достроить по мере надобности.

Из центра плоскости CD (точка O) проведём дугу, радиусом в половину плоскости CD, и разделим её на 6 частей. Из получившихся точек O, проведём перпендикулярные прямые к плоскости CD. Из точек на плоскости CD, проведём прямые, перпендикулярные к плоскости BD.

Построение:

Отрезок BC переносим, и превращаем в вертикаль. Из точки B, вертикали BC, проводим луч, перпендикулярный вертикали BC.

Циркулем снимаем размер C-O1, и откладываем на луче, из точки B, точку 1. Снимаем размер B1-C1, и откладываем перпендикуляр из точки 1.

Циркулем снимаем размер O1-O2, и откладываем на луче, из точки 1, точку 2. Снимаем размер B2-C2, и откладываем перпендикуляр из точки 2.

Повторять, пока не будет отложена точка D.

Получившиеся вертикали, из точки C, вертикали BC, до точки D — соединить лекальной кривой.

Вторая половина развёртки зеркальна.

Подобным образом строятся любые цилиндрические срезы.

Примечание: Почему "Рыбина" — если продолжить построение развёртки, при этом половину построить от точки D, а вторую в обратную сторону от вертикали BC, то получившийся рисунок, будет похож на рыбку, или рыбий хвост.

Построение развёртки конуса

Развёртка конуса может быть выполнена двумя способами.

Если известен размер стороны конуса, из точки O, циркулем чертится дуга, радиусом равным стороне конуса. На дуге откладываются две точки (A1 и B1), на расстоянии равном длине окружности и соединяются с точкой О.

Строится конус в натуральную величину, из точки O, в точку A, ставится циркуль, и проводится дуга, проходящая через точки A и B. На дуге откладываются две точки (A1 и B1), на расстоянии равном длине окружности и соединяются с точкой О.

Для удобства, от можно откладывать половину длинны окружности, в обе стороны от осевой линии конуса.

Конус со смещёной вершиной строиться так же, как усечённый конус со смещёнными основаниями.

Как отложить длину окружности на дуге:

При помощи нитки, длина которой равна длине окружности.

При помощи металической линейки, которую следует изогнуть «по дуге», и поставить соответствующие риски.

Построить окружность основания конуса в виде сверху, в натуральную величину. Разделить окружность на 12 или более равных частей, и отложить их на прямой поочерёдно.

Самостоятельная работа №35 Составление кроссворда «Тела вращения».

Цель: углубить знания по изученной теме

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: решение кроссворда на уроке в качестве повторения материала

Самостоятельная работа №36 Подготовка презентации «Объёмы геометрических тел»

Цель: наглядное представление формул объемов геометрических тел и их вывод, развитие навыков работы на компьютере

Самостоятельная работа: создание презентации на компьютере, работа с интернет-ресурсами.

Форма контроля: демонстрация презентации на уроке

Самостоятельная работа №37 Подготовка сообщения «История развития интегрального исчисления»

Цель: познакомиться с историей развития интегрального исчисления

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

Самостоятельная работа №38 Подготовка сообщения «Основополагающие концепции математической статистики»

Цель: познакомиться с основами математической статистики

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

Самостоятельная работа №39 Подготовка сообщения «Треугольник Паскаля»

Цель: познакомиться с построением треугольника Паскаля, его применением в математической статистики

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

Самостоятельная работа №40 Подготовка сообщения «Связь математики с другими науками»

Цель: познакомиться с применением математики в других науках

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

Самостоятельная работа №41 Решение неравенств с одной переменной

Цель: закрепить навыки решения неравенств с одной переменной.

Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа

Форма контроля: проверка работы

Виды заданий:

1. Решить неравенство

2. Решите квадратные неравенства двумя способами

3. Найдите наименьшее целочисленное решение неравенства

4. Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства

5. Установите, при каких значениях х имеют смысл выражения

6. Равносильны ли неравенства

7. Сколько целочисленных решений имеют неравенства

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Решение линейных неравенств

Решением неравенства с переменной называется множество значений переменной, при которых неравенство является верным. Решить неравенство с переменной – значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Решение неравенства принято записывать с помощью числового промежутка. При этом концы промежутков для строгого неравенства и бесконечности записывают с помощью круглой скобки, а для нестрогого неравенства с помощью квадратной скобки.

Неравенство

Промежуток

x > a

x

x ≥ a

x ≤ a

a < x < b

a ≤ x ≤ b

a ≤ x < b

a < x ≤ b

Неравенства вида (или ) называются линейными неравенствами.

Например: ; ; .

Для решения линейного неравенства применяются основные свойства неравенств.

Алгоритм решения линейного неравенства

1. Раскрыть скобки.

2. Перенести слагаемые с переменной в левую часть, слагаемые без переменной – в правую.

3. Привести подобные слагаемые.

4. Разделить число из правой части на числовой коэффициент при переменной.

Пример 1. Решить неравенство .

Решение.

,

,

,

,

,

.

Ответ: (– ∞; – 9).

Решение квадратных неравенств

Квадратные неравенства – это неравенства вида ax²+bx+c>0, ax²+bx+c<0,

ax²+bx+c≤0, ax²+bx+c≥0.

Если квадратное уравнение ax²+bx+c=0 имеет два различных корня, то решение соответствующих квадратных неравенств можно свести к решению системы неравенств первой степени, разложив левую часть квадратного неравенства на множители. Например:

-3х²-5х+2>0,

3х²+5х-2<0,

3х²+5х-2=0,

x_1,2 =

x₁=, x₂= -2;

3х²+5х-2=3(x-)(x+2);

Ответ: (-2; )

3(x-)(x+2)<0,

или

нет решения .

Решить квадратное неравенство можно графически. Квадратичная функция задается формулой у=ax²+bx+c, где a0. Поэтому решение квадратного неравенства сводится к отысканию нулей квадратичной функции и промежутков, на которых квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения.

