Презентация.Окружность, геометрия, 8 класс

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Окружность
  Автор:
  Абдуллина Рамиля Рамазановна
  Учитель математики
  МБОУ гимназия
  

• 

  2 слайд

  Окружность — геометрическое место всех точек  плоскости , равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние , называемое её радиусом .
  О
  Определение
  Используйте циркуль при построении окружности
  

• 

  3 слайд

  О
  A
  B
  Центр окружности -точка, от которой равноудалены на заданное расстояние все точки окружности. О -центр окружности
  
  Отрезок, соединяющий любую точку окружности с ее центром, а также его длина, называется радиусом окружности.
  ОA- радиус окружности
  
  Диаметром окружности называется хорда данной окружности, проходящая через ее центр.
  
  Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой окружности, а также хордой ограниченного ей круга.
  AB- хорда, проходящая через ее центр О
  
  
  
  
  ВСПОМНИ!!!
  

• 

  4 слайд

  
  Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).
  
  Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
  
  Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.
                                                                             
                                                    
  
  
  
  Свойства окружности
  

• 

  5 слайд

  Если прямая проходит через центр окружности, то она пересекает окружность в двух точках — концах диаметра, лежащего на этой прямой.
  
  Пусть прямая р не проходит через центр о окружности радиуса г.
  
  Проведем перпендикуляр ОН к прямой р и обозначим буквой d длину этого перпендикуляра, т. е. расстояние от центра данной окружности до прямой
  О
  H
  p
  Взаимное расположение прямой
  и окружности
  

• 

  6 слайд

  d < г
  На прямой р от точки Н отложим два отрезка НА и НВ длины которых равны г2-d2
  
  По теореме Пифагора
  ОА = ОН2 +НА2 = ^d2 +(r2-d2) = г,
  ОБ = OH2 +НВ2 = ^d2 +(r2-d2) = г.
  
  Следовательно, точки А и В лежат на окружности и, значит, являются общими точками прямой р и данной окружности.
  Взаимное расположение прямой
  и окружности
  
  О
  А
  B
  H
  p
  Итак, если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d < г), то прямая и окружность имеют две общие точки.
  В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.
  

• 

  7 слайд

  2) d = г
  В этом случае ОН= г, т. е. точка Н лежит на окружности и, значит, является общей точкой прямой и окружности
  
  Прямая р и окружность не имеют других общих точек, так как для любой точки М прямой р, отличной от точки Н, ОМ > ОН = г (наклонная ОМ больше перпендикуляра ОН), и, следовательно, точка М не лежит на окружности.
  
  О
  M
  H
  p
  Итак, если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку.
  Взаимное расположение прямой
  и окружности
  
  

• 

  8 слайд

  d > г
  В этом случае ОН > г, поэтому для любой точки М прямой р ОМ > ОН > г
  
  Следовательно, точка М не лежит на окружности.
  
  О
  M
  H
  p
  r
  Итак, если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.
  Взаимное расположение прямой
  и окружности
  
  

• 

  9 слайд

  Прямая и окружность могут иметь одну или две общие точки и могут не иметь ни одной общей точки.
  
  Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
  
  На рисунке прямая р — касательная к окружности с центром О, А — точка касания.
  Касательная к окружности
  О
  A
  p
  

• 

  10 слайд

  
  
  Доказательство
  Пусть р — касательная к окружности с центром О, А — точка касания. Докажем, что касательная р перпендикулярна к радиусу ОА.
  
  Предположим, что это не так.
  
  Тогда радиус ОА является наклонной к прямой р. Так как перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА, то расстояние от центра О окружности до прямой р меньше радиуса. Следовательно, прямая р и окружность имеют две общие точки.
  Но это противоречит условию: прямая р — касательная.
  
  Касательная к окружности
  О
  A
  p
  Теоремa о свойстве касательной к окружности
  Теорема
  Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
  Т.o., прямая р перпендикулярна к радиусу ОА. Теорема доказана.
  

• 

  11 слайд

  Касательная к окружности
  Рассмотрим две касательные к окружности с центром О, проходящие через точку А и касающиеся окружности в точках В и С.
  
  Отрезки АВ и АС назовем отрезками касательных, проведенными из точки А.
  