Графическое изображение

D

a>0

a<0

D<0

D=0

х_1,2=

х_1,2=

D>0

х_1,2=

х_1,2=

Задания:

1. Решить неравенство:

а) (–∞; 11)

б) (10; +∞)

в) [–1,5; +∞)

г) (–∞; –0,5]

д) (–∞; –3)

е) (9; +∞)

2. Решить неравенство:

а)

б)

в)

г)

д)

3. Решите квадратные неравенства двумя способами:

а) (х-2)(х+4)>0, в) x²-3x+2<0,

б) (x-3)(x+5)<0, г) x²-2x-3>0.

4. Решите неравенства (любым способом):

а) х² – 5х > 0, д) 4х ≤ -х²

б) х² > 25х, е) ¹/₃х² > ¹/₉

в) х² – 36 < 0, ж)

г) 3х² + х + 2 > 0, з)

5. Найдите наименьшее целочисленное решение неравенства х² + 7х ≤ 30.

6. Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства 3х – х² > -40.

7. Установите, при каких значениях х имеют смысл выражения:

а) в)

б) г)

8. Равносильны ли неравенства:

а) х² + 6х – 16 < 0 и х² + 6х - 16 ≤ 0;

б) и

9. Сколько целочисленных решений имеют неравенства:

а) 15 – х² + 10х ≥ 0, б) х² + 5х – 8 < 0.

10. При каких значениях параметра р квадратное уравнение 3х² – 2рх – р + 6 = 0

а) имеет 2 различных корня; б) имеет 1 корень; в) не имеет корней.

11. Решить неравенство:

а)

б)

в)

г)

д)

12. Решить неравенство:

а)

б)

в)

г)

13. Решить неравенство:

а)

б)

Самостоятельная работа №42 Подготовка реферата «Математическая философия Аристотеля»

Цель: познакомиться с трудами Аристотеля, его математической философией

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

Самостоятельная работа №43 Подготовка сообщения «Методы решения систем линейных уравнений»

Цель: познакомиться с методами решения систем линейных уравнений

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

ЗАДАЧИ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ

ПРИЗМА. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД. КУБ

1. Бак прямоугольного сечения 3,2 м х 1,2 м вмещает 900л воды. Сколько квадратных метров оцинкованного железа пошло на его изготовление?

2. Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Длина его 0,8м., ширина – 37,5см. Он должен вместить 0,18м³. Найдите высоту аквариума.

3. Свинцовый брусок массой 18 кг имеет форму прямой призмы, высота которой 300 мм. Основанием призмы является равнобокая трапеция, параллельные стороны которой равны 350 мм и 115 мм, а боковая сторона 850 мм. Узнайте, имеются ли внутри бруска пустоты или же он сплошной. Плотность свинца 11,3 г/см³.

4. Сколько нужно рабочих для переноса дубовой балки размером 6,5 м х 30 см х 45 дм? Каждый рабочий может поднять в среднем 80 кг. Плотность дуба 800 кг/см³.

5. Классные помещения должны быть рассчитаны так, чтобы на одного учащегося приходилось не менее 6 м³ воздуха. Можно ли в класс, имеющий вид прямоугольного параллелепипеда с измерениями 8,3 м х 6,25 м х 3,6 м вместить 30 человек, не нарушая санитарной нормы?

6. Из болванки, имеющей форму правильной четырехугольной призмы, размером 10 см х 10 см х 80 см, прокатывается лист толщиной в 1 мм. Вычислите площадь этого листа.

7. Из листа жести размером 70 см х 140 см вырезали по углам квадраты со стороной 10 см и, загнув края, получили коробку, открытую сверху. Вычислите объем.

8. Требуется отлить правильную призму, объем которой составлял бы 36867 см³ и высотой 42см. Основанием призмы должен быть правильный двенадцатиугольник. Вычислите его сторону.

9. Нужно выбрать в глинистой почве прямую канаву длиной 300 м и глубиной 1,5 м, ширина канавы вверху 4 м, у дна 2 м. Сколько рабочих дней нужно для этой работы, если на извлечение 10 м³ земли в таком грунте требуется 4 рабочих дня?

10. Металлический куб имеет внешнее ребро 10,2 см и весит 514,15 г. Толщина стенок 0,1 см. Найти удельный вес металла, из которого сделан куб.

11. Размер металлической пластинки 5см х 4см х 2 см. Из какого материала она сделана, если масса ее равна 108 г?

12. Резец для скоростного резания оснащен пластинкой твердого сплава ВК3 Размер пластинки 16 мм х 16 мм х 6 мм. Определить ее массу, если плотность равна 14,5 г/см³.

13. Какой длины нужно взять стальной квадратный пруток со стороной 40 мм для изготовления 40 молотков массой 0,75 кг каждый? На угар и обработку добавить 6%.

14. Из стального прутка квадратного сечения 45 мм х 45 мм отковать шесть поковок для квадратных гаек размером 50 мм х 50 мм х 25 мм. Какой длины необходимо взять пруток? Припуск на угар и обработку составляет 6% объема поковок.

15. Сечение железнодорожной выемки имеет форму равнобочной трапеции, меньшее основание которой 8 м, ширина ската 8,4 м, глубина 3,6 м, длина выемки 100 м. Сколько кубических метров грунта было вынуто?

16. Сечение железнодорожной насыпи имеет форму равнобочной трапеции, основание которой 24 м и 5,7 м. Боковые стороны наклонены к нижнему основанию под углом 35⁰. Определить высоту насыпи и сколько кубических метров земли приходится на 1 км?

17. При рытье колодца, имеющего форму правильной восьмиугольной призмы со стороной основания, а = 6 дм, было вынуто 25 т земли (плотность земли 1,8∙10 кг/м³). Найдите глубину колодца.

18. Требуется из проволоки сделать каркасную модель прямоугольного параллелепипеда с ребрами, равными 12 см, 8 см, 5 см. Сколько пойдет проволоки на изготовление параллелепипеда? На обрезки добавить 3%.

19. Плавучий док имеет форму прямоугольного параллелепипеда: размер погруженной части дока (без корабля) 85 м х 12 м х 2,5 м. Найти: 1) его водоизмещение, 2) на сколько он еще погрузится, если в него введут корабль водоизмещением 1000 т.

20. Плот сколочен из 16 балок прямоугольного сечения, из которых каждая длиной 3,6 м, шириной 0,20 м и толщиной 0,25 м. Какой наибольший груз может он поднять не затонув? (удельный вес дерева принять равным 0,84).

21. К гидростанции вода подводится по каналу, поперечное сечение которого – трапеция с основаниями 5 м и 16 м, высота 4,5 м. Вычислить расход воды в минуту, если уровень воды в канале 3 м, скорость течения 1,6 м/с.

22. Строительный кирпич имеет размеры 25 см х 12 см х 6 см. Найдите объем стены, выложенной из 1000 кирпичей. Учтите, что раствор увеличивает объем на 15%.

23. Сколько кусков обоев потребуется для оклейки комнаты размером 6 м х 5 м х 3 м, если размер одного куска: 1) 0,5 м х 10 м; 2) 0,6 м х 18 м, на обрезки достаточно иметь запас, равный площади окон и двери.

24. Для определения массы чугунной цельнолитой детали неправильной формы токарь погрузил ее в бак с водой, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, размеры дна которого 55 см х 34 см. В результате этого уровень воды в баке поднялся на 2 см. Какова масса детали, если плотность чугуна 7 г/см³.

25. Бак, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, доверху заполнен бензином. Длина бака 3 м, ширина 1,5 м, высота 1,2 м (размеры внутренние). Плотность бензина 710 кг/м³. На сколько рабочих дней хватит этого бензина для заправки автомобиля ГАЗ-53, если средний расход бензина автомобилем за рабочий день 95 кг?

26. Определить массу рулона войлока для прокладок, если длина рулона (в развернутом виде) 15 м, ширина 85 см, толщина войлока 1,1 см, а плотность 0,34 г/см³.

27. Кирпич размером 25 см х 12 см х 6,5 см весит 3,51 кг. Найти его удельный вес.

28. Прямоугольный золотой лист имеет размеры 4,7 см х 6,2 см и весит 6,3 г. Найти толщину листа, если удельный вес золота 19,3 г/см³.

29. Сколько пойдет мраморных плиток размером 19 см х 30 см х 2 см для облицовки четырехгранной колонны с квадратным сечением, если высота колонны 4,2 м, а ширина ее грани в готовом виде 40 см?

30. Масса строительного кирпича – 4 кг. Какова масса игрушечного кирпичика из того же материала, все размеры которого в 4 раза меньше?

31. Металлический прямоугольный ящик без крышки высотой 50 см и объемом 1 м³ выкрасили изнутри и снаружи. На окраску ушло 530 г краски при расходе 50 г на один квадратный метр. Найдите размеры ящика.

32. Сколько строительного кирпича и раствора потребуется для постройки стены длиной 12 м, толщиной 0,5 м и высотой 2,5 м, если в 1 м³ кирпичной площадки содержится 400 штук кирпича, а потребность в растворе составляет 0,2 объема кладки?

33. Дно резервуара для воды имеет форму прямоугольника размерами 3,5 м х 2,9 м. Какова высота резервуара, если он вмещает 15 м³ воды?

34. Во сколько раз нужно увеличить каждое из трех измерений прямоугольного бруса, чтобы его увеличить вдвое?

35. Н

    c

    a

    

    h

    айдите вместимость сарая прямоугольной формы с двускатной крышей и прямым углом между стропилами (см. рис.), если длина сарая а = 12,5 м, ширина в = 7,6 м, высота стен с = 3,5 м и высота конька крыши h = 7,3 м.

b

36. С

    1 м

    0,5

    

    0,6

    1,3

    1,8

    колько солдат потребуется для того, чтобы вырыть за 8 ч траншею длиной 25 м и ход сообщения такой же длины, учитывая, что каждый солдат в час может выкопать 0,75 м. профили траншеи и хода сообщения и размеры в метрах даны на рисунке.

16

37. Д

    26

    лина железнодорожной шпалы равна 2,7 м, ее поперечное сечение показано на рис. (размеры в см). Сколько шпал можно погрузить на платформу грузоподъемностью 17 т? (Плотность дерева 0,8 г/см³)

38. Н

    7 м

    

    25 м

    а рисунке изображено поперечное сечение канала. Дно и стенки канала забетонированы. Какую площадь нужно покрыть бетоном на каждый километр канала?

39. Железная заготовка, имеющая форму прямоугольного параллелепипеда с размерами 50 см х 20 см х 20 см, распиливается по линии, соединяющей середины противоположных сторон квадрата, образующего торцевую грань. Полотно ножовки наклонено к плоскости торцевой грани под улом 60⁰. Определить отношение объемов частей заготовки, получившихся после распиливания.

ПИРАМИДА

1. Крыша башни имеет вид правильной четырехугольной пирамиды, у которой сторона основания равна 12 м, а высота 18 м. Сколько понадобится плиток на покрытие этой крыши, если каждая плитка имеет вид прямоугольника со сторонами 22 см и 18 см.

2. Кристалл имеет форму двух правильных четырехугольных пирамид, соединенных основаниями. Сторона общего основания равна 3,5 см, а расстояние между вершинами соединенных пирамид 5 см. Найдите объем кристалла.

3. Крыша имеет форму пирамиды с квадратным основанием 4,5 м х 4,5 м и углом наклона грани к основанию 45⁰. Сколько листов железа размером 70 см х 140 см нужно для покрытия крыши, если на отходы нужно добавить 10% площади крыши?

4. Один из алмазов, добытых в Якутии, весит 42 карата и имеет форму правильного октаэдра. Найдите ребро этого октаэдра (плотность алмаза 3,5 г/см³, 1 карат = 0,2 г)

5. Одно из самых грандиозных сооружений древности – пирамида Хеопса – имеет форму правильной четырехугольной пирамиды с высотой 150 м и боковым ребром 220 м. Найдите площадь боковой поверхности и объем пирамиды.

6. Масса чугунной пирамиды с квадратным основанием равна 540 г, высота равна 6 см. Вычислите длину стороны основания. Плотность чугуна 7,5 г/см³.

УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА

1. Кузов тракторного прицепа имеет размеры: вверху 3,5 м х 2,6 м, понизу 2,9 м х 1,1 м. Найдите вместимость, если высота прицепа 1,2 м.

2. Гранитная подставка имеет вид усеченной пирамиды высотой 3,6 м с квадратным основанием. Стороны оснований: а = 2,8 м, в = 2 м. Найдите вес подставки, плотность гранита равна 2,5 г/см³.

3. Фундамент сделан из бетона, форма его – правильная усеченная четырехугольная пирамида со сторонами основания 200 см и 140 см и боковым ребром 160 см. Найти вес фундамента, если плотность бетона равна 2,2 г/см³.

4. Н

   В

   А

   

   275

   

   125

   а рисунке изображен бункер, поверхность основной части которого представляет боковую поверхность правильной четырехугольной усеченной пирамиды. По размерам, указанным на рисунке (в сантиметрах), вычислите, сколько квадратных дециметров листового железа нужно для изготовления бункера (не считая рукавов А и В).

5. Бункер заполнен зерном. Вычислите массу зерна, если масса одного кубического метра зерна равна 500 кг. (см. рисунок предыдущей задачи).

6. Для перекрытия русла реки при строительстве гидроэлектростанции изготавливают из бетона правильные треугольные усеченные пирамиды массой по 10 т. Высота и стороны основания такой пирамиды пропорциональны числам 5, 2 ,6. Рассчитайте линейные размеры этой пирамиды. (Плотность бетона 2,2 г/см³).

ЦИЛИНДР

1. На сверлильном станке сверлятся отверстия диаметром 15 мм со скоростью резания 30 м/мин () и подачей 0,2 мм/об (S). Определить глубину отверстий, если время его обработки составляет 0,25 мин. (Тмаш.).

2. Сверло диаметром 50 мм делает 260 об/мин (n) при подаче 0,7 мм/об (S). Определить объем металла, снимаемого сверлом в одну секунду. (Т_маш. ).

3. На токарном станке обрабатывается цилиндрический вал диаметра 50 мм, длиной 1200 мм. Какую площадь поверхностей надо обработать: 1) без подрезки торца; 2) с подрезкой концов перпендикулярно оси (без учета толщины подрезки).

4. На токарном станке обтачивается вал диаметром 150 мм и длиной 600 мм (Н) за один проход. Определить время обработки изделия (Т_маш.), если скорость резания равна 75 м/мин (), а подача 0,8 мм/об (S).

5. На токарном станке обтачивается вал диаметром 40 мм. Определить объем металла, снимаемого в одну минуту (Т_маш.), если глубина резания (t) – 5 мм, подача – 0,8 мм/об (S) и скорость 60 об/мин (n).

6. Сколько нужно заготовить досок шириной 20 см и длиной 6 м для обивки внутренних боковых стенок башни цилиндрической формы высотой 6 м и диаметром 3 м? На пригонку дать припуск 5%.

7. Надо изготовить цилиндрическую цистерну для масла, закрытую сверху. Диаметр ее основания 450 см, высота 220 см. Сколько листов листовой стали размером 100 см х 600 см пойдет на ее изготовление? На швы и обрезки добавить 12% площади.

8. Прямоугольный лист жести, имеющий длину 1,6 м и ширину 0,8 м, можно согнуть в трубку двояким образом: в первом случае длина трубки будет 1,6 м; во втором – 0,8 м. Найти отношение объемов трубок и площадей их поверхностей.

9. Цилиндрический паровой котел имеет длину 3,8 м, а диаметр 1 м. Давление пара 10 атм. Найдите силу давления пара на поверхность котла, зная что на 1см² пар давит силой 10 кг.

10. Диаметр струи нефтяного фонтана у основания равен 20 см. Нефть вытекает со скоростью 23м/с. Сколько кубических метров нефти выбрасывает фонтан за час? Сколько надо цистерн емкостью 50 т, чтобы поместить эту нефть?

11. При строительстве метро применяли кольца из железобетона с внешним радиусом 5,5 м и внутренним 5,1 м. 1) Чему равен объем такого кольца длиной 100 м? 2) На сколько процентов сократиться его объем, если внешний и внутренний радиус уменьшит на 0,4 м?

12. Сколько квадратных метров жести израсходовано на изготовление 1 млн. консервных банок диаметром 10 см и высотой 5 см (на швы и отходы добавить 10% материала).

13. Кабель диаметром 50 м заключается в свинцовую оболочку толщиной 2,5мм. На изготовление оболочки израсходована 1 т свинца. Какова длина кабеля? (плотность свинца 11,4 г/см³).

14. Найти вес железной цилиндрической трубки, внутренний диаметр которой равен 17 см, а внешний диаметр равен 18 см, а длина равна 74 см. Плотность железа 7,9 г/см³.

15. Сколько весит полая чугунная колонна высотой 2 м, если наружный диаметр равен 10 см, а внутренний 6 см и если 1 кубический сантиметр чугуна весит 7 г.

16. В цилиндрическом колодце, внутренний диаметр которого 2,5 м, прибыло воды на 30 см. Сколько кубических метров воды прибавилось?

17. Сколько весит километр железной телеграфной проволоки толщиной 4 мм, если известно, что 1 кубический сантиметр железа весит 8 г?

18. Цилиндрическая дымовая труба с диаметром 65 см имеет высоту 18 м. Сколько квадратных метров жести нужно для ее изготовления, если на заклепку уходит 10% материала.

19. Алюминиевый провод диаметром 4 мм имеет массу 6,8 кг. Найдите длину провода, если плотность алюминия равна 2,6 г/см³.

20. Надо покрыть свинцовой оболочкой кабель, диаметр сечения которого 50 мм. Найти с точностью до 1 кг массу необходимого свинца, если длина кабеля 5 км, а толщина свинцовой оболочки 3 мм (плотность свинца равна 11,4 г/см³).

21. Толщина стенок стальной трубы равна 5 мм, длина внешней окружности поперечного сечения трубы равна 160мм. Вычислите массу одного погонного метра трубы (плотность стали равна 7,8 г/см³).