  Они обладают следующим свойством, вытекающим из доказанной теоремы:
  
  
  О
  B
  C
  A
  Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
  

• 

  12 слайд

  Доказательство:
  По теореме о свойстве касательной углы 1 и 2 прямые, поэтому треугольники АВО и АСО прямоугольные.
  Они равны, так как имеют общую гипотенузу ОА и равные катеты ОВ и ОС. Следовательно, АВ=АС и 3=4, ч.т.д.
  О
  B
  C
  A
  Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
  Касательная к окружности
  

• 

  13 слайд

  Доказательство
  Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведенным из центра окружности к данной прямой. Поэтому расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, и, следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку. Но это и означает, что данная прямая является касательной к окружности. Теорема доказана.
  Теорема, обратная теореме о свойстве касательной (признак касательной)
  Теорема
  Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.
  

• 

  14 слайд

  На этой теореме основано решение задач на построение касательной. Решим одну из таких задач.
  Теорема, обратная теореме о свойстве касательной (признак касательной)
  Задача
  Через данную точку А окружности с центром О провести касательную к этой окружности.
  Решение
  Проведем прямую ОА, а затем построим прямую р, проходящую через точку А перпендикулярно к прямой ОА. По признаку касательной прямая р является искомой касательной.
  О
  A
  p
  

• 

  15 слайд

  Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий ее концы, является диаметром окружности
  A
  B
  O
  

• 

  16 слайд

  Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом. Пусть стороны центрального угла окружности с центром О пересекают ее в точках А и В.
  Центральному углу АОВ соответствуют две дуги с концами А и В
  Если <АОВ развернутый, то ему соответствуют две полуокружности
  
  Если <АОВ неразвернутый, то говорят, что дуга АВ, расположенная внутри этого угла, меньше полуокружности.
  
  Про другую дугу с концами А и В говорят, что она больше полуокружности (дуга ALB)
  
  A
  B
  O
  О
  A
  B
  О
  A
  B
  L
  L
  

• 

  17 слайд

  A
  B
  O
  О
  A
  B
  О
  A
  B
  L
  L
  Дугу окружности можно измерять в градусах. Если дуга АВ окружности с центром в точке О меньше полуокружности или является полуокружностью, то ее градусная мера считается равной градусной мере центрального угла
  
  Если же дуга АВ больше полуокружности, то ее градусная мера считается равной 360° — АОВ
  

• 

  18 слайд

  Теорема о вписанном угле
  Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается
  О
  A
  B
  M
  C
  

• 

  19 слайд

  Теорема о вписанном угле
  Пусть < ABC — вписанный угол окружности с центром О, опирающийся на
  дугу АС.
  Докажем, что < ABC=
  = 0,5 AC. Рассмотрим три возможных случая расположения луча ВО относительно угла ABC.
  О
  A
  B
  M
  C
  Доказательство
  

• 

  20 слайд

  Три возможных случая расположения луча ВО относительно угла АВС
  Луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС (Рис.a)
  
  Луч ВО делит угол АВС на два угла (Рис. б)
  
  Луч ВО не делит угол АВС на два угла и не совпадает со стороной этого угла (Рис. в)
  

• 

  21 слайд

  Следствие 1
  Следствие 2
  Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны
  Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой
  

• 

  22 слайд

  Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды
  B
  А
  С
  D
  E
  1
  2
  3
  4
  Теорема
  

• 

  23 слайд

  Пусть хорды АВ и CD пересекаются в точке Е
  Докажем, что
  АЕ • ВЕ=СЕ • DE
  Рассмотрим треугольники ADE и
  СBE. В этих треугольниках углы 1 и 2 равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу BD, а углы 3 и 4 равны как вертикальные.
  По первому признаку подобия треугольников
  Отсюда следует, что ,или
  
  АЕ • ВЕ =СЕ • DE
  Теорема доказана.
  B
  А
  С
  D
  E
  1
  2
  3
  4
  Доказательство
  
  

• 

  24 слайд

  Орнаменты
  

• 

  25 слайд

  http://ru.wikipedia.org/wiki/%CE%EA%F0%F3%E6%ED%EE%F1%F2%FC
  http://www.problems.ru/thes.php?letter=14
  http://uztest.ru/abstracts/?idabstract=149650
  http://slovo.ws/urok/geometr/07/003/164.html
  http://www.liveinternet.ru/users/galinaak/post199693536/
  
  
  
  
  

• 

  26 слайд