22. На барабан диаметром 1 м намотано в один ряд 50 витков медной проволоки диаметром 3 мм. Вычислите массу проволоки (плотность меди равна 8,9 г/см³).

23. На цилиндрический барабан подъемной машины, диаметр которого 750 мм, а ширина 350 мм, наматывается стальной трос толщиной 20 мм. Сколько метров каната помещается в один ряд на поверхности барабана?

24. Диаметр цилиндра паровой машины равен 330 мм, ход поршня 406 мм. Найти объем рабочей части цилиндра с точностью до 0,1 дм³.

25. Какова масса 15 м цилиндрической дымоходной трубы диаметром 40 см, изготовленной из листового железа. При подсчете прибавить на шов 8% материала.

26. Сколько жести пойдет на погонный метр водосточной трубы диаметром 250 мм, если на швы расходуется 7% общего количества?

27. 100 кубических сантиметров масла, вылитые на поверхность воды образовали пленку в форме круга диаметром 18 м. Определить толщину пленки.

28. Среднее количество тепла, которое дает 1 м² поверхности нагрева при паровом отоплении низкого давления, считается равным 550 тепловым единицам в час. Сколько погонных метров труб диаметром 120 мм нужно установить в помещении, для отопления которого по расчетам требуется 4500 единицы в час?

29. Суточное выпадение осадков составило 15 мм. Сколько воды могло бы выпасть на круглую тумбу, диаметр которой 8 м?

30. Определить вместимость зернового элеватора, имеющего 40 резервуаров. Размеры резервуара: высота – 30 м, диаметр – 10 м. Объемная масса зерна 0,8 т.

31. В цилиндрическую цистерну емкостью 12 т налито горючее. Сколько горючего содержится в цистерне, если ее высота равна 6 м, а уровень горючего 2 м?

32. Насос, подающий воду в паровой котел, имеет два водяных цилиндра. Размеры каждого цилиндра: ход поршня – 150 мм, диаметр 80 мм. Определите часовую подачу этого насоса, если известно, что каждый поршень делает 50 рабочих ходов в минуту.

33. 25 м медной проволоки имеют массу 100,7 г. Найдите диаметр проволоки, если плотность меди 8,9 г/см³.

34. Найдите объем цилиндрической колонны, у которой высота 25,5 м, а диаметр основания 1,22 м.

35. Сколько бочек высотой 1,5 м и диаметром 0,8 м нужно, чтобы разлить в них содержимое цистерны длиной 4,5 м и диаметром 1,6 м?

36. Малярный валик имеет длину 230 мм, диаметр основания – 50 мм. Как узнать площадь поверхности, которую окрасит маляр за один полный прокат валика? Сколько полных прокатов совершает маляр при окраске за смену 200 квадратных метров поверхности?

37. Необходимо изготовить двадцать водосточных труб длиной 8 м и диаметром 10 см. Сколько листов жести размером 142 см х 70 см пойдет на их изготовление? На швы добавить 10% материала.

38. Диаметр основания цилиндра равен 16 см, а полная поверхность его содержит 1546 кв. см. Вычислить высоту цилиндра.

39. Столбик ртути в термометре длиной 15,6 см весит 5,2 г. Удельный вес ртути 13,6 г/см³. Найти площадь поперечного сечения столбика.

КОНУС

1. Коническая крыша башни имеет диаметр 6 м и высоту 2 м. Сколько листов кровельного железа потребуется для этой крыши, если размер листа 0,7 м х 1,4 м, а на швы и обрезки тратиться 10% от площади крыши?

2. Коническая куча зерна имеет высоту 2,4 м, а окружность основания 20 м. Сколько тонн зерна в куче, если масса 1 м³ зерна равна 750 кг?

3. Щебень укладывается в кучу, имеющую форму конуса с углом откоса 30⁰. Какой высоты должна быть куча, чтобы ее объем был равен 10 м³?

4. Коническая жестяная воронка должна иметь диаметр 10 см и высоту 12 см. Вычислите размер ее заготовки – радиус и угловую величину дуги развертки.

5. Вибросито СО – 3 для процеживания окрасочных составов имеет форму конуса. Боковая поверхность вдвое больше площади основания. Определить вместимость вибросита, если радиус основания 20 см.

6. 122 – миллиметровая бомба дает при взрыве воронку диаметром в 4 м и глубиной 1,5 м. Какое количество земли (по весу) выбрасывает эта бомба? 1 м³ земли весит 1650 кг.

7. Куча щебня имеет коническую форму, радиус основания которой 2,5 м и образующая 3,5 м. Сколько надо машин, чтобы перевести щебень, уложенный в десяти таких кучах? 1 м³ щебня весит 3,2 т. В машину грузят 4 т.

8. На станции железной дороги насыпана конусообразная куча угля, ее высота 3,8 м, уклон 1 : 1,2. Сколько вагонов нужно для перевозки этого угля, грузоподъемность вагона 25 т.

УСЕЧЕННЫЙ КОНУС

1. Сколько олифы потребуется для окраски 100 ведер конической формы, если диаметры ведра 25 см и 30 см, а образующая 27,5 см и если на 1 м² требуется 150 г олифы?

2. Вычислить вместимость ведра, имеющего форму усеченного конуса, если диаметр дна равен 18 см, диаметр отверстия 35 см, а глубина 38,5 см.

3. Ведро с нижним диаметром 20 см и верхним 28 см имеет высоту 24 см. Сколько квадратных дециметров материала нужно затратить на изготовление ведра?

4. Сосуд имеет вид усеченного конуса, высота которого 27 см и длины окружностей оснований равны 66 см и 96 см. Сколько литров вмещает сосуд?

5. Сколько квадратных метров латунного листа потребуется, чтобы сделать рупор, у которого диаметр одного конца 0,43 м, другого конца 0,076 м и образующая 1,42 м?

6. Н

   l

   Ø 1,0

   Ø 0,2

   ад котлом устроен колпак в форме усеченного конуса, размеры на рисунке. Сколько квадратных метров листового железа потребовалось для его изготовления? (Обрезки во внимание не принимаются)

7. В

   R

   r

   ысота ведра 25 см, диаметры оснований 30 см и 22 см. Вычислите размеры заготовки ведра: радиусы и угловые величины дуг развертки боковой поверхности. Расход материала на швы не учитываются.

8. 75^o

   R=90

   r=60

   Какую высоту будет иметь ведро, если у заготовки его боковой поверхности угловые величины дуг равны 75⁰, а радиусы 90 см и 60 см. (Расход материала на швы не учитывать).

Ø20

10. С

    Ø30

    Ø12

    колько материала пойдет на изготовление урны, форма и размеры которой (в сантиметрах) указаны на рисунке, если на швы требуется прибавить 3%

11. 

    Ø20

    Ø70

    Жестяная воронка имеет размеры (в миллиметрах) указанные на рисунке. Сколько квадратных дециметров жести затрачено на изготовление воронки (на швы уходит 10% площади поверхности воронки).

Ø10

ШАР. СФЕРА.

1. Чтобы отлить свинцовый шар диаметром 3 см, используют свинцовые шарики диаметром 5 мм. Сколько таких шариков нужно взять?

2. Найдите длину полярного круга Земли (радиус Земли принять за 6400 км).

3. Во сколько раз объем Земли больше объема Луны? (Dз = 13 тыс. км, Dл = 3,5 тыс. км).

4. Масса железного шара равна 4 кг. Каков его диаметр? Плотность железа рвана 7,8 г/см³).

5. Какова масса пробкового шара диаметром 2 м? (Плотность пробки 0,25 г/см³).

6. Диаметр воздушного шара равен 15 м. Сколько весит его оболочка, если квадратный метр той же материи, из которой его сшивают, весит 300 г?

7. На позолоту 1 кв. м купола идет 1 г золота. Сколько потребуется золота, чтобы позолотить купол окружностью 20 м? Форма купола – полусфера.

8. Сколько дождевых капель нужно, чтобы из них составился 1 м³ воды, если капли имеют форму шара с диаметром 2 мм?

9. Сколько квадратных метров шелковой материи надо взять для приготовления оболочки воздушного шара диаметром 12 м, если на швы надо прибавить 5% материала?

10. Сколько весит воздушный шар диаметром 10 м, если: 1) 1 кв. м его оболочки весит 300 гр; 2) 1 куб. м наполняющего его светильного газа весит 0,55 кг; 3) общий вес сети, корзины, якоря и прочих принадлежностей и приборов равен 200 кг?

11. Вычислить поверхность купола, имеющего форму полушара, у которого диаметр 5,25м.

12. Чтобы вы предпочли: съесть арбуз радиуса 15 см вчетвером или арбуз радиуса 20 см ввосьмером?

13. Искусственные спутники Земли имеют форму шаров, диаметры которых равны 58 см и 16 см соответственно. Во сколько раз объем одного из них больше объема другого?

14. Внутренний диаметр чугунного пологого шара равен 8 см, а внешний диаметр 10 см. Определить массу шара, если плотность чугуна равна 7,3 г/см³.

15. Сколько метров шелковой материи шириной 1,1 м надо для изготовления воздушного шара, радиус которого 2 м? На соединение и отходы идет 10% материала.

16. Сколько металлических шариков радиуса 2 см можно отлить, расплавив шар R = 6см?

17. В каком случае расходуется больше материала: на никелировку одного шара диаметром 8 см или на никелировку 10 шаров диаметром по 2 см каждый?

18. 125 одинаковых шариков диаметром 9 см сплавили в один шар. Определить диаметр получившегося шара.

19. Сколько дробинок диаметром 3,0 мм содержится в 1,0 кг свинцовой дроби? (Плотность свинца равна 11,4 г/см³).

20. Два свинцовых шара диаметром 23см и 34 см переплавили в один шар. Найдите его диаметр.

21. Наружный диаметр полого медного шара 10 см, толщина стенок 2 мм. Будет ли такой шар плавать в воде? Плотность меди 8,9 г/см³.( Плотность воды равна 1г/см³).

22. Масса железного шара равна 4 кг. Найдите площадь его поверхности. Плотность железа 7,8 г/см³.

23. Шарообразный приемник газа имеет диаметр 9,22 м. 1) Какова его вместимость? 2) До скольких атмосфер сжат газ в газоприемнике, если в него накачено 2500 м ³ газа при нормальном давлении?

24. Определить вес медного шарообразного полого поплавка диаметром в 140 мм, если 100 мм листовой меди, из которой сделали поплавок, весят 0,35 г?

25. На окраску шара диаметром 1,5 дм расходуется 50 г краски. Сколько краски требуется для окраски шара диаметром 3 дм?

ПРИЗМА – ПИРАМИДА

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД – ПИРАМИДА

1. Величайшая из пирамид Египта (пирамида Хеопса) имеет высоту 146 м; сторона ее основания равна 233 м (основание квадратное). Предполагая, что эта пирамида сплошь сложена из камней, вычислить, какой высоты каменную стену толщиной в полметра и длиной от Санкт-Петербурга до Москвы (640 км) можно было бы соорудить из ее материала.

2. Из стального стержня квадратного сечения размером 50 мм х 50 мм х 120 мм откована деталь в форме пирамиды с прямоугольным основанием 60 мм х 90 мм. Определить длину (высоту) детали, если на угар отошло 4%.

3. Кристалл кварца состоит из правильной шестиугольной призмы с боковым ребром 6,2 см и стороной основания 1,7 см и двух правильных шестиугольных пирамид с боковым ребром 2,5 см. Найдите объем кристалла.

4. Найти объем детали. Размеры на рисунке даны в миллиметрах.

25

25

50

ПРИЗМА, ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД – ЦИЛИНДР

1. Железобетонная плита для перекрытия потолка имеет размер 180 см х 24 см х 580 см. Плита имеет в длину девять круглых сквозных отверстий диаметром 10 см. Найти вес плиты, если плотность равна 7,9 г/см³.

2. Стальная балка имеет форму правильной четырехугольной призмы со стороной основания 0,40 м и высотой 1,00 м. Сколько метров проволоки диаметром 5 мм можно изготовить из этой болванки вытягиванием.

3. Н

   Ø100

   а столе стоят два одинаковых стакана, до краев наполненных водой. В одном стакане плавает деревянный брусок. Найдите массу воды в каждом стакане, если стакан имеет форму цилиндра высотой 98 мм, радиусом основания 40 мм, а брусок имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами 20 мм х 30мм х 40 мм. Плотность воды 1000 кг/м³, плотность дерева 700 кг/м³.

4. Найти массу чугунного кронштейна сверлильного станка. Размеры в миллиметрах даны на рисунке. Плотность чугуна 7,5 г/см³.

160

Ø70

5. 

   Ø20

   Ø30

   Ключ к патрону токарного станка имеет вид: см. рисунок, размеры в миллиметрах. Найти массу ключа, если плотность стали 7,83 г/см³.

Ø11

6. Гайка имеет форму правильной шестиугольной призмы. Ребро гайки 22 мм, площадь круга (отверстия) равна 108 мм². Толщина гайки (высота призмы) равна 10 мм. Определить массу гайки, если плотность материала, из которого изготовлена гайка равна 7,83 г/см³.

ЦИЛИНДР – ШАР

1. В цилиндрический сосуд, у которого диаметр основания равен 6 см, а высота 36 см, налита вода до половины высоты сосуда. На сколько поднимется уровень воды сосуде, если в нее погрузить шар диаметром 5 см?

2. Резервуар для воды состоит из полушария радиуса 35 см и цилиндра с таким же радиусом основания. Какой высоты должна быть его цилиндрическая часть, чтобы объем всего резервуара равнялся 167 л.

3. Можно ли в цилиндр, высота которого равна 2 дм, а диаметр основания 1 дм поместить шар, объем которого в два раза меньше объема цилиндра?

4. В цилиндрический сосуд, наполненный водой до половины, опущен шар диаметром 4 см. Высота сосуда равна 8 см, радиус 2,2 см. Достигает ли уровень воды краев сосуда?

5. Стальная заклепка имеет форму цилиндра, на которой насажен шаровой сегмент. Диаметр цилиндра равен 16 мм, высота цилиндра 35 мм, высота сегмента 10 мм, радиус шара 16 мм. Вычислите массу 1000 таких заклепок, если плотность стали 7,5 г/см³.

6. В цилиндрическую мензурку диаметром 2,5 см, наполненную водой до некоторого уровня, опущены четыре металлических шарика с диаметром 1,0 см. На сколько поднялся уровень воды в мензурке?

7. Рукоятка сверлильного станка имеет вид: см. рисунок, размеры в миллиметрах. Найдите массу рукоятки, если плотность стали 7,83 г/см³.

Ø10

ЦИЛИНДР – КОНУС

1. Ж

   Ø15

   идкость, налитая в конический сосуд, высота которого равна 0,18 м и диаметр основания равен 0,24 м перелита в цилиндрический сосуд, диаметр основания которого равен 0,1 м. Чему равен уровень жидкости в сосуде?

2. Рассчитать: 1) массу стальной детали; 2) диаметр круглой стальной заготовки для холодной штамповки деталей (данные на рисунке, размеры в сантиметрах). Площадь заготовки должна равняться площади поверхности детали. Удельный вес стали 7,86 г/см³.

3. Н

   Ø10

   айти массу строительного отвеса. Размеры на рисунке в миллиметрах. Плотность стали 7,83 г/см³.

Ø25

ЦИЛИНДР – УСЕЧЕННЫЙ КОНУС

1. Втулка имеет форму усеченного конуса, больший диаметр которого равен 48 мм, меньший – 36 мм, длина – 90 мм. Диаметр цилиндрического отверстия втулки 28 мм. Найдите массу втулки. Плотность 8,7 г/см³.

2. Усеченный конус, у которого радиусы оснований 4 см и 22 см, требуется переплавить в равновеликий цилиндр такой же высоту. Определить радиус основания полученного цилиндра.

3. Деревянный усеченный конус (удельный вес 0,58), высота которого 48 см и диаметры оснований 44 см и 32 см просверлен цилиндрически вдоль оси. Оси цилиндра и конуса совпадают, диаметр цилиндра 10 см. Просверленная часть заполнена железом (удельный вес 7,5 г/см³). Найти массу образовавшегося таким образом тела.

4. Н

   40

   200

   120

   айти вес стальной детали. Размеры в миллиметрах на рисунке. Удельный вес стали 7,86 г/см³. Найти площадь обрабатываемой поверхности с подрезкой торца.

Ø180

5. Найти массу стальной детали. Размеры в миллиметрах на рисунке. Плотность стали 7,86 г/см³.

Ø40

Ø140

6. С

   Ø20

   тупица сверлильного станка имеет вид: см. рисунок. Найти массу детали, размеры даны в миллиметрах плотность стали 7,86 г/см³.

Ø70

Ответы

Призма. Параллелепипед.

1. 5,86м² ; 2. 0,6м; 3. есть; 4. 9 чел.; 5. можно; 6. 8 м²; 7. 60дм³; 8. 5,1 см; 9. 540 дней; 10.8,4 г/см³; 11. 2,7 г/см³; 12. 22,3 г; 13.2,38м; 14. 19,6 см; 15. 2952 м³; 16. 6,4 м; 95000м³; 17. 8 м; 18. 61,8 см; 68 см; 76,2 см; 19. 2550 м³; на 0,98 м;

20. 2,4 т; 21. 2218 м³; 22. ≈ 21 м³; 23. 13; 6; 24. 26 кг; 25. 40 дней; 26. 47,7 кг;

27. 1,8 г/см³; 28. 0,01 см; 29. 106 шт; 30. 0,0625 кг; 31. 2,5м; 0,8 м; 0,5 м;

32. 6000 шт.; 3м³; 33.1,5 м; 34. в 1,25 раза; 35.513 м³; 36. 10 чел.; 37. 170 шт.; 38. 27600м²; 39. 1:3;

Пирамида.

1. 8381 шт.; 2.20,4 см³; 3. 33 листа; 4. 1,7 см; 5. 87728 м²; 7770000м³; 6. 6 см;

Усеченная пирамида.

1. 7 м³; 2. 52,5 т.; 3. 9,9 т.; 4. 160 дм²; 5. 4,2 т; 6. 187,5 см; 75 см; 225 см;

Цилиндр.

1. 33. мм; 2. 3 мм³; 3. 180000 мм²; 183750 мм²; 4. 4,5 мин; 5. Указание: Н=L=Т n S;

6. 48 шт.; 7.12шт.; 8. 2,1; 1,2; 9. 1,4·10⁷ Н; 10. 2484м³; 45 шт.; 11. 318 м³; 7,55%;

12. 35000 м²; 13. 210 м; 14. 15,3 кг; 15. 67,2 кг; 16. 0,17 м³; 17. 96 кг; 18. 38,6 м²;

19. 218 м; 20. 24111 кг; 21. 5,4 кг; 22. 9,4 кг; 23. 412 м; 24. 33,2 дм³; 25. 153 кг;

26. 8025 см²; 27. 4·10^-5мм; 28. 80,2 м; 29. 0,72 см³; 30. 1800 т; 31. 4т; 32. 2,16 м³;

33. 0,0078 мм; 34. 28,46 м³; 35. 12 шт; 36. 4445; 37. 53; 38. 24,2 см; 39. 0,98 г/см³; 40.0,024 см²;

Конус.

1. 40 листов; 2. 19 т.; 3. 1,6 м; 4. 10,9 см; 197⁰; 5. 13600 см³; 6. 9,9 т; 7. 50; 8. 4;

Усеченный конус.

1. 4,4 кг; 2. 20978 см³; 3. 21 дм³; 4. 14,9 л; 5. 0,99 м²; 6. 0,9 м²; 7. 69,6 см; 94,9 см; 57⁰; 8. 27 см; 9. 4400см²; 10. 0,0095 дм²;

Шар. Сфера.

1. 216 шт.; 2. 15000 км; 3. 51; 4. 9,9 см; 5. 1 т; 6. 202,5 кг; 7. 67 г; 8. 250000000;

9. 445 м²; 10. 569,2 кг; 11. 41,34 м²; 12. ввосьмером; 13. в 24 раза; 14. 1,8 кг;

15. 12 м; 16. 27; 17. на 1 шар; 18. 45 см; 19. 6200шт; 20. 37 см; 21. да; 22. 310 см²; 23. 392 м³; 24. 215 г; 25. 200 г;

Призма-пирамида. Параллелепипед- пирамида.

1. 8,25 м; 2. 53см; 3. 54,7 см³; 4. 61,5 см³; 5. 72,45 см³;

Параллелепипед – цилиндр.

1. 18,4 т; 2. 8200 м; 3. 218,4 г; 4. 17.3 кг; 5. 305 г; 6. 12 г;

Цилиндр – шар.

1. 2,3 см; 2. 1,7 м; 3. можно; 4. нет; 5. 100,5 кг; 6. 43 мм; 7. 2,5 т; 8. 155г;

Цилиндр – конус.

1. 0,35 м; 2. 18,5 кг; 25 см; 3. 0,19 кг;

Цилиндр – усеченный конус.

1. 2,7 кг; 2. 14; 3. 55 кг; 4. 285 г; 5. 14,5 кг; 6. 1 кг;

Литература

Основные источники:

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа 10-11-в 2 частях, –М.:Мнемозина, 2009.

2. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 10 -11 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни, - 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009.

3. Александрова Л.А. Алгебра-и-начала-математического-анализа10. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений; под ред. А.Г. Мордковича.- 4-е изд., испр. и доп. –М.:Мнемозина, 2008.

4. Зив Б.Г. Геометрия. Дидактические материалы. 10 класс, - 10-е изд. – М.: Просвещение, 2009.

5. Дудницын Ю.П. Контрольные работы по геометрии: 10 класс: к учебнику Атанасян Л.С. и др. «Геометрия. 10 -11 классы», - М.: Издательство «Экзамен», 2009.

6. Глазков Ю.А. Тесты по геометрии: 10 класс: : к учебнику Атанасян Л.С. и др. «Геометрия. 10 -11 классы», - М.: Издательство «Экзамен», 2012.

Дополнительные источники:

1. Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2008.

2. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2010.

3. Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 10 кл. – М., 2010.

4. Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 11 кл. – М., 2010.

5. Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 10—11 кл. – М., 2010.

6. Башмаков М.И. Математика: 10 кл. Сборник задач: учеб. пособие. – М., 2010.

Периодические издания:

1. Журнал «Математика и логика»

2. Журнал «Журнал вычислительной математики и математической физики»

Интернет-ресурсы:

1. Единое информационно-образовательное пространство колледжа NetSchool. Форма доступа: http://sgtek.ru

2. http://www.riis.ru/PS/inet-class.html – Internet-класс по высшей математике: Вся математика, от пределов и производных до методов оптимизации, уравнений математической физики и проверки статистических гипотез в среде самых популярных математических пакетов

3. http://www.exponenta.ru/educat/class/class.asp – Образовательный математический сайт «Экспонента»

4. http://www.edunews.ru/task/pre_c_math.htm – Государственное централизованное тестирование. Тест по математике

5. http://matembook.chat.ru/ – Математика, высшая математика, алгебра, геометрия, дискретная математика

6. http://www.homebook.narod.ru/index.html – Литература по математике (алгебра, геометрия, математический анализ, дискретная математика, дифференциальные уравнения)

7. http://mathem.h1.ru/ – Математика on-line. В помощь студенту. Основные математические формулы по алгебре, геометрии, тригонометрии, высшей математике, исторические данные

8. http://www.helen.ukrbiz.net/index.htm – Контрольные работы по математике

9. http://www.history.ru/progmath.htm – Обучающие программы по математике

10. http://elib.ispu.ru/library/math/sem1/, http://elib.ispu.ru/library/math/sem2/ – Онлайн-учебник по высшей математике (1-ый и 2-ой семестры)

11. http://www.mozg.ru/g3/rating/catalog – Каталог тестов

12. http://www.allmath.ru/ – Математический портал